bài tập tọa độ trong không gian

Toạ độ trong khơng gian – Ơn thi đại học – Đào Huy Nam – THPT Mỹ Đức A – Hà Nội CHUN ĐỀ: PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN Phần I: CÁC BÀI TẬP BIẾN ĐỔI TOẠ ĐỘ Bài 1: Cho A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1) và D(–2; 1; –1). a/ CMR: A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện. b/ Tính góc tạo bởi các cặp cạnh đối diện của tứ diện ABCD. c/ Tính thể tích tứ diện ABCD và độ dài đường cao hạ từ A. Bài 2: Cho A(1;1;1), B(−5;1;9) và C(−3;1;4) a) Chứng minh A, B, C là 3 đỉnh của một tam giác. Tính diện tích tam giác ABC và độ dài đường cao AH, trung tuyến AM, phân giác AD ứng với cạnh BC. b) Tìm toạ độ trọng tâm G của ∆ABC. c) Tìm tọa độ đỉnh D của hình bình hành ABDC. Bài 3: Cho 4 điểm A(0;0;-1), B(1;1;3), C(1;-1;1) và D(4;1;3). a) Chứng minh rằng A, B, C, D là 4 đỉnh của tứ diện. Tìm tọa độ trọng tâm I của tứ diện ABCD. Tính thể tích tứ diện ABCD. Tìm độ dài đường cao AH của tứ diện ABCD. b) Tìm côsin của góc ϕ giữa hai đường thẳng AB và CD. c) Tìm côsin của góc A của ∆ABC. Bài 4: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D có A(0;1;1);B(-1;2;1);C(1;0;-2) và A’(3;2;2). a)Tìm tọa độ đỉnh D của hình hộp. Tìm tọa độ giao điểm I của bốn đường chéo của hình hộp. b) Tính thể tích và chiều cao AH của hình hộp ABCD.A’B’C’D’. c) Đường thẳng BC cắt (Oxy) tại M. Điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k. Tìm k và tọa độ của M. d) Trên mặt phẳng Oyz, tìm điểm S cách đều A, B, C. Tính tổng T=SA+SB+SC. Bài 5: Trong khơng gian với hệ tọa độ Đêcac vng góc Oxyz cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ với A’(0;0;0), B’(0;2;0), D’(2;0;0). Gọi M,N, P, Q theo thứ tự là trung điểm của các đoạn D’C’, C’B’, B’B, AD. 1/ Tìm tọa độ hình chiếu của C lên AN. 2/ CMR hai đường thẳng MQ và NP cùng nằm trong một mặt phẳng và tính diện tích tứ giác MNPQ. Bài 6: Trong khơng gian Oxyz cho 4 điểm A(2;-1;5);B(1;0;2);C(0;2;3);D(0;1;2). Tìm toạ độ điểm A’ là điểm đối xứng của A qua mặt phẳng (BCD). Bài 7: Trong khơng gian Oxyz, cho 3 điểm A(O;1;-1);B(-1;2;1) và C(1;-2;0). Chứng minh ba điểm A,B,C tạo thành một tam giác và tìm toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Bài 8: Trong khơng gian Oxyz, cho bốn điểm A(4;4;4); B(6;-6;6); C(-2;10;-2) và S(-2;2;6). 1) Chứng minh OBAC là 1 hình thoi và chứng minh SI vng góc với mặt phẳng (OBAC) (I là tâm của hình thoi) 2) Tính thể tích của hình chóp S.OBAC và khoảng cách giữa 2 đường thẳng SO và AC 3) Gọi M là trung điểm SO, mặt phẳng (MAB) cắt SC tại N, tính diện tích tứ giác ABMN Bài 9: 1 Toạ độ trong khơng gian – Ơn thi đại học – Đào Huy Nam – THPT Mỹ Đức A – Hà Nội Phần II: CÁC BÀI TẬP VỀ MẶT PHẲNG Bài 1: 1) Lập phương trình của mặt phẳng (α) trong mỗi trường hợp: a) Đi qua M(1;3;-2) và có véctơ pháp tuyến → n = (2;3;1). b) Đi qua M(1;3;-2) và song song với mặt phẳng (β): x+y+z+1=0. c) Đi qua M(1;3;2) và có cặp véctơ chỉ phương → a = (2;-1;2) và → b = (3;-2;1). d) Đi qua 3 điểm A(1;2;3);B(0;- 1;2) và C(3;0;1). Bài 2: Lập phương trình của mặt phẳng (α) trong mỗi trường hợp: a) (α) đi qua A(1;1;1) và đồng thời vuông góc với hai mặt phẳng (α 1 ): x-y+z-1= 0 và (α 2 ): x+z+5= 0 b) (α) đi qua A(1;1;1) và B(-1;2;3) và vuông góc với mặt phẳng (β):2x−2y+z+2007=0. c) (α) đi qua A(1;0;0), B(0;2;0) và C(0;0;3). d) (α) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng PQ với P(-3;2;1) và Q(9;4;3). e) (α) là mặt phẳng đối xứng của (β): 2x-2y+z+3= 0 qua điểm I(1;2;3). f) (α) đi qua M(1;2;-1) và (α) qua giao tuyến của hai mặt phẳng (α 1 ):x+2y-z+3=0 và (α 2 ): 2x-y+z-5=0. g) (α) chứa giao tuyến của hai mặt phẳng (α 1 ): x+y- z+1=0 và (α 2 ):2x- y+z- 1=0 và (α) vuông góc với (β): x- 2y+3z+5=0. h) (α) chứa giao tuyến của hai mặt phẳng (α 1 ): x+y- z+1=0 và (α 2 ):2x – y + z =0 và (α) song song với trục Oz. Bài 3: Cho hai đường thẳng: (d 1 ):      = −= += t2z t1y t2x với t∈ R và (d 2 ): 2 2 3 x t y z t = −   =   =  Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (α) cách đều hai đường thẳng (d 1 ) và (d 2 ). Bài 4: Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (α) : 2x – y + z – 5 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua giao tuyến của (α) và mặt phẳng (xOy) và (P) tạo với 3 mặt phẳng tọa độ một tứ diện có thể tích bằng 36 125 . Bài 5 Cho mặt phẳng (P):2x−y+z+1=0 và hai điểm A(−1;3;−2), B(−9;4;9). Tìm K∈(P) sao cho AK+BK nhỏ nhất. Bài 6 Cho đường thẳng (D): 1 2 2 3 2 2 x y z + − − = = − và hai điểm A(1;2;−1), B(7;−2;3). a) Chứng minh rằng (D) và AB đồng phẳng. b) Tìm I∈(D) sao cho AI+BI nhỏ nhất. Bài 7: Trong kgOxyz, cho các đường thẳng d 1 : 1 1 2 3 x y z+ = = − − và d 2 : 1 4 1 2 5 x y z− − = = 1/ Cmr d 1 và d 2 đồng phẳng và viết pt mp(P) chứa d 1 và d 2 . 2/ Tìm thể tích phần khơng gian giới hạn bởi mp(P) và ba mặt phẳng tọa độ. Bài 8: Trong kgOxyz, cho 4 điểm A(0; −1; 1), B(0; −2; 0), C(2; 1; 1), D(1; 2; 1) 1/ Viết pt mp(α) chứa AB và vng góc với mp(BCD) 2/ Tìm điểm M thuộc đường thẳng AD và điểm N thuộc đường thẳng chứa trục Ox sao cho MN là đọan vng góc chung của hai đường thẳng này. Bài 9: Trong khơng gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 02 =−++ zyx và điểm A(1;1;1); B(2;-1;0); C(2;3;-1). Tìm điểm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho biểu thức 222 MCMBMAT ++= có giá trị nhỏ nhất. Bài 10: Trong khơng gian cho 1 1 1 ( ) : 2 1 1 x y z d − + = = − và 2 1 2 ( ) : 2 3 1 x y z d − − = = − − . Viết phương trình mặt phẳng vng góc với (d 1 ) và cắt (d 2 ), trục hồnh tại A, B sao cho AB có độ dài nhỏ nhất. 2 Toạ độ trong không gian – Ôn thi đại học – Đào Huy Nam – THPT Mỹ Đức A – Hà Nội Bài 11: Trong không gian Oxyz cho (d): 1 2 2 1 1 x y z− − = = − và (P): 3 2 0x y z− + − = . Gọi (d’) là đường thẳng qua A(1;0;0), song song với (P) và cắt (d). Viết phương trình (d’). Tìm trên (P) điểm M có khoảng cách đến (d), (d’) bằng nhau và nhỏ nhất. Bài 12: Trong kg Oxyz cho (d) : 1 1 2 1 1 x y z− + = = − và M(1;-1;2). Viết phương trình mặt phẳng qua M, song song với (d 1 ) và cách O một khoảng bằng 2 Tìm trên (d) điểm N cách đều M và trục hoành. Bài 13 : Trong kgOxyz cho (d) : 2 1 4 1 3 x y t z t = −   = +   = +  và (d’) : 1 2 2 1 3 x y z− + = = − − 1. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều (d) và (d’). 2. Tìm A trên (d) và B,C trên (d’) sao cho B,C đối xứng qua K(1;-2;0) và ABC là tam giác vuông cân. 3 Toạ độ trong khơng gian – Ơn thi đại học – Đào Huy Nam – THPT Mỹ Đức A – Hà Nội Phần III: CÁC BÀI TẬP VỀ ĐƯỜNG THẲNG Bài 1 Lập phương trình chính tắc của đường thẳng (∆) trong mỗi trường hợp: a) (∆) qua M(1;1;1) và có véctơ chỉ phương → u = (2;-1;2) b) (∆) qua M(0;-1;2) và vuông góc (α): x+y-3z+5=0 c) (∆) qua M(3;2;1) và song song với Ox. d) (∆) qua hai điểm A(1;1;1) và B(0;2;-2). e) (∆) song song với (D): 1 2 3 x t y t z t = −   =   = +  và đi qua M(-3;4;2). f) (∆) là giao tuyến 2 mặt phẳng x + 2y – z + 1 = 0; x – y + z – 7 = 0. g) (∆) là hình chiếu vuông góc của (d): 1 2z 2 1y 1 1x − = − + = − − lên mặt phẳng tọa độ Oxy. h) (∆) là hình chiếu vuông góc của (d): 1 1 2 3 7 x y z + − = = − lên mặt phẳng (β):- 2x+2y+3z+3=0. i) (∆) đi qua gốc tọa độ O và song song với (d), biết (d) đi qua hai điểm A(1;2;3) và B(2;1;4) j) (∆) đi qua M(10;-21;-1) và song song với trục Oz. k) (∆) đi qua M(1;-1;2) và đồng thời vuông góc với hai đường thẳng (∆ 1 ): 5 1 3 2 x y z + = = − − và (∆ 2 ): 1 2 1 1 2 x y z+ − = = − . Bài 2: Cho hai đường thẳng (∆ 1 ):Error! Objects cannot be created from editing field codes. và (∆ 2 ): 1 2z 1 2y 2 1x + = − − = + . a) Chứng minh rằng (∆ 1 ) và (∆ 2 ) cắt nhau. Tìm giao điểm I của chúng. b) Viết phương trình của mặt phẳng (P) chứa (∆ 1 ) và (∆ 2 ) . c) Viết phương trình của đường thẳng (∆) là giao tuyến của mặt phẳng (P) với (Oxz). Bài 3: Cho hai đường thẳng (∆ 1 ): 2 1z 1 1y 1 x + = − − = và (∆ 2 ): 1 3z 3 2y 2 1x − − = − = − − . a) Chứng tỏ rằng (∆ 1 ) và (∆ 2 ) chéo nhau. Gọi (∆) là một đường thẳng chứa đoạn vuông góc chung giữa (∆ 1 ) và (∆ 2 ), viết phương trình của đường thẳng (∆). Bài 4: Cho mặt phẳng (α): x+y-z+3=0 và hai đường thẳng (∆ 1 ): 1 5z 1 1y 2 1x − − = − = − và (∆ 2 ): 9 9 3 1 5 x y z− + = = − . a) Viết phương trình đường thẳng (d) qua O và cắt cả 2 đường thẳng (∆ 1 ) và (∆ 2 ). Tìm các giao điểm M và N của (d) với (∆ 1 ) và (∆ 2 ). b) Tìm A= (∆ 1 )∩(α) , B=(∆ 2 ) ∩(α). c) Viết phương trình tham số của đường thẳng (∆) nằm trên mặt phẳng (α) và (∆) cắt cả 2 đường thẳng (∆ 1 ) và (∆ 2 ). Bài 5: Trong không gian Oxyz có 2 mặt phẳng (P): 3x + 12y – 3z – 5 = 0, (Q): 3x – 4y + 9z + 7 = 0 và 2 đường thẳng: (d 1 ): 4 2z 3 1y 2 3x :)d(; 3 1z 4 3y 2 5x 2 − = + = − −+ = − − = + Viết phương trình đường thẳng (∆) song song với hai mặt phẳng (P) và (Q), và cắt hai đường thẳng (d 1 ) và (d 2 ). Bài 6: Trong không gian Oxyz cho 2 đường thẳng: (d 1 ) :      += += = t26z t4y tx ; và (d 2 ) :      −= −= = 1'tz 6't3y 'tx 4 Toạ độ trong khơng gian – Ơn thi đại học – Đào Huy Nam – THPT Mỹ Đức A – Hà Nội Gọi K là hình chiếu vuông góc của điểm I(1; -1; 1) trên (d 2 ). Tìm phương trình tham số của đường thẳng qua K vuông góc với (d 1 ) và cắt (d 1 ). Bài 7: Trong không gian Oxyz cho 2 đường thẳng: (∆ 1 ) : 2 x 3 y 1 z 1 x 7 y 3 z 9 ; ( ): 7 2 3 1 2 1 − − − − − − = = ∆ = = − − a. Lập phương trình chính tắc của đường thẳng (∆ 3 ) đối xứng với (∆ 2 ) qua (∆ 1 ). b. Xét mặt phẳng (β) : x + y + z + 3 = 0. Viết phương trình hình chiếu của (∆ 2 ) theo phương (∆ 1 ) lên mặt phẳng (β). c. Tìm điểm M trên mặt phẳng (β) để 1 2 MM MM + uuuur uuuur đạt giá trò nhỏ nhất biết M 1 (3; 1; 1) và M 2 (7; 3; 9). Bài 8: Cho hai đường thẳng:(d 1 ): 2 1 x y t z t =   =   = −  và (d 2 ): 11 4 1 x t y t z t = − +   = − +   =  a) Chứng tỏ rằng (d 1 ) và (d 2 ) vuông góc nhau. b) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng (∆) là đường vuông góc chung của (d 1 ) và (d 2 ). Bài 9: Lập phương trình của đường thẳng (∆) đi qua M(−4;−5;3) và cắt cả hai đường thẳng d 1 : 1 2z 2 3y 3 1x − − = − + = + và d 2 : 5 1z 3 1y 2 2x − − = + = − . Bài 10 Lập phương trình đường thẳng (D) đi qua A(0;1;1) và vuông góc với đường thẳng (d 1 ): 1 z 1 2y 3 1x = + = − và cắt (d 2 ): 1 1 x y t z t = −   = − +   =  Bài 11: Cho mặt phẳng (P):x+y+z=0 và (d): 1 1 2 2 1 3 x y z − − + = = − . a) Xác đònh giao điểm A của (d) với (P). b) Viết phương trình của đường thẳng (∆) đi qua A, (∆) ⊥ (d) và (∆) ⊂ (P) Bài 12:Trong kgOxyz, cho các đường thẳng ∆ 1 , ∆ 2 và mp(P) có pt: ∆ 1 : 1 1 2 2 3 1 x y z + − − = = , ∆ 2 : 2 2 1 5 2 x y z − + = = − , mp(P): 2x − y − 5z + 1 = 0 1/ Cmr ∆ 1 và ∆ 2 chéo nhau. Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng ấy. 2/ Viết pt đường thẳng ∆ vng góc với mp(P), đồng thời cắt cả ∆ 1 và ∆ 2 . Bài 13: Trong kgOxyz, cho các đường thẳng d 1 : 2 2 3 x t y z t = −   =   =  và d 2 : 2 1 2 x t y t z t = +   = −   =  1/ Cmr d 1 và d 2 khơng cắt nhau nhưng vng góc với nhau. 2/ Viết phương trình đường vng góc chung của d 1 và d 2 . Bài 14: Trong kgOxyz, cho các đường thẳng d 1 : 23 10 8 4 1 x y z + + = = và d 2 : 3 2 2 2 1 x y z− + = = − 1/ Viết pt mp(α) chứa d 1 và song song với d 2 . Tính khoảng cách giữa d 1 và d 2 . 2/ Viết phương trình đường thẳng ∆ song song với trục Oz và cắt cả d 1 và d 2 . Bài 15: Trong kgOxyz, cho đường thẳng d: 5 3 1 1 2 3 x y z− + − = = − và mp(α): 2x + y − z − 2 = 0 1/ Tìm tọa độ giao điểm M của d và (α). Viết pt đường ∆ nằm trong mp(α) đi qua M và vng góc với d. 2/ Cho điểm A(0; 1; 1). Hãy tìm tọa độ điểm B sao cho mp(α) là mặt trung trực của đoạn thẳng AB. Bài 16: Trong khơng gian Oxyz cho mặt phẳng (P): 032 =+−+ zyx , điểm A(1;1;-2) và đường thẳng ( ∆ ): 41 3 2 1 zyx = − = + . Tìm phương trình (d) qua A và cắt đừơng thẳng ( ∆ ) và song song với mặt phẳng (P). Bài 17: Cho 2 mặt phẳng (P):x+y-5=0 và (Q):y+z+3=0 và điểm A(1;1;0). Tìm phương trình đừơng thẳng (D) vng góc với giao tuyến của (P) và (Q), cắt (P) và (Q) tại M,N sao cho A là trung điểm M,N 5 Toạ độ trong không gian – Ôn thi đại học – Đào Huy Nam – THPT Mỹ Đức A – Hà Nội Bài 18: Cho mặt phẳng (P): 012 =−+− zyx và đường thẳng d: 3 2 1 1 2 1 − = − = + zyx 1) Tìm phương trình hình chiếu vuông góc của d lên (P) 2) Tìm phương trình hình chiếu của d lên (P) theo phương của đường thẳng 3 2 4 2 1 3 : − = + = − ∆ zyx Bài 19:Trong không gian Oxyz, cho 2 đường thẳng 1 4 1 2 1 1 : 1 − = − = − zyx d và 2 2 1 3 1 : 2 − = − − = zyx d và điểm A(0;1;3) 1) Chứng minh d 1 và d 2 đồng phẳng và A thuộc mặt phẳng (P) chứa d 1 và d 2 2) Tìm toạ độ hai đỉnh B và C của tam giác ABC có đường cao BH nằm trên d 1 , phân giác trong CD nằm trên d 2 Bài 20: Trong không gian Oxyz, cho 2 điểm A(0;0;-3); B(2;0;-1) và mặt phẳng (P) : 3x-y-z+1=0. 1) Tìm toạ độ giao điểm I của đường thẳng AB với (P) 2. Tìm toạ độ điểm C nằm trên (P) sao cho tam giác ABC là tam giác đều Bài 21: Trong không gian Oxyz, cho 2 đường thẳng: 2 4 ( ) : 3 2 2 x y z d − − = = − − và 2 1 1 2 3 1 :)( + = − = − ∆ zyx 1) Chứng minh (d) và )(∆ chéo nhau và tính khỏang cách giữa chúng. 2) Hai điểm phân biệt A,B và cố định trên đường thẳng (d) sao cho 117=AB . Gọi C là 1 điểm di động trên (d), tìm GTNN của diện tích tam giác ABC Bài 22: Trong không gian cho 1 1 1 4 ( ) : 2 3 4 x y z d + − − = = và 2 1 2 5 ( ) : 2 3 1 x y z d − + − = = − lần lượt là các đường thẳng chứa đường cao AM, trung tuyến BN của tam giác ABC với C(-1;-3;-2). Viết phương trình các đường thẳng CA, CB. Bài 23: Trong không gian Oxyz cho (d 1 ) : 1 1 2 1 1 x y z− + = = − và (d 2 ) : 1 1 1 3 5 x y z − + = = − − Viết phương trình đường thẳng (d) song song với hai mặt phẳng (P): 3 1 0x y z− + − = , (Q): 3 2 1 0x y z− + − = và cắt (d 1 ), (d 2 ). Bài 24 : Trong không gian toạ độ Oxyz cho (P): 2 0x z+ − = và đường thẳng (d): 2 2 2 4 x t y t z t = −   =   = − +  . Viết phương trình đường thẳng (d’) chứa trong (P), cắt (d) và thoả mãn : · · ( , ') ( , )d d d P= . Bài 25: Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ cạnh đáy bằng cạnh bên và bằng 2, có A(1;2;-1) và phương trình BC’: 1 1 2 1 1 x y z− + = = − . Tìm toạ độ B, C và phương trình AB’. Bài 26: . Trong không gian Oxyz cho (d): 1 1 1 1 2 x y z− + = = − và (P): 3 0x y z− + − = . a. Viết phương trình (d’) vuông góc với (d), chứa trong (P) và có khoảng cách (d,d’) = 2. Tìm trên (d) điểm A, trên (P) hai điểm B, C sao cho tam giác ABC đều và có diện tích 4 3 . Bài 27: Trong kgOxyz cho (d 1 ) : 1 1 2 1 1 x y z− + = = − và (d 2 ) : 1 1 1 3 5 x y z− + = = − − a. Viết phương trình đường vuông góc chung của (d 1 ) và (d 2 ). b. Tìm A trên (d 1 ) và B trên (d 2 ) sao cho AB song song với mặt phẳng Oxy và AB = 12 . 6 Toạ độ trong khơng gian – Ơn thi đại học – Đào Huy Nam – THPT Mỹ Đức A – Hà Nội Phần IV: CÁC BÀI TẬP VỀ GĨC, KHOẢNG CÁCH Bài 1: Trong không gian Oxyz cho A(0; 1; 0), B(2; 2; 2), C(-2; 3; 1) và đường thẳng (d) : x 1 y 2 z 3 2 1 2 − + − = = − 1. Tìm điểm M thuộc (d) để thể tích tứ diện MABC bằng 3. 2. Tìm điểm N thuộc (d) để thể tích tam giác ABN nhỏ nhất. 3. Trong không gian Oxyz, tìm trên Ox điểm A cách đều đường thẳng (d) : 2 2z 2 y 1 1x + == − và mặt phẳng (P) : 2x – y – 2z = 0. Bài 2: Cho hai đường thẳng:(d 1 ): 3 1 5 2 1 1 x y z − − − = = − − với t∈ R và (d 2 ): 1 1z 1 3y 2 3x − − = − + = − a) Chứng tỏ rằng (d 1 ) và (d 2 ) song song nhau. b) Viết phương trình của mặt phẳng (α) chứa (d 1 ) và (d 2 ). c) Tính khoảng cách giữa (d 1 ) và (d 2 ). Bài 3: Cho mặt phẳng (P):2x- 2y+z+14=0 và điểm I(1;-1;-9). a) Tìm tọa độ của H là hình chiếu vuông góc của I trên (P). b) Tính khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P). Tìm tọa độ của điểm A đối xứng với I qua mặt phẳng (P). c) Cho M(- 5;1;- 2). Viết phương trình chính tắc của đường thẳng (∆) đối xứng với đường thẳng MI qua mặt phẳng (P). Bài 4: Cho A(1;1;1);B(-1;2;0) và C(2;-3;2). a) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng (∆) chứa các điểm M sao cho AM=BM=CM. b) Gọi D(1;y D ;z D )∈ (∆). Tìm tọa độ của D. Tính thể tích tứ diện ABCD. c) Tính khoảng cách giữa AB và CD. Bài 5: Cho (α): x+2y- 2z+8=0. a) Viết phương trình các mặt phẳng (P) song song với (α) và cách (α) một khoảng bằng 3. b) Mặt phẳng (α) cắt Ox;Oy và Oz tại A;B;C. Tìm tọa độ của A;B và C. Tính thể tích tứ diện ABCO. Bài 6: Cho (α): x+y- z+3=0 và (∆): 2 1z 1 1y 1 2x − = + = − . a) Chứng tỏ rằng đường thẳng (∆) song song với mặt phẳng (α). Tính khoảng cách giữa (∆) và (α). b) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M(1;4;2) và vuông góc với (∆). Tìm tọa độ giao điểm A của (∆) và (P). Bài 7: Tìm M∈Oy cách đều (P):x+y−z+1=0 và (Q):x−y+z−5=0. Bài 8: Trong khơng gian Oxyz, cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có A trùng gốc tọa độ O, B(1;0;0); D(0;1;0); A’(0;0;1). Gọi (P) là mặt phẳng chứa đường thẳng CD’ và α là góc nhọn giữa mặt phẳng (P) và mặt phẳng (BB’D’D). Hãy tìm GTNN của α , khi đó tìm phương trình của (P) Bài 9: (A 2004) Cho h/c SABCD có đáy ABCD là hình thoi . AC và BD cắt nhau tại gốc toạ độ , A(2;0;0), B(0;1;0), S(0;0;2 2 ). Gọi M là trung điểm SC. a. Tính góc và k/c giữa SA và BM. b. G/s (ABM) cắt SD tại N. Tính thể tích khối chóp SABMN. Bài 10: Trong khơng gian cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có A(0;0;0), B(5;0;0) và C(5;-3;4). Tìm toạ độ các đỉnh còn lại. Tính số đo của nhị diện [I, A’B, C’], với I là trung điểm AB. Bài 11: Trong khơng gian Oxyz cho ( ) : 1 2 2 x t d y t z t =   = +   = +  và ( ): 1 0P x my nz+ + − = . Tìm ,m n sao cho ( ) ( )d PP và khoảng cách giữa chúng đạt giá trị lớn nhất. 7 Toạ độ trong khơng gian – Ơn thi đại học – Đào Huy Nam – THPT Mỹ Đức A – Hà Nội Phần V: CÁC BÀI TẬP VỀ MẶT CẦU Bài 1: Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (d) :  =  = − +   = − +  x t y 2 t z 6 2t sao cho giao tuyến của mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) : 2 2 2 x y z 2x 2y 2z 1 0+ + + − + − = là đường tròn có bán kính r = 1. Bài 2. Trong không gian Oxyz cho đường thẳng (d) và mặt cầu  = +   = + + + + − + =   =   2 2 2 x 1 2t 3 (d): y 3t ;(S):x y z 4x 6y m 0 2 z 6t Tìm m để (d) cắt (S) tại hai điểm M, N sao cho MN = 8. Bài 3. Trong không gian với hệ tọa độ vuông góc Oxyz cho mặt phẳng (P) và mặt cầu (S): (P): 2 2 2 2 2x 2y z m 3m 0 ; (S): (x 1) (y 1) (z 1) 9 + + − − = − + + + − = . Tìm m để (P) tiếp xúc (S). Với m tìm được xác đònh tọa độ tiếp điểm. Bài 4: Trong không gian oxyz cho hai đường thẳng: (d 1 ) :      = = = 4z ty t2x ; (d 2 ) : 1 2 0 x t y t z = +   = −   =  Chứng minh (d 1 ) và (d 2 ) chéo nhau. Viết phương trình mặt cầu (S) có đường kính là đoạn vuông góc chung của (d 1 ) và (d 2 ). Bài 5) Cho mặt cầu (S): x 2 +y 2 +z 2 - 2x - 4y - 6z = 0. a) Xác đònh tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu (S). b) Chứng tỏ rằng (S) đi qua O. Viết phương trình của mặt phẳng (P) là tiếp diện của (S) tại O. c) Gọi A;B;C lần lượt là giao điểm của (S) với Ox;Oy và Oz ( khác O). Tính tọa độ của A;B;C và viết phương trình của mặt phẳng (ABC). d) Tính khoảng cách từ tâm I của (S) đến mặt phẳng (ABC). Viết phương trình của đường tròn (C) là giao của (ABC) với (S). Xác đònh tọa độ tâm K và bán kính r của (C). Bài 6) Cho mặt cầu (S) có tâm I(3;- 2;1) và tiếp xúc với mặt phẳng (α): 2x - 2y- z+9=0. a) Viết phương trình của mặt cầu (S). Tìm tọa độ tiếp điểm M của (α) với (S). b)Một đường thẳng (d) đi qua I và có vectơ chỉ phương = → u (1;2;-2). Tìm các giao điểm E và F của (d) với (S). Tính diện tích của tam giác MEF. c) Tính thể tích của tứ diện OMEF. Bài 7) Cho mặt cầu (S): (x- 3) 2 +(y+2) 2 +(z - 1) 2 =100 và mặt phẳng (α): 2x- 2y – z + 9=0. a) Lập phương trình tham số của đường thẳng (d) đi qua tâm I của (S) và (d) ⊥(α). b) Chứng tỏ (α) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn (C). Viết phương trình của (C). Xác đònh tọa độ tâm K và bán kính r của (C). c) Viết phương trình các mặt phẳng (P) song song với (α) và (P) tiếp xúc với (S). Xác đònh tọa độ các tiếp điểm. Bài 8)Cho mặt cầu (S): x 2 +y 2 +z 2 +2x -4y- 6z + 5 = 0. a) Xác đònh tọa độ tâm I và bán kính R của (S). b) Viết phương trình của mặt phẳng (α) tiếp xúc với mặt cầu (S) và chứa đường thẳng (d): 1 2 1 x t y t z =   = − +   =  . c) Viết phương trình của mặt phẳng (β) tiếp xúc với mặt cầu (S) và đi qua điểm M(-3;3;5). 8 Toạ độ trong khơng gian – Ơn thi đại học – Đào Huy Nam – THPT Mỹ Đức A – Hà Nội d) Viết phương trình của mặt phẳng (γ) tiếp xúc với mặt cầu (S) và vuông góc với (d): 2 2z 1 1y 2 3x − − = + = − . Bài 9) Cho mặt cầu (S): x 2 +y 2 +z 2 -2x - 4y+2z - 3=0 và đường thẳng (d) qua điểm A(-4;3;0) có véctơ chỉ phương = → u (4;1;1). Chứng tỏ rằng (d) tiếp xúc với (S). Tìm tọa độ của tiếp điểm. Bài 10 Cho A(1;1;1), B(1;2;1), C(1;1;2) và D(2;2;1). a) Viết phương trình đường vuông góc chung của AB và CD. b) Tính thể tích tứ diện ABCD. c) Viết phương trình của mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD. Bài 11 Cho đường tròn (C):    =++ =+++++ 012z2y-x 0176z6y4x-zyx 222 a) Tìm tọa độ tâm K và bán kính r của (C). b) Viết phương trình của mặt cầu (S) chứa (C) và có tâm I nằm trên mặt phẳng (P):x+y+z+3=0 Bài 12 Cho A(3;-2;-2), B(3;2;0), C(0;2;1) và D(-1;1;2). a) Viết phương trình mặt phẳng (BCD). Suy ra ABCD là một tứ diện. b) Viết phương trình của mặt cầu (S) có tâm A và tiếp xúc mặt phẳng (BCD). Bài 13 Lập phương trình của mặt phẳng (P) tiếp xúc (S):x 2 +y 2 +z 2 −10x+2y+26z−113=0 và song song với cả (d 1 ): 2 13z 3 1y 2 5x + = − − = + , (d 2 ): 0 8z 2 1y 3 7x − = − + = + . Bài 14 Lập phương trình của (P) chứa (d): 10 10 10 8 1 x y z + + = = và tiếp xúc (S):x 2 +y 2 +z 2 +2x−6y+4z−15=0. Bài 15 Cho (D): 1 5 15 2 1 2 x y z − + + = = − . Lập phương trình của mặt cầu (S) có tâm I(2;3;−1) và cắt (D) tại A, B sao cho AB=16. Bài 16 Lập phương trình của mặt cầu (S) có tâm I ∈ (D): 3 1 3 1 2 6 x y z − − − = = − − và tiếp xúc với cả hai mặt phẳng (P):x+2y−2z−2=0 và (Q):x+2y−2z+4=0. Bài 17 Lập phương trình của mặt cầu (S) có tâm I ∈ (D): 1 1z 1 y 3 1x − − = − = + và tiếp xúc với cả hai mặt phẳng (P):x+2y+2z−8=0 và (Q):2x+y−2z+5=0. Bài 18 Tìm phương trình của mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD biết A(1;0;0), B(0;2;0), C(0;0;3) và D(1;2;−2). Bài 19 Lập phương trình của mặt cầu (S) có tâm I(1;4;−7) và tiếp xúc với (P):6x+6y−8z+42=0. Bài 20: Trong kgOxyz, cho đường thẳng d: 1 1 2 2 1 3 x y z+ − − = = và mp(P): x − y − z − 1 = 0 1/ Lập pt chính tắc của đường thẳng ∆ đi qua A(1; 1; −2) song song với (P) và vng góc với d. 2/ Lập pt mặt cầu (S) có tâm thuộc d, bán kính bằng 3 3 và tiếp xúc với (P). Bài 21: Trong kgOxyz, cho hình lăng trụ đứng OAB.O’A’B’ với A(2; 0; 0), B(0; 4; 0), O’(0; 0; 4) 1/ Tìm tọa độ các điểm A’, B’. Viết pt mặt cầu (S) đi qua 4 điểm O, A, B, O’. 2/ Gọi M là trung điểm của AB. Mp(P) qua M vng góc với OA’ và cắt OA, AA’ lần lượt tại N, K. Tính độ dài đoạn KN. Bài 22: Trong khơng gian Oxyz, tìm phương trình mặt cầu (S) qua 3 điểm A(0;1;2); B(1;2;4);C(-1;0;6) và tiếp xúc mặt phẳng (P): x+y+z+2=0 Bài 23: Trong khơng gian Oxyz, cho tam giác ABC có A(1;1;2); B(4;1;2); C(1;4;2) 1) Chứng minh tam giác ABC vng cân 2) Tìm tọa độ điểm S biết SA vng góc với mặt phẳng (ABC) và mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.ABC tiếp xúc với mặt phẳng (P): x+y+4=0 Bài 24: Trong khơng gian cho tứ diện có các đỉnh : A(1;3;-3), B(-1;2;0), C(0;4;-2) và O. 9 Toạ độ trong không gian – Ôn thi đại học – Đào Huy Nam – THPT Mỹ Đức A – Hà Nội Viết phương trình mặt cầu đi qua A, B và tiếp xúc với đoạn OC tại trung điểm của nó. Bài 25 : Trong không gian cho mặt cầu (S) có tâm I(-1;2;0) và tiếp xúc với 1 ( ): 2 1 1 x y z d − = = − . Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa (d) và cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng nửa bán kính của (S). Bài 26: Trong không gian cho A(-1;2;0) và 1 ( ): 2 1 1 x y z d − = = − . Viết phương trình đường tròn qua A, cắt (d) tại B, C sao cho tam giác ABC đều. Bài 27: Trong không gian cho ( ) : 1 2 2 x t d y t z t =   = +   = +  và ( ): 2 15 0P y z− + = . Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua O, tiếp xúc với (d), (P) và có bán kính nhỏ nhất. Bài 28: Trong không gian toạ độ Oxyz cho mặt cầu đường kính AB với A(1;-1;2), B(1;2;-2) và đường thẳng (d): 2 2 2 4 x t y t z t = −   =   = − +  .Viết phương trình mặt phẳng chứa (d) và cắt mặt cầu theo một giao tuyến có chu vi nhỏ nhất. Bài 29: Trong không gian Oxyz cho (d): 1 2 1 1 x y z − = = − là đường thẳng chứa đường cao của chóp S.ABCD có đỉnh thuộc mp Oxy và có tất cả các cạnh bằng 2 2 . Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp chóp S.ABCD 10 [...]... hai mặt phẳng (SAM) và (SMN) vuông góc 2 4 13 Toạ độ trong khơng gian – Ơn thi đại học – Đào Huy Nam – THPT Mỹ Đức A – Hà Nội Bài 35: Cho tam giác đều ABC cạnh a Gọi D là điểm đối xứng với A qua BC Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại D lấy điểm S sao cho SD = a 6 , CMR hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) vuông góc với nhau 2 Bài 36: Trong không gian cho các điểm A,B,C theo thứ tự thuộc các tia... Toạ độ trong khơng gian – Ơn thi đại học – Đào Huy Nam – THPT Mỹ Đức A – Hà Nội Bài 20 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a Đường cao SA = 2a Trên cạnh CD lấy điểm M, đặt MD = m (0 £ m £ a) 1 Tìm vị trí điểm M để diện tích D SBM lớn nhất, nhỏ nhất a 2 Cho m = 3 , gọi K là giao điểm của BM và AD Tính góc phẳng nhị diện [A, SK, B] 3 CÁC BÀI TỐN VỀ HÌNH HỘP – LĂNG TRỤ ĐỨNG Bài. ..Toạ độ trong khơng gian – Ơn thi đại học – Đào Huy Nam – THPT Mỹ Đức A – Hà Nội Phần VI: CÁC BÀI TẬP ÁP DỤNG TOẠ ĐỘ TỔNG HỢP HHKG GIẢI TÍCH 1 Hình chóp tam giác Ví dụ 1 Cho hình chóp O.ABC có OA = a, OB = b, OC = c đơi một vng góc Điểm M cố định thuộc tam giác... ®iĨm cđa BB1; M di ®éng trªn c¹nh AA1 T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt cđa diƯn tÝch ∆MC1D II CÁC DẠNG BÀI TẬP 1 CÁC BÀI TỐN VỀ HÌNH CHĨP TAM GIÁC Bài 1 (trích đề thi Đại học khối D – 2002) Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vng góc (ABC), AC = AD = 4cm, AB = 3cm, BC = 5cm Tính khoảng cách từ đỉnh A đến (BCD) Bài 2 Cho D ABC vng tại A có đường cao AD và AB = 2, AC = 4 Trên đường thẳng vng góc với (ABC) tại A... nhị diện [N, OM, P] vng khi và chỉ khi 2 = 2 + 2 a b c · Bài 6 Cho hình chóp S.ABC có D ABC vng cân tại A, SA vng góc với đáy Biết AB = 2, (ABC),(SBC) = 60 0 1 Tính độ dài SA 2 Tính khoảng cách từ đỉnh A đến (SBC) Bài 7 Cho hình chóp O.ABC có OA = a, OB = b, OC = c vng góc với nhau từng đơi một Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Bài 8 (trích đề thi Đại học khối D – 2003) Cho hai mặt phẳng... góc với (SBC) 2 Hình chóp tứ giác a) Hình chóp S.ABCD có SA vng góc với đáy và đáy là hình vng (hoặc hình chữ nhật) Ta chọn hệ trục tọa độ như dạng tam diện vng b) Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vng (hoặc hình thoi) tâm O đường cao SO vng góc với đáy Ta chọn hệ trục tọa độ tia OA, OB, OS lần lượt là Ox, Oy, Oz Giả sử SO = h, OA = a, OB = b ta có O(0; 0; 0), A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(–a; 0; 0), D(0;–b;... 1 2 = 2 + 2 + OH OA OB OC 2 3 Chứng minh cos2 a + cos2 b + cos2 g = 1 4 Chứng minh cos a + cos b + cos g £ 3 Bài 5 Cho hình chóp O.ABC có OA = a, OB = b, OC = c vng góc với nhau từng đơi một Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm BC, CA, AB 1 Tính góc j giữa (OMN) và (OAB) 11 Toạ độ trong khơng gian – Ơn thi đại học – Đào Huy Nam – THPT Mỹ Đức A – Hà Nội 2 Tìm điều kiện a, b, c để hình chiếu của O trên... 2xy=a2 Bài 44: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân ABC với cạnh huyền AB = 4 2 Cạnh bên SC ⊥ (ABC) và SC = 2 Gọi M là trung điểm của AC, N là trung điểm AB 1) Tính góc của hai đường thẳng SM và CN 2) Tính độ dài đọan vuông góc chung của SM và CN Bài 45: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng 1 1) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, BB' Chứng minh rằng A 'C ⊥ MN Tính độ dài... Chứng tỏ rằng khi đó tâm mặt cầu nội tiếp và ngoại tiếp trùng nhau 2 CÁC BÀI TỐN VỀ HÌNH CHĨP TỨ GIÁC Bài 14 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, SA = a và vng góc với đáy Gọi E là trung điểm CD 1 Tính diện tích D SBE 2 Tính khoảng cách từ đỉnh C đến (SBE) 3 (SBE) chia hình chóp thành hai phần, tính tỉ số thể tích hai phần đó Bài 15 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a Cạnh bên SA vng góc... góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (SBC) 3 Trong trường hợp đó tính thể tích hình chóp S.BCNM 3 Bài 18 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vng cạnh a D SAD đều và vng góc với (ABCD) Gọi H là trung điểm của AD · 4 Tìm điều kiện của a và b để cos CMN = 1 Tính d(D, (SBC)), d(HC, SD) 2 Mặt phẳng (a ) qua H và vng góc với SC tại I Chứng tỏ (a ) cắt các cạnh SB, SD Bài 19 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình . Toạ độ trong khơng gian – Ơn thi đại học – Đào Huy Nam – THPT Mỹ Đức A – Hà Nội CHUN ĐỀ: PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN Phần I: CÁC BÀI TẬP BIẾN ĐỔI TOẠ ĐỘ Bài 1: Cho A(1;. (d 2 ), trục hồnh tại A, B sao cho AB có độ dài nhỏ nhất. 2 Toạ độ trong không gian – Ôn thi đại học – Đào Huy Nam – THPT Mỹ Đức A – Hà Nội Bài 11: Trong không gian Oxyz cho (d): 1 2 2 1 1 x y z−. phẳng Oxy và AB = 12 . 6 Toạ độ trong khơng gian – Ơn thi đại học – Đào Huy Nam – THPT Mỹ Đức A – Hà Nội Phần IV: CÁC BÀI TẬP VỀ GĨC, KHOẢNG CÁCH Bài 1: Trong không gian Oxyz cho A(0; 1; 0), B(2;