Bài tập Dãy số cấp số cộng cấp số nhân ban nâng cao

-Tài liệu Toán 11 Nâng cao- -Trang 1- Bài tập Chương 3. DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN. Dạng 1. Chứng minh quy nạp -PP: Chứng minh mệnh đề A(n) đúng với mọi , nnp ∈≥  . +(Bước cơ sở) *Kiểm tra A(p) đúng. +(Bước quy nạp) *Giả sử A(k) đúng (với kp ≥ ). Ta chứng minh A(k+1) cũng đúng. Từ đó suy ra mệnh đề đúng với mọi , nnp ∈≥  ./. -Một số bài toán. Bài 1. Chứng minh bằng quy nạp. a) 2* 1.22.5 (31)(1),; nnnnn+++−=+∀∈  b) * 2 11112 111 1,; 4916(1)2(1) n n nn  +  −−−−=∀∈   ++    c) 33* 32627169, n nn + −−∀∈  ; d) 543 52330 nnnn ++− luôn là số nguyên với * n∀∈  ; e) * 1111 ,; 1.44.77.10(32)(31)31 n n nnn ++++=∀∈ −++  f) 1 22212* (1)(1) 123 (1),; 2 n n nn nn − − −+ −+−+−=∀∈  g) * 2(1) sinsin sin2sinsin,; 33366 nnn n πππππ + +++=∀∈  h) 2 4(2)! ,,1; 1(!) n n nn nn <∀∈> +  i) 222* 1,xxxxn+++<+∀∈  (n dấu căn); j) 1 1 * 2 22 12212 ,,1; 111 11 nn nn nx xxx xx + + +++=+∀∈≠ ++− +−  Bài 2. Cho n số dương ,1, ,(2) i xinn =≥ . Chứng minh rằng: 1212 (1)(1) (1)1 nn xxxxxx +++>++++ Bài 3. Gọi a là một nghiệm của phương trình: 2 310 xx −+= . Chứng minh rằng 1 n n n xa a =+ là số nguyên với n ∀∈  . HD. + 2 1 133 aaa a +=⇔+= và 111 . kkk xxxx +− =−. Bài 4. Giả sử cos θ là số hữu tỉ. Chứng minh rằng với * n∀∈  , cos n θ cũng là số hữu tỉ. HD. + cos(1)coscossin.sin nnn θθθθθ +=− . Dạng 2. Toán dãy số. *Tìm các số hạng của dãy số. 1. Cho dãy số (u n ) xác định bởi: 2 25 1 n n u n + = + . a) Viết 5 số hạng đầu của dãy. b) Tìm n sao cho 1 5 n u = . (ĐS. b) n=12 ) 2. Cho dãy số (u n ) xác định bởi: khi n chan 2 1 1 khi n le 1 n n n u n n    − =  −   +  . a) Viết 4 số hạng đầu của dãy. b) Chứng minh mọi số hạng của dãy đều khác nhau. www.MATHVN.com WWW.MATHVN.COM -Tài liệu Toán 11 Nâng cao- -Trang 2- 3. Cho dãy số (u n ) xác định bởi: cos 3 n n u π = . a) Viết 6 số hạng đầu của dãy. b) Chứng minh dãy số chỉ nhận hữu hạn giá trị. 4. Cho dãy số (u n ) xác định như sau: u n là số dư khi chia n cho 6. a) Xác định 7 số hạng đầu của dãy; b) Nếu u m = u n , chứng minh rằng : 6 mn −  . *Tìm công thức tổng quát của dãy số. 1. Cho dãy số (u n ) xác định bởi: u 1 =5 và u n+1 =3.u n , * n∀∈  . Chứng minh rằng: u n =5.3 n-1 . 2. Cho dãy số (u n ) xác định bởi: u 1 =1 và u n+1 =3.u n + 2n, * n∀∈  . Chứng minh rằng: 1 15 .3 22 n n un − =−−+ . 3. Cho dãy số (u n ) xác định bởi: u 1 =1 và u n+1 =3.u n + * 12 , 2 n n − ∈  . Chứng minh rằng: u n = () 1 1 3 2 n n − + . *Xét tính đơn điệu của dãy số. 1. Xét tính tăng, giảm của các dãy số sau: a) 2011 n n u n − = ; b) 20111 20111 n n n u − = + ; c) ! 1 n n u n = + ; d) (1) 2011 n n u n − = + 2. Cho dãy số (u n ) xác định bởi: u 1 =3 và u n+1 = 5 3 .u 1 , * n∀∈  . a) Chứng minh rằng dãy (u n ) tăng; b) Tìm n để u n > 10000 3. Cho dãy số (u n ) xác định bởi: u 1 =1và u n+1 = 23 3 n u + , * n∀∈  . a) Chứng minh rằng (u n ) bị chặn bởi 3; b) Chứng minh (u n ) là dãy tăng. 3. Cho dãy số (u n ) xác định bởi: u 1 = 3, u n+1 = 2 * 2 , 2 n n u u + ∀∈  . Chứng minh dãy (u n ) giảm. *Xét tính bị chặn của dãy số. 1. Xét tính bị chặn của các dãy số sau đây: a) 1 3(1) 22 n n n u n + +− = + ; b) 2 23 21 n n u n + = + ; c) 2121 n n u nn = ++− ; d) 2011 21 n un =+ ; e) 2sin(1)3cos; n unn =+− f) 111 12 n u nnnn =+++ +++ ; g) ()() () 111 12 n u nnnnnnn =+++ +++ ; i) 222 sin1sin2sin 1.22.3(1) n n u nn =+++ + 2*. Cho dãy số (u n ) xác định bởi: u 1 = 1, u 2 = 2 và u n+1 = u n + 1 2 1 ,2 1 n n u n u − − ≥ + . a) Bằng quy nạp chứng minh rằng: 1 1 nn n uu u + =+ . Từ đó suy ra dãy (u n ) tăng. b) Đặt n n u v n = . Chứng minh dãy số (v n ) bị chặn. *Một số bài toán khác. www.MATHVN.com WWW.MATHVN.COM -Tài liệu Toán 11 Nâng cao- -Trang 3- 1. Cho dãy số (u n ) xác định bởi: u 1 =1, u 2 =2 và u n+2 = 1 1 n n u u + + . Chứng minh rằng: u n+5 = u n , với mọi n (tức dãy u n tuần hoàn). 2. Cho dãy số (u n ) xác định bởi: u 1 =1 và u m+n = u m +u n +mn, * ,mn∀∈  . a) Chứng minh rằng: u n+1 = u n + n + 1; b) Chứng minh rằng: (1) 2 n nn u + = . 3. Cho dãy số (u n ) xác định bởi: u 1 = 1 2007 và n.u n+1 =(n+1).u n +1 , * n∀∈  . a) Chứng minh rằng: u n = 1 2007 n n +− ; b) Tính tổng 1 n i i u = ∑ . 4. Cho dãy số (u n ) xác định bởi: u 1 =1, u 2 =-7 và u n+2 =5.u n+1 + 6u n , * n∀∈  . Chứng minh rằng: u n = 113 .6.(1) 77 nn −−− . Dạng 3. Cấp số cộng. *Xác định các yếu tố của cấp số cộng. 1. Cho cấp số cộng: 2, 5, 8, 11,… Tìm a 1 , d, u n , S n ? 2. Xác định số hạng đầu, công sai và số hạng thứ n của các cấp số cộng biết rằng: a) 7 15 27 59 u u =   =  ; b) 92 136 5 25 uu uu =   =+  ; c) 12 18 34 45 S S =   =  ; d) S n = 3n + n 2 ; e) 5 10 10 5 u S =   =  ; f) 20105 532 SSS == ; g) S 20 = 2.S 10 , S 15 = 3.S 5 3. Tổng ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng bằng 2 và tổng các bình phương của ba số đó bằng 14/9. Xác định ba số đó và công sai? (ĐS: (1;2/3;1/3) và (1/3;2/3;1)) 4. Cho cấp số cộng (u n ) thoả : u 4 + u 8 + u 12 + u 16 =16. Tính 19 1 i i u = ∑ ? (ĐS: 76) 5. Cho một cấp số cộng thoả: 2 2 (). n m S n mn Sm =≠Tính tỉ số 2007 1945 u u ?(HD. d=2u 1 nên tỉ số= 4013 3889 ) 6. Tìm n ∈  , biết: a) (2n+1)+(2n+2)+…+(2n+n) = 2265 (ĐS: n=30) b) 121 2007 nn nnn −− +++= (ĐS: n=4015) *Chứng minh một dãy là cấp số cộng. 1. Cho dãy số (u n ) xác định bởi: u n+1 =3.u n – u n-1 + 3 , 2 n ∀≥ . Chứng minh rằng dãy v n =2.u n – u n-1 là một cấp số cộng. Xác định v 1 và d của (v n )? 2. Cho dãy số (u n ) thoả mãn: u n – u n+1 + 3= 1 (1) nn + , * n∀∈  . a) Chứng minh rằng dãy v n = u n - 1 n , * n∀∈  lập thành một cấp số cộng? b) Từ đó, tìm số hạng tổng quát của dãy (u n ) biết u 1 = 2? 3. Chứng minh rằng trong ABC ∆ : cotA, cotB, cotC thứ tự lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi a 2 , b 2 , c 2 thứ tự lập thành cấp số cộng. *Chứng minh hệ thức liên quan đến cấp số cộng. 1. Cho cấp số cộng (u n ). Chứng minh các hệ thức sau: www.MATHVN.com WWW.MATHVN.COM -Tài liệu Toán 11 Nâng cao- -Trang 4- a) 1 (),; 2 nnknk uuunk −+ =+∀> b) 426 1 3 nnn SSS −= ; c) (q-r)a p + (r-p)u q + (p-q)u r = 0; d) u 1 + u n = u k + u n-k+1 ; e) S n+3 + 3S n+1 = 3S n+2 + S n ; f) 2(S 3n – S n ) = S 4n ; g) 122311 1111 nnn n aaaaaaaa − − +++=; h) 13352121242 1111111 , 0 2 i nnn a aaaaaaaaa −+  +++=+++>  +++  ; i) 122311 1111 , 0 i nnn n a aaaaaaaa − − +++=> ++++ ; 2. Cho a, b, c lập thành cấp số cộng. Chứng minh rằng: (i) a 2 + 2bc = c 2 + 2ab; (ii) 8b 3 – a 3 – c 3 = 6abc 3. Cho các số a, b và a+b khác 0 sao cho 111 ,, aabb + theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Tính tỉ số 2 2 a b ? Dạng 4. Cấp số nhân. * Xác định các yếu tố của một cấp số nhân. 1. Cho cấp số nhân: 2, 6, 18, 54, … Tính u 1 , q, u n , S n ? 2. Xác định số hạng đầu và công bội của các cấp số nhân (u n ) sau: a) u 7 = - 5 và u 10 = 135; b) u 10 = 32 2 và u 15 = 16.u 7 ; c) u 7 – u 5 =11 và S 12 = 80; d) 246 35 91 30 uuu uu ++=   +=  ; e) 123 456 35 180 uuu uuu ++=   ++=  ; f) 42 53 54 108 uu uu −=   −=  3. Cho a, b > 0. Hãy chen 5 số giữa hai số ; ba ab để dãy tạo thành là một cấp số nhân? 4. a.Tìm x, y biết rằng x, y, 12 lập thành một cấp số nhân và x, y, 9 lập thành một cấp số cộng theo thứ tự? (ĐS: (3;6) và (27;18)) b. Tìm x, y biết rằng 1, x 2 , y 2 lập thành một cấp số cộng và 2, x+2, y-3 lập thành một cấp số nhân theo thứ tự? 5. Tìm x biết rằng ba số cos,sin,cos 44 xxx ππ  −+   theo thứ tự lập thành một cấp số nhân? (ĐS: , 6 xkk π π =±+∈  ) 6. Cho cấp số nhân x, y, z. Tìm x, y, z biết: a) 333 64 584 xyz xyz =   ++=  ; b) 111 14 7 108 xyz xyyzzx  ++=     ++=−   ; c) 216 19 xyz xyz xyz <<   =   ++=  ; 7.Tính các tổng sau: a) A = 1 + 2011 + 2011 2 + … + 2011 n ; b) B = 1111 (1) 2482 n n −+−++− ; c) C = 1 + 2.3 + 3.3 2 + …+ 2011.3 2010 (HD: 3C–C=2C) d) D = 222 2 2 111 ,(1,0) n n xxxx xxx  ++++++≠±   ; e) E = x + 2x 2 + 3x 3 + … + nx n ; 8. Cho ABC ∆ có sinA, sinB, sinC theo thứ tự lập thành một cấp số nhân và C – A = 60 o . Tính góc B? www.MATHVN.com WWW.MATHVN.COM -Tài liệu Toán 11 Nâng cao- -Trang 5- 9. Giả sử x 1 , x 2 là hai nghiệm của phương trình: x 2 – x + A = 0 và x 3 , x 4 là hai nghiệm của phương trình: x 2 – 4x + B = 0. Tính A, B biết rằng x 1 , x 2, x 3 , x 4 lập thành một cấp số nhân tăng? 10. Cho cấp số cộng (u n ) và cấp số nhân (v n ) thoả mãn: u 1 = v 1 =2, u 2 = v 2 , v 3 = u 3 + 4. Xác định cấp số cộng và cấp số nhân đó. *Chứng minh một dãy số là cấp số nhân. 1. Chứng minh dãy số (u n ) sau là một cấp số nhân: u n = 1 3. 7 n    ; 2. Cho dãy số (u n ) xác định bởi: u 1 = 2, u n+1 = 3 + 4u n . a) Đặt v n = u n + 1. Chứng minh rằng dãy số (v n ) là một cấp số nhân? Tìm công thức của v n ? b) Tìm công thức tổng quát của u n ? 3. Chứng minh rằng: a) Nếu x, y, z lập thành một cấp số nhân thì xy, y 2 , zy cũng lập thành một cấp số nhân. b) Nếu bốn số dương x, y, z, t lập thành một cấp số nhân thì ba số ,, xyyzzt cũng lập thành một cấp số nhân. 4. Cho cấp số nhân a 1 , a 2 , …, a n , … có công bội 1 q ≠ . Chứng minh rằng: a) Dãy số 12 111 ,, ,, n aaa là một cấp số nhân và tính công bội của nó? b) Dãy số 32 4 12 ,, ,, n n aa a aaa + là một cấp số nhân và tính công bội của nó? *Chứng minh hệ thức liên quan đến cấp số nhân. 1. Cho (u n ) là một cấp số nhân với công bội q. Chứng minh rằng: a) 11 ,1 nknk uuuukn −+ =≤≤ ; b) S m + q m .S n = S n + q n .S m , với mọi m,n. 2. Cho x, y, z là ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân. Chứng minh: a) (x+y+z)(x-y+z)=x 2 + y 2 + z 2 ; b) x 2 + 4z 2 – 4xy + 8yz = (x – 2y – 2z) 2 ; c) 111 ,0; xyzxzxyz xyz  ++=++≠   d) ( ) ( ) xyzxzyxyz +++−=++ ; 3. Cho cấp số cộng dương (u n ) và cấp số nhân dương (v n ) thoả mãn: u 1 = v 1 và u 2 = v 2 . Chứng minh * , nn vun ≥∀∈  . ****************************** www.MATHVN.com WWW.MATHVN.COM . một cấp số nhân tăng? 10. Cho cấp số cộng (u n ) và cấp số nhân (v n ) thoả mãn: u 1 = v 1 =2, u 2 = v 2 , v 3 = u 3 + 4. Xác định cấp số cộng và cấp số nhân đó. *Chứng minh một dãy số. Dạng 3. Cấp số cộng. *Xác định các yếu tố của cấp số cộng. 1. Cho cấp số cộng: 2, 5, 8, 11,… Tìm a 1 , d, u n , S n ? 2. Xác định số hạng đầu, công sai và số hạng thứ n của các cấp số cộng biết. y 2 , zy cũng lập thành một cấp số nhân. b) Nếu bốn số dương x, y, z, t lập thành một cấp số nhân thì ba số ,, xyyzzt cũng lập thành một cấp số nhân. 4. Cho cấp số nhân a 1 , a 2 , …, a n ,