*Xác định các yếu tố của cấp số cộng.. Tổng ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng bằng 2 và tổng các bình phương của ba số đó bằng 14/9.. Chứng minh rằng trong ∆ABC: cotA, cotB, cotC
Trang 1Bài tập Chương 3 DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN
Dạng 1 Chứng minh quy nạp
-PP: Chứng minh mệnh đề A(n) đúng với mọi n∈,n≥ p
+(Bước cơ sở) *Kiểm tra A(p) đúng
+(Bước quy nạp) *Giả sử A(k) đúng (với k≥ p) Ta chứng minh A(k+1) cũng đúng Từ đó suy ra mệnh đề đúng với mọin∈,n≥ p./
-Một số bài toán
Bài 1 Chứng minh bằng quy nạp
a) 1.2 2.5 + + +n.(3n− =1) n n2( + ∀ ∈1), n *;
n
n
c) 33n+3−26n−27 169, ∀ ∈n ; d) * 5 4 3
+ + − luôn là số nguyên với ∀ ∈n ; *
n n
f)
1
2
n
−
g) sin sin2 sin 2 sin sin( 1) , *;
n
π + π + + π = π + π ∀ ∈
h) 4 (2 )!2 , , 1;
1 ( !)
n
n
n < n ∀ ∈ >
1
*
+
Bài 2 Cho n số dương x i i, =1, , (n n≥2) Chứng minh rằng:
(1+x)(1+x ) (1+x n)> + + + +1 x x x n
Bài 3 Gọi a là một nghiệm của phương trình: x2− + =3x 1 0 Chứng minh rằng x n a n 1n
a
= + là số nguyên với ∀ ∈n
HD + a2 1 3a a 1 3
a
+ = ⇔ + = và x k+1 =x x1 k −x k−1
Bài 4 Giả sử cosθ là số hữu tỉ Chứng minh rằng với ∀ ∈n , * cos n θ cũng là số hữu tỉ
HD + cos(n+1)θ =cosn θcosθ −sinn θ.sinθ
Dạng 2 Toán dãy số
*Tìm các số hạng của dãy số
1 Cho dãy số (un) xác định bởi: 22 5
1
n
n u n
+
= +
a) Viết 5 số hạng đầu của dãy b) Tìm n sao cho 1
5
n
u = (ĐS b) n=12 )
2 Cho dãy số (un) xác định bởi:
khi n chan
2 1 1 khi n le 1
n
n n u n n
−
= −
+
Trang 2
-Tài liệu Toán 11 Nâng cao-
3 Cho dãy số (un) xác định bởi: cos
3
n
n
u = π
a) Viết 6 số hạng đầu của dãy b) Chứng minh dãy số chỉ nhận hữu hạn giá trị
4 Cho dãy số (un) xác định như sau: un là số dư khi chia n cho 6
a) Xác định 7 số hạng đầu của dãy; b) Nếu um = un, chứng minh rằng : m n− 6
*Tìm công thức tổng quát của dãy số
1 Cho dãy số (un) xác định bởi: u1=5 và un+1=3.un ,∀ ∈n Chứng minh rằng: u* n=5.3n-1
2 Cho dãy số (un) xác định bởi: u1=1 và un+1=3.un + 2n,∀ ∈n *
Chứng minh rằng: 1 5.3 1
n n
3 Cho dãy số (un) xác định bởi: u1=1 và un+1=3.un +1 2 , *
2
n n
Chứng minh rằng: un=1( 1 )
3 2
n
n
− +
*Xét tính đơn điệu của dãy số
1 Xét tính tăng, giảm của các dãy số sau:
a) u n 2011 n
n
−
2011 1
n
+ ; c)
! 1
n
n u
n
=
( 1) 2011
n n
u n
−
= +
2 Cho dãy số (un) xác định bởi: u1=3 và un+1=5
3.u1 ,
*
n
∀ ∈ a) Chứng minh rằng dãy (un) tăng; b) Tìm n để un > 10000
3 Cho dãy số (un) xác định bởi: u1=1và un+1=2 3
3
n
u +
,∀ ∈n * a) Chứng minh rằng (un) bị chặn bởi 3; b) Chứng minh (un) là dãy tăng
3 Cho dãy số (un) xác định bởi: u1 = 3, un+1 =
2
*
2 , 2
n n
u u
+ ∀∈ Chứng minh dãy (un) giảm
*Xét tính bị chặn của dãy số
1 Xét tính bị chặn của các dãy số sau đây:
a)
1
3 ( 1)
n n
n
u
n
+
+ −
=
n
n u
n
+
=
n u
=
2011
n
u = n + ;
e) u n =2 sin(n+ −1) 3cos ;n f) 1 1 1
n
u
g)
n
u
sin 1 sin 2 sin
n
n u
n n
+
2* Cho dãy số (un) xác định bởi: u1 = 1, u2 = 2 và un+1 = un + 1
2 1
1
n n
u n u
−
−
≥
a) Bằng quy nạp chứng minh rằng: n 1 n 1
n
u
+ = + Từ đó suy ra dãy (un) tăng
n
u
v
n
= Chứng minh dãy số (vn) bị chặn
*Một số bài toán khác
www.MATHVN.com
Trang 31 Cho dãy số (un) xác định bởi: u1=1, u2=2 và un+2=1 n 1
n
u u
+
+
Chứng minh rằng: un+5 = un, với mọi n (tức dãy un tuần hoàn)
2 Cho dãy số (un) xác định bởi: u1=1 và um+n = um +un +mn,∀m n, ∈ *
a) Chứng minh rằng: un+1= un + n + 1; b) Chứng minh rằng: ( 1)
2
n
n n
u = +
3 Cho dãy số (un) xác định bởi: u1= 1
2007 và n.un+1=(n+1).un +1 ,
*
n
∀ ∈
a) Chứng minh rằng: un= 1
2007
n n
+ − ; b) Tính tổng
1
n i i
u
=
4 Cho dãy số (un) xác định bởi: u1=1, u2=-7 và un+2=5.un+1 + 6un ,∀ ∈n *
Chứng minh rằng: un= 1.6 13.( 1)
Dạng 3 Cấp số cộng
*Xác định các yếu tố của cấp số cộng
1 Cho cấp số cộng: 2, 5, 8, 11,… Tìm a1, d, un, Sn ?
2 Xác định số hạng đầu, công sai và số hạng thứ n của các cấp số cộng biết rằng:
a) 7
15
27
59
u
u
=
9 2
13 6
5
u u
=
12
18
34 45
S S
=
; d) Sn = 3n + n
2
;
e) 5
10
10
5
u
S
=
20 10 5
S = S = S ; g) S20 = 2.S10 , S15 = 3.S5
3 Tổng ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng bằng 2 và tổng các bình phương của ba số đó bằng 14/9 Xác định ba số đó và công sai? (ĐS: (1;2/3;1/3) và (1/3;2/3;1))
4 Cho cấp số cộng (un) thoả : u4 + u8 + u12 + u16 =16 Tính
19
1
i i
u
=
∑ ? (ĐS: 76)
5 Cho một cấp số cộng thoả:
2
2 ( )
n m
S n
m n
S = m ≠ Tính tỉ số 2007
1945
u
u ?(HD d=2u1 nên tỉ số=
4013
3889)
6 Tìm n∈, biết:
a) (2n+1)+(2n+2)+…+(2n+n) = 2265 (ĐS: n=30)
b) n 1 n 2 1 2007
(ĐS: n=4015)
*Chứng minh một dãy là cấp số cộng
1 Cho dãy số (un) xác định bởi: un+1=3.un – un-1 + 3 ,∀ ≥n 2
Chứng minh rằng dãy vn =2.un – un-1 là một cấp số cộng Xác định v1 và d của (vn)?
2 Cho dãy số (un) thoả mãn: un – un+1 + 3= 1
( 1)
n n+ ,
*
n
∀ ∈
a) Chứng minh rằng dãy vn = un - 1
n,
*
n
∀ ∈ lập thành một cấp số cộng?
b) Từ đó, tìm số hạng tổng quát của dãy (un) biết u1 = 2?
3 Chứng minh rằng trong ∆ABC: cotA, cotB, cotC thứ tự lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi a2, b2, c2 thứ tự lập thành cấp số cộng
*Chứng minh hệ thức liên quan đến cấp số cộng
1 Cho cấp số cộng (un) Chứng minh các hệ thức sau:
Trang 4-Tài liệu Toán 11 Nâng cao-
2
3
S −S = S ; c) (q-r)ap + (r-p)uq + (p-q)ur = 0;
d) u1 + un = uk + un-k+1 ; e) Sn+3 + 3Sn+1 = 3Sn+2 + Sn; f) 2(S3n – Sn) = S4n;
g)
n
a a a a a−a a a
−
h)
a
i)
n
a
−
2 Cho a, b, c lập thành cấp số cộng Chứng minh rằng:
(i) a2 + 2bc = c2 + 2ab; (ii) 8b3 – a3 – c3 = 6abc
3 Cho các số a, b và a+b khác 0 sao cho 1, 1 ,1
a a b b+ theo thứ tự lập thành cấp số cộng Tính tỉ số
2
2
a
b ?
Dạng 4 Cấp số nhân
* Xác định các yếu tố của một cấp số nhân
1 Cho cấp số nhân: 2, 6, 18, 54, … Tính u1, q, un, Sn ?
2 Xác định số hạng đầu và công bội của các cấp số nhân (un) sau:
a) u7 = - 5 và u10 = 135; b) u10 = 32 2 và u15 = 16.u7; c) u7 – u5 =11 và S12= 80;
3 5
91 30
u u u
u u
+ + =
+ =
1 2 3
4 5 6
35 180
u u u
u u u
+ + =
+ + =
4 2
5 3
54 108
u u
u u
− =
− =
3 Cho a, b > 0 Hãy chen 5 số giữa hai số b ; a
a b để dãy tạo thành là một cấp số nhân?
4 a.Tìm x, y biết rằng x, y, 12 lập thành một cấp số nhân và x, y, 9 lập thành một cấp số cộng theo thứ tự? (ĐS: (3;6) và (27;18))
b Tìm x, y biết rằng 1, x2, y2 lập thành một cấp số cộng và 2, x+2, y-3 lập thành một cấp số nhân theo thứ tự?
5 Tìm x biết rằng ba số cos , sin , cos
theo thứ tự lập thành một cấp số nhân? (ĐS:
,
6
x= ± +π k π k∈
)
6 Cho cấp số nhân x, y, z Tìm x, y, z biết:
a) 3 364 3
584
xyz
x y z
=
+ + =
14 7 108
x y z
xy yz zx
+ + =
+ + = −
19
x y z xyz
x y z
< <
+ + =
;
7.Tính các tổng sau:
a) A = 1 + 2011 + 20112 + … + 2011n;
b) B = 1 1 1 ( 1) 1
n n
− + − + + − ; c) C = 1 + 2.3 + 3.32 + …+ 2011.32010 (HD: 3C–C=2C)
d) D =
2 2
n
e) E = x + 2x2 + 3x3 + … + nxn;
8 Cho ∆ABC có sinA, sinB, sinC theo thứ tự lập thành một cấp số nhân và C – A = 60o Tính góc B?
www.MATHVN.com
Trang 59 Giả sử x1, x2 là hai nghiệm của phương trình: x – x + A = 0 và x3, x4 là hai nghiệm của phương trình:
x2 – 4x + B = 0 Tính A, B biết rằng x1, x2, x3, x4 lập thành một cấp số nhân tăng?
10 Cho cấp số cộng (un) và cấp số nhân (vn) thoả mãn: u1 = v1 =2, u2 = v2, v3 = u3 + 4 Xác định cấp số cộng và cấp số nhân đó
*Chứng minh một dãy số là cấp số nhân
1 Chứng minh dãy số (un) sau là một cấp số nhân: un = 3 1
7
n
;
2 Cho dãy số (un) xác định bởi: u1 = 2, un+1 = 3 + 4un
a) Đặt vn = un + 1 Chứng minh rằng dãy số (vn) là một cấp số nhân? Tìm công thức của vn ?
b) Tìm công thức tổng quát của un ?
3 Chứng minh rằng:
a) Nếu x, y, z lập thành một cấp số nhân thì xy, y2, zy cũng lập thành một cấp số nhân
b) Nếu bốn số dương x, y, z, t lập thành một cấp số nhân thì ba số xy, yz, zt cũng lập thành một cấp
số nhân
4 Cho cấp số nhân a1, a2, …, an, … có công bội q≠1 Chứng minh rằng:
a) Dãy số
1 2
, , , ,
n
a a a là một cấp số nhân và tính công bội của nó?
b) Dãy số 3 4 2
1 2
, , , n ,
n
a a a
+ là một cấp số nhân và tính công bội của nó?
*Chứng minh hệ thức liên quan đến cấp số nhân
1 Cho (un) là một cấp số nhân với công bội q Chứng minh rằng:
a) u u1 n =u u k n k− +1,1≤ ≤k n; b) Sm + qm.Sn = Sn + qn.Sm , với mọi m,n
2 Cho x, y, z là ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân Chứng minh:
a) (x+y+z)(x-y+z)=x2 + y2 + z2; b) x2 + 4z2 – 4xy + 8yz = (x – 2y – 2z)2;
c) x y z xz 1 1 1 ,xyz 0;
x y z
3 Cho cấp số cộng dương (un) và cấp số nhân dương (vn) thoả mãn: u1 = v1 và u2 = v2
Chứng minh v n ≥u n,∀ ∈n *
******************************