1. Trang chủ
  2. » Trung học cơ sở - phổ thông

Bài Tập Về Hàm Số Mũ, Lũy Thừa và Logarit Có đáp án

43 1,7K 16

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 43
Dung lượng 1,54 MB

Nội dung

GIẢI ĐÁP TOÁN CẤP PHẦN g ia su m in ht am c om HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT w w w CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI ( Trang – 11 ) ĐẠO HÀM ( Trang 13 – 16 ) GIỚI HẠN ( Trang 16 – 17 ) TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ CÁC BẤT ĐẲNG THỨC ( Trang 18 – 43 ) TT gia su Minh Tam (08) 38 908 900 - 0967 783 633 www.giasuminhtam.com PHẦN 1: HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM LÔGARIT I CÁC CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI c om LŨY THỪA (Giả sử biểu thức có nghĩa): m  1) a  2) a  n  n 3) a n  n a m 4)  a   a a   a a  a 5) a a   a   6)   a   8)     7)  ab   a b b a b Chú ý: +) Khi xét lũy thừa với số mũ số mũ nguyên âm số phải khác +) Khi xét lũy thừa với số mũ khơng ngun số phải dương am A CÁC VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1: Tính giá trị biểu thức sau: 2) B = (0, 04) 4) D = 43 21 2 3 5) E = 1,5  (0,125)   18 27 Giải: 0,25 6) F =  1 2   4 2) B =  (0,125)       25   g ia (0, 04)  su 1) A =    2    23   23  22  12 1,5 w 4  1 3) C =  0,5   6250,25     4 w 4) D = 43 2.21 2.23 w 5) E = 6) F = 6  F3    1   8  3 2  5   4 3  19  3   21      18 27  262 2.22 81 5 12 1 2   3    53  2  121  11  2           4    19 3 (3)3 19  3   19  5    11      10 27  2   27  24  16 35.3 2.3 35 1 1  10  2   3.2 3    10 3   3  3 847 847  6 Ta áp dụng đẳng thức :  a  b   a  b3  3ab  a  b  27 27 847 847 847 847  847 847   6  6 6  33   6 27 27 27 27  27 27    Trang GV: Lienxo86 1 847 847  6 27 27 6 m 4 3) C =  0,5  625 81 5 12 3  ht 1) A =  in 2  19  3 3 TT gia su Minh Tam  F3  12  3 36  (08) 38 908 900 - 0967 783 633 www.giasuminhtam.com 847 F  12  5F  F3  5F  12    F  3  F2  3F  4  27  F = F2  3F   (vô nghiệm) Vậy F = Ví dụ 2: Đơn giản biểu thức sau (giả sử biểu thức có nghĩa): 35 a 1   1 1 2  a  b  a  b  :  a4  b4  a 3) C =  1 1    b   a  a 2b4 a  b4     a   a a  4) D = 1    :  a2  b2    b b      5) E =  a  b    2      ab  ab  b  7) G =  ab  : a b a  ab  b  ab  a2 1  b 1    a 9) I = 2  a  a  ab  4b  a  8a b 1    3 a   a a    a   a  a     in 3 m Giải: 1) A = ht   1 2 a b a  b2   ab    8) H =  1    a b  a2  b2     b b2  :  b  2b    a a   am   3 a b   :2 a  b  6) F =     b a ab   om 1) A = 24 c  a b 4 2) B =    b a   35  4 7 1 1        b   b 5  a  b5 b                    a   b a   a   a          su  a b 2) B =    b a   35 g ia   1 1     1 1 1 2 2  ab a b   b  a  b  a  b  :  a4  b4  a   3) C = : a  b4    1 1     1  b  2 a      a4  b4    a  a  b4  a4  b4   a a b       1 w w a  b  a  a 2b2  1   a2  a4  b4    1   a b2  a2  b2  a b a   1   b a b   b  2  a  a b  a b    2 w    a a  a 4) D = 1    :  a  b   1      : b b  b       5) E =  a  b      a b  b b2    :  b  2b  a a    a a a b  b b a b     a b     b a b Trang GV: Lienxo86  a b b   : b    a     a b   b :  a    b  a b    TT gia su Minh Tam (08) 38 908 900 - 0967 783 633 www.giasuminhtam.com 1     a3  b3  a3  b3     :2 a  b     : ab  6) F =     b a ab ab   2  a  a   3 ab a3b ab   ab a b  1 ab  ab  b a ab  ab  ab ab  7) G =  ab   : a b a  ab  b  ab a  ab ab  b b  ab   2    a  b   ab    a  b 8) H =    a b  a2  b2    a b       b   a b a b  1      1  a  b   a  a 2b2  b   1 a2  b2    a 2b      1 1       a2  b2 a2  b2   a2  b2                2 a b  a  2a b  b   1 =  1 1     2 a b  a b      3 ht 1 3 m 3  a   2 b     3 a  ab  4b 3 a a a  23 b 1  a  23 b   a3     a   g ia B BÀI LUYỆN 2  a   a  b   a   ab   b       a   a  b   a   ab   b       su  a   in  a  a  8b  a  8a b b 9) I = 1    a  2  1 a  a  ab  4b  a  a b  4b 3 a c  om a ab a b a ab  a  ab ab  b a a b am  3 3 3 3 3 2 3  a a 0 Bài 1: Tính giá trị biểu thức sau:  2) B = w  3 1) A =  32    7 w 4  2  4) D =    (0, 2)0,75      23 2 (18)7 24.(50)3 (225)4 (4)5 (108) 6) F = w 5) E =        1      3) C =    :  :  :  3.2 4.3                Bài 2: Đơn giản biểu thức sau (giả sử biểu thức có nghĩa): a 1) A = a a a 2) B = 3 a 3) C = a4  a4 a4  a4  b    b2 b2  b  4) D = Trang GV: Lienxo86 10 3 :10 2  (0, 25)0  10 2 (0, 01)3 ( 1) a 2 1 23.2 1  53.54  (0, 01)2 10 2 a3b a6b 2 1 TT gia su Minh Tam (08) 38 908 900 - 0967 783 633 www.giasuminhtam.com   a  1 LÔGARIT: Giả sử biểu thức có nghĩa  log a b có nghĩa   b   1) log a  3) log a b  loga c  log a (bc) 4) log a b  log a c  log a b c log a b    log a b   6) log a b  log a b   b  log a b  log a b    log a b.log b a   log a b  log a  b 7) log a b.log b c  log a c   log c  log a c  b log a b  +) Lôgarit thập phân : log10 b  log b  lg b +) Lôgarit tự nhiên ( lôgarit Nêpe) : log e b  ln b ( e  2, 71828 ) loga b  Chú ý: am c om 5) a 2) log a a  ht A CÁC VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1: Tính giá trị biểu thức sau:    in 2) B = log 3.log3 36 2log5  log5 7) G = lg 25 1  log 27  log125 81 25 5) E=  49 1 2log2  36 e log6 ln3 8) H = 4 log8 27 3) C = log 5.log 25 6) F = log3 2  27 log9 2 log8 27 0,25 0,5log9 11) K = log (log 8) 12) L = log 2013 log (log 256)  log0,25  log9 (log 64) 13) M  log 2.log 3.log 4.log 5.log 6.log 14) N  lg(tan10 )  lg(tan 20 )   lg(tan 880 )  lg(tan 890 ) w Giải:    1 2  log  log   log    log  log 32  2 6 3  22   w 1) A = log log w 2) B = log 3.log3 36  log 3) C = log 5.log 25 4) D = 5) E   9 3 2log5 36  log 62 62  15  3  log 1 5.log 33  (5)    log3 5.log5  27  2  2   33    3log3 1  log 27  log125 81 25 log3 3 5 1  log 1 33  log 34 5   52   log log 36 2log 71  10log99 9) I = lg  81  27        81 g ia 10) J =  log7 log6 su 4) D = m  1) A = log3 log 2 1 log5 3 log5 3 5 Trang GV: Lienxo86 1 2log5 5 log5 32  5.5  5.9  45 TT gia su Minh Tam 6) F = log 3 2  log9 2 log8 27   log 3 2  log   3  2log   log  3     log 32 7) G = lg 25  27 (08) 38 908 900 - 0967 783 633 log5  49 log7 e ln  3    log 2 2 www.giasuminhtam.com  log3 log  2     log 33    log 3        log 1  2  1  3 2      lg  52     log5    72 log7     lg  5log5 62  7log7 82              22  log log 36 2log 71   9) I = lg  81  27    lg       log 54 log 63 log 71   lg  3  3  3   lg   1 2log 10) J   36 log6 0,250,5log9  81  log  34  log3 62  99  log3    33 log 62 log 82  99   82  99  2log 71  3     54  63  71  lg  29  71  lg100  1 2log   22   2 c log3 am    10log99  32 22 4log 2 11) K = log (log 8)  log  log 23   log 3  6    62 log6 0,25  log    34 ht log8 4 log6  log3     3 7 in 8) H = log6 om  lg 62  82   lg102     1   m 12) L = log 2013 log (log 256)  log0,25  log9 (log 64)   log 2013 log (log 28 )  log 0,25 log9 (log 43 )    su  1 3 1  log 2013  log  log 0,25  log9 3   log 2013  log 22 23  log   log 2013     log 2013      2   2   2   g ia 13) M  log 2.log 3.log 4.log 5.log 6.log  log 7.log 6.log 5.log 4.log 3.log  log  14) N  lg(tan10 )  lg(tan 20 )   lg(tan 880 )  lg(tan 890 )  lg(tan10 )  lg(tan 89 )   lg(tan 20 )  lg(tan 880 )    lg(tan 44 )  lg(tan 460 )   lg(tan 450 )       w  lg  tan10.tan 890   lg  tan 20.tan 880    lg  tan 44 0.tan 46   lg  tan 450   lg  tan10.cot10   lg  tan 20.cot 20    lg  tan 440.cot 440   lg  tan 450  w w  lg1  lg1   lg1  lg1       Ví dụ 2: Đơn giản biểu thức sau (giả sử biểu thức có nghĩa):  1) A = log a a a a 3) C = lg log a3 a a  2) B =  log a b  log b a   log a b  log ab b  log b a  4) D = log  2a    log a  a log a  log2 a 1 log a  3log a  1  Trang GV: Lienxo86  log a TT gia su Minh Tam (08) 38 908 900 - 0967 783 633 www.giasuminhtam.com Giải:  1) A = log a a 24 a 35  16  14    14      log a  a  a   log a  a a   log a a               a  log a  a a a      2) B   log a b  logb a   log a b  log ab b  log b a    log a b     log a b.log b a  log ab b.log b a   log a b   log a b   1   1  log a ab     log a b  1 log a b   log b    log b 1   1  a a log a b  log a b   log a b  c  log a b  1  om log b  log a b   log a b  1 a  1  log ab a    log a b log a b a a  lg log a3 a.a  5 1  lg log  a   lg log 3 a 10  lg   lg  1 a 10 10  a3  a3 log  2a    log a  a    log a log a log a 1 am 3) C = lg log  2log a  log a  log a  1  8log a 3log a  3log a  1  log a  3log a  1 log a  3log a  2 m in log a  3log a  1  ht   4) D = Ví dụ 3: Cho log a b  ; log a c  2 Tính log a x biết: 1) x  a 3b c su 2) x  a4 b c3 3) x  log a a bc g ia Giải: Cho log a b  ; log a c  2 1) Với x  a 3b c 1  log a x  log a a 3b c  log a a  log a b  log a c   2log a b  log a c   2.3   2   2   w a4 b c3 w 2) Với x  w  log a x  log a 3) Với x  log a a4 b 1  log a a  log a b  log a c   log a b  3log a c     2   1 c 3 a bc a c b3  log a x  log a a bc a cb  log a a 2b c 1 a b 3c  log a a3c 8  log a a  log a b  log a c b3  5  log a b  log a c     2   8 3 3 Trang GV: Lienxo86 a cb3 TT gia su Minh Tam (08) 38 908 900 - 0967 783 633 www.giasuminhtam.com Ví dụ 4: Hãy biểu diễn theo a ( b c) biểu thức sau: 1) A = log 20 0,16 biết log  a 2) B = log 25 15 biết log15  a   3) C = log 40 biết log    a  5 5) E = log 35 28 biết log14  a log14  b 4) D = log (21, 6) biết log  a log  b om 6) F = log 25 24 biết log 15  a log12 18  b 49 biết log 25  a log  b 7) G = log125 30 biết lg  a lg  b 8) H = log 9) I = log140 63 biết log  a ; log3  b ; log  c 10) J = log 35 biết log 27  a ; log8  b ; log  c Giải: 2) B = log 25 15 biết log15  a Ta có: a  log15  am c 1) A = log 20 0,16 biết log  a log   3log   3a Ta có: A = log 20 0, 04  log 20  log (2 2.5)  log  a log3  3.5  1 1 a  log3     log3 a a in ht 1 a 1 log 15 log (3.5)  log a      B = log 25 15   a 1  a  log 25 log 52 2log a  3a   Ta có: a  log    log   log  log    5 22 m   3) C = log 40 biết log    a  5 g ia su 3a 3 log 40 log (23.5)  log   3a     C = log 40  log 10 log (2.5)  log  3a  3a 4) D = log (21, 6) biết log  a log  b 2.33 log  21,    3log  log   3a  b Ta có: D = log (21, 6)   log log  2.3  log 1 a w log w 5) E = log35 28 biết log14  a log14  b w Ta có: a  log14  b  log14  log7  2.7   1 1 a  log    a a  log log log  1 a  b   log  b(1  log 2)  b 1   log  7.2   log a  a   E = log 35 28  log 28 log (7.2 )  log    log 35 log (7.5)  log 1 a a  2a b ab 1 a  Trang GV: Lienxo86 TT gia su Minh Tam (08) 38 908 900 - 0967 783 633 www.giasuminhtam.com 6) F = log 25 24 biết log 15  a log12 18  b log 18 log  2.3   2log (2) b  log12 18    log 12 log  22.3  log log 15 log  log (1) Ta có: a  log 15   log  log  2b b2  2b 2b  a  ab  Từ (1)  log  a 1  log 3  log   a  1 log  a   a  1 a b2 b2  2b 3 log 24 log    log b 5 b2  F = log 25 24      2b  a  ab  4b  2a  2ab  log 25 log 2log b2 c om Từ (2)  b (2  log 3)   log  (b  2) log   2b  log  7) G = log125 30 biết lg  a lg  b 49 biết log 25  a log  b log log log Ta có: a  log 25     log  ab log 25 log 2b in ht 8) H = log am lg 30 lg  3.10   lg 1 a  10  Ta có: b  lg  lg     lg  lg   b  G = log125 30     lg125 3lg 1  b  lg    5 49 72 log 49   log   2.2 ab   12ab   H = log  1 b log b log log 3 9) I = log140 63 biết log  a ; log  b ; log  c su m log g ia Ta có : log  log 3.log  ab  I = log140 63  log  32.7  log 63 log  log 2a  c    log 140 log  5.7   log  log  ab  c 10) J = log 35 biết log 27  a ; log  b ; log  c w w w log log log   a  log 27  log 27  3log  3c  log  3ac log 35 log  log 3ac  3b  2  J = log 35     log  log 1 c b  log  log  log  log  3b  log  Ví dụ 5: Tính giá trị biểu thức: 1) A = log b a b biết log a b  a 2) B = a4  a4 a a  Trang GV: Lienxo86 b  2  b2 b b  biết a  2013  ; b   2012 TT gia su Minh Tam (08) 38 908 900 - 0967 783 633 www.giasuminhtam.com Giải: 1  3    log a b  2) B = a4  a4 a a   a a b a 3log b  log a b a  1    log b a  2   1   log a b  1 2  log a b log a b  1 3      log a b   log a b   log a b   log a b   3    2  biết a  2013  ; b   2012 b b b  2  a 1  a    b 1  b   a 1  a  b  2  1  a   1  b   a  b  2013  1  b    2012  ht a a  b b a   b2 b b B= b b a a2  om b a b  log c  b  log a b a am A = log b biết log a b  a 1) A = log Giải: log a b  log a c  log a c Ta có: w w 1) log ac (bc)   log a c b Đặt a w 2) a logb c log 3) Nếu 4a  9b  ab lg 1 lg a 6) Nếu a  log12 18 ; b  log 24 54 thì: ab  5(a  b)  c a b 8) Trong số: log ; log log ln có số lớn a b c b c a b c a c  10 g ia 5) Nếu a  10 ; b  10 b c 7) log  log a a c b 1 lg c su 1 lg b m in Ví dụ 6: Chứng minh (với giả thiết biểu thức có nghĩa): log a b  log a c 2a  3b lg a  lg b log c log a 3) Nếu 4a  9b  4ab lg 2) a b  c b 1) log ac (bc)    log a c 4) Nếu a  4b  12ab log 2013 (a  2b)  2log 2013  (log 2013 a  log 2013 b) bc log a  bc  log a b  log a c log a bc    log ac (bc ) (đpcm)  log a c log a a  log a c log a  ac  a logb c  a t log c log a   a b  c b (đpcm) t  logb a log a log at  c  bt  c  bt b  b b  a t  2a  3b lg a  lg b  2 2 2 Ta có: 4a  9b  ab  a  12ab  9b  16ab   2a  3b  2  2a  3b   16ab     ab   2a  3b a  3b lg a  lg b  a  3b  (đpcm)  lg   lg a  lg b  lg    lg  ab   lg 4   Trang 10 GV: Lienxo86 (08) 38 908 900 - 0967 783 633 1  10) f ( x)  x ln x đoạn  ;e  e   1  x  0 e ;e      1  x  e   ;e  e   ln x x  Ta có : f '( x)  x ln x  x  x  ln x  1    ln x   ln e    1   e e e e   2  e   2e    max f ( x)  2e4 x  e2  x 1;e2     e   1  f ( x)  x  e e  x 1;e2     e  đoạn [e; e2 ] c 11) f ( x)   f   Mà :  f  f   www.giasuminhtam.com om TT gia su Minh Tam ht am  x  với x   e; e2   hàm số nghịch biến với x   e; e2  Ta có : f '( x)  ln x       ln x x ln x ln x 1   ) (Có thể tính f '( x) cách : f ( x)   ln x   f '( x)    ln x    x x ln x ln x m in  max f ( x)  x  e  xe;e2        Cách : Với e  x  e2  f (e )  f ( x )  f (e )   f ( x )  2  f ( x)  x  e2  e ; e2   x     su  max f ( x)  x  e  f ( e)   xe;e2         Cách : Ta có :  2  f (e )   f ( x)  x  e2   e ; e2   x     g ia 12) f ( x)  27 x  x  8.3x  đoạn [0;1] Đặt t  x với x   0;1  t  1;3  f ( x)  t  t  8t   g (t ) với t  1;3 t   1;3 Ta có : g '(t )  3t  2t     t   (loai)   w w w  g (1)  9  max f ( x)  7 x    x0;1 Mà :  g (2)  13    g (3)  7  x0;1 f ( x)  13 x  log   13) f ( x)  log x  log x  [10;1000] Đặt t  log x với x  10;1000  t  1;3  f ( x)  t  4t   g (t ) với t  1;3 Ta có : g '(t )  2t    t   1;3  g (1)   Mà :  g (2)  1   g (3)     xmax  f ( x)   10;1000   f ( x)   x10;1000    x  10  x  1000  x  100 Trang 29 GV: Lienxo86 TT gia su Minh Tam (08) 38 908 900 - 0967 783 633 www.giasuminhtam.com 14) y  x   x ln x đoạn [1; 2] (TN – 2013) x x2  x  (ln x  1)  x2  x  x2    ln x   ln x x2  3x    3x  m Giải: 3x    3x  m (*) ht 1) Xét hàm số : f ( x)  3x    3x với x  log  (*) có nghiệm : x 3  53 Ta có : lim f ( x)  lim x    3x  x  3 x  0    x   x ;log3 5   3x    3x    bảng biến thiên : g ia  x ;log3 5  w  f ( x)  2 Vậy bất phương trình có nghiệm : m  2 (2*) w 2) x  m.2 x  m    x   m  x  1 TH1 : x  bất phương trình có dạng :  (vơ lí) 4x   m (2*1) 2x 1 4x  TH3: x   x   Khi bất phương trình có dạng: x m (2*2) 1 t2  4x  Xét hàm số: f ( x )  x Đặt t  x  f ( x)   t 1  g (t ) 1 t 1 t 1 t     t  1     g '(t )    t  1  t  1 w TH2 : x   x   Khi bất phương trình có dạng: Trang 30 GV: Lienxo86 f ( x)  m  3x  3x   x   x  su x  x   in Ta có : f '( x)  3x ln 3x ln m 3x ln 2) x  m.2 x  m   am Ví dụ 11: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: 1) c  x  x2  2 0 x  x   x  x  x  x    y '  với x  [1; 2] Mà  x2     ln x  x  [1; 2]  max y  y (1)  x   x1;2 Suy hàm số nghịch biến đoạn [1; 2]    x1;2 y  y (2)   ln x   om Ta có: y '  (08) 38 908 900 - 0967 783 633 +) Với x   t  lim g (t )  lim   t 1 t 1 www.giasuminhtam.com t2    ta có bảng biến thiên: t 1 (2*1)  m  f ( x)  g (t )  Vậy (2*1)  m  x 0;  (1) t1;  +) Với x    t  lim g (t )  lim   t 1 am c t 1 t2    ta có bảng biến thiên: t 1 om TT gia su Minh Tam Từ bảng biến thiên ta có: (2*2)  m  3 in ht (2)  m  3 Từ (1) (2), suy bất phương trình (2*) có nghiệm khi:  m  Ví dụ 12: Tìm m để bất phương trình: 3x    3x  m có nghiệm với x  (; log3 5] m 1) su 2) ( m  1).4 x  x 1  m   có nghiệm với x   3) m.9 x  (2m  1).6 x  m.4 x  có nghiệm với x  [0;1] 1) g ia Giải: 3x    3x  m với x  (; log3 5] (*) Xét hàm số : f ( x)  3x    3x với x  log3  (*) với x  (; log3 5] : w 3x ln Ta có : f '( x)  x  w 3 3x ln 53 Ta có : lim f ( x)  lim x     3  3x  x  x    x   0 m ax  m  m ax x ;log3 5   3x    3x    bảng biến thiên : f ( x)  Vậy bất phương trình với x  (; log3 5] : m  Trang 31 GV: Lienxo86 f ( x)  m  3x  3x   x   x  w x  x 3x ln  x ;log3 5  TT gia su Minh Tam (08) 38 908 900 - 0967 783 633 2) ( m  1).4 x  x 1  m   với x   www.giasuminhtam.com (2*) Đặt t  x với t  Khi (2*) có dạng:  m  1 t  2t  m   với t   m  t  1  t  2t  với t   m  2t  4t  t  1 t  1    t  2t     t  1   t  2t    bảng biến thiên: t  t2 1 om g '(t )  t  2t   g (t ) với t  (2**) t2 1 lim g (t )  lim am c t  3) m.9 x  (2m  1).6 x  m.4 x  với x  [0;1] x (3*) x in 9 3 (3*)  m     2m  1    m  với x  [0;1]  4 2 ht Dựa vào bảng biến thiên: (2**)  m  Vậy bất phương trình với x   khi: m  x m  3  3 Đặt t    với x   0;1  t  1;   2  2 su  3 Khi (3*) trở thành: mt   2m  1 t  m  với t  1;   2  3  m  t  2t  1  t với t  1;   2 w g ia  3  m  t  1  t với t  1;  (3*1)  2 +) Với t  bất phương trình có dạng:  1 (luôn đúng) t  3 +) Với t  1: (3*1)  m   g (t ) với t  1;  (3*2)  2  t  1 t  3  với t  1;  lim g (t )  lim     t 1 t 1  t  1  2  t  1 t 1 w w Ta có: g '(t )  Ta có: (3*2) m  m ax g (t )  6 Vậy với m  6 bất phương trình có nghiệm với x  [0;1]  3 t1;   2 Trang 32 GV: Lienxo86 TT gia su Minh Tam (08) 38 908 900 - 0967 783 633 www.giasuminhtam.com   x 1  14) x x       13) x ln x   x    x với x   b x 1 a   1  16)  a  a    2b  b  với a  b  (D – 2007)     b c  15) a b  b a với  a  b  y 19) a ab bc c  abc a b c với a, b, c  2y  x y 21) ln  với x, y    x  2x  y 23) x n  x  với x  (0;1) 2ne Giải: 1) e x   x với x  m su ba b ba với  a  b  ln  b a a in 20)  a.2 a  b.2b  c.2 c    a  b  c   2a  2b  2c  với a, b, c   22) x 17)  x  3x    y  y  với x  y  b a    với a, b, c  a  b b với x  ht ac 18)   bc x  ln 1  x   x với x  1 x 12) ln   x   ln x với x  x 10) c  9) ln( x  1)  x  với x  am ln x  với x  0; x  x 1 x 2x với x  11) ln( x  1)  x2 8) om Ví dụ 13: Chứng minh bất đẳng thức sau: x2 xn 1) e x   x với x  2) e x   x    với x  ; n   3) e x  x  với x   n! n  x ln a     x ln a  với x  ; a  ; n   5) ln(1  x)  x với x  4) a x   x ln a  2! n!  x2 x2 xn  7) e x  cos x   x  6) ln 1  x      x với x  x   n!  2  w w g ia (1*) (1*)  e x   x  với x  Cách Xét hàm số: f ( x)  e x   x với x  Ta có: f '( x)  e x    x  w Từ bảng biến thiên ta có: f ( x)  với x  hay e x   x  với x  (đpcm) Cách (thực chất cách trình bày khác Cách 1) Xét hàm số: f ( x)  e x   x với x  Ta có: f '( x)  e x   với x  f '( x)   x   f ( x) đồng biến với x  nên với x   f ( x)  f (0)  hay e x   x  với x  (đpcm) Trang 33 GV: Lienxo86 TT gia su Minh Tam (08) 38 908 900 - 0967 783 633 www.giasuminhtam.com x2 xn với x  ; n     n! x2 xn Xét hàm số: f n ( x)  e x   x    n! Ta chứng minh: f n ( x)  (*) với x  ; n   2) e x   x  om +) Với n  : f1 ( x)  e x   x  f1 '( x)  e x   với x  f '( x)  x   hàm số f1 ( x) đồng biến với x   f1 ( x)  f1 (0)  Vậy (*) với n  +) Giả sử (*) với n  k hay f k ( x)  x2 xk x k 1     Thật vậy: k !  k  1 ! c +) Ta cần chứng minh (*) với n  k  hay f k 1 ( x)  e x   x  x2 xk f ( x)  e   x     f k ( x)  (theo giả thiết quy nạp) f k'1 ( x)  x  k!  hàm số f k 1 ( x) đồng biến với x   f k 1 ( x)  f k 1 (0)  Vậy (*) với n  k  x x2 xn   với x  ; n  N n! (đpcm) ht Theo phương pháp quy nạp  e x   x  am ' k 1 in 3) e x  x  với x   (3*) x (3*)  e  x   với x   Xét hàm số: f ( x)  e x  x  với x   Ta có: f '( x)  e x    x  x  x  x  g ia su x  m lim f ( x)  lim  e x  x  1   ; lim f ( x)  lim  e x  x  1   Từ bảng biến thiên ta có: f ( x)  với x   hay e x  x   với x   (đpcm)  x ln a    x ln a   x ln a    n w w với x  ; a  ; n   2! n! Đặt t  x ln a  a x  e x ln a  et với t  4) a x w Khi tốn phát biểu lại là: Chứng minh et   t  t2 tn   với t  ; n   (quay ý 2)) n! 5) ln(1  x)  x với x  Xét hàm số: f ( x)  ln 1  x   x với x  x 1   với x  1 x 1 x  hàm số f ( x ) nghịch biến với x   f ( x)  f (0)  Ta có: f '( x )  hay ln 1  x   x  với x  (đpcm) Trang 34 GV: Lienxo86 TT gia su Minh Tam (08) 38 908 900 - 0967 783 633 www.giasuminhtam.com  x2 xn  6) ln 1  x      x với x  n!    x2 xn  Xét hàm số: f ( x)  ln 1  x      x với x  n!   x n 1 xn   n  1! n! Ta có: f '( x)  1   với x  x xn x2 xn  x     x    n! n! 2 om  x   7) e x  cos x   x  x2 với x   am x2 với x   Ta có: f '( x)  e x  sin x   x f ''( x)  e x  cos x   với x   c  x2 xn   f ( x ) nghịch biến với x   f ( x)  f (0)  hay: ln 1  x      x với x  (đpcm) n!   Xét hàm số: f ( x)  e x  cos x   x  ht  x   f '( x)  f '(0)   f '( x ) đồng biến với x   Do đó:   x   f '( x)  f '(0)  su m in  x2  ta có: lim f ( x)  lim  e x  cos x   x     x  x    g ia Từ bảng biến thiên ta có: f ( x)  với x   hay e x  cos x   x  x2 với x   (đpcm) ln x  với x  0; x  x 1 x x 1 Xét hàm số: f ( x)  ln x  với x  x  x x   x  1  x 1 x   x 1  Ta có: f '( x)    với x  0; x  x x x 2x x 2x x  f ( x ) nghịch biến với x  0; x  Do đó: w 8) w w  x 1  x 1 ln x  (vì x   ) x 1 x x x x 1 x 1 ln x +) Với x   f ( x)  f (1)  hay ln x    ln x    (vì x   ) x 1 x x x ln x  Từ (1) (2)  với x  0; x  (đpcm) x 1 x +) Với  x   f ( x)  f (1)  hay ln x    ln x  Trang 35 GV: Lienxo86  (1) (2) TT gia su Minh Tam (08) 38 908 900 - 0967 783 633 www.giasuminhtam.com 9) ln( x  1)  x  với x  Xét hàm số f ( x )  ln( x  1)  x  với x  Ta có: f '( x)  1  x 1     x 1   x   x  1 x 1 x  Từ bảng biên thiên ta có: f ( x)  ln   10) am hay ln( x  1)  x  với x  (đpcm) c om lim f ( x)  lim ln( x  1)  x     ; lim f ( x)  lim  ln( x  1)  x        x  x   x 1 x 1 x  ln 1  x   x với x  1 x ht +) Xét hàm số: f ( x)  ln 1  x   x với x  x 1   với x  1 x 1 x  hàm số f ( x ) nghịch biến với x   f ( x)  f (0)  in Ta có: f '( x )  Ta có: g '( x)  x với x  1 x x   với x  1  x  su +) Xét hàm số: g ( x)  ln 1  x   (1) m hay ln 1  x   x  với x  1   x 1  x 2 g ia  hàm số g ( x ) đồng biến với x   g ( x)  g (0)  x  với x  1 x x  ln 1  x   x với x  (đpcm) 1 x w Từ (1) (2)  hay ln 1  x   w 11) ln( x  1)  2x với x  x2 w Xét hàm số: f ( x)  ln( x  1)  Ta có: f '( x)  2x với x  x2 x2    với x   x  x   1  x  x  2  f ( x ) đồng biến với x   f ( x)  f (0)  hay ln( x  1)  2x với x  (đpcm) x2 Trang 36 GV: Lienxo86 (2)   12) ln   x  (08) 38 908 900 - 0967 783 633  ln x với x  x x Ta có: f '( x)    x2   x2   www.giasuminhtam.com   Xét hàm số: f ( x )  ln   x    2 1  x x  1  x   x   x x  2    x x x  x2   x2  x2   x2 x2   x2   x2  x  x2  x    hàm số đồng biến  0;        x2  x   x2   x2   x2 x2    x2   x2 x2  x2  x x2  x2 (1)   1  x2   Mặt khác: lim f ( x)  lim ln   x   ln x   lim  ln  x  x    x x  x      Từ (1) (2)  f ( x)  với x  hay ln   x     với x   1      x  (2) c   ln x với x  (đpcm) x  am    ln x với x  x om TT gia su Minh Tam    Ta có: f '( x)  ln x   x   x x 1   x2   x   x2  x 1 x   ln x   x 2 in     ht 13) x ln x   x    x với x   Xét hàm số: f ( x)  x ln x   x    x với x    Khi đó: f '( x)   ln x   x   x   x    x   x 1  x  x     x  lim f ( x)  lim  x ln x   x    x    2  x  x     x  1  x   x  x  g ia su m    Từ bảng biến thiên ta có: f ( x)  với x  R hay x ln x   x    x với x  R (đpcm)  x 1  14) x      x 1 với x  w x  x 1  Ta có: x      x 1 x 1 x 1 x 1  x 1   ln x  ln   x ln x   x  1 ln 0   x ln x   x  1 ln 2   x 1 với x  Xét hàm số: f ( x )  x ln x   x  1 ln x 1 x 1 2x Ta có: f '( x )  ln x   ln (1)   ln x  ln  ln 2 x 1 2x 2x Mà: x   x  x      ln  (2) x 1 x 1 Từ (1) (2)  f '( x)  với x  f '( x)  x   hàm số f ( x ) đồng biến với x  x w w x  f ( x)  f (1)  hay x ln x   x  1 ln x 1  (đpcm) Trang 37 GV: Lienxo86 TT gia su Minh Tam (08) 38 908 900 - 0967 783 633 www.giasuminhtam.com 15) a b  b a với  a  b  Ta có BĐT cần chứng minh: a b  b a  ln a b  ln b a  b ln a  a ln b  ln a ln b với  a  b   a b ln x  ln x với x   0;1 Ta có: f '( x)   với x   0;1 x x2 ln a ln b (đpcm)  f ( x ) đồng biến với x   0;1 Vậy với  a  b   f ( a )  f (b) hay  a b b om Xét hàm số: f ( x)  a   1  16)  a  a    2b  b  với a  b  (D – 2007)     b a Xét hàm số: f (t )  ln  4t  1 t ln  a  1  ln  4b  1 am  b ln  a  1  a ln  4b  1  c b a  4a  1   4b  1  4a  b  4b  a  ln 4a  b  ln 4b  a  a   b 1 Ta có:   a     b              2ab 2ab  với t  a b với a  b  in ht 4t ln  ln  4t  1 4t ln   4t  1 ln  4t  1 4t  Ta có: f '(t )    với t  t2  4t  1 t  hàm số nghịch biến với t  y x m a ln  4b  1  b su Với a  b   f (a )  f (b)  ln  a  1 (đpcm) 17)  x  3x    y  y  với x  y  x y   2 y 3 y x  y y x y    x       y     x    y       2 x 1        y 1       xy 1      xy 1       2   2                      g ia Ta có:   x x y x w   x    y    x    y    x    y   1      1      ln 1      ln 1      y ln 1      x ln 1      2   2   2   2    2   2              w w   x    y  ln 1     ln 1     x y  2         ln 1  a   ln 1  a  với a  (*)     x y x y Xét hàm số f (t )  ln 1  a t  t với t  a t ln a t  ln 1  a t  a t ln a t  1  a t  ln 1  a t   at Ta có: f '(t )    với t  t2 1  a t  t Vậy f (t ) nghịch biến với t  Nên với x  y   f ( x)  f ( y ) hay (*) (đpcm) Trang 38 GV: Lienxo86 x ac 18)   bc b c (08) 38 908 900 - 0967 783 633 b  xa Xét hàm số: f ( x)     xb  a    với a, b, c  a  b b  xa Từ (*)  ln f ( x)  ln    xb  f '( x)  xa   ln   f ( x)  xb  x b www.giasuminhtam.com xb (*) với x, a, b   xa   x  b  ln    xb ba  x  b  x  b xa xb   xa ba  xa  ba  ln   f '( x)  ln     f ( x) (1)  xb  xa   x b  x a om TT gia su Minh Tam  hàm số g ( x ) nghịch biến với x   0;   am   xa ba Mà lim g ( x)  lim ln      g ( x)  với x  (2) x  x    xb  x a Từ (1) (2)  f '( x)  với x, a, b  a b  c với a, b, c  b (đpcm) su m a b c    ln  a abbc c   ln  abc    a ln a  b ln b  c ln c    a  b  c  ln a  ln b  ln c    Xét hàm số: f ( x )  ln x đồng biến với x  a a bb cc  abc a b c a   b in 19) a ab bc c  abc b c ht  hàm số f ( x ) đồng biến với x   0;   ac Vậy với c   f ( c)  f (0) hay    bc  c b  a  ba ba  xa ba Đặt g ( x)  ln   g '( x)     với x, a, b   2  x  a  x  b   x  a   xb  xa  x  a  x  b g ia Khi với a, b, c  ta ln có:  a  b  ln a  ln b    a ln a  b ln b  a ln b  b ln a    b  c  ln b  ln c    b ln b  c ln c  b ln c  c ln b  c ln c  a ln a  c ln a  a ln c   c  a  ln c  ln a     a ln a  b ln b  c ln c   a  ln b  ln c   b(ln c  ln a )  c(ln a  ln b) (*) Cộng vế (*) với a ln a  b ln b  c ln c ta được: w  a ln a  b ln b  c ln c    a  b  c  ln a  ln b  ln c  (đpcm) w 20)  a.2 a  b.2b  c.2 c    a  b  c   2a  2b  2c  với a, b, c   w Xét hàm số: f ( x)  x đồng biến với x   Khi với a, b, c  R ta ln có:  a  b   a  2b    a.2 a  b.2b  a.2b  b.2 a   b  b c c c b  b  c       b.2  c.2  b.2  c.2  c.2c  a.2 a  c.2 a  a.2c c a   c  a         a.2a  b.2b  c.2c   a  2b  2c   b(2c  2a )  c (2 a  2b ) (*) Cộng vế (*) với a.2a  b.2b  c.2c ta được:  a.2 a  b.2b  c.2 c    a  b  c   2a  2b  2c  (đpcm) Trang 39 GV: Lienxo86 TT gia su Minh Tam (08) 38 908 900 - 0967 783 633 www.giasuminhtam.com 2y x y với x, y  21) ln    x  2x  y 2y x(t  1) 2(t  1) x y   với t   tx  x  y  y  x(t  1)  Đặt t  t 1 x  y x  x(t  1) x Khi tốn trở thành chứng minh: ln t   t  1 t 1 t 1 với t  với t  om Xét hàm số f (t )  ln t   t  1 Với t   f (t )  f (1)   ln t   t  1 t 1  hay ln t   t  1 t 1 ba b ba với  a  b  ln  b a a ba b ba ln b  ln a Ta có:  ln     b a a b ba a với t  (đpcm) am 22) c (t  1)2   với t   hàm số đồng biến với t  Ta có: f '(t )   t  t  12 t  t  1 g ia su m in ht f ( x ) liên tục  a; b x f (b )  f ( a ) ln b  ln a (1) Áp dụng định lý La – gơ –  c   a; b  :  f '(c )   ba ba c 1 Mặt khác:  a  c  b    (2) b c a ln b  ln a (đpcm) Từ (1) (2)    b ba a 23) x n  x  với x  (0;1) 2ne 1 Ta có: x n  x   x n 1  x    2n 1  x  x n  2ne e 2ne Xét hàm số: f ( x )  ln x với x   a; b ta có: f '( x )   2n  2nx  2nx  Áp dụng BĐT Cauchy ta có: 2n 1  x  x n   2n  2nx     x.x x  2n    2n w w  2n  Ta cần chứng minh:    2n   n 1  2n    ln   e  2n   n 1  ln n 1  2n     2n   n 1 e   2n  1  ln  2n   ln  n  1   1 hay ln  n  1  ln  2n     2n  1 f ( x ) liên tục  2n; 2n  1 x f (2n  1)  f (2n) Áp dụng định lý La – gơ –  c   2n; 2n  1 : (1)  f '(c )  ln  2n  1  ln  2n   2n   2n c 1 (2) Mặt khác: c  2n    c 2n  1 Từ (1) (2)  ln  2n  1  ln  2n   (đpcm) 2n  w Xét hàm số: f ( x )  ln x với x   2n; 2n  1 ta có: f '( x )  Trang 40 GV: Lienxo86 TT gia su Minh Tam (08) 38 908 900 - 0967 783 633 www.giasuminhtam.com Ví dụ 14 Chứng minh rằng: 1) a ln b  b ln a  ln a  ln b với  a  b  a , b   x x (CĐ – 2009): x om  12   15   20  2)          3x  x  x với x   Khi đẳng thức xảy (B – 2005)  5  4   Giải: ln a ln b  2 a 1 b 1 1) a ln b  b ln a  ln a  ln b  ( a  1) ln b  (b  1) ln a  x am c (t  1)  2t ln t ln t  với t  (0;1) với t  (0;1) Ta có f '(t )  t Xét hàm số f (t )  (t  1)2 t 1 Suy f (t ) đồng biến khoảng (0;1) Khi  a  b   f ( a )  f (b ) ln a ln b hay (đpcm)  a 1 b 1 x ht  12   15   12  2) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số dương ta có:          5  4  5 x x  15     2.3x  4  15  x  20  x x       2.5 4    (1) Tương tự ta được:  x x  20   12      2.4 x       m in x  12   15  hay       2.3x  5  4 x (2) (3) su  12  x  15  x  20  x  Cộng bất đẳng thức (1), (2) (3) ta được:            3x  x  x           x x x g ia  12   15   20  hay          3x  x  x (đpcm)  5  4   Dấu “=” xảy dấu “=” (1), (2) (3) xảy  x  4x   Tính tổng: S  f   x 2  2013    f     2013   2012  f   2013  w w Ví dụ 15: Cho f ( x )  w Giải: Nếu a  b  ta có : f (a )  f (b )  4a  4b    4b  a   2.4 a b   a  4b    a  4b  4a 4b  b   a b   (*) 4a     4a  4b     a  4b   4a   4b   Áp dụng (*) ta :     2012      S f   f     f    2013     2013    2013       1003 Vậy S  1003   1003   2011   f      f    2013     2013  Trang 41 GV: Lienxo86  1004   f   2013   TT gia su Minh Tam (08) 38 908 900 - 0967 783 633 www.giasuminhtam.com Ví dụ 16: Cho a, b, c  thỏa mãn:  a  b  b  c  c  a    a  b  c  Chứng minh rằng: log a b a  log b c b  log c  a c  Giải: Thật vậy: … (các bạn xem lại cách chứng minh Ví dụ – ý 3) Áp dụng (*) ta có: log a  a  b   log a c  a  b  c    log a b a  log a b c  a  c  Tương tự ta có: logb c b  log ab c  a  b  c log c  a c  log a b c  c  b  om Với hai số x, y  z  ta ln có: log x y  log x  z  y  z  dấu "  " xảy : z  x  y (*)  log a b a  log b  c b  log c a c  log a b  c  a  b  b  c  c  a    log a b c  a  b  c     (đpcm) am Vậy log a b a  log b c b  log c  a c  in ht B BÀI LUYỆN Bài 1: Khơng dùng bảng số máy tính so sánh cặp số sau: 5) log  log 9) 2) 9 30 20 6) log log g ia 12) log0,1 log 0,2 0,34 3) m su 1) log w w w 1 1 1    1  3) log a  b    log b  c    log c  a    với a, b, c   ;1  4 4 4    4  Trang 42 GV: Lienxo86 2) log  log  1    3 log 14 log log 0,7 B  log  Bài 4: Khơng sử dụng máy tính chứng minh 1) log 29   log 8) log  14) log 16 log16 729 Bài 2: Xác định dấu biểu thức sau: A  log log 2; 3 11) log3 log 13) log9 80 log  1 4)   3 7) log log 10) 2log6 Bài 3: Chứng minh bất đẳng thức sau: 1) log b  c a  log c  a b  log a b c  với a, b, c  a a a 2) log 1    log    với a  TT gia su Minh Tam (08) 38 908 900 - 0967 783 633 www.giasuminhtam.com Bài 5: Tìm tập xác định hàm số sau: 5) y  log  x2 2) y  (3  x  x ) x 1 x 1 6) y  log  x2   9) y  log 0,3  log3  x5   3) y   x x 1 x5 10) y  log 7) y  log x 1  log x  x  x 1 4) y  (2 x  16) 3 x 3 x 1 8) y  log 11) y  lg   x  x    Bài 6: Tìm GTLN, GTNN (nếu có) hàm số sau: 1) f ( x)  e x  x đoạn [0;3] 2) f ( x)  ln( x  e) [0; e] 4) f ( x)  xe  x đoạn [0; 2] x  x6 c 3) f ( x)  log ( x  1) đoạn [1;3] x 1 2x  om 1) y  ( x  x  2) e 2 x 6) f ( x)  e x ( x  x  2) đoạn [1; 4] 1  8) f ( x)  x  ln x đoạn  ; e  2  am 5) f ( x)  x e đoạn [  1; 2] 7) f ( x)  ( x  1)e x đoạn [  1;1] x khoảng (0; ) 10) f ( x)  e2 x  4e x  đoạn [0; ln 4] ln x 1  11) f ( x)  log x  log x  log x   ;  1 4  2 in ht 9) f ( x)  su m Bài : Tìm m để bất phương trình : 1) x  3.2 x 1  m  có nghiệm với x   2) (3m  1).12 x  (2  m).6 x  3x  có nghiệm với x  3) x  x  m  có nghiệm với x  (0;1)  a b   ln  ln   với  a  b a  b  a 1 b 1  w w 3) g ia Bài : Chứng minh bất đẳng thức sau: x2 1) e x   x  với x  2  x  2) ln   x    x với x  2  w Mọi ý kiến đóng góp bạn gửi theo email: giasu.minhtam@yahoo.com CẢM ƠN CÁC BẠN ĐÃ ĐỌC TÀI LIỆU ! PHẦN 2: PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LƠGARIT (các bạn theo dõi tiếp theo…) Trang 43 GV: Lienxo86 ... 900 - 0967 783 633 www.giasuminhtam.com PHẦN 1: HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM LÔGARIT I CÁC CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI c om LŨY THỪA (Giả sử biểu thức có nghĩa): m  1) a  2) a  n  n 3) a n  n...     7)  ab   a b b a b Chú ý: +) Khi xét lũy thừa với số mũ số mũ nguyên âm số phải khác +) Khi xét lũy thừa với số mũ khơng ngun số phải dương am A CÁC VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1: Tính... x  1 x ht +) Xét hàm số: f ( x)  ln 1  x   x với x  x 1   với x  1 x 1 x  hàm số f ( x ) nghịch biến với x   f ( x)  f (0)  in Ta có: f ''( x )  Ta có: g ''( x)  x với

Ngày đăng: 06/06/2015, 14:31

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

w