Phương trình cổ điển

Phương trình cổ điển

CHƯƠNG IV:

PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT THEO SIN VÀ COSIN (PHƯƠNG

TRÌNH CỔ ĐIỂN)

a sin u b cos u c * a, b R \ 0+ = ∈

Cách 1 : Chia 2 vế phương trình cho a2 +b2 ≠0

Đặt cos 2a 2 và sin 2b 2 với [0,2 ]

( )

c Thì * sin u cos cos u sin

a b c

sin u

a b

+

+

Cách 2 :

Nếu u= π + k2π là nghiệm của (*) thì :

a sinπ + bcosπ = ⇔ − = c b c

Nếu u≠ π +k2π đặt t tgu

2

= thì (*) thành :

2

−

(b c t) 2 2at c b 0 1 với b c 0( )( )

Phương trình có nghiệm ⇔ Δ =' a2 −(c b c b+ )( − )≥ 0

Giải phương trình (1) tìm được t Từ t tgu

2

= ta tìm được u

Bài 87 : Tìm x 2 6,

5 7

⎛

∈ ⎜⎝ ⎠⎞⎟ thỏa phương trình : cos7x− 3 sin7x= − 2 *( ) Chia hai vế của (*) cho 2 ta được :

2 sin cos 7x cos sin 7x

2

⇔ 7x− = +k2 hay 7xπ − = 3 +h2

6 4 6 4 π, (k, h ∈Z)

π π π π

⇔ =x 5 + k2 hay x= 11 + h2 , k , ∈

Do x 2 6,

5 7

π π

⎛

∈ ⎜⎝ ⎠⎞⎟ nên ta phải có :

⇔ 2 < 5 + k2 6< hay 2 11 h2 6< + < ( k, h∈ )

Suy ra k = 2, h 1, 2=

x

π

Bài 88 : Giải phương trình

( )

3

3sin 3x− 3 cos 9x 1 4 sin 3x *= +

Ta có : ( )* ⇔ (3sin 3x 4 sin 3x− 3 )− 3 cos 9x 1=

sin 9x 3 cos9x 1

1sin 9x 3cos 9x

2

= 1

⇔ 9x− = +k2 hay 9xπ − = 5 +k2 , kπ ∈

⇔ =x + k2 hay x= 7 + k2 , ∈

Bài 89 : Giải phương trình

( )

1

cos x

Điều kiện : cos x 0≠

Lúc đó : ( )* sin x sin 2x cos 2x 4 cos x 2 0

2

sin x sin 2x cos x cos x cos 2x 4 cos x 2 0

sin x 1 2 cos x cos x cos 2x 2cos 2x 0

=

≠

sin x cos2x cos x cos2x 2cos2x 0

⇔ c os 2x = 0 hay sin x cos x 2 0 − − +

⎢

⇔

⎢⎣

2

cos 2x 0 nhận do cos 2x 2 cos x 1 0 thì cos x 0 sin x cos x 2 vô nghiệm vì 1 1 2

( )π

2 k

Bài 90 : Giải phương trình 8sin x 3 1 ( )*

cos x sin x

Điều kiện : sin 2x 0≠

Lúc đó (*)⇔ 8sin x cos x2 = 3 sin x cos x+

π

⇔ = + + π ∨ = − − +

4 1 cos 2x cos x 3 sin x cos x

4 cos 2x cos x 3 sin x 3 cos x

2 cos 3x cos x 3 sin x 3 cos x

cos 3x sin x cosx

cos 3x cos x

3

k

π

Nhận so vớiđiều kiện sin 2x 0≠

Cách khác :

(*)⇔ 8sin x cos x2 = 3 sin x cos x+

( hiển nhiên cosx = 0 hay sinx = 0 không là nghiệm của pt này )

⇔ 8(1 cos x) cos x− 2 = 3 sin x cos x +

⇔ 8 cos x 8 cos x− 3 = 3 sin x cos x +

⇔ 6 cos x 8 cos x− 3 = 3 sin x cos x −

⇔ 4 cos x 3 cos x3 − = 1cos x− 3 sin x

π

⇔ = + + π ∨ = − − +

π

cos 3x cos x

3

k

Bài 91 : Giải phương trình

( )

9sin x 6 cos x 3sin 2x cos 2x 8 *+ − + =

Ta có : (*)⇔9sin x 6 cos x 6sin x cos x+ − +(1 2sin x− 2 )=8

( ) ( )

2

6 cos x 6 sin x cos x 2 sin x 9 sin x 7 0

7

6 cos x 1 sin x 2 sin x 1 sin x 0

2

=

=

=

⎡

⎢

⇔

7

1 sin x 0 hay 6 cos x 2 sin x 0

2 sin x 1

6 cos x 2 sin x 7 vô nghiệm do 6 2 7

π

⇔ x= +k2 , kπ ∈

2

Bài 92 : Giải phương trình: sin 2x 2 cos 2x 1 sin x 4 cos x *+ = + − ( )

Ta có : (*) ⇔ 2sin x cos x 2 2cos x 1+ ( 2 − ) = +1 sin x 4 cos x−

2

2 sin x cos x sin x 4 cos x 4 cos x 3 0

1 cos x 0 hay 2 sin x 4 cos x 6 0 vô nghiệm do 2 4 6

2

π

⇔ x= ± +k π

3 2

Bài 93 : Giải phương trình

( )

2sin 2x cos 2x 7 sin x 2 cos x 4 *− = + −

Ta có : (*) ⇔ 4 sin x cos x−(1 2sin x− 2 ) =7 sin x 2 cos x 4+ −

2

2 cos x 2 sin x 1 2 sin x 7 sin x 3 0

1

2 cos x 2 sin x 1 2 sin x sin x 3

2

2 cos x 2 sin x 1 2 sin x 1 sin x 3 0

2 sin x 1 0 hay 2 cos x sin x 3 0 vô nghiệm vì 1 2 3

⇔ x = +k2π ∨ =x 5 +k2 , kπ ∈

Bài 94 : Giải phương trình

( )

sin 2x cos 2x 3sin x cos x 2 *− = + −

Ta có (*) ⇔ 2sin x cos x−(1 2sin x− 2 ) =3sin x cos x 2+ −

2

cos x 2 sin x 1 2 sin x 3sin x 1 0

cos x 2 sin x 1 sin x 1 2 sin x 1 0

2 sin x 1 0 hay cos x sin x 1 0

)

=

=

1 sin x hay 2 cos x x 1

⇔ x= +k2π ∨ =x 5 +k2 hay xπ − = ± +k2 , kπ ∈

⇔ x= +k2π ∨ =x 5 +k2 hay xπ = +k2π ∨ =x k2 , kπ ∈

Bài 95 : Giải phương trình

(sin 2x 3 cos 2x)2 5 cos 2x ( )*

6

π

Đặt t sin 2x= + 3 cos2x, Điều kiện − a2 +b2 = − ≤ t ≤ = a2 +b2

Thì t 2 1sin 2x 3cos2x 2cos 2x

6

π

Vậy (*) thành:

t 5 2t t 10 0 t ( loại ) t

Do đó ( )* ⇔ cos 2x 1

6

π

⇔2x− = π +k2π ⇔ =x 7 +k

Bài 96 : Giải phương trình 2cos x cos2x sin x 0 *3 + + = ( )

Ta có (*) ⇔2 cos x 2 cos x 1 sin x 03 + 2 − + =

2 2

2 cos x cosx 1 1 sin x 0

2 1 sin x 1 cosx 1 sin x 0

1 sin x 0 hay 2 1 sin x 1 cosx 1 0

2

1 sin x 0 hay 1 2sin x cos x 2(sin x cosx) 0

1 sin x 0 hay (sin x cos x ) 2(sin x cos x) 0

sin x 1 haysin x cos x 0 hay sin x cos x 2 0 vô nghiệm do: 1 1 2

sin x 1 hay tgx 1

Bài 97 : Giải phương trình 2 ( )

1 cos2x

sin 2x

−

Điều kiện : sin 2x 0≠ ⇔cos2x≠ ±1

Ta có (*)

2

1 cot g2x

1 cos2x

1 cos 2x 1

1 cos2x

sin 2x 1 cos2x

−

+

−

+

−

+

( )

⎡

⎢

=

⎣

cos2x 0 nhận do 1

sin 2x 1 cos2x

cos2x 0 1 cos2x sin 2x

cos2x 0 sin 2x cos2x −1

1

5

( )

k

k

¢

¢

k

Bài 98 : Giải phương trình 4 sin x cos x( 4 + 4 )+ 3 sin 4x 2 *= ( )

Ta có : (*)

4 sin x cos x⎡ 2sin x cos x⎤ 3 sin 4x 2

2

1

4 1 sin 2x 3 sin 4x 2

2

⇔ ⎜ − ⎟=

cos4x 3 sin 4x 1

1cos4x 3sin 4x 1

2 cos 4x cos

2

− 2

3

π

¢

¢

Cách khác :

(*)⇔2 1 sin 2x− 2 + 3 sin 4x 0=

2

2 cos 2x 2 3 sin 2x cos2x 0

cos2x 0 cos2x 3 sin 2x 0

cos2x 0 cot g2x 3

=

¢

¢

Bài 99 : Giải phương trình 1 sin 2x cos 2x3 3 1sin 4x *( )

2

Ta có (*) 1 sin 2x cos2x 1 sin 2x cos2x( )( ) 1sin 4x

2

1 sin 4x sin 2x cos2x 1 sin 4x 0

1

1 sin 4x 0 hay 1 sin 2x cos2x 0

2

( ) sin 4x 2 loại sin 2x cos2x 1

2 sin(2x ) 1

4

=

⎡

⎣

π

−

sin 2x sin( )

5

4 4

⎡ + = − + π

⎢

⎢⎣

⇔ = − + π ∨ = + π ∈ ¢

Bài 100 : Giải phương trình

tgx 3cot gx 4 sin x− = + 3 cos x *

Điều kiện sin x 0 sin 2x 0

cosx 0

≠

⎧

⎩ Lúc đó : (*) sin x 3cosx 4 sin x( 3 co )

cosx sin x

sin x 3cos x 4sin x cosx sin x 3 cosx

sin x 3 cosx sin x 3 cosx 2sin 2x 0

sin x 3 cosx

1sin x 3cosx sin 2x

⎡ = −

⎢

⎢⎣

3

3

⎡ = − = ⎛−π⎞

⎢

⇔

⎢ ⎛ −π⎞=

⎢ ⎜⎝ ⎟⎠

⎣

( )

¢

Bài 101 : Giải phương trình sin x cos x sin x cos x *3 + 3 = − ( )

Ta có : (*) ⇔sin x sin x cos x cosx 03 − + 3 + =

2

sin x sin x 1 cos x cosx 0

sin x cos x cos x cosx 0

cosx 0 hay sin x cosx cos x 1 0

cosx 0

sin 2x cos2x 3 vô nghiệm do 1 1 9

x 2k 1 , k Z

2

=

⎡

⎣

π

Bài 102 : Giải phương trình cos x sin x4 4 1( )*

π

Ta có : (*) 1(1 cos2x)2 1 1 cos 2x 2

4

1 cos2x 1 sin 2x 1

cos2x sin 2x 1

3

⇔ ⎜ − ⎟= − =

⇔ = + π ∨ = − + π ∈ Z

Bài 103 : Giải phương trình4sin x.cos3x 4 cos x.sin3x 3 3 cos4x 3 *3 + 3 + = ( )

Ta có : (*)

⇔ 4sin x 4 cos x 3cosx3 3 − +4 cos x 3sin x 4sin x3 − 3 +3 3 cos4x 3=

12sin x cosx 12sin x cos x 3 3 cos4x 3

4sin x cosx sin x cos x 3 cos4x 1=

2sin 2x.cos2x 3 cos4x 1

sin 3 sin 4x cos4x 1

cos 3

π

π

=

sin 4x.cos sin cos4x cos

3

π sin 4x sin

5

⇔ ⎜ + ⎟=

¢

¢

Bài 104 : Cho phương trình : 2sin x sin x cos x cos x m *2 − − 2 = ( )

a/ Tìm m sao cho phương trình có nghiệm

b/ Giải phương trình khi m = -1

Ta có : (*) (1 cos2x) 1sin 2x 1(1 cos2x) m

sin 2x 3cos2x 2m 1

2

a/ (*) có nghiệm ⇔a2+b2 ≥c

2

1 9 1 2m

4m 4m 9 0

1 10 m 1 10

⇔ + ≥ −

b/ Khi m = -1 ta được phương trình

( )

sin 2x 3cos2x 3 1+ =

( )π

• Nếu x= 2k 1+ thì sin 2x 0 và cos2x= = 1

2 − nên phương trình (1) không thỏa

( )π

• Nếux≠ 2k 1+ thì cosx 0,đặt t tgx≠ =

2 (1) thành ( 2)

3 1 t

−

( 2) ( 2 2

t 0 t 3

⇔ = ∨ =

)

Vậy (1) ⇔ tgx 0 hay tgx 3 tg= = = ϕ ⇔ = πx k hay x= ϕ + π ∈ ¢k , k

Bài 105 : Cho phương trình 2 ( )

3

5 4sin x

6tg

sin x 1 tg

π

α

⎝ ⎠ =

+ α a/ Giải phương trình khi

4

π

α = − b/ Tìm α để phương trình (*) có nghiệm

Ta có : sin 3 x sin x cosx

⎛ − ⎞= − ⎛ − ⎞= −

2 2

6tg 6sin cos 3sin 2

1 tg cos

Vậy : ( )* 5 4 cosx 3sin 2 (điều kiện sin x 0 và cos 0)

sin x

−

3sin 2 sin x 4 cosx 5

a/ Khi

4

π

α = − ta được phương trình

( )

3sin x 4 cos x 5 1

− + = ( Hiển nhiên sin x = 0 không là nghiệm của (1))

3sin x 4cosx 1

Đặt cos 3 và sin 4 với 0 2

ϕ = − ϕ = < ϕ < π

Ta có pt (1) thành :

sin(ϕ +x)=1

2

2

π

π

⇔ = −ϕ + + 2π

≠

b/ (**) có nghiệm ( )2

3sin 2 16 25 và cos 0

2 2

sin 2 1 và cos 0

sin 2 1

cos2 0

k ,k

4 2

⇔ α = + ∈ ¢

BÀI TẬP

1 Giải các phương trình sau :

a/ 2 2 sin x cosx cosx 3 cos2x( + ) = +

b/ (2 cos x 1 sin x cos x− ) ( + )=1

c/ 2 cos2x= 6 cosx sin x( − )

d/ 3sin x 3= − 3 cos x

e/ 2 cos3x+ 3 sin x cos x 0+ =

f/ cos x+ 3 sin x sin 2x cos x sin x= + +

g/ cosx 3 sin x 3

cosx 3 sin x 1

h/ sin x cos x cos2x+ =

k/ 4sin x 1 3sin x3 − = − 3 cos3x

i / 3cosx 4sin x 6 6

3cosx 4sin x 1

j/ cos7x cos5x− 3 sin 2x 1 sin 7x sin 5x= −

m/ 4 cos x sin x( 4 + 4 )+ 3 sin 4x 2=

p/ cos x2 − 3 sin 2x 1 sin x= + 2

q/ 4sin 2x 3cos2x 3 4sin x 1− = ( − )

r/ tgx sin 2x cos2x 4 cosx 2

cosx

s/ (2 3 cosx 2sin) 2 x

2 4 1

2 cosx 1

π

⎝ ⎠ =

−

2 Cho phương trình cosx + msinx = 2 (1)

a/ Giải phương trình m= 3

b/ Tìm các giá trị m để (1) có nghiệm (ĐS : m ≥ 3)

3 Cho phương trình :

( )

m sin x 2 m cosx 2 1

m 2 cosx m 2sin x

a/ Giải phương trình (1) khi m = 1

b/ Khi m 0 và m≠ ≠ 2 thì (1) có bao nhiêu nghiệm trên [20 ,30π π]?

(ĐS : 10 nghiệm)

4 Cho phương trình

( )

2sin x cosx 1 a 1

sin x 2 cosx 3

a/ Giải (1)khi a 1

3

= b/ Tìm a để (1) có nghiệm

Th.S Phạm Hồng Danh

TT Luyện thi đại học CLC Vĩnh Viễn