Tổng hợp kiến thức ôn thi đại học môn Toán

Tổng hợp kiến thức ôn thi đại học môn Toán

Thuviendientu.org I- GIẢI TÍCH TỔ HP Giai thừa : n! = 1.2 n 0! = n! /(n – k)! = (n – k + 1).(n – k + 2) n Nguyên tắc cộng : Trường hợp có m cách chọn, trường hợp có n cách chọn; cách chọn thuộc trường hợp Khi đó, tổng số cách chọn : m + n Nguyên tắc nhân : Hiện tượng có m cách chọn, cách chọn lại có n cách chọn tượng Khi đó, tổng số cách chọn liên tiếp hai tượng : m x n Hoán vị : Có n vật khác nhau, xếp vào n chỗ khác Số cách xếp : P n = n ! Tổ hợp : Có n vật khác nhau, chọn k vật Số cách chọn : Chỉnh hợp : Có n vật khác Chọn k vật, xếp vào k chỗ khác số cách : Chỉnh hợp = tổ hợp hoán vị Tam giác Pascal : 1 1 3 1 Tính chất : C0n Cnk C00 C10 Cnn 1, Cnk Cnk Cnn C11 C20 C12 C22 C04 C14 C24 C30 Cnk n! k!(n k)! Cnk C13 C32 C33 C34 A nk n! , A nk (n k)! Cnk Pk C44 k Nhị thức Newton : * (a b)n C0nan b0 C1nan 1b1 Cnna0 bn a = b = : C0n C1n Cnn Với a, b * (a 2n { 1, 2, }, ta chứng minh nhiều đẳng thức chứa : C0n , C1n , ,Cnn x)n C0nan C1nan 1x Cnn x n Ta chứng minh nhiều đẳng thức chứa C0n , C1n , ,Cnn cách : - Đạo hàm lần, lần, cho x = 1, 2, a = 1, 2, - Nhaân với xk , đạo hàm lần, lần, cho x = 1, 2, , a = - Cho a = 1, 2, , hay 1, 2, hay Chú ý : Ckn a n k bk * (a + b)n : a, b chứa x Tìm số hạng độc lập với x : Kx m Giải pt : m = 0, ta k * (a + b)n : a, b chứa Tìm số hạng hữu tỷ k n k n Ca Giải hệ pt : m/ p Z r/ q Z * Giải pt , bpt chứa b k m p Kc d r q , tìm k A nk , Cnk : đặt điều kiện k, n N* , k đặt thừa số chung n Cần biết đơn giản giai thừa, qui đồng mẫu số, Thuviendientu.org * Cần phân biệt : qui tắc cộng qui tắc nhân; hoán vị (xếp, khô ng bốc), tổ hợp (bốc, không xếp), chỉnh hợp (bốc xếp) * Áp dụng sơ đồ nhánh để chia trường hợp , tránh trùng lắp thiếu trường hợp * Với toán tìm số cách chọn thỏa tính chất p mà chia trường hợp, ta thấy số cách chọn không thỏa tính chất p trường hợp hơn, ta làm sau : số cách chọn thỏa p = số cách chọn tùy ý - số cách chọn không thỏa p Cần viết mệnh đề phủ định p thật xác * Vé số, số biên lai, bảng số xe : chữ số đứng đầu (tính từ trái sang phải) * Dấu hiệu chia hết : - Cho : tận 0, 2, 4, 6, - Cho : tận 00 hay chữ số cuối hợp thành số chia hết cho - Cho : tận 000 hay chữ số cuối hợp thành số chia hết cho - Cho : tổng chữ số chia hết cho - Cho : tổng chữ số chia hết cho - Cho : tận hay - Cho : chia hết cho - Cho 25 : tận 00, 25, 50, 75 II- ĐẠI SỐ b Chuyển vế : a+b=c a bc ; b a/b = c a 2n a b a 2n a = c – b; ab = c a2 n b, a 2n c a x x a b x max{a, b} ; x a x b a b a c b ; ab c Giao nghieäm : b b a 2n b a b 2n a b b a , a log b a b b c b a c/ b 0, c b a c/ b b a c/ b x min{a, b} p x a x b a a x b(neáu a b) ; VN(neáu a b) p q q Nhiều dấu v : vẽ trục để giao nghiệm Công thức cần nhớ : : bình phương vế không âm Làm a b b , a b a b2 phaûi đặt điều kiện b 0 a b2 Thuviendientu.org a b a b a b (neáu a, b 0) ab b a : phaù b (neáu a, b 0) a b a b a b a Mũ : a (nếu a 0) am / an an bn a b 0hay a2 b a b a b a b2 a2 hay định nghóa : b b 0, y neáu a 1, y neáu a 1/ n am ; am an m/n am n ; (am )n (ab)n ; am an b ax , x R, y a0 ; a d 0) b ; a a b b am a (nếu a b y a cách bình phương : a c b a b2 am am.n ; an / b n an (m n (a/ b)n n,0 a 1) m n (neáu a 1) m n (neáu a 1) , a=1 alog a log : y = logax , x > , < a 1, y R y neáu a > 1, y neáu < a < 1, = logaa loga(MN) = logaM + logaN ( ) loga(M/N) = logaM – logaN ( ) log a M 2 log a M , log a M log a M ( ) logaM = 3logaM, logac = logab.logbc logbc = logac/logab, log a M loga M loga(1/M) = – logaM, logaM = logaN loga M loga N M=N M N(neáu a 1) M N 0(neáu a 1) Khi làm toán log, miền xác định nới rộng : dùng điều kiện chặn lại, tránh dùng công thức làm thu hẹp miền xác định Mất log phải có điều kiện Đổi biến : a Đơn giản b c d a b : t ax b R, t x2 0, t x 0, t x 0, t ax 0,t log a x R Nếu đề có điều kiện x, ta chuyển sang điều kiện t cách biến đổi trực tiếp bất đẳng thức Hàm số : t = f(x) dùng BBT để tìm điều kiện t Nếu x có thêm điều kiện, cho vào miền xác định f Lượng giác : t = sinx, cosx, tgx, cotgx Dùng phép chiếu lượng giác để tìm điều kiện t Hàm số hợp : bước làm theo cách Xét dấu : Đa thức hay phân thức hữu tỷ, dấu A/B giống dấu A.B; bên phải dấu hệ số bậc cao nhất; qua nghiệm đơn (bội lẻ) : đổi dấu; qua nghiệm kép (bội chẵn) : không đổi dấu Biểu thức f(x) vô tỷ : giải f(x) < hay f(x) > Thuviendientu.org c Biểu thức f(x) vô tỷ mà cách b không làm : xét tính liên tục đơn điệu f, nhẩm nghiệm pt f(x) = 0, phác họa đồ thị f , suy dấu f So sánh nghiệm phương trình bậc với : f(x) = ax2 + bx + c = (a 0) * S = x1 + x2 = – b/a ; P = x1x2 = c/a Dùng S, P để tính biểu thức đối xứng nghiệm Với đẳng thức g(x 1,x2) = không đối xứng, giải hệ pt : g S x1 x P x1.x Bieát S, P thỏa S2 – 4P 0, tìm x1, x2 từ pt : X2 – SX + P = * Dùng , S, P để so sánh nghiệm với : x1 < < x2 P < 0, < x1 < x2 P S 0 P x1 < x2 < 0 S * Dùng , af( ), S/2 để so sánh nghiệm với < x1 < x2 a.f ( ) : x1 < < x2 a.f ( ) ; x1 < x2 < S/ a b a.f( ) < x2 S/ a.f( ) < x1 < af( ) < a.f ( ) ; x1 < a.f ( ) < x2 < Phương trình bậc : Viête : ax3 + bx2 + cx + d = x1 + x2 + x3 = – b/a , x1x2 + x1x3 + x2x3 = c/a , x1.x2.x3 = – d/a Bieát x1 + x2 + x3 = A , x1x2 + x1x3 + x2x3 = B , x1.x2.x3 = C x1, x2, x3 nghiệm phương trình : x3 – Ax2 + Bx – C = Số nghiệm phương trình baäc : x= f(x) = ax2 + bx + c = (a 0) : f( ) 0 f( ) nghiệm phân biệt nghiệm phân biệt f( ) < hay nghiệm =0 f =0 Phương trình bậc không nhẩm nghiệm, m tách sang vế : dùng tương giao (C) : y = f(x) (d) : y = m Phương trình bậc không nhẩm nghiệm, m không tách sang vế : dùng tương giao (C m) : y = f(x, m) vaø (Ox) : y = nghiệm y' y CĐ y CT Thuviendientu.org y CĐ y CT nghiệm c y' nghiệm y' y' y CĐ y CT Phương trình bậc có nghiệm lập thành CSC : y' y uốn d 0 So sánh nghiệm với : x = xo f(x) = ax2 + bx + c = (a 0) : so sánh nghiệm phương trình bậc f(x) với Không nhẩm nghiệm, m tách sang vế : dùng tương giao f(x) = y: (C) y = m: (d) , đưa vào BBT Không nhẩm nghiệm, m không tách sang vế : dùng tương giao (C m) : y = ax3 + bx2 + cx + d (có m) ,(a > 0) (Ox) y' < x1 < x2 < x3 y CÑ y CT y( ) x1 x CÑ y' x1 < < x2 < x3 y CÑ y CT y( ) x CT y' x1 < x2 < < x3 x1 x1 x1 y CÑ y CT y( ) Phương trình bậc có điều kiện : f(x) = ax2 + bx + c = (a 0), x nghieäm f( ) 0 , nghiệm f( ) 0 f( ) Vô nghiệm 0 b/ y = ax2 + bx + c c/ y = ax3 + bx2 + c + d a0 a=0 a : y a0 y 0 a ab < e/ y = (ax + b) / (cx + d) (c 0) ad - bc > f/ y = ax2 bx c dx e (ad ad - bc < 0) ad > y y >0 =0 y b b y=b y : phân giác góc tù + , nhọn – n d n d/ < : phân giác góc tù – , nhọn + B/ * Tương giao : Xét hpt tọa độ giao điểm Mặt phẳng không gian : * Xác định điểm M(xo, yo, zo) pháp vectơ : n = (A, B, C) hay vtcp (P) : A(x – xo) + B(y – yo) + C(z – zo) = n =[ v , v' ] (P) : Ax + By + Cz + D = coù n = (A, B, C) (P) qua A(a,0,0); B(0,b,0); C(0,0,c) (P) : x/a + y/b + z/c = * Cho M(xo, yo, zo), (P) : Ax + By + Cz + D = d(M,(P)) = Axo By o Cz o A2 B2 C2 * (P) , (P/) tạo góc nhọn * (P) (P/) n( P ) D : cos = n(P') , (P) // (P/) cos( n( P ) , n( P ') ) n(P ) // n(P') Đường thẳng không gian : 19 v , v' A Thuviendientu.org v * Xác định điểm M (xo, yo, zo) vtcp (d) : x xo at y yo bt , (d ) : z zo ct x xo a v * (AB) : x xA xB xA * (d) = (P) v z zo c : [AM, v ] v góc nhọn (d), (d/) : cos( vd , v / ) cos = * : [ n , n' ] A' x B' y C' z D' d(M,(d)) = * y yo b n , n' y yA z zA yB y A z B z A Ax By Cz D (P/) : * (d) qua A, vtcp = (a, b, c) hay pháp vectơ : d góc nhọn (d), (P) : sin = cos( vd , n p ) v , (P) coù pvt n * (d) qua M, vtcp v.n (d) caét (P) : (d) // (P) v.n = vaø M (P) (d) v.n = vaø M (P) (P) * (d) qua A, vtcp (d) caét (d/) (d) // (d/) [ [ (d) cheùo (d/) (d/) (d) v v , v' ] v , v' ] v , v' ] = * (d) cheùo (d/) : d(d, d/) = v' : , [ v , v' ] AB v , v' ] = [ [ ; (d /) qua B, vtcp ,A =0 (d/) , [ v , v' ] AB ,A (d/) [ v , v' ] AB * (d) cheùo (d/) , tìm đường [ v , v' ] chung ( ) : tìm n [ v , v' ] ; tìm (P) chứa (d), // n / (P) (P ) * (d) (P), cắt (d/) (d) nằm mp (P), chứa (d/) * (d) qua A, // (P) (d) nằm mp chứa A, // (P) * (d) qua A, cắt (d/) (d) nằm mp chứa A, chứa (d/) * (d) cắt (d/), // (d//) (d) nằm mp chứa (d/), // (d//) * (d) qua A, (d/) (d) nằm mp chứa A, (d/) * Tìm hc H M xuống (d) : viết pt mp (P) qua M, (d), H = (d) (P) * Tìm hc H M xuống (P) : viết pt đt (d) qua M, (P) : H = (d) (P) * Tìm hc vuông góc (d) xuống (P) : viết pt mp (Q) chứa (d), (P); (d/) = (P) (Q) * Tìm hc song song (d) theo phương ( ) xuống (P) : viết pt mp (Q) chứa (d) 20 ; tìm (P/) chứa (d/), // n ;( )= ... bậc Công thức đổi bậc bậc suy từ công thức nhân ba f Đưa t tg a : đưa lượng giác đại số g Tổng thành tích : đổi tổng thành tích đổi góc a, b thành (a b) / h Tích thành tổng : đổi tích thành tổng. .. bốc), tổ hợp (bốc, không xếp), chỉnh hợp (bốc xếp) * Áp dụng sơ đồ nhánh để chia trường hợp , tránh trùng lắp thi? ??u trường hợp * Với toán tìm số cách chọn thỏa tính chất p mà chia trường hợp, ta... a c a c Dùng tỉ lệ thức : biến đổi phương trình (1) dùng b d b d b d b Dạng : c công thức đổi + thành x d Dạng khác : tìm cách phối hợp phương trình, đưa pt 16 Toán : * Luôn có sẵn pt theo A,