Một trong những công tác quan trọng trong nhà trường phổ thông là đào tạo bồi dưỡng nhân tài
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2009 - 2010 Sở giáo dục và đào tạo hà nội Phòng giáo dục và đào tạo huyện thanh oai đề tài sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2009 - 2010 Tờn ti: Hớng dẫn học sinh giải phơng trình vô tỉ Tỏc gi: Nguyễn Thị Hơng Chc v: Giỏo viờn Mụn o to: Toỏn n v cụng tỏc: Trng THCS Nguyn Trc Thuc: Huyn Thanh Oai Nguyễn Thị Hơng - Trờng THCS Nguyễn Trực - Thanh Oai 1 Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2009 - 2010 Đề tài thuộc lĩnh vực: Giảng dạy Nguyễn Thị Hơng - Trờng THCS Nguyễn Trực - Thanh Oai 2 Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2009 - 2010 Cộng hoà xã hội chủ nghĩa việt nam Độc lập - Tự do - Hạnh phúc -------***------- đề tài sáng kiến kinh nghiệm I . sơ yếu lí lịch Họ và tên : Nguyễn Thị Hơng Ngày, tháng, năm sinh : 30/ 11/ 1972 Năm vào ngành : 1994 Ngày vào Đảng : 28/ 02/ 2000 Chức vụ, đơn vị công tác : Giáo viên - Trờng THCS Nguyễn Trực Thanh Oai - Hà Nội. Trình độ chuyên môn : Đại học -Toán Bộ môn giảng dạy : Toán 9 Khen thởng : - Nhiều năm là chiến sĩ thi đua cấp cơ sở . - 2 năm có sáng kiến kinh nghiệm đạt cấp tỉnh. Nguyễn Thị Hơng - Trờng THCS Nguyễn Trực - Thanh Oai 3 Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2009 - 2010 Nguyễn Thị Hơng - Trờng THCS Nguyễn Trực - Thanh Oai 4 Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2009 - 2010 II . nội dung đề tài 1. Tên đề tài : Hớng dẫn học sinh giải phơng trình vô tỉ 2. Lý do chọn đề tài Một trong những công tác quan trọng trong nhà trờng phổ thông là đào tạo bồi dỡng nhân tài. Để hoàn thành nhiệm vụ đó với cơng vị là giáo viên giảng dạy bộ môn Toán, tôi nhận thấy cần thiết phải cải tiến phơng pháp nhằm nâng cao chất lợng dạy học. Đợc phân công giảng dạy bộ môn Toán 9 và trực tiếp bồi dỡng HSG môn toán 9 nên đề tài năm nay tôi chọn viết là chuyên đề : Hớng dẫn học sinh giải phơng trình vô tỉ. Trong SGK Toán 9 đã đa ra cho học sinh một số phơng trình vô tỉ song mới chỉ là các phơng trình ở mức độ đơn giản, các em cha có hệ thống phơng pháp giải. Vì vậy khi gặp các bài toán giải phơng trình vô tỉ các em lúng túng và thờng mắc những sai lầm khi giải. Chính vì vậy tôi chọn đề tài Hớng dẫn học sinh giải phơng trình vô tỉ để tránh đợc cho các em những sai lầm hay mắc phải và có hệ thống phơng pháp giải phơng trình vô tỉ để luyện tập đợc nhiều dạng bài và phơng trình vô tỉ trở thành quen thuộc đối với các em. 3. Phạm vi, thời gian thực hiện đề tài: Phạm vi: Lớp 9A2 - Trờng THCS Nguyễn Trực - Thanh Oai. Thời gian: 12 tiết trong đó có 2 tiết kiểm tra. Nguyễn Thị Hơng - Trờng THCS Nguyễn Trực - Thanh Oai 5 Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2009 - 2010 III Quá trình thực hiện đề tài A- Khảo sát thực tế Khi cha thực hiện đề tài này, gặp các bài toán giải phơng trình vô tỉ các em lúng túng, đa số mắc phải sai lầm trong quá trình giải nh không đặt điều kiện cho ẩn để phơng trình có nghĩa và điều kiện cho ẩn trong các phép biến đổi tơng đơng dẫn đến sai nghiệm của phơng trình. B- Những biện pháp thực hiện Biện pháp 1: Giúp các em hiểu đợc thế nào là phơng trình vô tỉ. Phơng trình vô tỉ là phơng trình có có chứa ẩn trong dấu căn. Ví dụ: x + 1x = 13 1x - 1x5 = 2x3 38x1x 3 3 =+++ 6x15x3 44 =+ Biện pháp 2: Chỉ cho học sinh thấy một số sai lầm thờng gặp khi giải phơng trình vô tỉ. 1. Sai lầm do không chú ý điều kiện có nghĩa của căn thức. Ví dụ1: Giải phơng trình: 01x1x2 =+ (1) Lời giải sai (1) 2x 1x1x2 1x1x2 = =+ =+ Vậy phơng trình có nghiệm x = -2 Phân tích sai lầm: Giá trị x = -2 không là nghiệm của phơng trình (1) vì x = -2 thì 31x1x2 ==+ không có nghĩa. Để khắc phục sai lầm này ta có 2 cách: Cách 1: Tìm điều kiện có nghĩa của căn thức Cách 2: Thử lại giá trị tìm đợc vào phơng trình ban đầu Nguyễn Thị Hơng - Trờng THCS Nguyễn Trực - Thanh Oai 6 Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2009 - 2010 Lời giải đúng nh sau: Điều kiện có nghĩa của căn thức: 1x 01x 01x2 + Khi đó (1) 1x1x2 =+ 1x1x2 =+ 2x = (không thoả mãn điều kiện) Nên phơng trình (1) vô nghiệm 2. Sai lầm do không đặt điều kiện của ẩn để biến đổi tơng đơng. Ví dụ 2: Giải phơng trình x + 31x = (2) Lời giải sai (2) x31x = x - 1 = 9 - 6x + x 2 x 2 - 7 x + 10 = 0 x 1 = 2 ; x 2 = 5 Vậy phơng trình có 2 nghiệm x 1 = 2 ; x 2 = 5. Nhng giá trị x 2 = 5 không phải là nghiệm của phơng trình (2) Vì khi đó 5x1x = = 2 còn 3 - x = 3 - 5 = - 2 Để khắc phục sai lầm này ta phải đặt điều kiện cho vế phải là một số không âm, vì khi đó vế trái là một số không âm. Lời giải đúng : đk : x - 1> 0 x > 1 (2) x31x = ĐK: 3- x > 0 x < 3 x - 1 = 9 - 6x + x 2 x 2 - 7 x + 10 = 0 x 1 = 2 ; x 2 = 5 loại vì không thoả mãn điều kiện x < 3 Chỉ có 2 thoả mãn điều kiện 1 < x < 3. Vậy phơng trình có nghiệm x = 2 3. Có những bài toán học sinh mắc cả 2 sai lầm trên Nguyễn Thị Hơng - Trờng THCS Nguyễn Trực - Thanh Oai 7 Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2009 - 2010 Ví dụ 3: Giải phơng trình 2x31x51x = (3) Lời giải sai: (3) 2x31x51x += x - 1 = 5x -1 + 3x - 2 + 2 2x13x15 2 + 2 - 7x = 2 2x13x15 2 + (3) 4 - 28 x + 49 x 2 = 60 x 2 - 52 x + 8 (3) 11x 2 - 24 x + 4 = 0 (11x - 2) (x - 2) = 0 x 1 = 11 2 ; x 2 = 2 Vậy PT (3) có 2 nghiệm là x 1 = 11 2 ; x 2 = 2. Phân tích sai lầm: * Các em không chú ý đến điều kiện có nghĩa của căn thức: Thật vậy: ĐK : 1x 2x3 01x5 01x Do đó x = 11 2 không phải là nghiệm của phơng trình (3) Để khắc phục sai lầm này ta cần tìm điều kiện có nghĩa của căn thức hoặc phải thử lại các giá trị tìm đợc vào phơng trình (3) * Các em không đặt ĐK để biến đổi tơng đơng: Thật vậy các phơng trình (3) và (3) là không tơng đơng khi 2 - 7x < 0. Phơng trình (3) (3) với điều kiện 2 - 7x > 0, do đó x = 2 cũng không phải là nghiệm của phơng trình (3). Nên phơng trình vô nghiệm. Lời giải đúng: Nguyễn Thị Hơng - Trờng THCS Nguyễn Trực - Thanh Oai 8 Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2009 - 2010 Cách 1: Sau khi tìm đợc x 1 = 11 2 ; x 2 = 2 thử lại vào (3) không thoả mãn kết luận phơng trình vô nghiệm. Cách 2: Đặt điều kiện có nghĩa cho căn thức của (3) là x > 1, sau đó đặt điều kiện cho (3) tơng đơng với (3) là x < 7 2 các giá trị x 1 ; x 2 không thoả mãn các điều kiện đó kết luận phơng trình vô nghiệm. Cách 3: Từ việc đặt điều kiện có nghĩa của các căn thức là x > 1 x <5x 0VP;0VT1x51x ><< từ đó kết luận phơng trình (3) vô nghiệm Biện pháp 3: Hớng dẫn cho các các em một số phơng pháp giải phơng trình vô tỉ thờng dùng. Mỗi phơng pháp giáo viên nêu ra một số ví dụ cho HS làm, sau đây là một số phơng pháp giải phơng trình vô tỉ. I. Phơng pháp nâng lên luỹ thừa: Để làm mất dấu căn ta nâng hai vế lên lũy thừa cùng bậc. Ví dụ 1: Giải phơng trình 3 + 3x2 = x (4) ĐK x > 2 3 Giải: (4) 3x2 = x - 3 ĐK: x - 3 > 0 x> 3 2x - 3 = x 2 - 6 x + 9 x 2 - 8x + 12 = 0 (x - 6) (x - 2) = 0 x 1 = 6 ; x 2 = 2 (không thoả mãn điều kiện) loại Vậy phơng trình có nghiệm x = 6 Ví dụ 2: Giải phơng trình x + 1x = 13 (5) ĐK x > 1 (*) Giải: (5) 1x = 13 - x ĐK x < 13 (**) x - 1 = 169 - 26 x + x 2 x 2 - 27 x + 170 = 0 (x-1) (x-10) = 0 x 1 = 17 (không thoả mãn **) loại Nguyễn Thị Hơng - Trờng THCS Nguyễn Trực - Thanh Oai 9 Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2009 - 2010 x 2 = 10 (thoả mãn đk) Vậy phơng trình (5) có nghiệm x = 10 Ví dụ 3: Giải phơng trình 25x35x2 =+ (6) ĐK: x > 3 5 Giải: 5x2 + = 5x3 +2 2x + 5 = 3x - 5 + 4 + 4 5x3 6-x = 4 5x3 Với đk x < 6 Phơng trình 36 - 12x + x 2 = 16(3x-5) x 2 - 60x + 116 = 0 (x-58)(x-2) = 0 x 1 = 58 loại (không thoả mãn đk) x 2 = 2 (thoả mãn đk) Vậy PT(6) có nghiệm x = 2 Ví dụ 4: Giải PT 53xx10 =++ (7) Giải: ĐK: 10x3 03x 0x10 + (7) 10 - x + x + 3 + 2 )3x)(x10( + = 25 )3x)(x10( + = 6 - x 2 + 7x + 30 = 36 x 2 - 7x + 6 = 0 (x-1) (x-6) = 0 x 1 = 1 (thoả mãn đk) x 2 = 6 (thoả mãn đk) Vậy phơng trình (7) có 2 nghiệm x 1 = 1 ; x 2 = 6. Ví dụ 5: Giải phơng trình 4xx1 ++ = x + 1 (8) Giải : ĐK 1 + x 4x 2 + > 0 (8) 1 + x 4x 2 + = x 2 + 2x + 1 x 4x 2 + = x (x+2) Nguyễn Thị Hơng - Trờng THCS Nguyễn Trực - Thanh Oai 10 [...]... Trực - Thanh 35 Đề tài sáng kiến kinh nghiệm 2010 Năm học 2009 - Biện pháp 4: Bài tập về nhà Sau khi hớng dẫn các em một số phơng pháp để giải phơng trình vô tỉ với 53 ví dụ từ dễ đến khó với vốn kiến thức nhất định về phơng trình vô tỉ giáo viên nêu ra một hệ thống bài tập để cho học sinh luyện tập nhằm củng cố khắc sâu kiến thức đã học Giải các phơng trình sau: 1 x + 1 = x 1 2 1 x 2 + x =1 3 1 x +... > Năm học 2009 - 5 2 Vậy phơng trình có nghiệm 5 2 1; 3 x > 0 VT > 1 Với x < 0 thì 3 x + 1 < 1; 3 x < 0 VT < 1 Vậy x = 0 là nghiệm duy nhất của phơng trình (46) Ví dụ 7: Giải phơng trình Giải: 3 x 2 + x +1= 3 (47) đk x 1 Ta thấy x=3 là... hoặc vô nghiệm xy = 4 xy = 16 x= 1 y= 4 x= 4 x=1 hoặc x = 4 hoặc y= 4 Vậy phơng trình (40) có 2 nghiệm x1 = 1, x2 = 4 IV Phơng pháp bất đẳng thức: Ví dụ 1: Giải phơng trình x 1 5x 1 = 3x 2 (41) Giải: Ta chứng tỏ tập giá trị hai vế rời nhau Đ/k x 1 Với đk này thì x < 5x do đó x 1 < 5x 1 Suy ra vế trái của (41) là số âm, còn vế phải không âm phơng trình vô nghiệm Ví dụ 2: Giải phơng trình: ... 1; x2 = Năm học 2009 - 1 + 5 ; x3 2 Ví dụ 15: Giải phơng trình: 3 x + 34 - 3 x 3 = 1 5 2 =1 (35) Giải: Đặt 3 x + 34 = a ; 3 x 3 = b Ta có hệ phơng trình a b= 1 3 3 a b = 37 = 1ba += 1ba += 1ba 2 2 2 2 2 2 a ab b =++ 37 b 2 b1b bb 37=+++++ 0 b b 12=+ 0 a= 3 b= 4 a = 4 x = 61 hoặc b = 3 x = 30 Vậy phơng trình (35) có hai nghiệm x1 = - 61 ; x2 = 30 Ví dụ 16: Giải phơng trình: ( 3x +... ; Năm học 2009 - x +1 < 2 Nên vế phải của (47) nhỏ hơn 3 Vậy phơng trình (47) có 1 nghiệm duy nhất x=3 Giải: đk x > (48) 1 4 áp dụng bđt cô si cho 2 số dơng Ta có 4x 1 =2 x x + 4x 1 Ví dụ 8: Giải phơng trình x + 4x 1 x 4 x 1 4 x 1 x và 4x 1 2 x x 4x 1 x 4x 1 + =2 = x 2 = 4x 1 x x 4x 1 4x 1 đều thoả mãn x> x 2 4x + 1 = 0 x = 2 3 Vậy phơng trình (48) có 2 nghiệm Ví dụ 9: Giải phơng trình. .. Vậy PT (24) có nghiệm x = 1 Ví dụ 5: Giải phơng trình Giải: đk x 1 4 ; x+ x+ 1 1 + x+ =2 2 4 (25) 1 4 Đặt x + = t 0 2 Thay vào phơng trình (25) ta đợc t2 1 1 + t + = 2 4 2 2 2 1 < 0( loai) t1 = 1 2 2 2 1 t + t + = 2 4t + 4t 7 = 0 4 2 2 2 1 1 2 2 1 t2 = 2 x + 4 = 2 x=2 2 > 1 4 Vậy phơng trình (25) có 1 nghiệm (5 2 6 ) Ví dụ 6: Giải phơng trình Giải: Ta thấy nên Đặt ( do x + (5 +... 109) = 0 x1 = 80 x2 = -109 Vậy phơng trình (10) có 2 nghiệm x1 = 80 ; x2 = -109 Ví dụ 8: Giải phơng trình 3 Giải: (11) (11) 2x + 1 + 3 x = 1 2x + 1 + x + 3 3x + 3 3 3 x (2x + 1) (3 2x + 1 + 3 x ) = 1 3 x ( 2 x + 1) = 0 x (2 x + 1) = x x (2x+1) = - x3 x(x2 + 2x + 1) = 0 x (x+1)2 = 0 x1= 0; x2 = -1 Giá trị x2 không thoả mãn (11) Ví dụ 9: Giải phơng trình Giải: (12) x+ x + x +1 = 1 x (12) đk... 2 x2 1 Giải: ĐK: x -1; Ta có: Oai VT = (42) x 1 x2 + 6 > x2 = x x Nguyễn Thị Hơng - Trờng THCS Nguyễn Trực - Thanh 30 Đề tài sáng kiến kinh nghiệm 2010 Năm học 2009 - VT = x 2 x 2 1 < x do 2 x 2 1 0 VT > VP PT (42) vô nghiệm Ví dụ 3: Giải phơng trình x 2 + 2 + x 2 + 2x + 3 = 1 (43) Giải : ĐK x R Ta có: VT = x 2 + 2 + x 2 + 2x + 3 = x 2 + 2 + ( x + 1) 2 + 2 > 2 + 2 = 2 2 > VP PT (43) vô nghiệm... + x 2 + 2x + 3 = x 2 + 2 + ( x + 1) 2 + 2 > 2 + 2 = 2 2 > VP PT (43) vô nghiệm Ví dụ 4: Giải phơng trình: Giải: Pt(44) x2 +1 + VT = x2 +1 + x 2 + 1 + 4x 2 4x + 5 = 0 ( 2x 1) ( 2x 1) 2 2 (44) +4 =0 +4 >0 VP = 0 PT (44) vô nghiệm Ví dụ 5: Giải phơng trình 3x 2 + 6x + 7 + 5x 2 + 10 x + 14 = 4 2 x x 2 (45) Giải: Ta có vế trái: 3x 2 + 6 x + 7 + 5x 2 + 10 x + 14 = 3( x + 1) + 4 + 5( x + 1) + 9 4 . : Hớng dẫn học sinh giải phơng trình vô tỉ. Trong SGK Toán 9 đã đa ra cho học sinh một số phơng trình vô tỉ song mới chỉ là các phơng trình ở mức. Hớng dẫn học sinh giải phơng trình vô tỉ để tránh đợc cho các em những sai lầm hay mắc phải và có hệ thống phơng pháp giải phơng trình vô tỉ để luyện