Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 43 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
43
Dung lượng
1,54 MB
Nội dung
GIẢI ĐÁP TOÁN CẤP PHẦN g ia su m in ht am c om HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT w w w CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI ( Trang – 11 ) ĐẠO HÀM ( Trang 13 – 16 ) GIỚI HẠN ( Trang 16 – 17 ) TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ CÁC BẤT ĐẲNG THỨC ( Trang 18 – 43 ) TT gia su Minh Tam (08) 38 908 900 - 0967 783 633 www.giasuminhtam.com PHẦN 1: HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM LÔGARIT I CÁC CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI c om LŨY THỪA (Giả sử biểu thức có nghĩa): m 1) a 2) a n n 3) a n n a m 4) a a a a a a 5) a a a 6) a 8) 7) ab a b b a b Chú ý: +) Khi xét lũy thừa với số mũ số mũ nguyên âm số phải khác +) Khi xét lũy thừa với số mũ khơng ngun số phải dương am A CÁC VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1: Tính giá trị biểu thức sau: 2) B = (0, 04) 4) D = 43 21 2 3 5) E = 1,5 (0,125) 18 27 Giải: 0,25 6) F = 1 2 4 2) B = (0,125) 25 g ia (0, 04) su 1) A = 2 23 23 22 12 1,5 w 4 1 3) C = 0,5 6250,25 4 w 4) D = 43 2.21 2.23 w 5) E = 6) F = 6 F3 1 8 3 2 5 4 3 19 3 21 18 27 262 2.22 81 5 12 1 2 3 53 2 121 11 2 4 19 3 (3)3 19 3 19 5 11 10 27 2 27 24 16 35.3 2.3 35 1 1 10 2 3.2 3 10 3 3 3 847 847 6 Ta áp dụng đẳng thức : a b a b3 3ab a b 27 27 847 847 847 847 847 847 6 6 6 33 6 27 27 27 27 27 27 Trang GV: Lienxo86 1 847 847 6 27 27 6 m 4 3) C = 0,5 625 81 5 12 3 ht 1) A = in 2 19 3 3 TT gia su Minh Tam F3 12 3 36 (08) 38 908 900 - 0967 783 633 www.giasuminhtam.com 847 F 12 5F F3 5F 12 F 3 F2 3F 4 27 F = F2 3F (vô nghiệm) Vậy F = Ví dụ 2: Đơn giản biểu thức sau (giả sử biểu thức có nghĩa): 35 a 1 1 1 2 a b a b : a4 b4 a 3) C = 1 1 b a a 2b4 a b4 a a a 4) D = 1 : a2 b2 b b 5) E = a b 2 ab ab b 7) G = ab : a b a ab b ab a2 1 b 1 a 9) I = 2 a a ab 4b a 8a b 1 3 a a a a a a in 3 m Giải: 1) A = ht 1 2 a b a b2 ab 8) H = 1 a b a2 b2 b b2 : b 2b a a am 3 a b :2 a b 6) F = b a ab om 1) A = 24 c a b 4 2) B = b a 35 4 7 1 1 b b 5 a b5 b a b a a a su a b 2) B = b a 35 g ia 1 1 1 1 1 2 2 ab a b b a b a b : a4 b4 a 3) C = : a b4 1 1 1 b 2 a a4 b4 a a b4 a4 b4 a a b 1 w w a b a a 2b2 1 a2 a4 b4 1 a b2 a2 b2 a b a 1 b a b b 2 a a b a b 2 w a a a 4) D = 1 : a b 1 : b b b 5) E = a b a b b b2 : b 2b a a a a a b b b a b a b b a b Trang GV: Lienxo86 a b b : b a a b b : a b a b TT gia su Minh Tam (08) 38 908 900 - 0967 783 633 www.giasuminhtam.com 1 a3 b3 a3 b3 :2 a b : ab 6) F = b a ab ab 2 a a 3 ab a3b ab ab a b 1 ab ab b a ab ab ab ab 7) G = ab : a b a ab b ab a ab ab b b ab 2 a b ab a b 8) H = a b a2 b2 a b b a b a b 1 1 a b a a 2b2 b 1 a2 b2 a 2b 1 1 a2 b2 a2 b2 a2 b2 2 a b a 2a b b 1 = 1 1 2 a b a b 3 ht 1 3 m 3 a 2 b 3 a ab 4b 3 a a a 23 b 1 a 23 b a3 a g ia B BÀI LUYỆN 2 a a b a ab b a a b a ab b su a in a a 8b a 8a b b 9) I = 1 a 2 1 a a ab 4b a a b 4b 3 a c om a ab a b a ab a ab ab b a a b am 3 3 3 3 3 2 3 a a 0 Bài 1: Tính giá trị biểu thức sau: 2) B = w 3 1) A = 32 7 w 4 2 4) D = (0, 2)0,75 23 2 (18)7 24.(50)3 (225)4 (4)5 (108) 6) F = w 5) E = 1 3) C = : : : 3.2 4.3 Bài 2: Đơn giản biểu thức sau (giả sử biểu thức có nghĩa): a 1) A = a a a 2) B = 3 a 3) C = a4 a4 a4 a4 b b2 b2 b 4) D = Trang GV: Lienxo86 10 3 :10 2 (0, 25)0 10 2 (0, 01)3 ( 1) a 2 1 23.2 1 53.54 (0, 01)2 10 2 a3b a6b 2 1 TT gia su Minh Tam (08) 38 908 900 - 0967 783 633 www.giasuminhtam.com a 1 LÔGARIT: Giả sử biểu thức có nghĩa log a b có nghĩa b 1) log a 3) log a b loga c log a (bc) 4) log a b log a c log a b c log a b log a b 6) log a b log a b b log a b log a b log a b.log b a log a b log a b 7) log a b.log b c log a c log c log a c b log a b +) Lôgarit thập phân : log10 b log b lg b +) Lôgarit tự nhiên ( lôgarit Nêpe) : log e b ln b ( e 2, 71828 ) loga b Chú ý: am c om 5) a 2) log a a ht A CÁC VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1: Tính giá trị biểu thức sau: in 2) B = log 3.log3 36 2log5 log5 7) G = lg 25 1 log 27 log125 81 25 5) E= 49 1 2log2 36 e log6 ln3 8) H = 4 log8 27 3) C = log 5.log 25 6) F = log3 2 27 log9 2 log8 27 0,25 0,5log9 11) K = log (log 8) 12) L = log 2013 log (log 256) log0,25 log9 (log 64) 13) M log 2.log 3.log 4.log 5.log 6.log 14) N lg(tan10 ) lg(tan 20 ) lg(tan 880 ) lg(tan 890 ) w Giải: 1 2 log log log log log 32 2 6 3 22 w 1) A = log log w 2) B = log 3.log3 36 log 3) C = log 5.log 25 4) D = 5) E 9 3 2log5 36 log 62 62 15 3 log 1 5.log 33 (5) log3 5.log5 27 2 2 33 3log3 1 log 27 log125 81 25 log3 3 5 1 log 1 33 log 34 5 52 log log 36 2log 71 10log99 9) I = lg 81 27 81 g ia 10) J = log7 log6 su 4) D = m 1) A = log3 log 2 1 log5 3 log5 3 5 Trang GV: Lienxo86 1 2log5 5 log5 32 5.5 5.9 45 TT gia su Minh Tam 6) F = log 3 2 log9 2 log8 27 log 3 2 log 3 2log log 3 log 32 7) G = lg 25 27 (08) 38 908 900 - 0967 783 633 log5 49 log7 e ln 3 log 2 2 www.giasuminhtam.com log3 log 2 log 33 log 3 log 1 2 1 3 2 lg 52 log5 72 log7 lg 5log5 62 7log7 82 22 log log 36 2log 71 9) I = lg 81 27 lg log 54 log 63 log 71 lg 3 3 3 lg 1 2log 10) J 36 log6 0,250,5log9 81 log 34 log3 62 99 log3 33 log 62 log 82 99 82 99 2log 71 3 54 63 71 lg 29 71 lg100 1 2log 22 2 c log3 am 10log99 32 22 4log 2 11) K = log (log 8) log log 23 log 3 6 62 log6 0,25 log 34 ht log8 4 log6 log3 3 7 in 8) H = log6 om lg 62 82 lg102 1 m 12) L = log 2013 log (log 256) log0,25 log9 (log 64) log 2013 log (log 28 ) log 0,25 log9 (log 43 ) su 1 3 1 log 2013 log log 0,25 log9 3 log 2013 log 22 23 log log 2013 log 2013 2 2 2 g ia 13) M log 2.log 3.log 4.log 5.log 6.log log 7.log 6.log 5.log 4.log 3.log log 14) N lg(tan10 ) lg(tan 20 ) lg(tan 880 ) lg(tan 890 ) lg(tan10 ) lg(tan 89 ) lg(tan 20 ) lg(tan 880 ) lg(tan 44 ) lg(tan 460 ) lg(tan 450 ) w lg tan10.tan 890 lg tan 20.tan 880 lg tan 44 0.tan 46 lg tan 450 lg tan10.cot10 lg tan 20.cot 20 lg tan 440.cot 440 lg tan 450 w w lg1 lg1 lg1 lg1 Ví dụ 2: Đơn giản biểu thức sau (giả sử biểu thức có nghĩa): 1) A = log a a a a 3) C = lg log a3 a a 2) B = log a b log b a log a b log ab b log b a 4) D = log 2a log a a log a log2 a 1 log a 3log a 1 Trang GV: Lienxo86 log a TT gia su Minh Tam (08) 38 908 900 - 0967 783 633 www.giasuminhtam.com Giải: 1) A = log a a 24 a 35 16 14 14 log a a a log a a a log a a a log a a a a 2) B log a b logb a log a b log ab b log b a log a b log a b.log b a log ab b.log b a log a b log a b 1 1 log a ab log a b 1 log a b log b log b 1 1 a a log a b log a b log a b c log a b 1 om log b log a b log a b 1 a 1 log ab a log a b log a b a a lg log a3 a.a 5 1 lg log a lg log 3 a 10 lg lg 1 a 10 10 a3 a3 log 2a log a a log a log a log a 1 am 3) C = lg log 2log a log a log a 1 8log a 3log a 3log a 1 log a 3log a 1 log a 3log a 2 m in log a 3log a 1 ht 4) D = Ví dụ 3: Cho log a b ; log a c 2 Tính log a x biết: 1) x a 3b c su 2) x a4 b c3 3) x log a a bc g ia Giải: Cho log a b ; log a c 2 1) Với x a 3b c 1 log a x log a a 3b c log a a log a b log a c 2log a b log a c 2.3 2 2 w a4 b c3 w 2) Với x w log a x log a 3) Với x log a a4 b 1 log a a log a b log a c log a b 3log a c 2 1 c 3 a bc a c b3 log a x log a a bc a cb log a a 2b c 1 a b 3c log a a3c 8 log a a log a b log a c b3 5 log a b log a c 2 8 3 3 Trang GV: Lienxo86 a cb3 TT gia su Minh Tam (08) 38 908 900 - 0967 783 633 www.giasuminhtam.com Ví dụ 4: Hãy biểu diễn theo a ( b c) biểu thức sau: 1) A = log 20 0,16 biết log a 2) B = log 25 15 biết log15 a 3) C = log 40 biết log a 5 5) E = log 35 28 biết log14 a log14 b 4) D = log (21, 6) biết log a log b om 6) F = log 25 24 biết log 15 a log12 18 b 49 biết log 25 a log b 7) G = log125 30 biết lg a lg b 8) H = log 9) I = log140 63 biết log a ; log3 b ; log c 10) J = log 35 biết log 27 a ; log8 b ; log c Giải: 2) B = log 25 15 biết log15 a Ta có: a log15 am c 1) A = log 20 0,16 biết log a log 3log 3a Ta có: A = log 20 0, 04 log 20 log (2 2.5) log a log3 3.5 1 1 a log3 log3 a a in ht 1 a 1 log 15 log (3.5) log a B = log 25 15 a 1 a log 25 log 52 2log a 3a Ta có: a log log log log 5 22 m 3) C = log 40 biết log a 5 g ia su 3a 3 log 40 log (23.5) log 3a C = log 40 log 10 log (2.5) log 3a 3a 4) D = log (21, 6) biết log a log b 2.33 log 21, 3log log 3a b Ta có: D = log (21, 6) log log 2.3 log 1 a w log w 5) E = log35 28 biết log14 a log14 b w Ta có: a log14 b log14 log7 2.7 1 1 a log a a log log log 1 a b log b(1 log 2) b 1 log 7.2 log a a E = log 35 28 log 28 log (7.2 ) log log 35 log (7.5) log 1 a a 2a b ab 1 a Trang GV: Lienxo86 TT gia su Minh Tam (08) 38 908 900 - 0967 783 633 www.giasuminhtam.com 6) F = log 25 24 biết log 15 a log12 18 b log 18 log 2.3 2log (2) b log12 18 log 12 log 22.3 log log 15 log log (1) Ta có: a log 15 log log 2b b2 2b 2b a ab Từ (1) log a 1 log 3 log a 1 log a a 1 a b2 b2 2b 3 log 24 log log b 5 b2 F = log 25 24 2b a ab 4b 2a 2ab log 25 log 2log b2 c om Từ (2) b (2 log 3) log (b 2) log 2b log 7) G = log125 30 biết lg a lg b 49 biết log 25 a log b log log log Ta có: a log 25 log ab log 25 log 2b in ht 8) H = log am lg 30 lg 3.10 lg 1 a 10 Ta có: b lg lg lg lg b G = log125 30 lg125 3lg 1 b lg 5 49 72 log 49 log 2.2 ab 12ab H = log 1 b log b log log 3 9) I = log140 63 biết log a ; log b ; log c su m log g ia Ta có : log log 3.log ab I = log140 63 log 32.7 log 63 log log 2a c log 140 log 5.7 log log ab c 10) J = log 35 biết log 27 a ; log b ; log c w w w log log log a log 27 log 27 3log 3c log 3ac log 35 log log 3ac 3b 2 J = log 35 log log 1 c b log log log log 3b log Ví dụ 5: Tính giá trị biểu thức: 1) A = log b a b biết log a b a 2) B = a4 a4 a a Trang GV: Lienxo86 b 2 b2 b b biết a 2013 ; b 2012 TT gia su Minh Tam (08) 38 908 900 - 0967 783 633 www.giasuminhtam.com Giải: 1 3 log a b 2) B = a4 a4 a a a a b a 3log b log a b a 1 log b a 2 1 log a b 1 2 log a b log a b 1 3 log a b log a b log a b log a b 3 2 biết a 2013 ; b 2012 b b b 2 a 1 a b 1 b a 1 a b 2 1 a 1 b a b 2013 1 b 2012 ht a a b b a b2 b b B= b b a a2 om b a b log c b log a b a am A = log b biết log a b a 1) A = log Giải: log a b log a c log a c Ta có: w w 1) log ac (bc) log a c b Đặt a w 2) a logb c log 3) Nếu 4a 9b ab lg 1 lg a 6) Nếu a log12 18 ; b log 24 54 thì: ab 5(a b) c a b 8) Trong số: log ; log log ln có số lớn a b c b c a b c a c 10 g ia 5) Nếu a 10 ; b 10 b c 7) log log a a c b 1 lg c su 1 lg b m in Ví dụ 6: Chứng minh (với giả thiết biểu thức có nghĩa): log a b log a c 2a 3b lg a lg b log c log a 3) Nếu 4a 9b 4ab lg 2) a b c b 1) log ac (bc) log a c 4) Nếu a 4b 12ab log 2013 (a 2b) 2log 2013 (log 2013 a log 2013 b) bc log a bc log a b log a c log a bc log ac (bc ) (đpcm) log a c log a a log a c log a ac a logb c a t log c log a a b c b (đpcm) t logb a log a log at c bt c bt b b b a t 2a 3b lg a lg b 2 2 2 Ta có: 4a 9b ab a 12ab 9b 16ab 2a 3b 2 2a 3b 16ab ab 2a 3b a 3b lg a lg b a 3b (đpcm) lg lg a lg b lg lg ab lg 4 Trang 10 GV: Lienxo86 (08) 38 908 900 - 0967 783 633 1 10) f ( x) x ln x đoạn ;e e 1 x 0 e ;e 1 x e ;e e ln x x Ta có : f '( x) x ln x x x ln x 1 ln x ln e 1 e e e e 2 e 2e max f ( x) 2e4 x e2 x 1;e2 e 1 f ( x) x e e x 1;e2 e đoạn [e; e2 ] c 11) f ( x) f Mà : f f www.giasuminhtam.com om TT gia su Minh Tam ht am x với x e; e2 hàm số nghịch biến với x e; e2 Ta có : f '( x) ln x ln x x ln x ln x 1 ) (Có thể tính f '( x) cách : f ( x) ln x f '( x) ln x x x ln x ln x m in max f ( x) x e xe;e2 Cách : Với e x e2 f (e ) f ( x ) f (e ) f ( x ) 2 f ( x) x e2 e ; e2 x su max f ( x) x e f ( e) xe;e2 Cách : Ta có : 2 f (e ) f ( x) x e2 e ; e2 x g ia 12) f ( x) 27 x x 8.3x đoạn [0;1] Đặt t x với x 0;1 t 1;3 f ( x) t t 8t g (t ) với t 1;3 t 1;3 Ta có : g '(t ) 3t 2t t (loai) w w w g (1) 9 max f ( x) 7 x x0;1 Mà : g (2) 13 g (3) 7 x0;1 f ( x) 13 x log 13) f ( x) log x log x [10;1000] Đặt t log x với x 10;1000 t 1;3 f ( x) t 4t g (t ) với t 1;3 Ta có : g '(t ) 2t t 1;3 g (1) Mà : g (2) 1 g (3) xmax f ( x) 10;1000 f ( x) x10;1000 x 10 x 1000 x 100 Trang 29 GV: Lienxo86 TT gia su Minh Tam (08) 38 908 900 - 0967 783 633 www.giasuminhtam.com 14) y x x ln x đoạn [1; 2] (TN – 2013) x x2 x (ln x 1) x2 x x2 ln x ln x x2 3x 3x m Giải: 3x 3x m (*) ht 1) Xét hàm số : f ( x) 3x 3x với x log (*) có nghiệm : x 3 53 Ta có : lim f ( x) lim x 3x x 3 x 0 x x ;log3 5 3x 3x bảng biến thiên : g ia x ;log3 5 w f ( x) 2 Vậy bất phương trình có nghiệm : m 2 (2*) w 2) x m.2 x m x m x 1 TH1 : x bất phương trình có dạng : (vơ lí) 4x m (2*1) 2x 1 4x TH3: x x Khi bất phương trình có dạng: x m (2*2) 1 t2 4x Xét hàm số: f ( x ) x Đặt t x f ( x) t 1 g (t ) 1 t 1 t 1 t t 1 g '(t ) t 1 t 1 w TH2 : x x Khi bất phương trình có dạng: Trang 30 GV: Lienxo86 f ( x) m 3x 3x x x su x x in Ta có : f '( x) 3x ln 3x ln m 3x ln 2) x m.2 x m am Ví dụ 11: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: 1) c x x2 2 0 x x x x x x y ' với x [1; 2] Mà x2 ln x x [1; 2] max y y (1) x x1;2 Suy hàm số nghịch biến đoạn [1; 2] x1;2 y y (2) ln x om Ta có: y ' (08) 38 908 900 - 0967 783 633 +) Với x t lim g (t ) lim t 1 t 1 www.giasuminhtam.com t2 ta có bảng biến thiên: t 1 (2*1) m f ( x) g (t ) Vậy (2*1) m x 0; (1) t1; +) Với x t lim g (t ) lim t 1 am c t 1 t2 ta có bảng biến thiên: t 1 om TT gia su Minh Tam Từ bảng biến thiên ta có: (2*2) m 3 in ht (2) m 3 Từ (1) (2), suy bất phương trình (2*) có nghiệm khi: m Ví dụ 12: Tìm m để bất phương trình: 3x 3x m có nghiệm với x (; log3 5] m 1) su 2) ( m 1).4 x x 1 m có nghiệm với x 3) m.9 x (2m 1).6 x m.4 x có nghiệm với x [0;1] 1) g ia Giải: 3x 3x m với x (; log3 5] (*) Xét hàm số : f ( x) 3x 3x với x log3 (*) với x (; log3 5] : w 3x ln Ta có : f '( x) x w 3 3x ln 53 Ta có : lim f ( x) lim x 3 3x x x x 0 m ax m m ax x ;log3 5 3x 3x bảng biến thiên : f ( x) Vậy bất phương trình với x (; log3 5] : m Trang 31 GV: Lienxo86 f ( x) m 3x 3x x x w x x 3x ln x ;log3 5 TT gia su Minh Tam (08) 38 908 900 - 0967 783 633 2) ( m 1).4 x x 1 m với x www.giasuminhtam.com (2*) Đặt t x với t Khi (2*) có dạng: m 1 t 2t m với t m t 1 t 2t với t m 2t 4t t 1 t 1 t 2t t 1 t 2t bảng biến thiên: t t2 1 om g '(t ) t 2t g (t ) với t (2**) t2 1 lim g (t ) lim am c t 3) m.9 x (2m 1).6 x m.4 x với x [0;1] x (3*) x in 9 3 (3*) m 2m 1 m với x [0;1] 4 2 ht Dựa vào bảng biến thiên: (2**) m Vậy bất phương trình với x khi: m x m 3 3 Đặt t với x 0;1 t 1; 2 2 su 3 Khi (3*) trở thành: mt 2m 1 t m với t 1; 2 3 m t 2t 1 t với t 1; 2 w g ia 3 m t 1 t với t 1; (3*1) 2 +) Với t bất phương trình có dạng: 1 (luôn đúng) t 3 +) Với t 1: (3*1) m g (t ) với t 1; (3*2) 2 t 1 t 3 với t 1; lim g (t ) lim t 1 t 1 t 1 2 t 1 t 1 w w Ta có: g '(t ) Ta có: (3*2) m m ax g (t ) 6 Vậy với m 6 bất phương trình có nghiệm với x [0;1] 3 t1; 2 Trang 32 GV: Lienxo86 TT gia su Minh Tam (08) 38 908 900 - 0967 783 633 www.giasuminhtam.com x 1 14) x x 13) x ln x x x với x b x 1 a 1 16) a a 2b b với a b (D – 2007) b c 15) a b b a với a b y 19) a ab bc c abc a b c với a, b, c 2y x y 21) ln với x, y x 2x y 23) x n x với x (0;1) 2ne Giải: 1) e x x với x m su ba b ba với a b ln b a a in 20) a.2 a b.2b c.2 c a b c 2a 2b 2c với a, b, c 22) x 17) x 3x y y với x y b a với a, b, c a b b với x ht ac 18) bc x ln 1 x x với x 1 x 12) ln x ln x với x x 10) c 9) ln( x 1) x với x am ln x với x 0; x x 1 x 2x với x 11) ln( x 1) x2 8) om Ví dụ 13: Chứng minh bất đẳng thức sau: x2 xn 1) e x x với x 2) e x x với x ; n 3) e x x với x n! n x ln a x ln a với x ; a ; n 5) ln(1 x) x với x 4) a x x ln a 2! n! x2 x2 xn 7) e x cos x x 6) ln 1 x x với x x n! 2 w w g ia (1*) (1*) e x x với x Cách Xét hàm số: f ( x) e x x với x Ta có: f '( x) e x x w Từ bảng biến thiên ta có: f ( x) với x hay e x x với x (đpcm) Cách (thực chất cách trình bày khác Cách 1) Xét hàm số: f ( x) e x x với x Ta có: f '( x) e x với x f '( x) x f ( x) đồng biến với x nên với x f ( x) f (0) hay e x x với x (đpcm) Trang 33 GV: Lienxo86 TT gia su Minh Tam (08) 38 908 900 - 0967 783 633 www.giasuminhtam.com x2 xn với x ; n n! x2 xn Xét hàm số: f n ( x) e x x n! Ta chứng minh: f n ( x) (*) với x ; n 2) e x x om +) Với n : f1 ( x) e x x f1 '( x) e x với x f '( x) x hàm số f1 ( x) đồng biến với x f1 ( x) f1 (0) Vậy (*) với n +) Giả sử (*) với n k hay f k ( x) x2 xk x k 1 Thật vậy: k ! k 1 ! c +) Ta cần chứng minh (*) với n k hay f k 1 ( x) e x x x2 xk f ( x) e x f k ( x) (theo giả thiết quy nạp) f k'1 ( x) x k! hàm số f k 1 ( x) đồng biến với x f k 1 ( x) f k 1 (0) Vậy (*) với n k x x2 xn với x ; n N n! (đpcm) ht Theo phương pháp quy nạp e x x am ' k 1 in 3) e x x với x (3*) x (3*) e x với x Xét hàm số: f ( x) e x x với x Ta có: f '( x) e x x x x x g ia su x m lim f ( x) lim e x x 1 ; lim f ( x) lim e x x 1 Từ bảng biến thiên ta có: f ( x) với x hay e x x với x (đpcm) x ln a x ln a x ln a n w w với x ; a ; n 2! n! Đặt t x ln a a x e x ln a et với t 4) a x w Khi tốn phát biểu lại là: Chứng minh et t t2 tn với t ; n (quay ý 2)) n! 5) ln(1 x) x với x Xét hàm số: f ( x) ln 1 x x với x x 1 với x 1 x 1 x hàm số f ( x ) nghịch biến với x f ( x) f (0) Ta có: f '( x ) hay ln 1 x x với x (đpcm) Trang 34 GV: Lienxo86 TT gia su Minh Tam (08) 38 908 900 - 0967 783 633 www.giasuminhtam.com x2 xn 6) ln 1 x x với x n! x2 xn Xét hàm số: f ( x) ln 1 x x với x n! x n 1 xn n 1! n! Ta có: f '( x) 1 với x x xn x2 xn x x n! n! 2 om x 7) e x cos x x x2 với x am x2 với x Ta có: f '( x) e x sin x x f ''( x) e x cos x với x c x2 xn f ( x ) nghịch biến với x f ( x) f (0) hay: ln 1 x x với x (đpcm) n! Xét hàm số: f ( x) e x cos x x ht x f '( x) f '(0) f '( x ) đồng biến với x Do đó: x f '( x) f '(0) su m in x2 ta có: lim f ( x) lim e x cos x x x x g ia Từ bảng biến thiên ta có: f ( x) với x hay e x cos x x x2 với x (đpcm) ln x với x 0; x x 1 x x 1 Xét hàm số: f ( x) ln x với x x x x x 1 x 1 x x 1 Ta có: f '( x) với x 0; x x x x 2x x 2x x f ( x ) nghịch biến với x 0; x Do đó: w 8) w w x 1 x 1 ln x (vì x ) x 1 x x x x 1 x 1 ln x +) Với x f ( x) f (1) hay ln x ln x (vì x ) x 1 x x x ln x Từ (1) (2) với x 0; x (đpcm) x 1 x +) Với x f ( x) f (1) hay ln x ln x Trang 35 GV: Lienxo86 (1) (2) TT gia su Minh Tam (08) 38 908 900 - 0967 783 633 www.giasuminhtam.com 9) ln( x 1) x với x Xét hàm số f ( x ) ln( x 1) x với x Ta có: f '( x) 1 x 1 x 1 x x 1 x 1 x Từ bảng biên thiên ta có: f ( x) ln 10) am hay ln( x 1) x với x (đpcm) c om lim f ( x) lim ln( x 1) x ; lim f ( x) lim ln( x 1) x x x x 1 x 1 x ln 1 x x với x 1 x ht +) Xét hàm số: f ( x) ln 1 x x với x x 1 với x 1 x 1 x hàm số f ( x ) nghịch biến với x f ( x) f (0) in Ta có: f '( x ) Ta có: g '( x) x với x 1 x x với x 1 x su +) Xét hàm số: g ( x) ln 1 x (1) m hay ln 1 x x với x 1 x 1 x 2 g ia hàm số g ( x ) đồng biến với x g ( x) g (0) x với x 1 x x ln 1 x x với x (đpcm) 1 x w Từ (1) (2) hay ln 1 x w 11) ln( x 1) 2x với x x2 w Xét hàm số: f ( x) ln( x 1) Ta có: f '( x) 2x với x x2 x2 với x x x 1 x x 2 f ( x ) đồng biến với x f ( x) f (0) hay ln( x 1) 2x với x (đpcm) x2 Trang 36 GV: Lienxo86 (2) 12) ln x (08) 38 908 900 - 0967 783 633 ln x với x x x Ta có: f '( x) x2 x2 www.giasuminhtam.com Xét hàm số: f ( x ) ln x 2 1 x x 1 x x x x 2 x x x x2 x2 x2 x2 x2 x2 x2 x x2 x hàm số đồng biến 0; x2 x x2 x2 x2 x2 x2 x2 x2 x2 x x2 x2 (1) 1 x2 Mặt khác: lim f ( x) lim ln x ln x lim ln x x x x x Từ (1) (2) f ( x) với x hay ln x với x 1 x (2) c ln x với x (đpcm) x am ln x với x x om TT gia su Minh Tam Ta có: f '( x) ln x x x x 1 x2 x x2 x 1 x ln x x 2 in ht 13) x ln x x x với x Xét hàm số: f ( x) x ln x x x với x Khi đó: f '( x) ln x x x x x x 1 x x x lim f ( x) lim x ln x x x 2 x x x 1 x x x g ia su m Từ bảng biến thiên ta có: f ( x) với x R hay x ln x x x với x R (đpcm) x 1 14) x x 1 với x w x x 1 Ta có: x x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 ln x ln x ln x x 1 ln 0 x ln x x 1 ln 2 x 1 với x Xét hàm số: f ( x ) x ln x x 1 ln x 1 x 1 2x Ta có: f '( x ) ln x ln (1) ln x ln ln 2 x 1 2x 2x Mà: x x x ln (2) x 1 x 1 Từ (1) (2) f '( x) với x f '( x) x hàm số f ( x ) đồng biến với x x w w x f ( x) f (1) hay x ln x x 1 ln x 1 (đpcm) Trang 37 GV: Lienxo86 TT gia su Minh Tam (08) 38 908 900 - 0967 783 633 www.giasuminhtam.com 15) a b b a với a b Ta có BĐT cần chứng minh: a b b a ln a b ln b a b ln a a ln b ln a ln b với a b a b ln x ln x với x 0;1 Ta có: f '( x) với x 0;1 x x2 ln a ln b (đpcm) f ( x ) đồng biến với x 0;1 Vậy với a b f ( a ) f (b) hay a b b om Xét hàm số: f ( x) a 1 16) a a 2b b với a b (D – 2007) b a Xét hàm số: f (t ) ln 4t 1 t ln a 1 ln 4b 1 am b ln a 1 a ln 4b 1 c b a 4a 1 4b 1 4a b 4b a ln 4a b ln 4b a a b 1 Ta có: a b 2ab 2ab với t a b với a b in ht 4t ln ln 4t 1 4t ln 4t 1 ln 4t 1 4t Ta có: f '(t ) với t t2 4t 1 t hàm số nghịch biến với t y x m a ln 4b 1 b su Với a b f (a ) f (b) ln a 1 (đpcm) 17) x 3x y y với x y x y 2 y 3 y x y y x y x y x y 2 x 1 y 1 xy 1 xy 1 2 2 g ia Ta có: x x y x w x y x y x y 1 1 ln 1 ln 1 y ln 1 x ln 1 2 2 2 2 2 2 w w x y ln 1 ln 1 x y 2 ln 1 a ln 1 a với a (*) x y x y Xét hàm số f (t ) ln 1 a t t với t a t ln a t ln 1 a t a t ln a t 1 a t ln 1 a t at Ta có: f '(t ) với t t2 1 a t t Vậy f (t ) nghịch biến với t Nên với x y f ( x) f ( y ) hay (*) (đpcm) Trang 38 GV: Lienxo86 x ac 18) bc b c (08) 38 908 900 - 0967 783 633 b xa Xét hàm số: f ( x) xb a với a, b, c a b b xa Từ (*) ln f ( x) ln xb f '( x) xa ln f ( x) xb x b www.giasuminhtam.com xb (*) với x, a, b xa x b ln xb ba x b x b xa xb xa ba xa ba ln f '( x) ln f ( x) (1) xb xa x b x a om TT gia su Minh Tam hàm số g ( x ) nghịch biến với x 0; am xa ba Mà lim g ( x) lim ln g ( x) với x (2) x x xb x a Từ (1) (2) f '( x) với x, a, b a b c với a, b, c b (đpcm) su m a b c ln a abbc c ln abc a ln a b ln b c ln c a b c ln a ln b ln c Xét hàm số: f ( x ) ln x đồng biến với x a a bb cc abc a b c a b in 19) a ab bc c abc b c ht hàm số f ( x ) đồng biến với x 0; ac Vậy với c f ( c) f (0) hay bc c b a ba ba xa ba Đặt g ( x) ln g '( x) với x, a, b 2 x a x b x a xb xa x a x b g ia Khi với a, b, c ta ln có: a b ln a ln b a ln a b ln b a ln b b ln a b c ln b ln c b ln b c ln c b ln c c ln b c ln c a ln a c ln a a ln c c a ln c ln a a ln a b ln b c ln c a ln b ln c b(ln c ln a ) c(ln a ln b) (*) Cộng vế (*) với a ln a b ln b c ln c ta được: w a ln a b ln b c ln c a b c ln a ln b ln c (đpcm) w 20) a.2 a b.2b c.2 c a b c 2a 2b 2c với a, b, c w Xét hàm số: f ( x) x đồng biến với x Khi với a, b, c R ta ln có: a b a 2b a.2 a b.2b a.2b b.2 a b b c c c b b c b.2 c.2 b.2 c.2 c.2c a.2 a c.2 a a.2c c a c a a.2a b.2b c.2c a 2b 2c b(2c 2a ) c (2 a 2b ) (*) Cộng vế (*) với a.2a b.2b c.2c ta được: a.2 a b.2b c.2 c a b c 2a 2b 2c (đpcm) Trang 39 GV: Lienxo86 TT gia su Minh Tam (08) 38 908 900 - 0967 783 633 www.giasuminhtam.com 2y x y với x, y 21) ln x 2x y 2y x(t 1) 2(t 1) x y với t tx x y y x(t 1) Đặt t t 1 x y x x(t 1) x Khi tốn trở thành chứng minh: ln t t 1 t 1 t 1 với t với t om Xét hàm số f (t ) ln t t 1 Với t f (t ) f (1) ln t t 1 t 1 hay ln t t 1 t 1 ba b ba với a b ln b a a ba b ba ln b ln a Ta có: ln b a a b ba a với t (đpcm) am 22) c (t 1)2 với t hàm số đồng biến với t Ta có: f '(t ) t t 12 t t 1 g ia su m in ht f ( x ) liên tục a; b x f (b ) f ( a ) ln b ln a (1) Áp dụng định lý La – gơ – c a; b : f '(c ) ba ba c 1 Mặt khác: a c b (2) b c a ln b ln a (đpcm) Từ (1) (2) b ba a 23) x n x với x (0;1) 2ne 1 Ta có: x n x x n 1 x 2n 1 x x n 2ne e 2ne Xét hàm số: f ( x ) ln x với x a; b ta có: f '( x ) 2n 2nx 2nx Áp dụng BĐT Cauchy ta có: 2n 1 x x n 2n 2nx x.x x 2n 2n w w 2n Ta cần chứng minh: 2n n 1 2n ln e 2n n 1 ln n 1 2n 2n n 1 e 2n 1 ln 2n ln n 1 1 hay ln n 1 ln 2n 2n 1 f ( x ) liên tục 2n; 2n 1 x f (2n 1) f (2n) Áp dụng định lý La – gơ – c 2n; 2n 1 : (1) f '(c ) ln 2n 1 ln 2n 2n 2n c 1 (2) Mặt khác: c 2n c 2n 1 Từ (1) (2) ln 2n 1 ln 2n (đpcm) 2n w Xét hàm số: f ( x ) ln x với x 2n; 2n 1 ta có: f '( x ) Trang 40 GV: Lienxo86 TT gia su Minh Tam (08) 38 908 900 - 0967 783 633 www.giasuminhtam.com Ví dụ 14 Chứng minh rằng: 1) a ln b b ln a ln a ln b với a b a , b x x (CĐ – 2009): x om 12 15 20 2) 3x x x với x Khi đẳng thức xảy (B – 2005) 5 4 Giải: ln a ln b 2 a 1 b 1 1) a ln b b ln a ln a ln b ( a 1) ln b (b 1) ln a x am c (t 1) 2t ln t ln t với t (0;1) với t (0;1) Ta có f '(t ) t Xét hàm số f (t ) (t 1)2 t 1 Suy f (t ) đồng biến khoảng (0;1) Khi a b f ( a ) f (b ) ln a ln b hay (đpcm) a 1 b 1 x ht 12 15 12 2) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số dương ta có: 5 4 5 x x 15 2.3x 4 15 x 20 x x 2.5 4 (1) Tương tự ta được: x x 20 12 2.4 x m in x 12 15 hay 2.3x 5 4 x (2) (3) su 12 x 15 x 20 x Cộng bất đẳng thức (1), (2) (3) ta được: 3x x x x x x g ia 12 15 20 hay 3x x x (đpcm) 5 4 Dấu “=” xảy dấu “=” (1), (2) (3) xảy x 4x Tính tổng: S f x 2 2013 f 2013 2012 f 2013 w w Ví dụ 15: Cho f ( x ) w Giải: Nếu a b ta có : f (a ) f (b ) 4a 4b 4b a 2.4 a b a 4b a 4b 4a 4b b a b (*) 4a 4a 4b a 4b 4a 4b Áp dụng (*) ta : 2012 S f f f 2013 2013 2013 1003 Vậy S 1003 1003 2011 f f 2013 2013 Trang 41 GV: Lienxo86 1004 f 2013 TT gia su Minh Tam (08) 38 908 900 - 0967 783 633 www.giasuminhtam.com Ví dụ 16: Cho a, b, c thỏa mãn: a b b c c a a b c Chứng minh rằng: log a b a log b c b log c a c Giải: Thật vậy: … (các bạn xem lại cách chứng minh Ví dụ – ý 3) Áp dụng (*) ta có: log a a b log a c a b c log a b a log a b c a c Tương tự ta có: logb c b log ab c a b c log c a c log a b c c b om Với hai số x, y z ta ln có: log x y log x z y z dấu " " xảy : z x y (*) log a b a log b c b log c a c log a b c a b b c c a log a b c a b c (đpcm) am Vậy log a b a log b c b log c a c in ht B BÀI LUYỆN Bài 1: Khơng dùng bảng số máy tính so sánh cặp số sau: 5) log log 9) 2) 9 30 20 6) log log g ia 12) log0,1 log 0,2 0,34 3) m su 1) log w w w 1 1 1 1 3) log a b log b c log c a với a, b, c ;1 4 4 4 4 Trang 42 GV: Lienxo86 2) log log 1 3 log 14 log log 0,7 B log Bài 4: Khơng sử dụng máy tính chứng minh 1) log 29 log 8) log 14) log 16 log16 729 Bài 2: Xác định dấu biểu thức sau: A log log 2; 3 11) log3 log 13) log9 80 log 1 4) 3 7) log log 10) 2log6 Bài 3: Chứng minh bất đẳng thức sau: 1) log b c a log c a b log a b c với a, b, c a a a 2) log 1 log với a TT gia su Minh Tam (08) 38 908 900 - 0967 783 633 www.giasuminhtam.com Bài 5: Tìm tập xác định hàm số sau: 5) y log x2 2) y (3 x x ) x 1 x 1 6) y log x2 9) y log 0,3 log3 x5 3) y x x 1 x5 10) y log 7) y log x 1 log x x x 1 4) y (2 x 16) 3 x 3 x 1 8) y log 11) y lg x x Bài 6: Tìm GTLN, GTNN (nếu có) hàm số sau: 1) f ( x) e x x đoạn [0;3] 2) f ( x) ln( x e) [0; e] 4) f ( x) xe x đoạn [0; 2] x x6 c 3) f ( x) log ( x 1) đoạn [1;3] x 1 2x om 1) y ( x x 2) e 2 x 6) f ( x) e x ( x x 2) đoạn [1; 4] 1 8) f ( x) x ln x đoạn ; e 2 am 5) f ( x) x e đoạn [ 1; 2] 7) f ( x) ( x 1)e x đoạn [ 1;1] x khoảng (0; ) 10) f ( x) e2 x 4e x đoạn [0; ln 4] ln x 1 11) f ( x) log x log x log x ; 1 4 2 in ht 9) f ( x) su m Bài : Tìm m để bất phương trình : 1) x 3.2 x 1 m có nghiệm với x 2) (3m 1).12 x (2 m).6 x 3x có nghiệm với x 3) x x m có nghiệm với x (0;1) a b ln ln với a b a b a 1 b 1 w w 3) g ia Bài : Chứng minh bất đẳng thức sau: x2 1) e x x với x 2 x 2) ln x x với x 2 w Mọi ý kiến đóng góp bạn gửi theo email: giasu.minhtam@yahoo.com CẢM ƠN CÁC BẠN ĐÃ ĐỌC TÀI LIỆU ! PHẦN 2: PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LƠGARIT (các bạn theo dõi tiếp theo…) Trang 43 GV: Lienxo86 ... 900 - 0967 783 633 www.giasuminhtam.com PHẦN 1: HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM LÔGARIT I CÁC CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI c om LŨY THỪA (Giả sử biểu thức có nghĩa): m 1) a 2) a n n 3) a n n... 7) ab a b b a b Chú ý: +) Khi xét lũy thừa với số mũ số mũ nguyên âm số phải khác +) Khi xét lũy thừa với số mũ khơng ngun số phải dương am A CÁC VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1: Tính... x 1 x ht +) Xét hàm số: f ( x) ln 1 x x với x x 1 với x 1 x 1 x hàm số f ( x ) nghịch biến với x f ( x) f (0) in Ta có: f ''( x ) Ta có: g ''( x) x với