- ôn tập Toán lớp kì ii rút gọn biểu thức Chủ đề I: Phơng pháp: - Phân tích đa thức tử mẫu thành nhân tử; Tìm ĐKXĐ (Nếu toán cha cho ĐKXĐ) Rút gọn phân thức(nếu đợc) Thực phép biÕn ®ỉi ®ång nhÊt nh: + Quy ®ång(®èi víi phÐp cộng trừ) ; nhân ,chia + Bỏ ngoặc: cách nhân đơn ; đa thức dùng đẳng thức + Thu gọn: cộng, trừ hạng tử đồng dạng + Phân tích thành nhân tử rút gọn Chú ý: - Trong toán rút gọn thờng có câu thuộc loại toán: Tính giá trị biểu thức; giải phơng trình; bất phơng trình; tìm giá trị biến để biểu thức có giá trị nguyên; tìm giá trị nhỏ ,lớn nhấtDo ta phải áp dụng phơng pháp giải tơng ứng, thích hợp cho loại 1 a +1 ví dơ: Cho biĨu thøc: P = + : a −1 a − a + a− a a/ Rút gọn P b/ Tìm giá trị a để biểu thức P có giá trị nguyên Giải: a/ Rót gän P: 1 a +1 - Ph©n tÝch: P= + : a − 1 ( a − 1) a ( a − 1) a > 0; - §KX§: a −1 ≠ ⇔ a ≠ 1+ a ( a − 1) - Quy ®ång: P = a ( a − 1) a +1 - Rót gän: P= a −1 a b/ Tìm giá trị a để P có giá trị nguyên: - Chia tử cho mẫu ta ®ỵc: P = − a − 1(ktm) - Lý luận: P nguyên nguyên a íc cđa lµ ± ⇒ a = a 1 ⇔ a = VËy víi a = biểu thức P có giá trị nguyên Bài Tập (Mỗi tập em tự tìm TXĐ) Bµi 1: Cho biĨu thøc : a −a a +a A= + 1− a 1+ a a/ Rót gän A b/ TÝnh A a = − 2 Bµi 2: Cho biĨu thøc : a +2 a −2 B= + a −4 a +4 a/ Rót gọn B b/ Tính giá trị a B = - ôn tập Toán líp – k× ii -Bµi 3: Cho biĨu thøc : C= − x −2 x−2 x a/ Rót gän C b/ Tinh C x = − Bµi 4: Cho biĨu thøc : 1 D= − : x+2 x−4 x −2 Chøng tá biĨu thøc D kh«ng phơ thc vµo biÕn x Bµi 5: Cho biĨu thøc : x x 2x : E = − x +2 x −2 x −4 a/ Rót gọn E b/ Tìm giá trị x để E nhận giá trị nguyên Bài 6: Cho biểu thức : x x x F = − x − x x + x : x −1 a/ Rót gän biĨu thøc F b/ Tìm giá trị x để F = Bµi 7: Cho biĨu thøc : 1 a +1 G= − + a −1 a +1 a + a +1 a/ Rót gän biĨu thøc G b/ TÝnh G a = − Bµi 8: Cho biÓu thøc : 1 H = + : a − a a + a a − a +1 a/ Rót gän H b/ TÝnh a H = Bµi 9: Cho biĨu thøc : a − a + a + a + 1 a I = a a +1 − a a −1 : a −1 a/ Rót gän biĨu thức I b/ Tìm giá trị a để biểu thức I nhận giá trị nguyên Bài 10: Cho biểu thøc : 1 a −1 K =( − ): a a +1 a +1 a + a +1 a/ Rót gän biĨu thøc K b/ TÝnh a K = − Bµi 11: Cho biĨu thøc : 1− a a 1 + a a P = − a + a . + a − a - ôn tập Toán lớp kì ii -a) Rút gọn P b) Tìm a để P< − Bµi12: Cho biĨu thøc: a + a a − a 1 − P = 1 + a − a −1 a/ Rót gän M b/ T×m giá trị a để M = - Bài 13: Cho biÓu thøc: a a − a a + a M= − a a + − a − a/ Rót gän P b/ So sánh P với Bài 14: Cho biểu thøc: a +1 a + 2 P = − − : a a −2 a −1 a −1 a) Rút gọn P b) Tìm giá trị a ®Ĩ P = Bài 15: Cho biểu thức: A= x 2x − x − với ( x >0 x ≠ 1) x −1 x − x 1) Rút gọn biểu thức A 2) Tính giá trị biểu thức A x = + 2 Bµi 16: Cho biĨu thøc: Q = x +1 + x + + x 4− x x −2 x +2 a Rót gän Q víi x ≥ 0: x b.Tìm x để Q = Bµi 17: Cho biĨu thøc: P = a) b) x x 3x + x − : + − − 1 x +3 x −3 x−9 x −3 Rút gọn P Tìm giá trị nhỏ nhÊt cđa P Bµi 18: Cho biĨu thøc: - ôn tập Toán lớp kì ii -P=( ) a − b + ab a b − b a a+ b ab a) Rót gän P b) Tính giá trị P a = vµ b = Bµi 19: Cho biĨu thøc : x+2 x P = + + x x −1 x + x +1 1− x : a) Rót gän P b) Chøng minh r»ng P > ∀ x ≠ Bµi 200: Cho biĨu thøc : x− y P = + x− y a) Rót gän P b) Chøng minh P ≥ Chđ ®Ị 2: x3 − y y−x : ( x −1 ) x − y + xy x+ y Phơng trình bậc hai ẩn - - Cách giải phơng trình bậc hai khuyết (c) dạng: ax2+ bx = + Phơng pháp : Phân tích vế trái thành nhân tử , giải phơng trình tích + Ví dụ: giải phơng trình: 3x = ⇔ x = x − x − ⇔ 3x ( x − 2) = x2=0 x =2 Cách giải phơng trình bậc hai khuyết (b) dạng: ax2+ c = + Phơng pháp: -Biến đổi dạng x = m x = ± m - Hc x − m = ⇔ ( x + m )( x − m ) = ⇔ x+ m =0⇔ x=− m x− m =0⇔ x=− m + VÝ dơ: Gi¶i phơng trình: 4x = x = ⇔ x = ± Bµi tËp lun tËp Giải phương trình bậc hai khuyết sau: a) 7x2 - 5x = ; d) -3x2 + 15 = ; g) 4x2 - 16x = b) 3x2 +9x = ; e) 3x2 - 53 = ; h) -7x2 - 21 = c) 5x2 – 20x = f) 3x2 + = h) 4x2 + = Cách giải phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = ( a ≠ 0) b»ng c«ng thøc nghiƯm: công thức nghiệm: Phơng trình: ax2 + bx + c = - ôn tập Toán lớp – k× ii -∆ = b − 4ac * Nếu > phơng trình có hai nghiệm phân biÖt: x1 = -b - ∆ ; x2 = -b + ∆ 2a 2a * NÕu ∆ = ph¬ng tr×nh cã nghiƯm kÐp: x1 = x2 = * NÕu < phơng trình vô nghiệm ví dụ giảI p.t công thức nghiệm: Giải phơng trình: x − 3x − = ( a =1; b = - 3; c = - 4) -b 2a Ta cã: ∆ = (−3) − 4.1.(−4) = + 16 = 25 ⇒ ∆ = 25 = > Vậy phơng trình có hai nghiệm phân biÖt: − (−3) + − (−3) − x1 = =4 x2 = = −1 2.1 2.1 Bµi tËp lun tËp Dùng cơng thức nghiệm tổng qt để giải phương trình sau: Bµi1: a) 2x2 - 7x + = ; b) y2 – 8y + 16 = ; c) 6x2 + x - = d) 6x2 + x + = ; e) 4x2 + 4x +1 = ; f) -3x2 + 2x +8 = Bµi2: a/ 2x2 – 5x + = b/ 5x2 – x + = c/ -3x2 + 2x + = d/ 4x2 – 4x + = e/ - 2x2 – 3x + = f/ 5x2 – 4x + = g/ 7x2 - 9x + = h/ 23x2 - 9x - 32 = i/ 2x2 + 9x + = k/ 2x2 - 7x + = l/ x2 - 6x + = m/ x2 + 6x + = Bµi3: a/ (x + 2)2 - 3x - = (1 - x)(1 + x) b/ (x + 1)2 - x + = (x - 1)(x - 2) c/ 10x2 + 17x + = 2(2x - 1) – 15 d/ x2 + 7x - = x(x - 1) - d/ 2x2 - 5x - = (x+ 1)(x - 1) + e/ 5x2 - x - = 2x(x - 1) - + x2 Bµi 4: a, 2x2 – 2 x + = b, 2x2 – (1-2 )x - = c, 2 x - 2x - = 3 d, 3x2 + 7,9x + 3,36 = e, -7x2 + 4x = f, 3x2 – 2 x = công thức nghiệm thu gọn: Phơng trình: ax2+ bx + c = Chó ý: Trong trêng hỵp hƯ số b số chẵn giải phơng trình công thức nghiệm thu gọn: b= b ∆' = b '2 − ac * NÕu ∆ ' > phơng trình có hai nghiệm phân biệt - ôn tập Toán lớp k× ii -x1 = -b' - ∆ ' ; x2 = -b' + ∆ ' a a * NÕu ∆ ' = phơng trình có nghiệm kép: x1 = x2 = -b' a * NÕu ∆ ' < th× phơng trình vô nghiệm Bài tập luyện tập Dùng công thức nghiệm thu gọn để giải phơng trình sau: a) 5x2 - 6x - = ; d) 13x2 – 12x +1 = ; b) -3x2 +14x – =0 ; e) 3x2 – 2x – = ; c) 4x2 + 4x + = f) 16x2 8x +1 = Cách giải phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = ( a 0) P2đặc biệt: Nếu phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = cã a + b + c = th× phơng trình có nghiệm x = x2 = c a Nếu phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = cã a - b + c = phơng trình có nghiƯm x = - vµ x2 = −c a Nếu phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = cã a + b + c = phơng trình có nghiệm x = Ví dụ: Giải phơng trình: x2 = c a x − 5x + = Ta cã: a + b + c = + (−5) + = ⇒ x1 = 1; x = Giải phơng trình: x − 3x − = − (−4) =4 Bài tập luyện tập Giải phơng trình sau phơng pháp đặc biệt: Ta có: a b + c = − (−3) + (−4) = ⇒ x1 = −1; x = a) 7x2 - 9x + = ; b) 23x2 – 9x – 32 = ; c) x2 – 39x – 40 = ; d) 24x2 – 29x + = ; Các dạng toán biện luận phơng trình bậc hai: Tìm điều kiện tham số để phơng trình có hai nghiệm phân biệt: + §iỊu kiƯn: ∆ > ; (hc ∆/ > ) + VÝ dơ: Cho phương trình: x2 + 2x 2m = (1) Tìm giá trị m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt? Giải: (a = 1; b = 2; c = −2m) ⇒ ∆ = 2 − 4.1.(−2m) = + 8m −1 Phơng trình (1) có hai ngiệm phân biệt > ⇔ + 8m > ⇔ 8m > −4 ⇔ m > Bµi tËp lun tËp Bài Tìm m để phương trình sau có nghiệm a/ x2 + 3x + 3m + = b/ x2 - 2x + 4m - = c/ - x2 + 4x + m + = d/ x2 + (2m + 1)x + m2 + = Bài 2: Cho phơng trình : x2 + 4mx + 4m - = a) Giải phơng trình với m = -2 b) Với giá trị m phơng trình có hai nghiệm phân biệt Bài 3: Cho phng trỡnh: x2 + kx + = 1/Tìm k để phương trình cú hai nghim phân biệt? - ôn tập Toán lớp kì ii -2/Tìm k để phương trình có nghiệm Tính nghiệm cịn lại? Bµi 4: Cho phơng trình : x2 - 2(m - ) x + 2m2 + = a) Gi¶i phơng trình với m = - b) Với giá trị m phơng trình có hai nghiệm phân biệt Bài 5: Cho phơng trình : (m 4)x2 – 2mx + m – = a) Giải phơng trình với m = - b) Với giá trị m phơng trình có hai nghiệm phân biệt Bài 6: Cho phơng trình : kx2 +(2k+1)x +k -1 = a) Giải phơng trình với k = b) Với giá trị k phơng trình có hai nghiệm phân biệt Tìm điều kiện tham số để phơng trình có nghiệm kép: + Điều kiện: = ; (hoặc / = ) + VÝ dơ: Cho phương trình: x2 + 2x k = (1) Tìm giá trị kđể phơng trình có nghiệm kép ? Giải: (a = 1; b = 2; c = −k ) ⇒ ∆ = 2 − 4.1.(− k ) = + 4k Phơng trình (1) có hai ngiệm phân biệt ⇔ ∆ = ⇔ + 4k = ⇔ 4k = −4 ⇔ m = −1 Bµi tËp lun tËp Bài1 Tìm m để phương trình sau có nghiệm kép a/ x2 – 4x + k = b/ x2 + 5x + 8m + = c/ - x2 - 5x + 3m + = d/ x2 – (k + 2)x + k2 + = Bµi2: Cho phương trình: 5x + 2x – 2m – = 1/Giải phương trình m = 2/Tìm m để phương trình cú nghim kộp Bài3:: Cho phơng trình: x2 - mx + 2m - = a) Giải phơng trình với m = -2 b) Tìm m để phơng trình có nghiệm kép Bài4:: Cho phơng trình: x2 + (m + 1)x + m2 = a) Giải phơng trình với m = - b) Tìm m để phơng trình có nghiệm kép Bài5: Cho phng trỡnh: kx2 (2k-1)x + k + = 1/Giải phương trình m = 2/Tìm m để phương trình có nghim kộp Tỡm nghim kộp ú ? Tìm điều kiện tham số để phơng trình vô nghiệm : + Điều kiện: < ; (hoặc ' < ) + VÝ dơ: Cho phương trình: x2 + 2x +n = (1) Tìm giá trị n để phơng trình vô nghiệm? Giải: (a = 1; b = 2; c = n) ⇒ ∆ = 2 4.1.n = 4n Phơng trình (1) có hai ngiƯm ph©n biƯt ⇔ ∆ = ⇔ − 4n < ⇔ −4n < −4 ⇔ n > Bµi tËp lun tËp Tìm m để phương trình sau vơ nghiệm ? a/ x2 + 2x + m + = c/ mx2 – (2m – 1)x + m + = b/ - x2 - 3x + 2m - = d/ mx2 2(m+2)x + m-1 = 4.Tìm điều kiện tham số để phơng trình bậc hai có nghiệm x = x1 cho trớc Tìm nghiệm thứ Cách tìm điều kiện tham số để phơng trình bậc hai cã mét nghiƯm x = x1 cho tríc +) Ta thay x = x1 vào phơng trình đà cho, tìm giá trị tham số Cách tìm nghiệm thứ Thay giá trị tham số tìm đợc vào phơng trình giải phơng trình Ví dụ: Cho phương trình: x2 – x + 2m – = (1) a/ Tìm giá trị m để phơng trình có nghiệm x1 = b/ Tìm nghiêm lại - ôn tập Toán líp – k× ii - Gi¶i: a/ Thay x1 = vào phơng trình (1) ta đợc: 12 + 2m − = ⇔ 2m = ⇔ m = VËy víi m = Th× phơng trình (1) có nghiệm x1 = b/ Thay m = vµo PT (1) ta cã: x − x + 2.3 − = ⇔ x − x = ⇔ x( x − 1) = x=0 x =1 VËy nghiÖm thø hai cđa Pt (1) lµ x = ⇔ Bµi tËp luyện tập Bài 1: Cho phơng trình : 2x2 - 6x + m + = a) Giải phơng trình với m = -3 b) Với giá trị m phơng trình có nghiệm x = - Bài 2: Biết phơng trình : x2 - 2x + 5m - = ( Víi m lµ tham sè ) cã mét nghiƯm x = Tìm nghiệm lại Bài 3: Biết phơng tr×nh : x2 - (3m + )x - 2m - = ( Víi m lµ tham sè ) cã mét nghiƯm x = -1 T×m nghiƯm lại Bài 4: Cho phơng trình: x2 - 2(m- 1)x + 3m - = Tìm m để phơng trình có nghiệm x = Tìm nghiệm lại Bài 5: Cho phơng trình bậc hai (m - 2)x2 - 2(m + 2)x + 2(m - 1) = a) Tìm m để phơng trình có nghiệm x = (Có thể dùng Định lý Vi ét: Tổng tích hai nghiệm để tìm nghiệm thứ hai phơng trình Trình bày mục 61) chứng minh phơng trình luôn có nghiệm : Phơng pháp: - Lập biểu thức - Biện luận cho với giá trị tham số cách biến đổi biểu thức d¹ng: ∆ = ( A ± B) + m với m Ví dụ: Cho phơng trình x − (m − 2) x + m − = Chứng minh phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt với giá trị m Gi¶i: Ta cã: a = 1; b = −(m − 2); c = m − ⇒ ∆ = [ − (m − 2)] − 4.1.(m − 5) = (m − 4m + 4) − 4m + 20 = m − 8m + 24 = m − 2.m.4 + + = (m − 4) + > V× ∆ > với giá trị m nên phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt Bài tập luyện tập Bài Cho phương trình: 2x2 – mx + m – = Chứng minh phương trình có nghiệm với m Bµi 2: Cho phương trình: x2 – (k – 1)x + k – = 1/Giải phương trình k = 2/Chứng minh phương trình ln có nghiệm với k Bµi 3: Cho phương trình: x2 + (m – 1)x – 2m – = - «n tËp Toán lớp kì ii -2.Chứng tỏ phương trình ln cú nghim vi mi m Định lý Vi-et hệ quả: 1Định lý Vi ét: Nu x1 , x2 l nghiệm phương trình ax2 + bx + c = (a ≠ 0) S = x + x2 = p = x1x2 = b a c a Đảo l¹i: Nếu có hai số x1,x2 mà x1 + x2 = S x1x2 = p th× hai sè ®ã nghiƯm (nÕu cã)cđa pt bËc hai: x2 – S x + p = To¸n øng dơng định lý Viét Tìm nghiệm thứ 2; biết phơng trình có nghiệm x = x1 Phơng pháp: +Thay giá tị tham số tìm đợc vào công thức tổng nghiệm để tính nghiêm thứ hai Hoặc thay giá trị tham số tìm đợc vào công thức tích hai nghiệm,từ tìm đợc nghiệm thứ Ví dụ: Biết phơng trình : x2 - 2x + 5m - = ( Víi m lµ tham sè ) cã mét nghiƯm x = T×m nghiƯm lại Giải: Cách1: Thay x = vào pt ta cã: − 2.1 + 5m − = ⇔ m = Thay m = vµo pt ta đợc: x2 - 2x + 5.1 - = x2 - 2x + = b Theo Định lý Vi ét ta có: x1 + x = − ⇒ + x = ⇔ x = a VËy nghiÖm thø hai phơng trình x = Cách2: Thay x = vµo pt ta cã: − 2.1 + 5m − = ⇔ m = Thay m = vào pt ta đợc: x2 - 2x + 5.1 - = x2 - 2x + = c Theo Định lý Vi Ðt ta cã: x1 x = ⇒ 1.x = ⇔ x = a VËy nghiÖm thứ hai phơng trình x = Bài tËp lun tËp: Bµi 1: Cho phương trình: x2 – 2x + m = Tìm m biết phương trình có nghiệm Tính nghiệm cịn lại Bµi Biết phơng trình : x2 - 2x + 5m - = ( Víi m lµ tham sè ) cã mét nghiƯm x = T×m nghiƯm lại Bài 3: Biết phơng trình : x2 - (3m + )x - 2m - = ( Víi m lµ tham sè ) cã mét nghiệm x = -1 Tìm nghiệm lại 2.LP PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Khi biÕt hai nghiƯm x1;x2 Ví dụ : Cho x1 = ; x2 = lập phương trình bậc hai chứa hai nghiệm Gi¶i: S = x1 + x2 = P = x1 x2 = Theo hệ thức VI-ÉT ta có Vậy x1 ; x2 nghiệm phương trình có dạng: x − Sx + P = ⇔ x − x + = - ôn tập Toán líp – k× ii -Bài tập luện tập: Lập phơng tr×nh bËc hai biÕt hai nghiƯm: 1/ x1 = vµ x2 = -3 2/ x1 = 36 vµ x2 = -104 c.hÖ Phơng trình bậc hai ẩn: Giải hệ phơng trình phơng pháp x + y = 2 x − y = − x + y = x + y = 3 x + y = x − y = 2 x + y = 2 x + y = 5 x − y = − x − y = −2 x − y = 2 x − 11 y = −7 10 x + 11 y = 31 3 x + y = −2 3x − y = −3 3 x + y = 2 x − y = 3 x + y = 2 x − y = − x + y = 6 x − y = −7 2 x + y = 6 x − 15 y = 8 x + y = Gi¶i hệ phơng trình phơng pháp cộng đại số 3 x + y = x − y = 3 x − y = x + y = 2x − 3y = −4x + 6y = 2 x + y = 2 x − y = 2 x − y = 11 − x + y = 3 x − y = 6 x − y = d Một số phơng trình thờng gặp: A = D¹ng: A.B = ⇔ B = Ví dụ: Giải phơng trình: x + x − 13 x + = Ph©n tÝch vế trái thành nhân tử phơng pháp nhẩm nghiệm.( nghiệm thuộc ớc 6)ta đợc: x1 = pHơng trình tích: x = ( x − 2)(2 x + x − 3) = ⇔ x = Bµi tËp ln tËp: Bµi 1: x − x − x + x − 12 = Bµi 2: x − x − 11x + = pHơng trình vô tỉ: Ví dụ: Giải phơng trình: x + 2x + x − 2x − = PP: + §KX§: x − ≥ ⇔ x ≥ + Tạo bình phơng tổng hiệu biểu thức dới để đa Do thiếu lần tích nên ta nhân hai vế phơng trình với + Xét xem biểu thức dới dơng hay không để đặt dấu gía trị tuyệt đối giải phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối 10 - ôn tập Toán lớp kì ii -Bµi tËp ln tËp: Bµi 1: Bµi 2: x − 4x + + x + 2x + = x+2 x−3 −2 + x−2 x−3 −2 = - D¹ng III ®å thÞ y = ax + b( a ≠ 0) & y = a ' x ( a ' 0) tơng quan chúng I/Tìm hệ số a - iểm thuc hay không thuộc đồ thị a= y x2 Điểm A(xA; yA) thuộc đồ thị hàm số y = f(x) yA = f(xA) Ví dụ : a/Tìm hệ số a hàm số: y = ax2 biết đồ thị hàm số qua điểm A(2;4) b/ Đồ thị hàm số có qua điểm B(3; 9) kh«ng? Giải: a/Do đồ thị hàm số qua điểm A(2;4) nên: = a.22 a=1 b/ V× a =1 nên ta có hàm số y = x Thay x = vào hàm số ta đợc Y = 32 = = VËy B thuéc đồ thị hàm số y = x2 II/Quan h gia (d): y = ax + b (P): y = a’x2 (a’ 0) 1.Tìm tọa độ giao điểm (d) (P) Bước 1: Tìm hồnh độ giao điểm nghiệm phương trình: a’x2 = ax + b ⇔ a’x2- ax – b = (1) Bước 2: Lấy nghiệm thay vào hai cơng thức y = ax +b y = ax để tìm tung độ giao điểm Chú ý: Số nghiệm phương trình (1) số giao điểm (d) (P) 2.Tỡm iu kin (d) v (P) cắt;tiếp xúc; không cắt nhau: Từ phơng trình (1) ta có: a ' x − ax − b = ⇒ ∆ = (−a ) + 4a ' b a) (d) (P) cắt phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆ > b) (d) (P) tiếp xúc với c) (d) (P) không giao phương trình (1) có nghiệm kép ⇔ ∆ = phương trình (1) vơ nghiệm ⇔ ∆ < 3.Chứng minh (d) v (P) cắt;tiếp xúc; không cắt với giá trị tham số: + Phơng pháp : Ta phải chứng tỏ đợc phơng trình: ax2 = ax + b cã : + ∆ > víi giá trị tham số cách biến đổi biĨu thøc ∆ vỊ d¹ng: ∆ = ( A ± B) + m với m > đờng thẳng cắt pa bol + = với giá trị tham số cách biến đổi biểu thức dạng: 11 - ôn tập Toán lớp kì ii -∆ = ( A B) đờng thẳng cắt pa bol + < với giá trị tham số cách biến đổi biểu thức vỊ d¹ng: ∆ = − ( A ± B ) + m với m > đờng thẳng không cắt pa bol [ ] tập luyện tËp: Bµi cho parabol (p): y = 2x2 1.VÏ đồ thị hàm số (p) 2.Tìm giao điểm (p) với đờng thẳng y = 2x +1 Bài 2: Cho (P): y = x đờng thẳng (d): y = ax + b Xác định a b để đờng thẳng (d) qua điểm A(-1;0) tiếp xúc với (P) Tìm toạ độ tiếp điểm Bài : Cho (P) y = x đờng thẳng (d) y = 2x + m Vẽ (P) Tìm m để (P) tiếp xúc (d) Tìm toạ độ tiếp điểm Bài : Cho (P) y = − x vµ (d): y = x + m VÏ (P) X¸c định m để (P) (d) cắt hai điểm phân biệt A B Bài : Cho hµm sè (P): y = x vµ hµm sè(d): y = x + m 1.T×m m cho (P) (d) cắt hai điểm phân biệt A B Tìm toạ độ giao điểm (P) vµ (d) m = Bµi : Cho điểm A(-2;2) đờng thẳng ( d1 ) y = -2(x+1) Điểm A có thuộc ( d1 ) không ? Vì ? Tìm a để hàm số (P): y = a.x qua A Bài : Cho hµm sè (P): y = − x đờng thẳng (d): y = mx 2m − VÏ (P) T×m m cho (P) (d) tiếp xúc nhau.Tìm toạ độ tiếp điểm Dạng IV Giải toán cách lập phơng trình I, Lí thuyết cần nhớ: * Bớc 1: + Lập PT hệ phơng trình; - Chọn ẩn, tìm đơn vị ĐK cho ẩn - Biểu diễn mối quan hệ lại qua ẩn đại lợng đà biết - Lập PT.hoặc HPT * Bớc 2: Giải PT HPT * Bớc 3: Đối chiếu với ĐK để trả lời tập luyện tập: 1) Toán chuyển động: Bài Hai ô tô khởi hành lúc từ hai tỉnh A B cách 160 km, ngợc chiều gặp sau Tìm vận tốc ô tô biết ô tô từ A tăng vận tốc thêm 10 km/h hai lần vận tốc ôtô từ B Bài 2: Một ngời xe đạp từ A ®Õn B víi vËn tèc 9km/h Khi ®i từ B A ngời đờng khác dài km, với vận tốc 12km/h nên thời gian thời gian đI 20 phút Tính quÃng đờng AB? Bài Hai ca nô khởi hành từ hai bến A, B cách 85 km , ngợc chiều gặp sau 40 phút.Tính vận tốc riêng ca nô biết vận tốc ca nô xuôi dòng lớn vận tốc ca nô ngợc dòng km/h (có vận tốc dòng nớc) vận tốc dòng nớc km/h 2) Toán thêm bớt lợng 12 - ôn tập Toán lớp – k× ii Bài 4: Hai thùng đựng dầu: Thïng thø nhÊt cã 120 lÝt,thïng thø hai cã 90 lÝt Sau kÊy ë thïng thø nh¸t mét lợng dầu gấp ba lợng dầu lấy thùng thứ hai, lợng dầu lại thùng thứ hai gấp đôi lợng dầu lại thùng thứ Hỏi đà lấy lít dầu thùng? 3) Toán phần trăm: Bài Hai trờng A, B cã 250 HS líp dù thi vµo lớp 10, kết có 210 HS đà trúng tuyển Tính riêng tỉ lệ đỗ trờng A đạt 80%, trờng B đạt 90% Hỏi trờng có HS lớp dự thi vào lớp 10 4) Toán làm chung làm riêng: Bài Hai vòi nớc chảy vào bể nớc sau 55 phút đầy bể Nếu chảy riêng vòi thứ cần thời gian vòi thứ hai Tính thời gian để vòi chảy riêng đầy bể Bài Hai tổ làm chung công việc hoàn thành sau 15 tỉ mét lµm giê, tỉ hai lµm đợc 30% công việc Hỏi làm riêng tổ hoàn thành 4)Các dạng toán khác: Bài 12 Một ruộng có chu vi 200m tăng chiều dài thêm 5m, giảm chiều rộng 5m diện tích giảm 75 m Tính diện tích ruộng Bài 13 Một phòng họp có 360 ghế đợc xếp thành hàng hàng có số ghế ngồi Nhng số ngời đến họp 400 nên phải kê thêm hàng hàng phải kê thêm ghế đủ chỗ Tính xem lúc đầu phòng họp có hàng ghế hàng cã bao nhiªu -&&&& -Dạng V Bài tập Hình tổng hợp I/ Nhắc lại số định lí liên quan đến đờng tròn: 1.Trong tam giác vuông trung tuyến thuộc cạnh huyền nửa cạnh Tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác vuông trung điểm cạnh huyền Nếu tam giác có cạnh đờng kính đờng tròn ngoại tiếp tam giác tamgiác vuông 4a.Trong đờng tròn,đờng kính vuông góc với dây qua trung điểm dây b Trong đờng tròn, đờng kính đờng kính qua trung điểm dây vuông góc với dây c.Trong đờng tròn,đờng kính vuông góc với dây qua trung điểm dây qua điểm cung d.Trong đờng tròn,đờng kính qua trung điểm dây qua điểm cung vuông góc với dây e.Trong đờng tròn,đờng kính qua điểm cung vuông góc với dây qua trung điểm dây 5.Trong đờng tròn: a/ Hai dây cách tâm b/ Hai dây cách tâm c/ Dây lớn dâyđó gần tâm d/ Dây gần tâm dây lớn Nếu đờng thẳng mà vuông góc đầu mút bán kính đờng thẳng tiếp tuyến ®êng trßn NÕu hai tiÕp tun cđa ®êng trßn cắt điểm thì: a/Điểm cách hai tiếp tuyến b/Tia kẻ từ diểm qua tâm tia phân giác góc tạo hai tiếp tuyến c/Tia kẻ từ tâm qua điểm tia phân giác góc tạo hai bán kính qua tiếp điểm d/ Tia kẻ từ tâm qua điểm trục đối xứng dây nối hai tiếp điểm Nếu hai đờng tròn cắt đờng nối tâm đờng trung trực dây chung Trong đơng tròn hai cung chắn hai dây song song 10 Trong đờng tròn hay hai đờng tròn nhau: a/ Hai cung căng hai dây b/ Hai dây căng hai cung c/ Cung lớn căng dây lớn d/ Dây lớn căng cung lớn 11 Hai cung chắn hai dây song song 12.+ Góc néi tiÕp cã sè ®o: a/ B»ng nưa sè ®o cung bị chắn b/ Bằng nửa số đo góc tâm + Các góc nội tiếp chắn cung hay cung +Góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn góc vuông + Các góc nội tiếp chắn cung 13 - ôn tập Toán lớp k× ii -13.Góc tạo tiếp tuyến dây cung: * Góc tạo tiếp tuyến dây cung có số đo nửa số đo cung bị chắn * Góc tạo tiếp tuyến dây cung góc nội tiếp chắn cung 14.Góc có ®Ønh ®êng trßn cã sè ®o b»ng nưa tỉng số đo hai cung bị chắn 15.Góc có đỉnh ®êng trßn cã sè ®o b»ng nưa hiƯu sè ®o hai cung bị chắn 16.Tổng hai góc đối tø gi¸c néi tiÕp b»ng 1800 17.Tø gi¸c cã tỉng hai góc đối 1800 tứ giác nội tiếp đờng tròn 18 Tứ giác có đỉnh nằm đờng tròn tứ giác đóp nội tiếp tập luyện tập: Bài Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đờng tròn (O) Các đờng cao AD, BE, CF cắt H cắt đờng tròn (O) lần lợt M,N,P C/M: 1/Tứ giác CEHD, nội tiếp 2/Bốn điểm B,C,E,F nằm đờng tròn 3/ AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC Bài Cho tam giác cân ABC (AB = AC), đờng cao AD, BE, cắt H Gọi O tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác AHE Chøng minh tø gi¸c CEHD néi tiÕp Bốn điểm A, E, D, B nằm đờng tròn Chứng minh DE tiếp tuyến đờng tròn (O) Tính độ dài DE biết DH = Cm, AH = Cm Bµi Cho nửa đờng tròn đờng kính AB = 2R Từ A B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By Qua điểm M thuộc nửa đờng tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt tiếp tuyến Ax , By lần lợt C D Các đờng thẳng AD BC cắt N Chứng minh AC + BD = CD Chøng minh ∠COD = 900 Chøng minh OC // BM Chøng minh AB lµ tiÕp tuyến đờng tròn đờng kính CD Chứng minh MN AB Bài Cho tam giác cân ABC (AB = AC), I tâm đờng tròn nội tiếp, K tâm đờng tròn bàng tiếp góc A , O trung điểm IK Chứng minh B, C, I, K nằm đờng tròn Chứng minh AC tiếp tuyến đờng tròn (O) Tính bán kính đờng tròn (O) Biết AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm Bµi Cho đờng tròn (O; R), từ điểm A (O) kẻ tiếp tuyến d với (O) Trên đờng thẳng d lấy điểm M ( M khác A) kẻ cát tuyến MNP gọi K trung điểm NP, kẻ tiếp tuyến MB (B tiếp điểm) Kẻ AC MB, BD MA, gọi H giao điểm AC BD, I giao điểm OM AB Chứng minh tứ giác AMBO néi tiÕp Chøng minh OI.OM = R2; OI IM = IA2 Chứng minh OAHB hình thoi Chứng minh ba điểm O, H, M thẳng hàng Bài Cho tam giác ABC vuông A, đờng cao AH Vẽ đờng tròn tâm A bán kính AH Gọi HD đờng kính đờng tròn (A; AH) Tiếp tuyến đờng tròn D cắt CA E Chứng minh tam giác BEC cân Gọi I hình chiếu A BE, Chứng minh AI = AH Chøng minh r»ng BE lµ tiÕp tuyến đờng tròn (A; AH) Bài Cho đờng tròn (O; R) đờng kính AB Kẻ tiếp tuyến Ax lấy tiếp tuyến điểm P cho AP > R, tõ P kỴ tiÕp tun tiÕp xóc víi (O) t¹i M Chøng minh r»ng tø giác APMO nội tiếp đợc đờng tròn Chứng minh BM // OP Đờng thẳng vuông góc với AB O cắt tia BM N Chứng minh tứ giác OBNP hình bình hành Bài Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB điểm M nửa đờng tròn ( M khác A,B) Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đờng tròn kẻ tiếp tuyến Ax Tia BM cắt Ax I; tia phân giác góc IAM cắt nửa đờng tròn E; cắt tia BM F tia BE cắt Ax H, cắt AM K 1) Chứng minh rằng: EFMK tứ giác nội tiếp 2) Chứng minh r»ng: AI2 = IM IB 3) Chøng minh BAF tam giác cân 4) Chứng minh : Tứ giác AKFH hình thoi 14 - ôn tập Toán lớp kì ii Bµi Cho nửa đờng tròn (O; R) đờng kính AB Kẻ tiếp tuyến Bx lấy hai điểm C D thuộc nửa đờng tròn Các tia AC AD cắt Bx lần lợt E, F (F B vµ E) Chøng minh ∠ ABD = ∠ DFB Chứng minh CEFD tứ giác nội tiếp Bài 10 Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB điểm M nửa đờng tròn cho AM < MB Gọi M điểm đối xứng M qua AB S giao điểm hai tia BM, MA Gọi P chân đơng vuông góc từ S đến AB Chứng minh bốn ®iĨm A, M, S, P cïng n»m trªn mét ®êng tròn Gọi S giao điểm MA SP Chứng minh tam giác PSM cân Chứng minh PM tiếp tuyến đờng tròn ********** HÕt ********** 15 ... luyện tập Giải phơng trình sau phơng pháp ®Ỉc biƯt: Ta cã: a − b + c = − (−3) + (−4) = ⇒ x1 = −1; x = a) 7x2 - 9x + = ; b) 23x2 – 9x – 32 = ; c) x2 – 39x – 40 = ; d) 24x2 – 29x + = ; Các dạng toán. .. có dạng: x − Sx + P = ⇔ x − x + = - ôn tập Toán lớp kì ii -Bài tập luện tập: Lập phơng trình bậc hai biết hai... phơng tr×nh víi + XÐt xem biĨu thøc díi dơng hay không để đặt dấu gía trị tuyệt đối giải phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối 10 - ôn tập Toán lớp – k× ii