Tổng hợp kiến thức ôn thi đại học môn Toán

Tổng hợp kiến thức ôn thi đại học môn Toán

4 Hoán vị : Có n vật khác nhau, xếp vào n chỗ khác nhau Số cách xếp : Pn = n !

5 Tổ hợp : Có n vật khác nhau, chọn ra k vật Số cách chọn :

)!

k n ( k

! n

Ckn

6 Chỉnh hợp : Có n vật khác nhau Chọn ra k vật, xếp vào k chỗ khác nhau số cách : Ank n! , Akn C Pkn k

(n k)!

Chỉnh hợp = tổ hợp rồi hoán vị

7 Tam giác Pascal :

1

44

34

24

14

04

33

23

13

03

22

12

02

11

01

00

C C C C C

C C C C

C C C

C C

kn1kn

knn

kn

nn

0n

C C C

C C , 1 C C

Ta chứng minh được nhiều đẳng thức chứa C0n, C1n, , Cnn bằng cách :

- Đạo hàm 1 lần, 2 lần, cho x = 1, 2, a = 1, 2,

- Nhân với xk , đạo hàm 1 lần, 2 lần, cho x = 1, 2, , a = 1, 2,

- Cho a = 1, 2, ,

20

10

hay hay Chú ý :

* (a + b)n : a, b chứa x Tìm số hạng độc lập với x : k n k k m

Z p / m

Thuviendientu.org

* Cần phân biệt : qui tắc cộng và qui tắc nhân; hoán vị (xếp, không bốc), tổ hợp (bốc, không xếp), chỉnh hợp (bốc rồi xếp)

* Áp dụng sơ đồ nhánh để chia trường hợp , tránh trùng lắp hoặc thiếu trường hợp

* Với bài toán tìm số cách chọn thỏa tính chất p mà khi chia trường hợp, ta thấy số cách chọn không thỏa tính chất p ít trường hợp hơn, ta làm như sau :

số cách chọn thỏa p

= số cách chọn tùy ý - số cách chọn không thỏa p

Cần viết mệnh đề phủ định p thật chính xác

* Vé số, số biên lai, bảng số xe : chữ số 0 có thể đứng đầu (tính từ trái sang phải)

* Dấu hiệu chia hết :

- Cho 2 : tận cùng là 0, 2, 4, 6, 8

- Cho 4 : tận cùng là 00 hay 2 chữ số cuối hợp thành số chia hết cho 4

- Cho 8 : tận cùng là 000 hay 3 chữ số cuối hợp thành số chia hết cho 8

- Cho 3 : tổng các chữ số chia hết cho 3

- Cho 9 : tổng các chữ số chia hết cho 9

- Cho 5 : tận cùng là 0 hay 5

- Cho 6 : chia hết cho 2 và 3

- Cho 25 : tận cùng là 00, 25, 50, 75

II- ĐẠI SỐ

1 Chuyển vế : a + b = c a = c – b; ab = c

b / c a

bc a

a b b

a

b / c a

0

b c / b a

0

b 0 , c 0

b c

ab

; b c a c b a

2 Giao nghiệm :

} , a min{

x b x

a x

; } , a max{

x b x

a x

p

;

Nhiều dấu v : vẽ trục để giao nghiệm

3 Công thức cần nhớ :

a : chỉ được bình phương nếu 2 vế không âm Làm mất phải đặt điều kiện

2

0 b b a , b a

0 b b a

Thuviendientu.org

2b a

0

b 0 a

0 b b a

) 0 b , a nếu ( b a

) 0 b , a nếu ( b a ab

b . : phá . bằng cách bình phương : a 2 a2 hay bằng định nghĩa :

) 0 a nếu ( a

) 0 a nếu ( a a

b a b a

; b a

0 b b a

) 1 a 0 nếu ( n m

) 1 a nếu ( n m a

a

d log : y = logax , x > 0 , 0 < a 1, y R

y nếu a > 1, y nếu 0 < a < 1, = logaa

loga(MN) = logaM + logaN ( )

loga(M/N) = logaM – logaN ( )

2aa

a

2

aM 2 log M , 2 log M log M

logaM3 = 3logaM, logac = logab.logbc

logbc = logac/logab, loga M 1 logaM

loga(1/M) = – logaM, logaM = logaN M = N

0 M N(nếua 1) log M log N

M N 0(nếu0 a 1)

Khi làm toán log, nếu miền xác định nới rộng : dùng điều kiện chặn lại, tránh dùng công thức làm thu hẹp miền xác định Mất log phải có điều kiện

4 Đổi biến :

a Đơn giản : t ax b R , t x2 0 , t x 0 , t x 0 , t ax 0 , t logax R

Nếu trong đề bài có điều kiện của x, ta chuyển sang điều kiện của t bằng cách biến đổi trực tiếp bất đẳng thức

b Hàm số : t = f(x) dùng BBT để tìm điều kiện của t Nếu x có thêm điều kiện, cho vào miền xác định của f

c Lượng giác : t = sinx, cosx, tgx, cotgx Dùng phép chiếu lượng giác để tìm điều kiện của t

d Hàm số hợp : từng bước làm theo các cách trên

21x x P

x x S

0 g

Biết S, P thỏa S2 – 4P 0, tìm x1, x2 từ pt : X2 – SX + P = 0

* Dùng , S, P để so sánh nghiệm với 0 :

x1 < 0 < x2 P < 0, 0 < x1 < x2

0 S

0 P 0

x1 < x2 < 0

0 S

0 P 0

* Dùng , af( ), S/2 để so sánh nghiệm với : x1 < < x2 af( ) < 0

< x1 < x2

2 / S

0 ) ( a

0

; x1 < x2 <

2 / S

0 ) ( a 0

< x1 < < x2

a.f( ) 0 a.f( ) 0 ; x1 < < x2 < a ( ) 0

0 ) ( a

7 Phương trình bậc 3 :

a Viête : ax3 + bx2 + cx + d = 0

x1 + x2 + x3 = – b/a , x1x2 + x1x3 + x2x3 = c/a , x1.x2.x3 = – d/a

Biết x1 + x2 + x3 = A , x1x2 + x1x3 + x2x3 = B , x1.x2.x3 = C

thì x1, x2, x3 là 3 nghiệm phương trình : x3 – Ax2 + Bx – C = 0

b Số nghiệm phương trình bậc 3 :

x = f(x) = ax2 + bx + c = 0 (a 0) :

3 nghiệm phân biệt

0 ) ( 0

2 nghiệm phân biệt

0 ) (

0 0

) ( 0

0CTCĐ'y

Thuviendientu.org

2 nghiệm

0 y y

0CTCĐ

'y

1 nghiệm y' 0

0 y y

0CTCĐ

'y

c Phương trình bậc 3 có 3 nghiệm lập thành CSC :

0 y

0uốn

'y

d So sánh nghiệm với :

x = xo f(x) = ax2 + bx + c = 0 (a 0) : so sánh nghiệm phương trình bậc 2 f(x) với

Không nhẩm được 1 nghiệm, m tách được sang 1 vế : dùng sự tương giao của f(x) = y: (C) và y = m: (d) , đưa vào BBT

Không nhẩm được 1 nghiệm, m không tách được sang 1 vế : dùng sự tương giao của (Cm) : y = ax3 + bx2 + cx + d (có m) ,(a > 0) và (Ox)

x1 < < x2 < x3

CT

CTCĐ

'y

x

0 ) ( y

0 y y 0

x1 < x2 < < x3

CĐ

CTCĐ

'y

x

0 ) ( y

0 y y 0

8 Phương trình bậc 2 có điều kiện :

f(x) = ax2 + bx + c = 0 (a 0), x

2 nghiệm

0

0 ) (

, 1 nghiệm

0 ) ( 0

0 ) ( 0

Vô nghiệm < 0

0 ) ( 0

Nếu a có tham số, xét thêm a = 0 với các trường hợp 1 nghiệm, VN

Thuviendientu.org

a Trùng phương : ax4 + bx2 + c = 0 (a 0)

0 ) t (

0 x

t = x2 x = t

4 nghiệm

0 S

0 P

0

; 3 nghiệm

0 S

0 P

2 nghiệm

0 2 / S 0

0 P

; 1 nghiệm

0 2 / S 0

0 S

0 P

VN < 0

0 S

0 P

0

< 0 0

0

P S

4 nghiệm CSC

12

21t 3 t

t t 0

Giải hệ pt :

21

21

12t.

t P

t t S

t 9 t

t , t R

10 Hệ phương trình bậc 1 :

'c y ' b x ' a

c by ax

Tính :

D =

' b

b ' a

a

, Dx =

' b

b 'c

c

, Dy =

'c

c ' a a

D 0 : nghiệm duy nhất x = Dx/D , y = Dy/D

D = 0, Dx 0 Dy 0 : VN

D = Dx = Dy = 0 : VSN hay VN (giải hệ với m đã biết)

11 Hệ phương trình đối xứng loại 1 :

Từng phương trình đối xứng theo x, y Đạt S = x + y, P = xy

ĐK : S2 – 4P 0 Tìm S, P Kiểm tra đk S2 – 4P 0;

Thế S, P vào pt : X2 – SX + P = 0, giải ra 2 nghiệm là x và y

( , ) là nghiệm thì ( , ) cũng là nghiệm; nghiệm duy nhất

= m = ? Thay m vào hệ, giải xem có duy nhất nghiệm không

12 Hệ phương trình đối xứng loại 2 :

Phương trình này đối xứng với phương trình kia Trừ 2 phương trình, dùng các hằng đẳng thức đưa về phương trình tích A.B = 0

Thuviendientu.org

Nghiệm duy nhất làm như hệ đối xứng loại 1

13 Hệ phương trình đẳng cấp :

' d y 'c xy ' b x ' a

d cy bxy

ax

22

22

Xét y = 0 Xét y 0 : đặt x = ty, chia 2 phương trình để khử t Còn 1 phương trình theo y, giải ra y, suy ra t, suy ra x Có thể xét x = 0, xét x 0, đặt y = tx

14 Bất phương trình, bất đẳng thức :

* Ngoài các bất phương trình bậc 1, bậc 2, dạng cơ bản của , , log, mũ có thể giải trực tiếp, các dạng khác cần lập bảng xét dấu Với bất phương trình dạng tích AB < 0, xét dấu A, B rồi AB

* Nhân bất phương trình với số dương : không đổi chiều

số âm : có đổi chiều

Chia bất phương trình : tương tự

* Chỉ được nhân 2 bất pt vế theo vế , nếu 2 vế không âm

* Bất đẳng thức Côsi :

a, b 0 : ab

2

b a

Dấu = xảy ra chỉ khi a = b

a, b, c 0 : 3 abc

3

c b a

Dấu = xảy ra chỉ khi a = b = c

* Bất đẳng thức Bunhiacốpxki : a, b, c, d

(ac + bd)2 (a2 + b2).(c2 + d2); Dấu = xảy ra chỉ khi a/b = c/d

15 Bài toán tìm m để phương trình có k nghiệm :

Nếu tách được m, dùng sự tương giao của (C) : y = f(x) và (d) : y = m Số nghiệm bằng số điểm chung

Nếu có điều kiện của x I, lập BBT của f với x I

16 Bài toán tìm m để bất pt vô nghiệm, luôn luôn nghiệm, có nghiệm x I :

Nếu tách được m, dùng đồ thị, lập BBT với x I

f(x) m : (C) dưới (d) (hay cắt)

f(x) m : (C) trên (d) (hay cắt)

III- LƯỢNG GIÁC

1 Đường tròn lượng giác :

Trên đường tròn lượng giác, góc đồng nhất với cung AM, đồng nhất với điểm M Ngược lại,

1 điểm trên đường tròn lượng giác ứng với vô số các số thực x + k2

Trên đường tròn lượng giác, nắm vững các góc đặc biệt : bội của

: là 1 góc đại diện, n : số điểm cách đều trên đường tròn lượng giác

2 Hàm số lượng giác :

3 Cung liên kết :

* Đổi dấu, không đổi hàm : đối, bù, hiệu (ưu tiên không đổi dấu : sin bù, cos đối, tg cotg hiệu )

* Đổi hàm, không đổi dấu : phụ

* Đổi dấu, đổi hàm : hiệu

2 (sin lớn = cos nhỏ : không đổi dấu)

4 Công thức :

a Cơ bản : đổi hàm, không đổi góc

b Cộng : đổi góc a b, ra a, b

M

cos chiếu

Thuviendientu.org

c Nhân đôi : đổi góc 2a ra a

d Nhân ba : đổi góc 3a ra a

e Hạ bậc : đổi bậc 2 ra bậc 1 Công thức đổi bậc 3 ra bậc 1 suy từ công thức nhân ba

f Đưa về

2

a tg

t : đưa lượng giác về đại số

g Tổng thành tích : đổi tổng thành tích và đổi góc a, b thành (a b) / 2

h Tích thành tổng : đổi tích thành tổng và đổi góc a, b thành a b

5 Phương trình cơ bản : sin = 0 cos = – 1 hay cos = 1 = k ,

6 Phương trình bậc 1 theo sin và cos : asinu + bcosu = c

* Điều kiện có nghiệm : a2 + b2 c2

* Chia 2 vế cho a2 b2 , dùng công thức cộng đưa về phương trình cơ bản

(cách khác : đưa về phương trình bậc 2 theo

2

u tg

7 Phương trình đối xứng theo sin, cos :

Đưa các nhóm đối xứng về sin + cos và sin.cos

Đặt : t = sinu + cosu =

t sin u cos u sin u , t ,sin u.cos u

9 Phương trình chứa sinu – cosu và sinu.cosu :

t sin u cos u sin u , t ,sin u.cos u

11 Phương trình toàn phương (bậc 2 và bậc 0 theo sinu và cosu) :

Xét cosu = 0; xét cosu 0, chia 2 vế cho cos2u, dùng công thức

1/cos2u = 1 + tg2u, đưa về phương trình bậc 2 theo t = tgu

12 Phương trình toàn phương mở rộng :

* Bậc 3 và bậc 1 theo sinu và cosu : chia 2 vế cho cos3u

* Bậc 1 và bậc – 1 : chia 2 vế cho cosu

13 Giải phương trình bằng cách đổi biến :

Nếu không đưa được phương trình về dạng tích, thử đặt :

* t = cosx : nếu phương trình không đổi khi thay x bởi – x

* t = sinx : nếu phương trình không đổi khi thay x bởi – x

* t = tgx : nếu phương trình không đổi khi thay x bởi + x

* t = cos2x : nếu cả 3 cách trên đều đúng

* t = tg

2 x

: nếu cả 3 cách trên đều không đúng

Thuviendientu.org

14 Phương trình đặc biệt :

*

0 v

0 u 0

v

*

C v

C u C

v

C u

v u

*

B v

A u B

A v u

B v

A u

* sinu.cosv = 1

1 v cos

1 u

sin 1

v cos

1 u sin

* sinu.cosv = – 1

1 v cos

1 u

sin 1

v cos

1 u sin

Tương tự cho : sinu.sinv = 1, cosu.cosv = 1

15 Hệ phương trình : Với F(x) là sin, cos, tg, cotg

a Dạng 1 :

) 2 ( n

y x

) 1 ( m ) y ( F ) x ( F

Dùng công thức đổi + thành nhân,

thế (2) vào (1) đưa về hệ phương trình :

b y x

a y x

b Dạng 2 :

n y x

m ) y ( F ).

x ( F

Tương tự dạng 1, dùng công thức đổi nhân thành +

c Dạng 3 :

n y x

m ) y ( F / ) x ( F

Dùng tỉ lệ thức :

d b

c

a d b

c

a d

c b

* Luôn có sẵn 1 pt theo A, B, C : A + B + C =

* A + B bù với C, (A + B)/2 phụ với C/2

* A, B, C (0, ) ; A/2, B/2, C/2 (0, /2)

A + B (0, ) ; (A + B)/2 (0, /2) ;

A – B (– , ) , (A – B)/2 (– /2, /2)

Dùng các tính chất này để chọn k

* Đổi cạnh ra góc (đôi khi đổi góc ra cạnh) : dùng định lý hàm sin :

a = 2RsinA hay định lý hàm cos : a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA

R 4

abc C sin ab 2

1 ah 2

1

) c p )(

b p )(

a p ( p

* Trung tuyến : a 2 b2 2 c2 a2

2

1 m

* Phân giác : ℓa =

c

A cos bc 2

Thuviendientu.org

IV- TÍCH PHÂN

1 Định nghĩa, công thức, tính chất :

* F là 1 nguyên hàm của f f là đạo hàm của F

Họ tất cả các nguyên hàm của f :

sin /

du 2 ; du / cos2u tgu C

*

b

b a a

f(x)dx F(x) F(b) F(a)

a

ca

ba

cb

ab

a

ba

ba

ba

ba

b

a

f k kf

; g f ) g f

c exsin x , excos x : u ex hay dv exdx

từng phần 2 lần, giải phương trình ẩn hàm ʃ

3 Các dạng thường gặp :

a sinmx cos n 1x : u = sinx

x sin x cosm n 1 : u = cosx

x cos x sin2m n : hạ bậc về bậc 1

b tg2mx / cos nx : u = tgx (n 0)

x sin / x g cot 2m n : u = cotgx (n 0)

c chứa a2 – u2 : u = asint

chứa u2 – a2 : u = a/cost chứa a2 + u2 : u = atgt

d R (sin x , cos x ) , R : hàm hữu tỷ

R(–sinx, cosx) = – R(sinx, cosx) : u = cosx

R(sinx, –cosx) = – R(sinx, cosx) : u = sinx

0

x 2 u đặt thử :

0

x u

đặt thử

1 m , ) bx a ( x

g

u

1 k hx : c bx ax ) k hx /[(

* Đưa Q về dạng tích của x + a, (x + a)n, ax2 + bx + c ( < 0)

* Đưa P/Q về dạng tổng các phân thức đơn giản, dựa vào các thừa số của Q :

n

n2

21

n

) a x (

A

) a x (

A a

x

A )

a x ( , a x

A a

x

atgt u đặt : ) a u /(

du ) 0 ( c bx ax

dx c

bx ax

B c

bx ax

) b ax 2 ( A ) 0 ( c bx

2 2

2 2

5 Tính diện tích hình phẳng :

a D giới hạn bởi x = a, x = b, (Ox), (C) : y = f(x) :

ba

D ( x ) dx S

f(x) : phân thức hữu tỉ : lập BXD f(x) trên [a,b] để mở ; f(x) : hàm lượng giác : xét dấu f(x) trên cung [a, b] của đường tròn lượng giác

b D giới hạn bởi x = a, x = b , (C) : y = f(x)

(C') : y = g(x) :

ba

D ( x ) g ( x ) dx S

Xét dấu f(x) – g(x) như trường hợp a/

c D giới hạn bởi (C1) : f1(x, y) = 0 , (C2) : f2 (x, y) = 0

b D a

b D a

Với trường hợp ) : nếu biên trên hay biên dưới bị gãy, ta cắt D bằng các đường thẳng đứng ngay chỗ gãy

Với trường hợp ) : nếu biên phải hay biên trái bị gãy, ta cắt D bằng các đường ngang ngay chỗ gãy

x=b x=a

f(x)

g(x)

y=a f(y) y=b g(y)

Thuviendientu.org

Chọn tính theo dx hay dy để dễ tính toán hay D ít bị chia cắt

Cần giải các hệ phương trình tọa độ giao điểm

Cần biết vẽ đồ thị các hình thường gặp : các hàm cơ bản, các đường tròn, (E) , (H), (P), hàm lượng giác, hàm mũ, hàm .

Cần biết rút y theo x hay x theo y từ công thức f(x,y) = 0 và biết chọn hay

trái :

x , phải :

x , dưới :

y , trên :

y

6 Tính thể tích vật thể tròn xoay :

a D như 5.a/ xoay quanh (Ox) :

ba

2dx ) x ( V

b

ba

2dy ) y ( V

c

ba

2

2( x ) g ( x )] dx f

V

d

ba

2

2( y ) g ( y )] dy f

V

e

bc2c

a

2( x ) dx g ( x ) dx f

V

f

bc2c

a

2( y ) dy f ( y ) dy g

V

Chú ý : xoay quanh (Ox) : .dx ; xoay quanh (Oy) : dy

V- KHẢO SÁT HÀM SỐ

1a

xa

P lim ) x ( Q ) a x (

) x ( P ) a x ( lim ) 0 / 0 dạng ( ) x ( Q

) x ( P lim

u

u sin lim thức công dùng ), 0 / 0 dạng ( ) x ( g

) x ( lim

0ua

b

f(x)

g(x 0)

a c b f(x) -g(x)

b

c

f(y) -g(y)

a

Thuviendientu.org

c Hàm chứa căn : ( dạng 0 / 0 )

) x ( g

) x ( lima

x , dùng lượng liên hiệp :

a2 – b2 = (a – b)(a + b) để phá , a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2) để phá 3

d Hàm chứa mũ hay log (dạng 1 ) : dùng công thức lim ( 1 u )1/u e

0u

2 Đạo hàm :

a Tìm đạo hàm bằng định nghĩa :

o

oo

x

) x ( ) x ( lim ) x (' f

Tại điểm xo mà f đổi công thức, phải tìm đạo hàm từng phía :

lim )

x ( f , lim )

x (

f

oxo/oxo/ Nếu f ( x ) f/( xo)

o/ thì f có đạo hàm tại xo

b Ý nghĩa hình học :

0 ) x ( fM// M/

f đạt CT tại M

0 ) x ( f

0 ) x ( fM// M/

M là điểm uốn của f f//(xM) = 0 và f// đổi dấu khi qua xM

e Tính đạo hàm bằng công thức : C/ = 0, (x )/ = x –1 , (lnx)/ = 1/x , log xa 1

xlna, (ex)/ = ex

(ax)/ = ax.lna, (sinx)/ = cosx , (cosx)/ = – sinx, (tgx)/ = 1/cos2x,

(cotgx)/ = –1/sin2x, (ku)/ = ku/ , (u v)/ = u/ v/, (uv)/ = u/v + uv/ ,

x y = b : tcn

0 )]

b ax ( y [ lim

x y = ax + b : tcx

* Vẽ đồ thị có tiệm cận :

- t c đ : khi y càng tiến về thì đường cong càng gần đường t c

- t c x :khi x và y càng tiến về thì đường cong càng gần đường t c

- t c n :khi x càng tiến về thì đường cong càng gần đường t c