Tich Phan

quach tuan - THPT hong thai - 0914342498 Tích phân xác định A Một số phơng pháp tính tích phân I Tính tích phân bằng phơng pháp phân tích: + 2 0 2 )2(x xdx + 2 0 2 3 2x dxx 6 0 3 sin xdx + 4 0 cossin sin xx xdx 0 3sin xdxx dxe x ex + 1 0 + 2 1 2 )2(xx dx + 1 0 5 )1( dxxx + ++ 1 0 3 1 1 dx x xx + 2 0 sin1cos dxxx dx xxx 2 0 532 + 4 1 2 3 ) 1 ( dx x x e dx x x 1 5 ln 2 0 3cos2sincos xdxxx 2 0 22 cos x xdx 2 0 5 xdxtg + 2 1 3 xx dx + 3 6 sin21 cos dx x x + 4 0 5cos21 7cos8cos dx x xx II Tính tích phân bằng phơng pháp đổi biến: a) phơng pháp đổi biến dạng 1: I = b a dxxf )( +) Đặt x = (t), t ];[ +) Tính dx = ' (t)dt +) Đổi cận với ba == )(;)( +) Biểu diễn : b a dxxf )( = = dttgdtttf )()('))(( = )(tG = G( ) - )( G +) Chú ý: Nếu biểu thức dới dấu tích phân có dạng: 22 xa Đặt x = asint, t ] 2 ; 2 [ hoặc x = acost, t ];0[ 22 xa + Đặt x = atgt, t ) 2 ; 2 ( xa xa + Đặt x = acos2t, t );0[ 1 2 x Đặt x = tcos 1 , t } 2 {\];0[ 22 22 1 , xa xa + + Đặt x = atgt, t ) 2 ; 2 ( Các ví dụ áp dụng: 1 0 2 1 dxx 2 0 2 4 dxx + 1 0 2 1 1 dx x + 1 0 2 1 1 dx xx ++ 1 0 2 1 1 dx xx 2 0 22 4 dxxx dx xa x a + 0 2 3 22 3 )( 2ln 0 1dxe x 2 0 22 1 a dx xa b) Phơng pháp đổi biến số dạng 2: I = b a dxxf )( +) Đặt t = U(x), U(x) có đạo hàm liên tục trên [a; b] Thời gian không đo bằng năm tháng, mà đo bằng những gì chúng ta làm đợc! 1 quach tuan - THPT hong thai - 0914342498 +) Tính dt = U(x)dx, biểu thị f(x)dx = g(t)dt Đổi cận: x a b t = U(x) U(a) U(b) +) Xác định nguyên hàm G(t) của g(t) +) I = b a dxxf )( = )( )( )( bU aU dttg = G(U(b))- G(U(a)). Các ví dụ áp dụng: + + 3 0 2 1 1 dx x x + + 3 7 0 3 13 1 dx x x 1 0 235 )1( dxxx + + + 2 15 1 24 2 1 1 dx xx x + 2 1 4 2 1 dx x x + + 3 0 1 1 dtte t + + 2 0 1cos3 sin2sin dx x xx + e dx xx x 1 ln1 ln + 15 0 3 2 3 1 dx x x III Tính tích phân bằng phơng pháp tích phân từng phần: +) Có d(uv) = (uv)dx = vdu + udv, từ đó += b a b a b a udvvduuvd )( nên: = b a b a vdu a b uvudv (1) Nhận xét: Để tính tích phân b a dxxf )( cần phân tích f(x) = udv, cần chọn u(x), v(x) hợp lí. ý nghĩa của công thức (1) ở chỗ trong khi tính tích phân b a udv khó ta áp dụng (1) thì chỉ cần tính b a vdu dễ hơn. Chú ý: Một só dạng tích phân sử dụng phơng pháp tích phân từng phần: P(x)lnx, P(x)e ax , P(x)sinax, P(x)cosax, e ax cosax, e ax sinax. Các ví dụ áp dụng: 2 0 cos dxxe x + 1 0 2 )1ln( dxxx 0 2 .cos dxex x e dxx 1 )cos(ln 1 0 2 cos dx x x + 3 2 1 1 ln dx x x x dxxx ++ 3 0 2 )1ln( + + 2 0 cos1 sin dx x xx 2 0 sin dxx 0 3 .sin4 dxex x B - Một số dạng tích phân I Tích phân hàm số hữu tỉ: Chú ý:+) 321)3)(2)(1( )( + + = x C x B x A xxx xP +) 2 )1( 1 )2()1( )( 22 + + = x C x B x A xx xP Thời gian không đo bằng năm tháng, mà đo bằng những gì chúng ta làm đợc! 2 = b a vdu a b uv b a udv quach tuan - THPT hong thai - 0914342498 +) cbxax D cbxax baxC x B x A cbxaxxx xP ++ + ++ + + + = ++ 222 )2( 21 ))(2)(1( )( ( 0 2 =++ cbxax vô nghiệm) Để tìm A, B, C, D có thể sử dụng hai phơng pháp: Đồng nhát thức và hằng số biến thiên. + 5 3 2 23 12 dx xx x ++ b a dx bxax ))(( 1 + ++ 1 0 3 1 1 dx x xx dx x xx + ++ 1 0 2 3 1 1 + 1 0 3 2 )13( dx x x ++ 1 0 22 )3()2( 1 dx xx + 2 1 2008 2008 )1( 1 dx xx x + ++ 0 1 2 23 23 9962 dx xx xxx 3 2 22 4 )1( dx x x + 1 0 2 32 )1( dx x x n n ++ 2 1 24 2 )23( 3 dx xxx x + 2 1 4 )1( 1 dx xx + 2 0 2 4 1 dx x 1 0 42 )1( dxxx + 1 0 4 1 dx x x dx xx + 2 0 2 22 1 + 1 0 32 )1( dx x x + 4 2 23 2 1 dx xxx + 2 1 3 )12ln( dx x x + ++ 3 2 3 2 23 333 dx xx xx + 2 1 4 2 1 1 dx x x + 1 0 3 1 1 dx x + +++ 1 0 6 456 1 2 dx x xxx + 1 0 2 4 1 2 dx x x + + 1 0 6 4 1 1 dx x x += 1 0 32 )1( dxxxI n , (n 1), Tìm I n n n 2 lim + II Tích phân hàm số lợng giác: Chú ý: Dạng 1: b a mn xdxx cos.sin +) Nếu m và n cùng chẵn dơng dùng công thức hạ bậc +) Nếu m và n cùng chẵn âm đặt t = tgx hay t = cotgx +) Nếu m lẻ và dơng đặt t = sinx +) Nếu n lẻ và dơng đặt t = cosx Dạng 2: b a dxxxR )cos,(sin ( R là hàm hữu tỉ) +) Nếu )cos,(sin xxR Bậc lẻ đối với sinx, chẵn đối với cosx đặt t = cosx +) Nếu )cos,(sin xxR Bậc lẻ đối với cosx, chẵn đối với sinx đặt t = sinx +) Nếu )cos,(sin xxR Có bậc sinx, cosx cùng chẵn hoặc cùng lẻ đặt t = tgx Dạng 3: ++ dx cxbxa 'cos'sin' 1 , + + dx xbxa xbxa cos'sin' cossin , ++ ++ dx cxbxa cxbxa 'cos'sin' cossin , +) Nếu biểu thức dới dấu tích phân có dạng: 'cos'sin' 1 cxbxa ++ Đặt t = tg 2 x , lúc đó sinx = 2 1 2 t t , cosx = 2 2 1 1 t t + +) Phân tích : xbxa xbxa cos'sin' cossin + + = xbxa xbxaB A cos'sin' )sin'cos'( + + Thời gian không đo bằng năm tháng, mà đo bằng những gì chúng ta làm đợc! 3 quach tuan - THPT hong thai - 0914342498 +) 'cos'sin' cossin cxbxa cxbxa ++ ++ = 'cos'sin''cos'sin' )sin'cos'( cxbxa C cxbxa xbxaB A ++ + ++ + +) xcxxbxa 22 coscossinsin 1 ++ Chia cả tử và mẫu cho cos 2 x, Đặt t = tgx. Các bài tập áp dụng: xdxx 4 2 0 2 cossin 2 0 32 cossin xdxx dxxx 2 0 54 cossin + 2 0 33 )cos(sin dxx + 2 0 44 )cos(sin2cos dxxxx 2 0 22 )coscossinsin2( dxxxxx + 2 0 441010 )sincoscos(sin dxxxxx 2 3 sin 1 dx x + 2 0 sin2 1 dx x 2 0 cos2 x dx + 2 0 2 3 cos1 sin dx x x 3 6 4 cos.sin xx dx + 4 0 22 coscossin2sin xxxx dx + 2 0 cos1 cos dx x x 2 0 cos2 cos dx x x + 2 0 sin2 sin dx x x + 2 0 3 cos1 cos dx x x ++ 2 0 1cossin 1 dx xx 2 3 2 )cos1( cos x xdx ++ + 2 2 3cos2sin 1cossin dx xx xx 4 0 3 xdxtg dxxg 4 6 3 cot 3 4 4 xdxtg + 4 0 1 1 dx tgx + 4 0 ) 4 cos(cos xx dx ++ ++ 2 0 5cos5sin4 6cos7sin dx xx xx + 2 0 sin1 dxx ++ 4 0 13cos3sin2 xx dx + 4 0 4 3 cos1 sin4 dx x x + ++ 2 0 cossin 2sin2cos1 dx xx xx + 2 0 cos1 3sin dx x x 2 4 sin2sin xx dx 4 0 2 3 cos sin dx x x + 2 0 32 )sin1(2sin dxxx 0 sincos dxxx 3 4 3 3 3 sin sinsin dx xtgx xx ++ 2 0 cossin1 xx dx + 4 0 222 cossin 2sin xbxa xdx + 2 0 1sin2 x dx + 2 0 2 cos1 cos x xdx Thời gian không đo bằng năm tháng, mà đo bằng những gì chúng ta làm đợc! 4 quach tuan - THPT hong thai - 0914342498 + + 4 0 2sin3 cossin dx x xx 2 4 53 sincos xdxx + 4 0 2 cos1 4sin x xdx + 2 0 3sin5 x dx 6 6 4 cossin xx dx + 3 6 ) 6 sin(sin xx dx + 3 4 ) 4 cos(sin xx dx 3 4 6 2 cos sin x xdx dxxtgxtg ) 6 ( 3 6 + + 3 0 3 )cos(sin sin4 xx xdx + 0 2 2 )sin2( 2sin x x 2 0 3 sin dxx 2 0 2 cos xdxx + 2 0 12 .2sin dxex x dxe x x x + + 2 0 cos1 sin1 + 4 6 2cot 4sin3sin dx xgtgx xx + 2 0 2 6sin5sin 2sin xx xdx 2 1 )cos(ln dxx 3 6 2 cos )ln(sin dx x x dxxx 2 0 2 cos)12( 0 2 cossin xdxxx 4 0 2 xdxxtg 0 22 sin xdxe x 2 0 3sin cossin 2 xdxxe x + 4 0 )1ln( dxtgx + 4 0 2 )cos2(sin xx dx + 2 0 2 )cos2)(sin1( cos)sin1( dx xx xx III Tích phân hàm số chứa căn thức: b a dxxfxR ))(,( Trong đó R(x, f(x)) có các dạng: +) R(x, xa xa + ) Đặt x = a cos2t, t ] 2 ;0[ +) R(x, 22 xa ) Đặt x = ta sin hoặc x = ta cos +) R(x, n dcx bax + + ) Đặt t = n dcx bax + + +) R(x, f(x)) = +++ xxbax 2 )( 1 Với ( ++ xx 2 ) = k(ax+b) Khi đó đặt t = ++ xx 2 , hoặc đặt t = bax + 1 +) R(x, 22 xa + ) Đặt x = tgta , t ] 2 ; 2 [ +) R(x, 22 ax ) Đặt x = x a cos , t } 2 {\];0[ Các bài tập áp dụng: Thời gian không đo bằng năm tháng, mà đo bằng những gì chúng ta làm đợc! 5 quach tuan - THPT hong thai - 0914342498 + 32 5 2 4xx dx 2 3 2 2 1xx dx +++ 2 1 2 1 2 5124)32( xxx dx + 2 1 3 1xx dx + 2 1 2 2008dxx + 2 1 2 2008x dx + 1 0 22 1 dxxx 1 0 32 )1( dxx + + 3 1 22 2 1 1 dx xx x + 2 2 0 1 1 dx x x + 1 0 32 )1( x dx 2 2 0 32 )1( x dx + 1 0 2 1 dxx 2 2 0 2 2 1 x dxx + 2 0 2cos7 cos x xdx 2 0 2 coscossin dxxxx + 2 0 2 cos2 cos x xdx + + 2 0 cos31 sin2sin dx x xx + 7 0 3 2 3 1 x dxx 3 0 23 10 dxxx + 1 0 12x xdx ++ 1 0 2 3 1xx dxx ++ 7 2 112x dx dxxx + 1 0 815 31 2 0 56 3 cossincos1 xdxxx + 3ln 0 1 x e dx +++ 1 1 2 11 xx dx + 2ln 0 2 1 x x e dxe 1 4 5 2 8412 dxxx + e dx x xx 1 lnln31 + + 3 0 2 35 1 dx x xx dxxxx + 4 0 23 2 ++ 0 1 3 2 )1( dxxex x + 3ln 2ln 2 1ln ln dx xx x + 3 0 2 2 cos 32 cos 2cos dx x tgx x x + 2ln 0 3 )1( x x e dxe + 3 0 2cos2 cos x xdx + 2 0 2 cos1 cos x xdx dx x x + + 7 0 3 3 2 + a dxax 2 0 22 IV Tích phân hàm số chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối: b a dxxf )( Chú ý: +) Xét dấu hàm số f(x) trên [a, b], dụa vào bảng xét dấu dấu của f(x) +) Nếu f(x) = 0 vô nghiệm trên [a, b] thì b a dxxf )( = b a dxxf )( +) Nếu f(x) = 0 c0s các nghiệm x 1 , x 2 trên [a, b] (x 1 , x 2 ) thì: b a dxxf )( = 1 )( x a dxxf + 2 1 )( x x dxxf + b x dxxf 2 )( = 1 )( x a dxxf + 2 1 )( x x dxxf + b x dxxf 2 )( Thời gian không đo bằng năm tháng, mà đo bằng những gì chúng ta làm đợc! 6 quach tuan - THPT hong thai - 0914342498 Các bài tập áp dụng: 3 3 2 1dxx + 2 0 2 34 dxxx 2 0 2 dxxx 1 0 dxmxx 2 2 sin dxx dxxsin1 + 3 6 22 2cot dxxgxtg 4 3 4 2sin dxx + 2 0 cos1 dxx + 5 2 )22( dxxx 3 0 42 dx x 3 2 3 coscoscos dxxxx V - Một số tích phân đặc biệt - Đẳng thức tích phân: Bài toán mở đầu: Hàm số f(x) liên tục trên [-a; a], khi đó: += aa a dxxfxfdxxf 0 )]()([)( Ví dụ: +) Cho f(x) liên tục trên [- 2 3 ; 2 3 ] thỏa mãn f(x) + f(-x) = x2cos22 , Tính: 2 3 2 3 )( dxxf +) Tính + + 1 1 2 4 1 sin dx x xx Bài toán 1: Hàm số y = f(x) liên tục và lẻ trên [-a, a], khi đó: a a dxxf )( = 0. Ví dụ: Tính: ++ 1 1 2 )1ln( dxxx ++ 2 2 2 )1ln(cos dxxxx Bài toán 2: Hàm số y = f(x) liên tục và chẵn trên [-a, a], khi đó: a a dxxf )( = 2 a dxxf 0 )( Ví dụ: Tính + 1 1 24 1xx dxx Bài toán 3: Cho hàm số y = f(x) liên tục, chẵn trên [-a, a], khi đó: = + aa a x dxxfdx b xf 0 )( 1 )( (1 b>0, a) Ví dụ: Tính: + + 3 3 2 21 1 dx x x + 2 2 1 5cos3sinsin dx e xxx x Bài toán 4: Nếu y = f(x) liên tục trên [0; 2 ], thì = 2 0 2 0 )(cos)(sin dxxfxf Thời gian không đo bằng năm tháng, mà đo bằng những gì chúng ta làm đợc! 7 quach tuan - THPT hong thai - 0914342498 Ví dụ: Tính + 2 0 20092009 2009 cossin sin dx xx x + 2 0 cossin sin dx xx x Bài toán 5: Cho f(x) xác định trên [-1; 1], khi đó: = 00 )(sin 2 )(sin dxxfdxxxf Ví dụ: Tính + 0 sin1 dx x x + 0 cos2 sin dx x xx Bài toán 6: =+ b a b a dxxfdxxbaf )()( = bb dxxfdxxbf 00 )()( Ví dụ: Tính + 0 2 cos1 sin dx x xx + 4 0 )1ln(4sin dxtgxx Bài toán 7: Nếu f(x) liên tục trên R và tuần hoàn với chu kì T thì: = + TTa a dxxfdxxf 0 )()( = TnT dxxfndxxf 00 )()( Ví dụ: Tính 2008 0 2cos1 dxx Các bài tập áp dụng: + 1 1 2 21 1 dx x x ++ 4 4 4 357 cos 1 dx x xxxx ++ 1 1 2 )1)(1( xe dx x + 2 2 2 sin4 cos dx x xx + 2 1 2 1 ) 1 1 ln(2cos dx x x x dxnx)xsin(sin 2 0 + + 2 2 5 cos1 sin dx x x 1 )1(1 cot 1 2 1 2 = + + + ga e tga e xx dx x xdx (tga>0) Vi Bất đẳng thức tích phân: Một số chú ý: +) Nếu f(x) g(x) x ];[ ba thì b a b a dxxgdxxf )()( +) dxxfdxxf b a b a )()( +) Nếu m f(x) M thì )()()( abMdxxfabm b a +) Để tìm miền giá trị của f(x) có thể sử dụng các BĐT hay phơng pháp hàm số. Các bài tập áp dụng: 8 2 1 0 2 < ++ xx dx < < 2 1 0 32 8 2 4 6 xx dx << 2 1 421 3 dx x < < 2 1 0 2 ),1( 6 1 2 1 Nnn x dx n << 3 6 2 1sin 4 3 dx x x 4 4 1 0 1 1 2 + + dxe x 27 4 )1(0 1 0 2 dxxx 3 4 3 1cot 12 3 dx x gx Thời gian không đo bằng năm tháng, mà đo bằng những gì chúng ta làm đợc! 8 quach tuan - THPT hong thai - 0914342498 ∫ − ≤−−+≤ 11 7 108)117(254 dxxx ∫ ≤≤ 1 0 4 9 4 sin 53 62 xdxx ∫ ≤ + ≤ 2 0 2 10 cos35 6 π ππ x dx ∫ ≤ − ≤ 2 1 0 2008 6 1 2 1 π x dx ∫∫ ≤ 2 1 2 1 2 lnln xdxxdx ∫ < ++ < π ππ 0 2 3 32 1coscos 3 3 x dx ∫ ≤ π π π 200 100 200 1cos dx x x Mét øng dông nhá cña tÝch ph©n: Thêi gian kh«ng ®o b»ng n¨m th¸ng, mµ ®o b»ng nh÷ng g× chóng ta lµm ®îc! 9