I. ĐẠI SỐ: 1. Lí thuyết: Câu 1: Nêu dạng tổng quát của phương trình bậc nhất hai ẩn.Phương trình bậc nhất hai ẩn có thể có bao nhiêu nghiệm? Giải: Phương trình bậc nhất hai ẩn x và y là hệ thức dạng ax by c+ = Trong đó a, b và c là các số đã biết ( 0a ≠ hoặc 0b ≠ ). Phương trình bậc nhất hai ẩn luôn luôn có vô số nghiệm. Câu 2: Nêu dạng tổng quát của hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn số. Giải: Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng ' ' ' ax by c a x b y c + = + = trong đó a,b,c là các số đã biết. Câu 3:Mỗi hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có thể có bao nhiêu nghiệm? Giải: Mỗi hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có thể vô nghiệm, có 1 nghiệm duy nhất hoặc VSN. Câu 4: Nêu định nghĩa hai hệ phương trình tương đương. Trong các câu sau, câu nào đúng câu nào sai: a/ Hai hệ phương trình bậc nhất hai ẩn cùng có vô số nghiệm thì luôn tương đương với nhau. (S) b/ Hai hệ phương trình bậc nhất hai ẩn vô nghiệm thì luôn tương đương với nhau. (Đ) Câu 5: Viết dạng tổng quát của phương trình bậc hai . Áp dụng : Xác định hệ số a,b,c của phương trình − + + = 2 3 3 1 0x x Giải: SGK trang 40 . Áp dụng : 2 3 3 1 0( 3; 3; 1)− + + = = − = =x x a b c Câu 6: Cho phương trình ax 2 + bx +c=0 ( 0)a ≠ . Viết công thức tính nghiệm của pt trên . Áp dụng : Giải phương trình − + = 2 3 2 0x x . Giải : SGK trang44 . Áp dụng : − + = ∆ = − − = − ∆ = − < 2 2 3 2 0 ( 3) 4.1.2 5 5 0 x x Vậy phương trình vô nghiệm. Câu 7: Phát biểu hệ thức Viet Áp dụng : − + + = 2 5 4 3 0x x .Tính x 1 + x 2 và x 1 x 2 Gii : SGK trang 51. p dng : 2 5 4 3 0x x + + = a = -5< 0 ; c = 3 > 0. Vỡ a v c trỏi du nờn phng trỡnh cú hai nghim phõn bit 1 2 1 2 4 5 3 . 5 + = = = = b x x a c x x a Cõu 8: Cho phng trỡnh : + + = 2 0ax bx c ( 0)a cú hai nghim x 1 v x 2 . Chng minh : 1 2 1 2 = + = = = b S x x a c P x x a Gii : Ta cú : 1 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 x 2 2 2 2 2 2 ( ) 4 . . 2 2 4 4 b a b x a b b b a x x a a a b b b b b b ac c x x a a a a a ỡ ù - + D ù = ù ù ù ớ ù - - D ù ù = ù ù ợ - + - - -D D + = + = =ị - + - - - - - +D D D = = = = Cõu 9: Lp phng trỡnh bc hai cú hai nghim cú tng l S v cú tớch l P (khụng cn cm) p dng : Lp phng trỡnh bc hai cú hai nghim l: 2 2+ v 2 2 Gii : Phng trỡnh bc hai cú tng hai nghim l S v tớch hai nghờm l P cú dng : X 2 - SX + P = 0 p dng : 2 S 2 2 2 2 4 P (2 2).(2 2) 4 2 2 Vaọy 2+ 2 vaứ 2- 2 laứ hai nghieọm cuỷa phửụng trỡnh X 4X 2 0 = + + - = = + - = - = - + = Cõu 10: Nờu tớnh cht ca hm s 2 ( 0)y ax a= Gii : SGK trang 29 2. Bài tập: Bài 1: Giải các hệ phương trình sau: a/ 3 2 1 3 x y x y − = + = − b/ 3 5 1 2 4 x y x y + = + = − c/ 4 3 15 3 2 10 x y x y + = + = d/ 3 5 2 3 18 x y x y − = + = e/ 1 1 5 8 1 1 3 8 x y x y + = − = f/ 2 1 1 2 1 5 6 2 x y x y x y x y − = + − + = − + h/ 5( 2 ) 3 1 2 4 3( 5 ) 12 x y x x x y + = − + = − − Bài 2: Câu 1: Với giá trị nào của a và b thì hệ phương trình 2 12 2 6 ax by ax by + = − = − Có nghiệm là ( 2; 1)x y= − = Câu 2: Với giá trị nào của m và n thì hệ phương trình 3 1 2 mx y x ny + = + = − nhận cặp số (-2 ; 3) là nghiệm. Bài 3: Câu 1: Cho hệ phương trình: 3 5 4 6 9 mx y x y + = + = Tìm giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất. Câu 2: Tìm giá trị của a để hệ phương trình 2 5 3 x y ax y a + = + = a/ Có một nghiệm duy nhất b/ Vô nghiệm. Câu 3: Cho hệ phương trình 3 2 6 8 x y m x y − = − = Tìm giá trị của m để hệ phương trình vô nghiệm, vô số nghiệm. Bài 4: Câu 1: Xác định hàm số y ax b= + biết rằng đồ thị của nó đi qua hai điểm a/ A(2 ; 4) và B(-5 ; 4) b/ A(3 ; -1) và B(-2 ; 9) Câu 2: Xác định đường thẳng y ax b= + biết rằng đồ thị của nó đi qua điểm A(2 ; 1) và đi qua giao điểm B của hai đường thẳng y x= − và 2 1y x= − + Bài 5: Cho hàm số y = -x 2 có đồ thị (P) và y = -2x +m có đồ thị là (d) a/ Xác định m biết rằng (d) đi qua điểm A trên (P) có hồnh độ bằng 1. b/ Trong trường hợp m = -3 .Vẽ (P) và (d) trên cùng hệ trục tọa độ và xác định tọa độ các giao điểm của chúng . c/ Với giá nào của m thì (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt ; (d) tiếp xúc với (P) ,(d) khơng cắt (P) Bài 6: Giải phương trình : 2 2 2 2 / 3 75 0 2 / 384 0 3 / ( 15) 3(27 5 ) / (2 7) 12 4(3 ) /(3 2) 2( 1) 2 + = − = − = − − − = − − − − − = a x b x c x x x d x x x e x x Bài 7: Giải phương trình sau (dùng thức nghiệm hoặc cơng thức nghiệm thu gọn ) 2 2 2 1/ 5 14 2 / 3 10 80 0 3/ 25 20 4 0 − = − + = = − + = x x x x x x Bài 8:Định m để phương trình : − + = + − = 2 2 2 2 a/3x 2x m 0 vô nghiệm b/ 2x mx m 0 co ù 2 nghiệm phân biệt c/ 25x +mx + 2 = 0 có nghiệm kép Bài 9:Cho phương trình :x 2 + (m+1)x + m = 0 (1) 1/ Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm với mọi m . 2/ Tìm m sao cho phương trình nhận x = -2 làm nghiệm . Tính nghiệm còn lại . 3/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm đối nhau 4/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm là hai số nghịch đảo nhau 5/ Tìm m sao cho x 1 - x 2 = 2 6/ Tìm m để 2 2 1 2 x x+ đạt giá trị nhỏ nhất 7/ Tìm m để cả hai nghiệm đều dương 8/ Tìm hệ thức liên hệ giữa x 1; x 2 khơng phụ thuộc vào m. 9/ Tính 3 3 1 2 x x+ Bài 10: Giải phương trình : 15 / 2− =a x x 1 1 / 1 1 1 − = + − b x x 4 2 / 2 7 4 0− − =c x x 5 3 2 / 1 0− − + =d x x x II. HÌNH HỌC : 1. Lí thuyết: Câu 1 : Chứng minh định lí: “Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau: Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau” O A B C D GT Cho đường tròn (O) » » AB CD= KL AB = CD Ta có: » » AB CD= ( GT) ⇒ · · AOB COD= ( 2 góc ở tâm chắn 2 cung bằng nhau thì bằng nhau) Nên : AOB C OD = V V ( c.g.c) ⇒ AB = CD (đpcm) Câu 2: Nêu cách tính số đo của cung nhỏ trong một đường tròn. Áp dụng:Cho đường tròn (O), đường kính AB. Vẽ dây AM sao cho · 0 40AMO = . Tính số đo cung BM ? GT Cho đường tròn (O) AB: Đường kính Dây AM sao cho: · 0 40AMO = KL Tính · BOM ? Ta có: OA = OB ( bán kính) ⇒ AOMV cân tại O ⇒ · BOM = 2 · 0 2.40AMO = = 0 80 ( định lí góc ngoài của tam giác AOM) Câu 3: Chứng minh rằng trong một đường tròn, hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau. (Chú ý: Học sinh chỉ chứng minh một trường hợp: một trong hai dây, có một dây đi qua tâm cuả đường tròn) GT Cho đường tròn (O) CD: dây cung , AB: đường kính AB // CD KL » » AC BD= Ta có: · · AOC OCD= ( So le trong) O A B M O A B C D · · BOD ODC= ( So le trong) Mà · · OCD ODC= ( OCDV cân tại O) ⇒ · · AOC BOD= ⇒ » » AC BD= ( 2 góc ở tâm bằng nhau thì chắn 2 cung bằng nhau) Câu 4: Áp dụng các định lí về mối quan hệ giữa cung nhỏ và dây căng cung đó trong một đường tròn để giải bài toán sau: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB.Vẽ các bán kính OM, ON sao cho: · · 0 0 40 , 80AOM BON= = . So sánh: AM, MN và NB ? GT . Cho đường tròn (O), M,N ∈ (O): . · · 0 0 40 , 80AOM BON= = KL So sánh: AM, MN, BN? Ta có: · · · · 0 0 0 0 180 180 40 80 MON AOM BON MON = − − = − − ( vì · 0 180AOB = ) ⇒ · · · AOM MON NOB< < ⇒ ¼ ¼ » AM MN NB< < ( góc ở tâm nhỏ hơn thì chắn cung nhỏ hơn) ⇒ AM < MN < NB ( cung nhỏ hơn thì căng dây nhỏ hơn) Câu 5: Chứng minh định lí: “ Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện bằng 180 0 ”. GT . Cho đường tròn (O) . ABCD nội tiếp (O) KL µ µ µ µ 0 0 180 180 A C B D + = + = Ta có: µ A = 1 2 sđ ¼ BCD ( sđ góc nội tiếp bằng nửa sđ cung bị chắn) µ C = 1 2 sđ ¼ BAD ( sđ góc nội tiếp bằng nửa sđ cung bị chắn) ⇒ µ µ 1 2 A C+ = sđ( ¼ ¼ BCD BAD+ ) = 1 2 . 0 360 = 0 180 Tương tự: µ µ 0 180B D+ = ( hoặc µ µ 0 0 0 360 180 180B D+ = − = : tính chất tổng 4 góc của tứ giác) Câu 6: Chứng minh định lí: “ Trong một đường tròn, số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn”.( Chỉ chứng minh một trường hợp: có một cạnh của góc đi qua tâm ). O D C A B O A M B N Học sinh xem SGK trang 74 Câu 7: Chứng minh định lí: “Số đo của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo của cung bị chắn”.( Chỉ chứng minh một trường hợp: Tâm O của đường tròn nằm ở ngoài của góc). Học sinh xem SGK trang 78 Câu 8: Chứng minh định lí: “ Số đo của góc có đỉnh ở bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn”. n E O D C A B m GT Cho đường tròn (O) · BEC : góc có đỉnh bên trong (O) KL · BEC = 1 2 sđ( ¼ ¼ BnC AmD+ ) Xét tam giác BDE, ta có: · BEC = µ µ B D+ ( định lí góc ngoài của tam giác BDE) Mà µ 1 2 B = sđ ¼ AmD ( sđ góc nội tiếp bằng nửa sđ cung bị chắn) µ 1 2 D = sđ ¼ BnC ( sđ góc nội tiếp bằng nửa sđ cung bị chắn) Nên: · BEC = 1 2 sđ( ¼ AmD + ¼ BnC ) Câu 9: Nêu cách tính độ dài cung 0 n của hình quạt tròn bán kính R. Áp dụng: Cho đường tròn ( O; R = 3 cm). Tính độ dài cung AB có số đo bằng 60 0 ? O A B GT Cho đường tròn (O; R = 3cm) Sđ » 0 60AB = KL Tính độ dài » AB Ta có: » 180 AB Rn l π = Với : R = 3cm và n = sđ » 0 60AB = ( giả thiết) Vậy: » .3.60 ( ) 180 AB l cm π π = = Câu 10: Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp một đường tròn (O). Chứng minh: AB + CD = AD + BC. O A D B C M N P Q GT Cho đường tròn (O) ABCD ngoại tiếp đường tròn (O) KL AB+CD = AD+BC Ta có: AM = AQ ( Tính chất 2 tiếp tuyến giao nhau) BM = BN (…nt…) DP = DQ (…nt…) CP = CN (…nt…) Cộng từng vế, ta có: AM+BM+DP+CP = AQ+BN+DQ+CN Hay: AB + CD = AD + BC ( đpcm) 2. Bài tập: Bài 1: Cho đường tròn (O; R), hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Trên đoạn AB lấy điểm M ( khác điểm O), đường thẳng CM cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là N. Đường thẳng d vuông góc với AB tại M cắt tiếp tuyến của đường tròn (O) tại N ở điểm P. Chứng minh : a/. Tứ giác OMNP nội tiếp được một đường tròn. b/. Tứ giác CMPO là hình bình hành. c/. Tích CM.CN không đổi. Bài 2: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính BC = 2R, một điểm A trên nửa đường tròn ấy sao cho BA = R. Lấy M là một điểm trên cung nhỏ AC, BM cắt AC tại I. Tia BA cắt tia CM tại D. a/. Chứng minh: DI ⊥ BC. b/. Chứng minh tứ giác AIMD nội tiếp được một đường tròn. c/. Giả sử · 0 45AMB = .Tính độ dài đoạn thẳng AD theo R và diện tích hình quạt AOM. Bài 3: Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Gọi C là một điểm trên đường tròn sao cho CA > CB. Vẽ hình vuông ACDE có đỉnh D trên tia đối của tia BC. Đường chéo CE cắt đường tròn tại điểm F ( khác điểm C). a/. Chứng minh : OF ⊥ AB. b/. Chứng minh : Tam giác BDF cân tại F. c/. CF cắt tiếp tuyến Ax của đường tròn (O) tại điểm M. Chứng minh ba điểm D, E, M thẳng hàng. Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tạiA, AH là đường cao và AM là trung tuyến ( H, M ∈ cạnh BC ). Đường tròn tâm H, bán kính HA cắt AB tại P và AC tại Q. a/. Chứng minh rằng 3 điểm P, H, Q thẳng hàng. b/. Chứng minh: MA ⊥ PQ. c/. Chứng minh tứ giác BPCQ nội tiếp được một đường tròn. Bài 5: Cho đường tròn tâm O có 2 đường kính AB và CD vuông góc với nhau, dây AE đi qua trung điểm P của OC, ED cắt CB tại Q. a/. Chứng minh tứ giác CPQE nội tiếp được một đường tròn. b/. Chứng minh : PQ // AB. c/. So sánh diện tích tam giác CPQ với diện tích tam giác ABC. . = Trong đó a, b và c là các số đã biết ( 0a ≠ hoặc 0b ≠ ). Phương trình bậc nhất hai ẩn luôn luôn có vô số nghiệm. Câu 2: Nêu dạng tổng quát của hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn số. Giải:. phương trình bậc nhất hai ẩn cùng có vô số nghiệm thì luôn tương đương với nhau. (S) b/ Hai hệ phương trình bậc nhất hai ẩn vô nghiệm thì luôn tương đương với nhau. (Đ) Câu 5: Viết dạng tổng quát. 0 = + + - = = + - = - = - + = Cõu 10: Nờu tớnh cht ca hm s 2 ( 0)y ax a= Gii : SGK trang 29 2. Bài tập: Bài 1: Giải các hệ phương trình sau: a/ 3 2 1 3 x y x y − = + = − b/ 3 5 1 2 4 x