Tích phân bội ba

Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh Bộ môn Toán Ứng dụng Giải tích hàm nhiều biến Chương 4: Tích phân bội ba • Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (4/2008) dangvvinh@hcmut.edu.vn Nội dung 0.2 – Tọa độ trụ 0.3 – Tọa độ cầu 0.1 – Định nghĩa, cách tính tích phân bội ba 0.5 – Ứng dụng cơ học 0.4 – Ứng dụng hình học I. Định nghĩa, cách tính tích phân bội ba ( , , )f f x y z= xác định trên vật thể đóng, bị chặn E Chia E một cách tùy ý ra thành n khối nhỏ: 1 2 , , , . n E E E Thể tích tương ứng mỗi khối 1 2 ( ), ( ), , ( ). n V E V E V E Trên mỗi khối lấy tuỳ ý một điểm ( , , ). i i i i M x y z i E Lập tổng Riemann: 1 ( ) ( ) n n i i i I f M V E = = × ∑ , không phụ thuộc cách chia E, và cách lấy điểm M i lim n n I I →+∞ = được gọi là tích phân bội ba của f=f(x,y,z) trên khối E. ( , , ) E I f x y z dxdydz= ∫∫∫ I. Định nghĩa, cách tính tích phân kép Tính chất của tích phân bội ba 1) Hàm liên tục trên một khối đóng, bị chặn, có biên là mặt trơn tùng khúc thì khả tích trên miền này. 3) ( , , ) ( , , ) E E f x y z dxdydz f x y z dxdydz α α × = ∫∫∫ ∫∫∫ 2) E E V dxdydz = ∫∫∫ 4) ( ) E E E f g dxdydz f dxdydz gdxdydz+ = + ∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫ 5) Nếu E được chia làm hai khối E 1 và E 2 không dẫm lên nhau: 1 2 E E E fdxdydz fdxdydz fdxdydz= + ∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫ 6) ( , , ) , ( , , ) ( , , ) E E x y z E f x y z g x y z f g∀ ∈ ≤ ⇒ ≤ ∫∫∫ ∫∫∫ Định lý (Fubini) ( , , ) E I f x y z dxdydz= ∫∫∫ Phân tích khối E: Chọn mặt chiếu là x0y. Mặt phía trên: 2 ( , )z z x y= 1 ( , )z z x y= Mặt phía dưới: Hình chiếu: Hình chiếu: D 2 1 ( , ) ( , ) ( , , ) z x y D z x y f x y z dz dxdy   = ∫∫ ∫     ( , , ) E I f x y z dxdydz= ∫∫∫ 2 ( , )z z x y= 1 ( , )z z x y= 0 Pr xy E D= Ví dụ Tính tích phân bội ba trong đó E là vật thể giới hạn bởi ( ) E I x z dxdydz= + ∫∫∫ Hình chiếu của E xuống 0xy: Mặt phía dưới: 2 2 2 2 1, 2 , 0x y z x y z+ = = − − = 2 2 : 1D x y+ ≤ Mặt phía trên: 2 2 2 ( , ) 2z x y x y= − − 0z = 2 2 2 2 2 0 1 ( ) x y x y I x z dz dxdy − − + ≤   = +   ∫∫ ∫     2 2 2 2 2 2 1 0 2 x y x y z zI x dxdy − − + ≤   = + ∫∫     2 2 2 2 2 2 2 1 (2 ) (2 ) 2 x y x y I x x y dxdy + ≤   − − = − − + ∫∫  ÷   2 2 2 2 2 1 (2 ) 2 x y x y I dxdy + ≤ − − = ∫∫ Đổi sang tọa độ cực. ( ) 2 2 2 1 0 0 2 2 r I d r dr π ϕ − = × × ∫ ∫ 7 6 π = Ví dụ Tính tích phân bội ba trong đó E là vật thể giới hạn bởi E I zdxdydz= ∫∫∫ Hình chiếu của E xuống 0xy: Mặt phía dưới: 2 1 , 1y x z x= − = − Mặt phía trên: 2 2 ( , ) 1z x y x= − 0z = 2 1 0 x OAB I zdz dxdy − ∆   = ∫∫ ∫     và các mặt phẳng tọa độ, (phần ) 0z ≥ Tam giác OAB A B 2 1 0 x OAB I zdz dxdy − ∆   = ∫∫ ∫     ( ) 2 2 1 1 0 0 1 2 x x I dx dy − − = ∫ ∫ 11 60 = A O B 2 1 2 0 2 x OAB z I dxdy − ∆     = ∫∫     ( ) 2 2 1 2 OAB x I dxdy ∆ − = ∫∫ Ví dụ Tính tích phân trong đó E là vật thể giới hạn bởi (2 3 ) E I x y dxdydz= + ∫∫∫ Hình chiếu của E xuống 0xy: Mặt phía dưới: , 1 , 0, 0.y x z y x z= = − = = Mặt phía trên: 1z y= − 0z = [...]... hình học của tích phân bội ba Từ định nghĩa tích phân bội ba ta có công thức tính thể tích vật thể E: VE = ∫∫∫1dxdydz E Có thể sử dụng tích phân kép để tính thể tích vật thể Tuy nhiên trong một số trường hợp sử dụng tích phân bội ba tính nhanh hơn, vì tích phân bội ba có cách đổi sang tọa độ trụ hoặc tọa độ cầu Ví dụ Tính thể tích vật thể... Tính tích phân I = ∫∫∫ x 2 + y 2 + z 2 dxdydz trong đó E là vật thể giới hạn bởi E z ≥ x 2 + y 2 , x 2 + y 2 + z 2 ≤ z  x = ρ ×sin θ ×cos ϕ Đổi sang tọa độ cầu:  y = ρ ×sin θ ×sin ϕ   z = ρ ×cos θ  Xác định cận: 0 ≤ θ ≤ π 4 0 ≤ ϕ ≤ 2π 0 ≤ ρ ≤ cosθ 1 2 I = ∫ dθ ∫ dϕ ∫ ρ ×ρ sin θ ×d ρ =  − ÷π 0 0 0  10 80  π /4 2π cosθ 2 Ví dụ I = ∫∫∫ zdxdydz trong đó E là vật thể giới hạn bởi Tính tích phân. .. cosθ ) ×ρ 2 sin θ ×d ρ Ví dụ Tính tích phân I = ∫∫∫ e( x 2 + y 2 + z 2 )3/ 2 dxdydz trong đó E là vật thể giới hạn bởi E y = 0, x 2 + y 2 + z 2 = 1 ( y ≤ 0) z  x = ρ ×sin θ ×cos ϕ Đổi sang tọa độ cầu:   y = ρ ×sin θ ×sin ϕ  z = ρ ×cos θ  Xác định cận: 0 ≤ θ ≤ π y π ≤ ϕ ≤ 2π 0 ≤ ρ ≤1 π 2π 1 0 π 0 I = ∫ dθ ∫ dϕ ∫ e ρ3 e −1 ×ρ sin θ ×d ρ = 2π 3 2 x Ví dụ Tính tích phân I = ∫∫∫ zdxdydz trong đó E là... Ví dụ Tính tích phân I = ∫∫∫ x 2 + y 2 dxdydz trong đó E là vật thể giới hạn bởi E z = 4, z = 1 − x 2 − y 2 , x 2 + y 2 = 1 Mặt phía trên: z = 4 Mặt phía dưới: z = 1− r2 D : x2 + y 2 ≤ 1 Hình chiếu xuống 0xy: 2π 0 ≤ ϕ ≤ 2π D:  0 ≤ r ≤1 1 4 0 1− r 2 I = ∫ dϕ ∫ dr ∫ r ×r ×dz 0 2π  r 2 z 4  = 2π dϕ 1 r 2 (3 + r 2 ) dr 12π I = ∫ dϕ ∫ dr ∫ ∫ =  1−r 2  0   0 0 0 5 1 ( ) Ví dụ Tính tích phân I = ∫∫∫... 7 2 V= π− π 3 3 Sử dụng tích phân kép, tính toán rất phức tạp!! Ví dụ Tính thể tích vật thể E được giới hạn bởi x 2 + y 2 = 2 x; x + z = 3, x − z = 3 V = ∫∫∫ dxdydz  x = r cos ϕ  Sử dụng tọa độ trụ  y = r sin ϕ  z=z −π π  ≤ϕ ≤ 2 2 E z 0 ≤ r ≤ 2cos ϕ x r cos ϕ − 3 ≤ z ≤ 3 − r cos ϕ π /2 2 cosϕ 3− r cos ϕ −π / 2 0 r cos ϕ −3 V = ∫ dϕ ∫ dr V = 4π ∫ r ×dz y Ví dụ Tính thể tích vật thể E được giới... z = 2 + r 2 2 Mặt phía dưới: z = r Hình chiếu của E xuống 0xy: D : x2 + y 2 ≤ 1 Cận của D: 0 ≤ ϕ ≤ 2π D:  0 ≤ r ≤1 2π 1 2+ r 0 0 2 r 2π 1 0 0 I = ∫ dϕ ∫ dr ∫ z ×r ×dz = ∫ dϕ ∫ r 2 Ví dụ ( ) Tính tích phân I = ∫∫∫ x 2 + z 2 dxdydz E 2+ r 2 2 z 2 dr = 3π r2 trong đó E: 2 y = x 2 + z 2 , y = 2 Chiếu xuống x0z Mặt trên: y = 2 r2 Mặt dưới: y = 2 Hình chiếu: D : x 2 + z 2 ≤ 4 2π 2 2 0 0 r2 / 2 I = ∫ dϕ... về đây  x = ρ ×sin θ ×cos ϕ   y = ρ ×sin θ ×sin ϕ  z − 1 = ρ ×cos θ  π ≤θ ≤π 2 0 ≤ ϕ ≤ 2π Xác định cận: 0 ≤ ρ ≤1 π 2π 1 π /2 0 0 I = ∫ dθ ∫ dϕ ∫ (1 + ρ cos θ ) ×ρ 2 sin θ ×d ρ Ví dụ I = ∫∫∫ Tính tích phân E 1 x2 + y 2 dxdydz trong đó E là vật thể giới hạn bởi z = 0, x 2 + y 2 + z 2 = 4, x 2 + y 2 ≤ 1 ( z ≥ 0) Sử dụng tọa độ cầu công việc tính toán phức tạp hơn nhiều  x = r cos ϕ  Đổi sang tọa...1− y  I = ∫∫  ∫ ( 2 x + 3 y ) dz dxdy D 0  (2 x + 3 y ) z 1− y dxdy I = ∫∫ 0  D I = ∫∫ ( ( 2 x + 3 y ) (1 − y ) ) dxdy D 1 1 0 x I = ∫ dx ∫ 11 I= 60 ( ( 2 x + 3 y ) (1 − y) ) dy Ví dụ Tính tích phân I = ∫∫∫ ( z + 1)dxdydz trong đó E là vật thể giới hạn bởi E x = y 2 , z = x, z = 0, x = 1 Mặt phía trên: z=x Mặt phía dưới: z = 0 Hình chiếu của E xuống 0xy: x  I = ∫∫  ∫ ( z + 1)dz dxdy D... ×sin θ ×cos ϕ Đổi sang tọa độ cầu:   y = ρ ×sin θ ×sin ϕ  z = ρ ×cos θ  3π ≤θ ≤π 4 0 ≤ ϕ ≤ 2π Xác định cận: 0 ≤ ρ ≤1 y x π I = ∫ dθ ∫ dϕ ∫ ρ cosθ ×ρ sin θ ×d ρ = − 8 3π / 4 0 0 π 2π 1 2 Ví dụ Tính tích phân I = ∫∫∫ ( y + z )dxdydz trong đó E là vật thể giới hạn bởi E z = 0, x 2 + y 2 + z 2 = 2 y ( z ≤ 0)  x = ρ ×sin θ ×cos ϕ Đổi sang tọa độ cầu:   y = ρ ×sin θ ×sin ϕ  z = ρ ×cos θ  π x Xác định . I →+∞ = được gọi là tích phân bội ba của f=f(x,y,z) trên khối E. ( , , ) E I f x y z dxdydz= ∫∫∫ I. Định nghĩa, cách tính tích phân kép Tính chất của tích phân bội ba 1) Hàm liên tục trên. trụ 0.3 – Tọa độ cầu 0.1 – Định nghĩa, cách tính tích phân bội ba 0.5 – Ứng dụng cơ học 0.4 – Ứng dụng hình học I. Định nghĩa, cách tính tích phân bội ba ( , , )f f x y z= xác định trên vật thể. Giải tích hàm nhiều biến Chương 4: Tích phân bội ba • Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (4/2008) dangvvinh@hcmut.edu.vn Nội dung 0.2 – Tọa độ trụ 0.3 – Tọa độ cầu 0.1 – Định nghĩa, cách tính tích