Bài Tập Về Hàm Số Mũ, Lũy Thừa và Logarit Có đáp án

PHẦN 1: HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM LÔGARITI.. CÁC CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI 1.. + Khi xét lũy thừa với số mũ không nguyên thì cơ số phải dương.

GIẢI ĐÁP TOÁN CẤP 3

CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI

(Trang 1 – 11 ) ĐẠO HÀM (Trang 13 – 16 )

GIỚI HẠN ( Trang 16 – 17 )

TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ CÁC BẤT ĐẲNG THỨC ( Trang 18 – 43 )

HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT

www.giasuminhtam.com

PHẦN 1: HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM LÔGARIT

I CÁC CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI

1 LŨY THỪA (Giả sử các biểu thức có nghĩa):

Chú ý: +) Khi xét lũy thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm thì cơ số phải khác 0

+) Khi xét lũy thừa với số mũ không nguyên thì cơ số phải dương

A CÁC VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1: Tính giá trị các biểu thức sau:

1) A =

2 3

3 2

2 2 2

2 LÔGARIT: Giả sử các biểu thức có nghĩa loga b có nghĩa khi 0 1

0

a b

loglog log log

loglog

Chú ý: +) Lôgarit thập phân : log10blogblgb

+) Lôgarit tự nhiên ( lôgarit Nêpe) : loge blnb

2 9 5

log 36 log 28 log99

9 4 10 9) I = lg 81log 53 27log 369 32log 719 

12) L = log2013log (log 256) log4 2  0,25log (log 64)9 4  

13) M log 2.log 3.log 4.log 5.log 6.log 73 4 5 6 7 8

6) F =  log 29 log 278   3 log22 log2333 32log 23 log 32

3 7 7

Ví dụ 2: Đơn giản các biểu thức sau (giả sử các biểu thức đều có nghĩa):

1) A = logaa2 4a3 5a 2) B = loga blogb a2 log a blogab blogb a1

3) C =

3

5 1

x c

 3)

2 3

3 3

Ví dụ 4: Hãy biểu diễn theo a ( hoặc cả b hoặc c) các biểu thức sau:

1) A = log 0,16 biết 20 log 52 a 2) B = log 15 biết25 log 315 a

3) C = log 40 biết 2

3

1log

4) D = log (21, 6)6 biết log 32 a và log 52 b

5) E = log 2835 biết log 714 a và log 514 b 6) F = log 2425 biết log 156 a và log 1812 b

7) G = log12530 biết lg 3 và lg 2a  8) H = b 3 5

49log

8 biết log 725 a và log 52 b

9) I = log14063 biết log 32 a; log 53 b; log 72 c 10) J =log 356 biết log 527 a;log 78 b;log 32 c

log 15

1

a a

3log 10 log (2.5) 1 log 5 1 2 3

6

2 3log

log (21, 6)

a b a

6) F = log 2425 biết log 156 a và log 1812  b



2 2

9) I = log14063 biết log 32 a; log 53 b; log 72  c

Ta có : log 52 log 3.log 52 3 ab I =  

2 2

www.giasuminhtam.com

Ví dụ 6: Chứng minh rằng (với giả thiết các biểu thức đều có nghĩa):

1) log ( ) log log

log log

t b

4) Nếu a24b212ab thì log2013( 2 ) 2 log20132 1(log2013 log2013 )

2

2 2

9  6) F = log 32 log 3 2

4 9 7) G =

1 log 25 log 3

log 28 biết log 27 a 2) B = log 166 biết log 2712 a 3) C = log 3249 biết log 142 a

4) D = log 168 biết 54 log 127 a và log 2412  5) E = b log 1350 biết 30 log 330 a và log 530  b

6) F = 3 7

121

log

8 biết log 1149 a và log 72 b 7) G = log 1353 biết log 52 avà log 32 b

Bài 4: Tính giá trị của biểu thức:

c biết loga b 5 và loga c 3

Bài 5: Chứng minh rằng (với giả thiết các biểu thức đều có nghĩa):

x x

2'

3 ln

3 ln

x x y

x y

7) log 1

2

x y

Ta có:  2

1 ln 1

11

'

x x

' ( ln 1)1

x xy

B BÀI LUYỆN

Bài 1: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

1) y3 x2 x 1 2) y(2x1)e3x1 3)

1 3

x x

yxe  4) 2 2

x y

2

x

x

x x

2

x

x x

1 1

x

x

e x





  8) 0

ln(1 2 )lim

tan

x

x x





9)

10

lg 1lim

10

x

x x

x

e x

IV TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ CÁC BẤT ĐẲNG THỨC

a

a b b

a b

a b

57

80 và 12

1log

4) log 23 và log 32 Ta có: log 23 log 3 1 log 23   2 log 32 log 23 log 32

5) log 32 và log 113 Ta có: log 32 log 42 2log 93 log 113 log 32 log 112

www.giasuminhtam.com

3 2

hay 2logn1nlogn1n2 (1)

+) Áp dụng BĐT Cauchy ta có : logn1nlogn1n22 logn1n.logn1n2 (2)

( (2) không xảy ra dấu '' vì " logn1nlogn1n2)

+) Từ (1) và (2) 22 logn1n.logn1n2 1 logn1n.logn1n2

14) log 15013 và log 29017 Ta có: log 15013 log 16913 2log 28917 log 29017 log 15013 log 29017

15) log 4 và 3 log 11 10

Ta luôn có : log (a a1)loga1(a2) với 0a (*) Thật vậy :… 1

(các bạn xem phần chứng minh ở ý 13) hoặc cách khác ở Ví dụ 4 ý 4) )

Áp dụng liên tiếp (*) ta được :

log 43 log 54 log 65 log 76 log 87 log 98 log 109 log 1110 hay log 43 log 1110 (đpcm)

Ví dụ 2: Xác định dấu của các biểu thức sau: A 5 15

2

Ta có:

1 2

2 2 ;  

1 2

Ví dụ 4: Chứng minh các bất đẳng thức sau:

 với a 1; b 1 2) loga bloga c b với ,a b  và 1 c 0

3) loga bloga c (b c ) với 1a và b c  4) 0 log (a a1)loga1(a2) với 0a 1

5) logb c logc a loga b 33

a b c  abc với , ,a b c dương và khác 1

2) loga bloga c b với ,a b  và 1 c  0

Dấu " xảy ra khi : " c  0

3) loga bloga c (bc) với 1 a b và c 0

Ta có : loga bloga c (b c ) loga b 1 loga c(b c) 1 loga b loga c b c

4) log (a a1)loga1(a2) với 0a 1

Theo kết quả ý 3) ta có : loga bloga c (b c ) với 1 a  và b c  0

Áp dụng với ba và 1 c  ta được : 1 log (a a1)loga1(a2) (đpcm) 5) log log log 3

3

a b c  abc với a b c, ,  1

Ta có : alogb c clogb aalogb ccloga b clogb acloga b2 clogb a.cloga b 2 clogb aloga b (1)

Vì ,a b  nên áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số không âm 1 logb a và loga b ta được :

loga blogb a2 loga b.logb a2 (2)

Từ (1) và (2) alogb ccloga b2 c2 2c hay alogb ccloga b 2c

Chứng minh tương tự ta được : alogb cblogc a 2a

blogc acloga b2b

  log log log   

2 a b cb c ac a b 2 a b c  hay alogb cblogc acloga ba b c  (*)

Mặt khác theo BĐT Cauchy ta có : a b c  33abc (2*)

Từ (*) và (2*) log log log 3

Áp dụng BĐT Cauchy ta được : log 3 log 22  3 2 log 3.log 22 3  (1) 2

( (1) không có dấu " vì " log 32 log 23 )

x y

 

2

2 2

3

x y

Ví dụ 9: Tìm GTLN, GTNN (nếu có) của các hàm số sau:

1) f x( )3 x x 2) f x ( ) 0, 5sin2x 3) f x( )2x 123 x 4) f x ( ) 5sin2x5cos2x

2) f x ( ) 0, 5sin2x

max ( ) 11

Cách 2: Đặt tsin2x với t  0;1  f x( )0,5t g t( ) với t  0;1

Ta có: g t '( ) 0, 5 ln 0, 5t  0, 5 ln 2t  với 0  t  0;1  hàm số nghịch biến với  t  0;1

Dấu “=” xảy ra khi: sin2 cos2 2 2 1 cos 2 1 cos 2

Ví dụ 10: Tìm GTLN, GTNN (nếu có) của các hàm số sau:

1) f x( )e2 3 x trên đoạn [0; 2] 2) f x( )e x33x3 trên đoạn [0; 2]

(1) 04( )9( )

x x

1000

x x

y x

34

11

t

t t

+) Với x  0 t 1 và

2

3lim ( ) lim

2

3lim ( ) lim

( )1

+) Với t 1: (3*1)

 2 ( )1

x x x

+) Với n  : 1 f x1( )e x  1 x  f1'( )x e x  với 1 0   và x 0 f '( )x 0 khi x  0

 hàm số f x1( )đồng biến với  x 0 f x1( ) f1(0)0 Vậy (*) đúng với n  1

+) Giả sử (*) đúng với n hay k f x  k( ) 0

+) Ta cần chứng minh (*) đúng với nk hay 1

k x

Theo phương pháp quy nạp

hay ln 1 x x 0 với   (đpcm) x 0

www.giasuminhtam.com

 với   x 0 Xét hàm số: ( ) ln( 1) 2

x

 với  x 0 (đpcm)

www.giasuminhtam.com

x x

x x

Xét hàm số: ( )f x lnx luôn đồng biến với   x 0

Khi đó với , ,a b c 0 ta luôn có:

Xét hàm số: f x ( ) 2x luôn đồng biến với x  

Khi đó với , ,a b cR ta luôn có:

Cộng 2 vế của (*) với 2a ab.2bc.2c ta được: 3a.2ab.2bc.2ca b c 2a2b2c (đpcm)

www.giasuminhtam.com

Ví dụ 16: Cho , ,a b c  thỏa mãn: 1 a b b c c    a  a b c  32 Chứng minh rằng:

log log log 3

2

a b a b c b c a c

Giải:

Với hai số ,x y  và 1 z  ta luôn có: 0 logx ylogx z yz và dấu "" xảy ra khi : z  hoặc x0  y (*)

Thật vậy: … (các bạn xem lại cách chứng minh ở Ví dụ 4 – ý 3)

Áp dụng (*) ta có: logaa b loga c a b c  0loga b aloga b c  a c 

Tương tự ta có: logb c bloga b c  a b 

3 8) 53

3log

4 và 34

2log

log 2 và log0,20, 34 13) log 809 và log 52 14) log 163 và log 72916

Bài 2: Xác định dấu của các biểu thức sau: A 4 1

2

1log log 53

Bài 3: Chứng minh các bất đẳng thức sau:

4

b c a c a b a b c với a b c, ,  2; 2

2) log 1 44  alog92a9a với a  0

Bài 5: Tìm tập xác định của các hàm số sau:

5

x y

1

x y

x y

2log log

5

x y

Bài 6: Tìm GTLN, GTNN (nếu có) của các hàm số sau:

1) f x( )e x22x trên đoạn [0;3] 2) ( )f x ln(xe) trên [0; ]e

2

( ) log ( 1)

f x  x trên đoạn [1;3] 4) f x( )xex trên đoạn [0; 2]

5) f x( )x e2 x trên đoạn [ 1; 2] 6) f x( )e x x( 22x2) trên đoạn [1; 4]

7) f x( )(x1)e x trên đoạn [ 1;1] 8) ( )f x xlnx trên đoạn 1;

CẢM ƠN CÁC BẠN ĐÃ ĐỌC TÀI LIỆU !