Tích phân bội ba

Hồ Chí MinhBộ môn Toán Ứng dụng--- Giải tích hàm nhiều biến Chương 4: Tích phân bội ba • Giảng viên Ts... Định nghĩa, cách tính tích phân kép ---Tính chất của tích phân bội ba 1 Hàm li

Trường Đại học Bách khoa tp Hồ Chí Minh

Bộ môn Toán Ứng dụng -

Giải tích hàm nhiều biến

Chương 4: Tích phân bội ba

• Giảng viên Ts Đặng Văn Vinh (4/2008)

dangvvinh@hcmut.edu.vn

I Định nghĩa, cách tính tích phân bội ba

-( , , )

f xác định trên vật thể đóng, bị chặn E f x y z

Chia E một cách tùy ý ra thành n khối nhỏ: E E1, 2, , E n.

Thể tích tương ứng mỗi khối V E V E( ), (1 2), , (V E n)

Trên mỗi khối lấy tuỳ ý một điểm E i M x y z i( , , ).i i i

I Định nghĩa, cách tính tích phân kép

-Tính chất của tích phân bội ba

1) Hàm liên tục trên một khối đóng, bị chặn, có biên là mặt trơn tùng khúc thì khả tích trên miền này

2 2

2 2

2 2

x y

x y

z z

x OAB

1 0

x OAB

2

x OAB

( 1)

x D

z M được xác định duy nhất bởi bộ ( , , )r  z

( , , )r  z được gọi là tọa độ trụ của điểm M

Công thức đổi biến từ tọa độ Decasters sang tọa độ trụ:

cossin

II Toạ độ cầu

z M được xác định duy nhất bởi bộ ( , , )  

( , , )   được gọi là tọa độ cầu của điểm M

Công thức đổi biến sang tọa độ cầu:

sin cossin sincos

x y z

II Toạ độ cầu

x y z

x y z

x y z

Cách 2

Xác định cận:

sin cossin sincos

1

x y

x y z

x y z

Đổi biến sang tọa độ cầu:

Đổi biến sang tọa độ trụ:

I 

z

x

y

III Ứng dụng hình học của tích phân bội ba

-Từ định nghĩa tích phân bội ba ta có công thức tính thể tích vật thể E:

Có thể sử dụng tích phân kép để tính thể tích vật thể

Tuy nhiên trong một số trường hợp sử dụng tích phân bội ba tính nhanh hơn,

vì tích phân bội ba có cách đổi sang tọa độ trụ hoặc tọa độ cầu

1

E

E

V  dxdydz

x

z

Sử dụng tọa độ trụ

cossin

z

y

Sử dụng tọa độ cầu tính phức tạp hơn nhiều

dx dy  dz



   

Bài tập

Bài tập