Hướng dẫn học sinh giải phương trình vô tỉ

Một trong những công tác quan trọng trong nhà trường phổ thông là đào tạo bồi dưỡng nhân tài

Sở giáo dục và đào tạo hà nội Phòng giáo dục và đào tạo huyện thanh oai

đề tài sáng kiến kinh nghiệm

Đơn vị cụng tỏc: Trường THCS Nguyễn Trực

Thuộc: Huyện Thanh Oai

§Ò tµi thuéc lÜnh vùc: Gi¶ng d¹y

Cộng hoà xã hội chủ nghĩa việt nam

Chức vụ, đơn vị công tác : Giáo viên - Trờng THCS Nguyễn Trực

Thanh Oai - Hà Nội

Trình độ chuyên môn : Đại học -Toán

Bộ môn giảng dạy : Toán 9

Khen thởng : - Nhiều năm là chiến sĩ thi đua cấp cơ sở

- 2 năm có sáng kiến kinh nghiệm đạt cấp tỉnh

II nội dung đề tài

Trong SGK Toán 9 đã đa ra cho học sinh một số phơng trình vô tỉ song mới chỉ là các phơng trình ở mức độ đơn giản, các em cha có hệ thống phơng pháp giải Vì vậy khi gặp các bài toán giải phơng trình vô tỉ các em lúng túng và thờng mắc những sai lầm khi giải Chính vì vậy tôi chọn đề tài “Hớng dẫn học sinh giải phơng trình vô tỉ” để tránh đợc cho các em những sai lầm hay mắc phải và có hệ

thống phơng pháp giải phơng trình vô tỉ để luyện tập đợc nhiều dạng bài và phơng trình vô tỉ trở thành quen thuộc đối với các em

3 Phạm vi, thời gian thực hiện đề tài:

Phạm vi: Lớp 9A2 - Trờng THCS Nguyễn Trực - Thanh Oai

Thời gian: 12 tiết trong đó có 2 tiết kiểm tra

III Quá trình thực hiện đề tài

Biện pháp 1: Giúp các em hiểu đợc thế nào là phơng trình vô tỉ Phơng trình

vô tỉ là phơng trình có có chứa ẩn trong dấu căn.

3 + + + =

6 x 15

1 x 1 x

1 x 1 x 2

⇔

−

= +

⇔

Vậy phơng trình có nghiệm x = -2

Phân tích sai lầm: Giá trị x = -2 không là nghiệm của phơng trình (1) vì x = -2 thì

3 1 x

1

x

2 + = − = − không có nghĩa

Để khắc phục sai lầm này ta có 2 cách:

Cách 1: Tìm điều kiện có nghĩa của căn thức

Cách 2: Thử lại giá trị tìm đợc vào phơng trình ban đầu

Lời giải đúng nh sau:

Điều kiện có nghĩa của căn thức: 1x

01 x

Nhng giá trị x2 = 5 không phải là nghiệm của phơng trình (2)

0 1 x5

0 1

không phải là nghiệm của phơng trình (3)

Để khắc phục sai lầm này ta cần tìm điều kiện có nghĩa của căn thức hoặc phải thử lại các giá trị tìm đợc vào phơng trình (3)

Thật vậy các phơng trình (3’) và (3’’) là không tơng đơng khi 2 - 7x < 0 Phơng trình (3’) ⇔(3’’) với điều kiện 2 - 7x > 0, do đó x = 2 cũng không phải là nghiệm của phơng trình (3) Nên phơng trình vô nghiệm

Lời giải đúng:

Cách 1: Sau khi tìm đợc x1 =

11

2 ; x2 = 2 thử lại vào (3) không thoả mãn kết luận phơng trình vô nghiệm

Cách 2: Đặt điều kiện có nghĩa cho căn thức của (3) là x > 1, sau đó đặt điều kiện

cho (3’) tơng đơng với (3’’) là x < 72 các giá trị x1; x2 không thoả mãn các điều kiện đó kết luận phơng trình vô nghiệm

Cách 3: Từ việc đặt điều kiện có nghĩa của các căn thức là x > 1 →x <5x

⇒ x − 1 < x − 1 ⇒ VT < 0 ; VP > 0 từ đó kết luận phơng trình (3) vô nghiệm

Biện pháp 3: Hớng dẫn cho các các em một số phơng pháp giải phơng trình vô

tỉ thờng dùng Mỗi phơng pháp giáo viên nêu ra một số ví dụ cho HS làm, sau

x2 = 10 (tho¶ m·n ®k) VËy ph¬ng tr×nh (5) cã nghiÖm x = 10

VÝ dô 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh x + 5 − x − 5 = 2 (6) §K: x >

3 5

03 x

Gi¶i : §K 1 + x x 2 4

+ > 0(8) ⇔ 1 + x x 2 4

+ = x2 + 2x + 1

⇔ x x 2 4

+ = x (x+2)

= +

=

2 x : DK (*) 2 x 4 x

0 x

4 x

1 9

1 x

x 3

2

+ +

= +

x

2 9

4 x

1 9

1

2 > ≠ +

+

x

2 9

4 x

1 9

1 3

1 x

1

+ +

= + §K: x1 > −31

x

2 9

4 x

1 9

1 9

1 x

2 x

x

2 9

4 3

2 x

1 + = +

2 9

4 9

4 x

4 x

1

+

= + +

3

4 x

1 ( x

1 0 x

4 x

1 0 x

2 9

4 x

1 9

1

2 > ⇒ = +

VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x =

4 3

VÝ dô 7: Gi¶i ph¬ng tr×nh 3 x + 45 − 3 x − 16 = 1 ( 10 )

Gi¶i: (10) ⇔ (3 x + 45 − 3 x − 16)3 = 1

⇔ x + 45 - x + 16 - 33 ( x + 45 )( x − 16 ( 3 x + 45 − 3 x − 16 ) = 1

VÝ dô 9: Gi¶i ph¬ng tr×nh

x

1 1 x

x + + = (12) ®k : x> 0Gi¶i: (12) ⇔ x + x 2 + x = 1

⇔ x 2 + x = 1- x (*)Víi ®iÒu kiÖn 1 - x > 0 ⇔ x < 1

Ph¬ng tr×nh (*) ⇔ x2 + x = 1 - 2x + x2

⇔ 3 x = 1

⇔ x = 31 (tho¶ m·n ®k)VËy ph¬ng tr×nh (12) cã nghiÖm x = 31

Ví dụ 10: Giải phơng trình 3 x

1 x

3 x

Giải: ĐK : x 1

0 1 x

0 3 x2

) 3 x )(

1 x (

1 x 3 7 x

2 3 x 0 3 7 x

0 2 3

= +

=

− +

Vậy phơng trình (14) có nghiệm x1 = 1; x2 = 2

II/ Phơng pháp đa về phơng trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối

Các em cần nắm vững hằng đẳng thức A 2 = A để làm mất dấu căn Sau đó

để phá dấu GTTĐ ta có thể xét khoảng hoặc dùng các bất đẳng thức

A + B ≥ A + B xảy ra dấu “=” ⇔ A.B > 0

Ví dụ 3: Giải phơng trình x − 2 x − 1 − x − 1 = 1 (17)

2 1

Gi¶i: §K: x >

2 3

2 3

KÕt hîp víi ®k x >

2 5

(22) ⇔ 3(x2 + x) - 2 x 2 + x - 1 = 0

§Æt x 2 + x = t (t > 0)

Ta cã PT: 3 t2 - 2t - 1 = 0

⇔ (t-1) (3t+1) = 0

1 t

2

1

Víi t = 1 ⇒ x 2 x

x

2

5 1

2

5 1 x

2 5 2 t

) loai (0 2 2 2

2 5 2 t 0 12 t 2 t

2

1 2

6 x 2

1 x 1

x + + + = 2 (24)

0x

1 x x

x1

0 x1 x

(24) ⇔

x

1 x x 1

x + +

(lo¹i)

0 12 x x 18 6 x x 2 3 6

x

x 2 − + = ⇔ 2 − + = ⇔ 2 − − =

⇒

§Æt

t

1 x

1 x 0 t

x 2

+ = 1 ⇔ 2x = 1 + x ⇔ x = 1 (tho¶ m·n ®iÒu kiÖn)VËy PT (24) cã nghiÖm x = 1

4

1 x 2

1 x

1 t

1 x 2

1 2 2 t

loai 0 2

1 2 2 t 0 7 t4 t4

2

4

1 2

⇔

6 2 5 t

6 2 5

t 0 1 t10 t

10 t

1 t

2

1 2

VËy ph¬ng tr×nh (26) cã 2 nghiÖm x1 = -2; x2 = 2.

1 x 2 1 x 3 1

x + − − = − − (27)Gi¶i:

Ta nhËn x =1 kh«ng ph¶i lµ nghiÖm cu¶ pt (27)

Víi x≠ 1 Ph¬ng tr×nh (27) 3 3

2

1 x

1 x 2 3 1 x

1 x

1

t 0 3 t2 t ) 27 (

3

1 x

1 x 1 1 x

1 x 1 1 x

1 x

1 x 3 1 x

1 x

)1(

a1b 1b2 a

1ba

3 3 3 3

> 0 víi ∀a

1 x x x

0 1

VÝ dô 10: Gi¶i ph¬ng tr×nh

3 x x 2 x 3 x 2

x

x 2 − + + + = − + 2 + − (30)

Gi¶i: §K: x 2

0 3 x2 x

0 3 x

0 2 x3 x

0b2

x

0a1

21 1

x

2

21 1

1x 1x2

x5x

01x

2 2

)loai(2

171

0 2 x

0 5 x

10 x

−=

⇔

= +

=

⇔ +

= +

⇔ +

) loai ( 4 x 1 5 x

VN 3 x 2 x 5 x 2 x 5 x

1 b

1 a

b a

VËy (32) cã 1nghiÖm lµ x = -1

VÝ dô 13: Gi¶i ph¬ng tr×nh:

2 x 2 1 2 x 2 x 2 x

3

Gi¶i: §K: {

0 2 x 2 x

0 2 x

0 2 x 3 x

≥ +

− +

≥ +

≥ + + +

§Æt: x + 3 + x + 2= a > 0

2 x 2

x + − + = b > 0 (1)

(33) ⇔ a + b = 1 + 2 x + 2

MÆt kh¸c a2 - b2 = 1 +2 x + 2 ⇔ ( a- b)(a + b) = 1 + 2 x + 2

⇒ a - b = 1

+

1 b a

2 x 2 1 b

x 3b

− +

Gi¶i:

§Æt u = 3 x + 1 ; v = 3 3 x − 1

Ta cã hÖ ph¬ng tr×nh:

2vu 2vu

a 1

2

b

a

+ +

=

+ +

+ +

+

<

2

b a 2 1 2

x 3 x

17 − = − (39)Gi¶i: ®iÒu kiÖn 0 ≤ x ≤ 17

4

4

u 17v u2 uv2)

vu(

3v

u

22 2 22

3v u 032

yx 17y x

9xy

yx

2 2

7 y

x 2 + = − 2 − (42)

Gi¶i: §K: x≤ -1; x ≥1

Ta cã: VT = x 2 + 6 > x 2 = x ≥ x

+ + + +

= + + + +

≥ + + + + +

VÕ ph¶i: 4 x x2 5 (x 1)2 5

≤ +

=

− +

4 −

x

1 x 1 x

x

≥

− +

−

1 x x x

1 x 1 x

x 2

x

1 x

−

3 2 x 0 1

x

x 2 − + = ⇔ = ±

4 1

1 x x

4 + − = + − (50)

0x

1x

0x

(50)

x

5 x x

1 x x

1 x

x x 4 x

5 x x

1

x

− +

−

) 4 ( 0 4 x x

) 3 ( 0 1 x x

) 2 ( 0 2 x

)1 ( 0 3 x 7 x

2 2 2 2

(51) ⇔ x 2 − x + 3 − x 2 − x − 1 = x 2 − 2 − x 2 − x + 4

Dấu đẳng thức ở (1) và (3); (2) và (4) không đồng thời xảy ra

Nên: x 2 − x + 3 + x 2 − x − 1 > 0

và x 2 − 2 + x 2 − x + 4 > 0

4 x x 2 x 1 x x 3 x x

1 x x 3 x x

2 2

2 2

2 2

2 2

+

− +

−

−

−

− +

−

⇔

4 x x 2 x

6 x 1

x x 3 x

x

x 4

2 2

2 x 3 1

x x 3 x

x

x 2 2

2 2

023y

012x

2 2 2

7 y

3 x

VËy ph¬ng tr×nh (52) cã 1 nghiÖm (x, y, z) = (3, 7,14)

3

1 1 x

x 2 − + = − 4 + 2 + (53)Gi¶i:

§/k x∈ − +2 

5 3

; 2

5 3

Phơng trình (53) 3 ( x x 1 )

3

1 1 x

x 2 − + = − 4 + +

⇔

áp dụng bđt Bunhia Côpski ta có:

) 1 x x ( ) 1 x x ( 3 )

1 x x ( )

2

2 − + ≤− + +

⇔

⇔ ( x + 1 ) 2 ≤ 0 ⇔ x = 1

kết hợp với đk và thử lại thấy x =1 là nghiệm của phơng trình (53)

Đối với PT này ta thờng dùng các hằng đẳng thức nh bình phơng của một tổng, bình phơng của một hiệu, BĐT Cosi, Bunhiacopxki, so sánh tập giá trị của hai vế, chứng minh nghiệm duy nhất Đặc biệt lu ý các dấu “=” xảy ra để kết luận nghiệm

Biện pháp 4: Bài tập về nhà

Sau khi hớng dẫn các em một số phơng pháp để giải phơng trình vô tỉ với 53

ví dụ từ dễ đến khó với vốn kiến thức nhất định về phơng trình vô tỉ giáo viên nêu

ra một hệ thống bài tập để cho học sinh luyện tập nhằm củng cố khắc sâu kiến thức đã học

1 x ) 3 x ( 3 ) 1 x )(

−

16 8 + x + 5 − x = 5

17 x 2 − x + 2 + x + 3 = x − 2 + x 2 + x − 3

18 3 2 x x 2

x 1 x

3 x

− +

1 x

1

x

= + + +

−

= +

−

2

35 x 12 x 2

38 x 12

IV Kết quả thực hiện có so sánh đối chứng

Sau một thời gian kiên trì thực hiện các biện pháp trên, các em đã có kỹ năng giải phơng trình vô tỉ Khi hoàn thành sáng kiến này tôi đã kiểm tra nửa lớp còn lại kết quả 95% học sinh đạt điểm trên 5, 5% học sinh đạt điểm dới 5

* Trong năm học 2009 - 2010 tôi đã có 8 em học sinh giỏi cấp Thành phố, trong

đó có: 2 em giải nhất, 1 em giải nhì, 5 em giải ba

20 em học sinh giỏi cấp huyện, trong đó: 2 em giải nhất, 1 em giải nhì, 2 em giải 3

và có 16 em đợc vào vòng 2 của huyện

* Trên đây là đề tài sáng kiến của tôi áp dụng trong năm học này Bài viết này có

lẽ không tránh khỏi những thiếu sót Mong nhận đợc ý kiến đóng góp của Hội

đồng khoa học các cấp cho đề tài của tôi đợc hoàn chỉnh hơn

Xin chân thành cảm ơn!

V Những kiến nghị và đề nghị sau quá trình thực hiện đề tài:

- Nhà trờng mua thêm sách tham khảo

- Mong muốn đợc tham khảo để học tập những sáng kiến kinh nghiệm hay

Thanh Oai, ngày 20 tháng 4 năm 2010

Tác giả

Nguyễn Thị Hơng

ý kiến đánh giá của hội đồng khoa học cơ sở

Chủ tịch

ý kiến đánh giá của hội đồng khoa học cấp trên

Chủ tịch