Chuyên đề ôn thi Đại học môn Toánnăm 2013 Hệ phương trình ths hoàng huy sơn

HỆ PHƯƠNG TRÌNH 1. Hệ gồm một phương trình bậc nhất và một phương trình bậc hai hai ẩn Hệ phương trình có d ạng 2 2 0 0 Ax By C ax bxy cy dx ey f                 Phương pháp giải. Sử dụng phương pháp thế: Rút x hoặc y từ phương trình bậc nhất rồi thay vào phương trình bậc hai trong hệ, ta được một phương trình một ẩn. Giải phương trình một ẩn này, sau đó tìm ẩn còn lại. 2. Hệ phương trình đối xứng 2.1. Hệ phương trình đối xứng loại I Ta qui ước gọi một hệ hai phương trình chứa hai ẩn , x y là hệ phương trình đối xứng loại I, nếu ta thay thế x bởi y và y bởi x thì mỗi phương trình của hệ không thay đổi. Phương pháp giải. · Đặt , S x y P xy    đưa hệ phương trình về hệ phương trình ẩn S và . P · Tìm , , S P khi đó , x y là nghiệm của phương trình: 2 0, X SX P    chú ý phải có điều kiện 2 4 0. S P   Một số hằng đẳng thức: a) 2 2 2 2 . x y S P    b) 3 3 3 3 . x y S PS    c)   2 4 4 2 2 2 2 . x y S P P     d)   2 2 4

Chun đề ơn thi Đại học mơn Tốn năm 2013 Hệ Phương Trình HỆ PHƯƠNG TRÌNH Hệ gồm phương trình bậc phương trình bậc hai hai ẩn Hệ phương trình có dạng Ax  By  C     ax  bxy  cy  dx  ey  f     Phương pháp giải Sử dụng phương pháp thế: Rút x y từ phương trình bậc thay vào phương trình bậc hai hệ, ta phương trình ẩn Giải phương trình ẩn này, sau tìm ẩn cịn lại Hệ phương trình đối xứng 2.1 Hệ phương trình đối xứng loại I Ta qui ước gọi hệ hai phương trình chứa hai ẩn x, y hệ phương trình đối xứng loại I, ta thay x y y x phương trình hệ khơng thay đổi Phương pháp giải · Đặt S  x  y, P  xy đưa hệ phương trình hệ phương trình ẩn S P · Tìm S , P, x, y nghiệm phương trình: X  SX  P  0, ý phải có điều kiện S  4P  Một số đẳng thức: a) x  y  S  2P  c) x  y  S  2P b) x  y  S  3PS   2P d) x  y   S  4P 2.2 Hệ phương trình đối xứng loại II Ta qui ước gọi hệ hai phương trình chứa hai ẩn x , y hệ phương trình đối xứng loại II, hốn đổi vai trị x, y cho phương trình chuyển thành phương trình Phương pháp giải · Trừ vế phương trình cho ta phương trình mới, đưa phương trình phương trình tích · Ứng với trường hợp xảy ra, kết hợp với hai phương trình hệ để có hệ phương trình con, giải hệ phương trình · Tổng hợp nghiệm Chú ý: Một số phép biến đổi hay dùng giải hệ phương trình là: Phân tích thành nhân tử đặt ẩn phụ VÍ DỤ MINH HỌA x 2y  7x  21y  18 (1)  Ví dụ 1: Giải hệ phương trình:  Hệ cho tương đương với  xy  xy  3y  (2)    x 2y  7x  21y  18  18  Trường hợp y  0, thay vào hệ phương trình ta x  Vậy, hệ  y xy  x  3y      18 phương trình cho nhận ( ; 0) làm nghiệm Trường hợp xy  x  3y   xy  x  3y Thay xy  x  3y vào phương trình (1) ta x  3y  9 2 x  3y   7x  21y  18  x  3y   7(x  3y )  18   x  3y   Ths.Hồng Huy Sơn Chun đề ơn thi Đại học mơn Tốn năm 2013 Hệ Phương Trình   18   1     , 1  7; 1     Giải trường hợp ta nghiệm  ; 0, 1  7;       7   3        x  xy  y  3(x  y )  Ví dụ 2: Giải hệ phương trình:  Đặt x  X , y   , hệ phương trình Y  x  xy  y  7(x  y )2    2 X  XY  Y  3(X  Y )  cho trở thành  Đây hệ phương trình đối xứng loại I hai ẩn  X  XY  Y  7(X  Y )2    X ,Y Đặt S  X  Y , P  XY , điều kiện S  4P  Ta có hệ phương trình S  P  3S S  2S  3S  S  S  S  S                 S  3P  7S P  2S P  2S P  P  2              S  X  Y    ·   X  Y  0, x  y    P  XY      S  X  Y  X  X  1     ·    ,     P  2 XY  2 Y  1 Y          x  x  1       y  y  2     Vậy, hệ phương trình cho có ba nghiệm (0; 0);(2;1);(1; 2) x  3x  9x  22  y  3y  9y   Ví dụ tương tự: (Khối A  2012) Giải hệ phương trình:   x  y  x  y      3 2 t  y  3t  3y  9(t  y )  22   Đặt t  x Hệ trở thành  Đặt S  t  y, P  t y Điều kiện  t  y  t  y      S  4P  S  3PS  3(S  2P )  9S  22 S  3PS  3(S  2P )  9S  22      Hệ trở thành    S  2P  S  P  (S  S  )     2     2S  6S  45S  82      P     3         Vậy, nghiệm hệ cho  ;   ;  ;   2  2   P  (S  S  ) S  2 2        2    x  3x  9x  22  y  3y  9y x  3x  9x  22  y  3y  9y      Cách khác:    x  y  x  y  (x  )2  (y  )2  1(*)     2     1 Đặt u  x  , v  y  Từ phương trình (*) suy u  1, v  2 Ths.Hoàng Huy Sơn Chuyên đề ôn thi Đại học môn Tốn năm 2013 Hệ Phương Trình  3 45  u  u  u  (v  1)3  (v  1)2  45 (v  1)  f (u )  f (v  1)(1)  Hệ cho trở thành     4 u  v  u  v  (2)       45 45 Trong f (t )  t  t  t Ta có f (t )  3t  3t   với t thỏa t  Từ ta 4 có (1)  f (u )  f (v  1)  u  v  Thay vào (2) ta   v  v  1    3      Từ hệ cho có nghiệm  ;   ;  ;       2   u  u  2 2       Chú ý: Trong cách giải sử dụng mệnh đề: Nếu hàm số f tăng (giảm) khoảng (a;b ) từ f (u )  f (v ) suy u  v, với u, v  (a; b )   x  y  xy  Ví dụ 3: Giải hệ phương trình:    x  y  xy        x  y  185 x  y  65 Đặt S  x  y ; P  xy ; S  4P     S  P S  2P  185  S  2P    Hệ phương trình cho trở thành     S  3P S  2P  65  S  3P       theo vế hai phương trình với nhau)         S  2P  25  S  2P  125          S  2P  P  S  3P S  2P  65               S  2P  125 S  2P  65 (cộng S  7    P  12 S  2P  65   Từ nghiệm hệ (3; 4),(3; 4),(4; 3),(4; 3) y  x  4x  7x (1)  Ví dụ 4: Giải hệ phương trình:  Đây hệ phương trình đối xứng loại II  x  y  4y  7y (2)    Trừ (1) cho (2) theo vế ta x  y  3(x  y )  7(x  y )   (x  y ) x  (y  3)x  y  3y      Trường hợp x  y  0, nghiệm hệ (0; 0) Trường hợp x  (y  3)x  y  3y   0, hệ vơ nghiệm   3y  6y  17  Chú ý: Có thể lập luận hệ phương trình khơng có nghiệm x  y sau: Trừ (1) cho (2) vế theo vế ta được: y  3y  7y  x  3x  7x  f (y )  f (x )(*), f (t )  t  3t  7t Ta có f (t )  3t  6t   0, t   Do đó, hàm số f (t ) ln ln tăng tồn  Vì vậy, (*)  x  y Với x  y, (1) trở thành x  5x  7x   x  Vậy, hệ phương trình có nghiệm (0; 0) Ths.Hồng Huy Sơn Chun đề ơn thi Đại học mơn Tốn năm 2013   Hệ Phương Trình        x  y2   y x     Ví dụ 5: Giải hệ phương trình:  Ta có  y  1 x   x y              x  y2   y x2  xy  6x  y   yx  y(1)        Trừ (1) cho (2) theo vế phân  2 y  1 x   x y  yx  6y  x   xy  x (2)       tích thành nhân tử ta x  y x  y  2xy    Trường hợp x  y ta nghiệm 2;2, 3; 3 Trường hợp x  y  2xy   kết hợp với cộng theo vế (1) (2) ta x  y  2xy     Đây hệ đối xứng loại I, hệ có nghiệm 2; 3, 3;2  x  y  5x  5y  12     Chú ý: Trong cách giải sử dụng phép biến đổi tương đương hệ phương trình: A  B A  C  B  D       C  D A  C  B  D       x 3 2 x  3 y  Ví dụ 6: Giải hệ phương trình:    y 3 2 y  3 x    Trừ theo vế hai phương trình cho ta được: Điều kiện: x  0, y  x   y   y  x (*) Bằng cách nhân lượng liên hợp, ta đưa (*) phương trình tích giải ví dụ Tuy nhiên ta trình bày cách giải khác sau: (*)  x   x  y   y Xét hàm số đặc trưng: f (t )  t   t  Tập xác định hàm số f (t ) D  [0; ) f (t )  t t2   t  0, t  D  hàm số đồng biến Vậy, ta có x   x  y   y  x  y Với x  y, hệ phương trình trở thành  x  y x  y       x 3 2 x  3 y  x   x  (**)       Ta giải (**) sau: Hàm số y  x   x có y   x   với x  nên x x 3 đồng biến D  [0; ) Vì (**) có nhiều nghiệm, thử x  thỏa phương trình Vậy, hệ phương trình có nghiệm (1;1) Chú ý: Trong cách giải sử dụng mệnh đề: Cho phương trình f (x )  k (1), k số Nếu hàm số f tăng (giảm) khoảng (a;b ) phương trình (1) có nhiều nghiệm khoảng (a;b) Ths.Hoàng Huy Sơn Chuyên đề ôn thi Đại học môn Toán năm 2013 Hệ Phương Trình x  x 2y  xy  6y  0(1)  Ví dụ 7: Giải hệ phương trình:  Do y  khơng nghiệm nên chia  4xy  6xy  3x   0(2)    x x3 x2 x vế phương trình (1) cho y ta     Đặt t  , ta phương trình theo y y y y biến t : t  t  t    t   x  2y Thay vào phương trình (2): 8y  12y  6y    y   x  Chú ý: Phương trình x  x 2y  xy  6y  có vế trái đa thức đẳng cấp bậc biến x y, chia vế cho y  phương trình cho trở thành phương trình bậc ba ẩn t  x y x  2x 2y  4xy  8y  0(1)  Ví dụ 8: Giải hệ phương trình:   x  3xy  y  11  0(2)    Có thể giải phương pháp ví dụ 7, nhiên ta trình bày cách khác sau: Biến đổi (1) phương trình tích:   x  2x 2y  4xy  8y   x  2y   2xy x  2y    x  2y  x  4xy  4y   x  2y x  2y    x  2y  x  2y Từ hệ có nghiệm 2;1, 2; 1 5x y  4xy  3y  2(x  y )  (1)  Ví dụ 9: (Khối A  2011) Giải hệ phương trình:   xy(x  y )   (x  y )2 (2)    (2)  xy(x  y )   x  y  2xy  (x  y )(xy  1)  2(xy  1)  xy   (xy  1)(x  y  2)    2 x  y     5x y  4xy  3y  2(x  y )  x  x  1   TH1 :      xy  y  y  1        5x y  4xy  3y  2(x  y )   TH2 :   x  y       x  x y  x  y  x           y  y x  y         Ths.Hoàng Huy Sơn 5x y  4xy  3y  (x  y )(x  y )     x  y         x  2 x   2      1            1 y  y         5     Chun đề ơn thi Đại học mơn Tốn năm 2013 Hệ Phương Trình 8x 3y  27  18y  Ví dụ 10: Giải hệ phương trình:  (I) Do y  không nghiệm nên chia vế  4x y  6x  y       3  (2x )     18     y      phương trình cho y , y  ta  (II )  3 2x 2x         y   y     u  v   Đặt u  2x ; v  (II )   Từ tìm nghiệm:  uv  y   3     3    ,    ; ;           5  3 5   4x 2y  6xy  3y  9  3 Ví dụ tương tự: Giải hệ phương trình:  Đặt u  2x , v  Hệ có  6x y  y  9x  y     3     nghiệm:  ;  , 1; 3,  ; 3      2       xy  x  y  x  2y   Ví dụ 11: (Khối D  2008) Giải hệ phương trình:  (I ) Điều kiện:  x 2y  y x   2x  2y    x (y  1)  y(y  1)  (x  y )(x  y ) (y  1)(x  y )  (x  y )(x  y ) x       (*) (I )      y  x 2y  y x   2x  2y x 2y  y x   2x  2y          x  y    (x  y )(2y  x  1)       x  2y     x 2y  y x   2x  2y      x 2y  y x   2x  2y    Do điều kiện (*) nên ta loại trường hợp x  y  Giải trường hợp x  2y  ta nghiệm (5; 2) xy  x   0(1)  Ví dụ tương tự: Giải hệ phương trình:   2x  x 2y  x  y  2xy  y  0(2)   x   Biến đổi (2) phương trình tích x  y 2x  y  1  Từ hệ có nghiệm là:  hay  y        x  1  x  1     hay    2   y  y          Ths.Hoàng Huy Sơn  Chun đề ơn thi Đại học mơn Tốn năm 2013 Hệ Phương Trình y  xy  6x  Ví dụ 12: Giải hệ phương trình:  Vì x  khơng thỏa hệ phương trình nên chia hai  1  x 2y  5x    vế phương trình hệ cho x  ta y y    y 6  (  y)    y x  x x x Đặt u  ; v   y, ta hệ phương trình   1  x x   y2  (  y )2  y    x x x     1    uv  u    y  u  v           x   v  2u   v  y  v  5v  12    2        x   1 1     x  x   1  2     x  x     Vậy, hệ phương trình cho có hai nghiệm (1;2);( ;1) y  y  y  y             x  y   Ví dụ 13: Giải hệ phương trình:  (I )  x y  2xy  y        x  y x  xy  y  x  y  x  xy  y       x  xy  y   (I )      2 y x  2xy  y  y x  y   2 y x  y            x  y  x  xy  y  xy  y  2x  2xy  2y  xy  y   x  y 2x  y     2x  y 3 4    + Trường hợp x  y, ta nghiệm hệ phương trình  ;     2        3 23     + Trường hợp 2x  y, nghiệm hệ phương trình  ;     3     Chú ý: Trong cách giải sử dụng phép biến đổi tương đương hệ phương trình: A B  A  B   ,(C , D  0)     C  D C  D C  D      x  y  x  y  Ví dụ 14: Giải hệ phương trình:  (I )  x  y  x  y    + Xét trường hợp x  Ths.Hoàng Huy Sơn Chuyên đề ôn thi Đại học môn Toán năm 2013    y  y y y       (I ) trở thành   y  y y y  1        Hệ Phương Trình y   y  1 Như vậy, nghiệm hệ 0; 0, 0; 1  + Xét trường hợp x  Nhân hai vế phương trình thứ hai hệ (I ) với x ta hệ x  y  x  y x  y  x  y x  y  x  y          x  xy  x  xy y  xy  y  xy y  xy  y  xy           3 x  y  x  y    y y  1x  y  1     Xét trường hợp, ta hệ phương trình cho có bốn nghiệm 0; 0, 0; 1, 1; 0, 1; 1 x  x  x 2y  y  2 (1)  Ví dụ 15: Giải hệ phương trình:   x y  y  x  (2)    Hệ tương đương với x (x  1)  y(x  1)  2 (x  1)(x  y )  2   x y 3x       y   2 y(x  1)  (x  1)  (x  1)(y  1)  6(2) y 1       Thay vào (2) ta x  x  x    x   y  Vậy, hệ có nghiệm (1;2)  x 3  y 2    Ví dụ 16: Giải hệ phương trình:  Đặt  x  y  xy  2x  3y      Khi hệ phương trình cho trở thành u  x     u  0, v   v  y     u  v  u  v  u  v  u  u                  u  v  uv  (u  v )2  3uv  uv  v  v              Giải hệ ta hai nghiệm (4;2),(7; 1) 2y(x  y )  3x  Ví dụ 17: Giải hệ phương trình:  Nhận xét: (0; 0) nghiệm hệ phương trình Ta  x (x  y )  10y    xét nghiệm (x ; y ), x  0, y  nhận thấy xy  Chia theo vế hai phương trình hệ cho 2  y        y   2      x      2   x   2y(x  y ) 3x    Đặt t   y  , t  0, ta có phương trình ẩn t,   ta      x  10y 10 x (x  y )    y 2  1    x     y x  2y t  ( )      x 4 20t  7t     x  y 15 t  ( y )2    x  5   Ths.Hoàng Huy Sơn Chuyên đề ôn thi Đại học môn Tốn năm 2013 Hệ Phương Trình Trường hợp 1: x  2y  y  1, ta nghiệm (2;1),(2; 1) y 15  y2  135, ta nghiệm 1    375; 135  ,  375;  135       2   2    Trường hợp 2: x  x  x 3y  x 2y   Ví dụ 18: Giải hệ phương trình:  (I )  x y  x  xy  1      x  xy  x 3y   Ta có (I )   Đặt  x y  x  xy  1        u  x  xy   , ta có hệ phương trình  v  x 3y     u    u  v  u  u   u  u  2           Giải trường hợp ta    u  2     v  u  1 v  u   v  v  3   v  u             nghiệm (1;0); (  1;0) (x  1)  y(y  x )  4y  Ví dụ 19: Giải hệ phương trình:  Hệ cho tương đương với  (x  1)y(y  x  2)  y     x   y y  x   2y u  v  2y       Đặt u  x  v  y(y  x  2), hệ trở thành  theo    x  y y  x  2  y uv  y       định lý Viet u, v nghiệm phương trình bậc hai: X  2yX  y   X  y Từ ta có x   y x   y x  x  2             y(y  x  2)  y y   x y  y                y  xy  x  6y    Ví dụ 20: Giải hệ phương trình:  (I ) Cùng phương pháp giải ví  y x  8y  x 2y  x     dụ 19 ta có: (xy  1)  (x  y )  6y xy   3y x      (I )       2 (xy  1)(x  y )  9y x  y  3y y          (2x  y )2  5(4x  y )  6(2x  y )2  0(*)    Ví dụ 21: Giải hệ phương trình:  Điều kiện:  2x  y     2x  y    2x  y    2x  y     2x  y  0, chia hai vế (*) cho (2x  y )  0, ta     2x  y  2x  y  Ths.Hồng Huy Sơn Chun đề ơn thi Đại học mơn Tốn năm 2013 Đặt t  Hệ Phương Trình 2x  y , ta phương trình t  5t    2x  y t   t        2x  y  2x  y  2x  y     x  x          2x  y     · t  2, ta có         1  2  1 (2x  y )  2x  y  2x  y y  y  2            2x  y          2x  y     2x  y · t  3, hệ phương trình trở thành  Trường hợp hệ phương trình vơ nghiệm   (2x  y )    2x  y   3x  3y  y  x xy  8  Ví dụ 22: Giải hệ phương trình:  Thế phương trình thứ vào phương  x  y     3x  3y  y  x  xy  x  y 3x  x  3y  y 3(*)  f (x )  f (y )    trình đầu ta       x  y  x  y  x  y          t Trong hàm đặc trưng f (t )   t hàm tăng tồn    f (t )  3t ln  3t  0, t   Vì từ (*) suy x  y Giải hệ ta hai nghiệm 2;2, 2; 2 (4x  1)x  (y  3)  2y  0(1)   Ví dụ 23: (Khối A  2010) Giải hệ phương trình:  Điều kiện:  4x  y   4x  (2)    x  ; y  (1)  (4x  1).2x  (5  2y  1)  2y  f (2x )  f (  2y ) với 2 f (t )  (t  1)t, hàm số đồng biến f (t )  3t   0, t   Do  4x ; x  Thay vào (2) ta 4x  (  2x )2   4x   0(3), với  x  (1)  2x   2y  y  Nhận thấy x  0; x  khơng thỏa phương trình, ta xét khoảng  3 0;      4   Hàm số g(x )  4x  (  2x )2   4x  có g (x )  4x (4x  3)   Mặt  4x 1 khác g    nên x  nghiệm (3) từ y  Vậy, hệ cho có nghiệm    2   1    ; 2   2    Ths.Hoàng Huy Sơn 10 Chun đề ơn thi Đại học mơn Tốn năm 2013 Hệ Phương Trình 3x  2xy  2y  3x  2y  0(1)  Ví dụ 24: Giải hệ phương trình:  Nhân hai vế (1) với trừ  5x  2xy  5y  3x  3y  2(2)    2x  y  vế theo vế ta được: (2x  y )2  3(2x  y )     2x  y  3 + Với 2x  y  vào (1) ta được: (x ; y )  (0;1);(x ; y)  ( ; ) 7 + Với 2x  y  vào (1) ta được: (x ; y )  (1; 0);(x ; y )  ( ; ) 7 3 Kết luận: Hệ có nghiệm: (0;1),( ; ) , (1; 0),( ; ) 7 7 BÀI TẬP Giải hệ phương trình x  1y  1x  y  2    1)  ĐS: 2; 3, 3;2 x  y  2x  2y   0;     x  y  xy   4y  2)  HD: Chia vế cho y ĐS: 1;2, 2;5  y(x  y )2  2x  7y       x  y  2xy   x y 3)  HD: phân tích phương trình (1) thành nhân tử ĐS: 1; 0, 2; 3    x  y  x y      2x  x    4)  HD: Chia vế (2) cho y Đặt u  x , v  y   y y  y 2x  2y  2    ĐS: (1;1),(1; 1),(       3  ; ),( ; ) 2 2  x  y 2   5)  HD: Bình phương vế phương trình trừ theo vế ĐS:   x   y   4;    1;1 x  y  xy    6) (Khối A  2006)    x   y        x  6y  y   7)  HD: Bình phương vế phương trình ĐS: 5; 4   x  y  x  y  4;     x 1  y 1    8)  ĐS: 2; 5, 5;2  x  y  (x  1)(y  1)  5;    Ths.Hồng Huy Sơn 11 Chun đề ơn thi Đại học mơn Tốn năm 2013 Hệ Phương Trình  x  y  3x  2y  1   9)  ĐS: (1; 3)   x  y  x  y  0;    x  xy  12  10   10   10 10     ,   10)  ĐS:  ; ;       y  xy  28;  5  5         x x  y  1      3   11) (Khối D  2009)  HD: Đặt t  x x  y  ĐS: 2;  , 1;1     x  y   2   0;    x    3x  2xy  y  2x  2y   12)   x y   y 3x   x  y;    HD: Biến đổi phương trình thứ hệ phương trình tích ĐS: ( ; 4) x  y  3x  4y   13)  HD: Đặt u  x  3x , v  y  4y  3x  2y  9x  8y  3;      13    13    13        13     ĐS:  ; 0,  ; 0,  ; 4,  ; 4           2           xy  3x  2y  16  14)  HD: Nhân vế phương thứ với 2, cộng theo vế hai  x  y  2x  4y  33;       phương trình, đặt t  x  y ĐS: 3  ; 2  , 3  3; 2    (x  y )(2  )    xy 15)    (x  y )(2  )    xy   ;  1    1    ĐS: 2;1, 2;  ,  ;1,  ;               2   x  y   1  y  x  16)  HD: Đặt u  x  y; v   xy ĐS: 9; , 4;9 xy   x xy  y xy  78;     2 2x  y   2x  y  17)  HD: Đặt t  2x  y  ĐS: 1; 1, 3;  x  2xy  y  2;    1  xy  xy  x    18)  HD: Đặt u  ; v  y ĐS: 1; 0   y y   y; x  x x x   3 27x y  7y   2 19)  HD: Chia phương trình cho y 3, y Đặt u  3x, v   9x y  y  6x ; y    Ths.Hồng Huy Sơn 12 Chun đề ơn thi Đại học mơn Tốn năm 2013 Hệ Phương Trình x  2x 3y  x 2y  2x   20) (Khối B  2008)   x  2xy  6x  6;      x  y  x 3y  xy  xy    21) (Khối A  2008)    x  y  xy 1  2x    ;    xy  x   7y  22) (Khối B  2009)  2  x y  xy   13y ;     1 x HD: Đặt u  x  , v  , y  ĐS: 1; , 3;1     3 y y   An Giang, ngày 15 tháng 02 năm 2013 Mọi góp ý xin gửi theo địa chỉ:hhson@agu.edu.vn Ths.Hoàng Huy Sơn 13 ...  Vậy, hệ phương trình có nghiệm (0; 0) Ths. Hoàng Huy Sơn Chuyên đề ôn thi Đại học môn Toán năm 2013   Hệ Phương Trình        x  y2   y x     Ví dụ 5: Giải hệ phương trình: ...          Ths. Hoàng Huy Sơn  Chuyên đề ôn thi Đại học mơn Tốn năm 2013 Hệ Phương Trình y  xy  6x  Ví dụ 12: Giải hệ phương trình:  Vì x  khơng thỏa hệ phương trình nên chia hai...  ĐS: 2; 5, 5;2  x  y  (x  1)(y  1)  5;    Ths. Hoàng Huy Sơn 11 Chuyên đề ôn thi Đại học môn Toán năm 2013 Hệ Phương Trình  x  y  3x  2y  1   9)  ĐS: (1; 3)   x  y