Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 11 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
11
Dung lượng
102,26 KB
Nội dung
I.Các hệphươngtrìnhcơbản
A. Hệphươngtrình đối xứng :
Dạng
(
)
()
,0
,0
fxy
gxy
=
=
mà ở đó vai trò của
,
xy
như nhau.
Tức là
(,)(,).
(,)(,).
fxyfyx
gxygyx
=
=
Cách giải:
• Thông thường người ta đặt ẩn phụ:
Sxy
=+
hay
Sxy
=−
Pxy
=
⇒
(
)
()
,0
,0
fSP
gSP
=
=
sau đó tìm được
,
SP
và tìm được các nghiệm
(,)
xy
Ví dụ: Giải hệ
22
6
5
xyxy
xyxy
+=
++=
Như đã nói ở trên, ta hãy đặt
;
SxyPxy
=+=
và hệ đã cho trở thành
62S=3
hay
53P=2
SPS
SPP
==
⇒
+==
Từ đây ta dễ dàng tìm được các nghiệm
(,)
xy
sau:
(,)(1,2);(2,1)
xy
=
• Nhưng để phương pháp trên áp dụng hữu hiệu thì ta nên biến đổi một chút các ẩn
số để sau khi đặt ẩn phụ, ta được những phươngtrình nhẹ nhàng hơn
Ví dụ 1:
()()
33
5
1135
xyxy
xy
++=
+++=
Đặt
(
)
(
)
(
)
(
)
11;11
SxyPxy
=+++=++
ta sẽ cóhệphươngtrình sau
()
2
6
53x=2
hay
335
62y=3
P
Sx
SSP
Py
=
==
⇒⇒
−=
==
Ví dụ 2:
22
8
(1)(1)12
xyxy
xyxy
+++=
++=
Ở đây theo thông lệ chúng ta hãy thử đặt
Sxy
Pxy
=+
=
, ta thu được hệ sau:
2
S28
(1)12
SP
PPS
+−=
++=
Rõ ràng mọi chuyện không đơn giản chút nào. Tuy nhiên có lẽ cácbạn cũng sẽ nhận
ra sự tinh tế trong bài tóan, đó là ở bậc của mỗi phương trình. Phươngtrình đầu tiên
bậc 2 có lẽ chứa P. Thể nhưng nó không ở một dạng tích thuận tiện nào,trong khi
phương trình thứ hai lại ở dạng tích và bậc 4,gấp đôi bậc 2. Nếu cácbạn nhìn trong
biểu thức S và P,bậc của P gấp đôi bậc của S,như vậy phải chăng phươngtrình thư
nhất là S,thứ hai là P. Nếu vậy thì các giá trị x và y trong P là gì. Quan sát phương
trình thứ hai cácbạncó thể dễ dàng nhận ra sự tinh tế này, đó là
(1)
xx
+
và
(1)
yy
+
.
Từ ý tưởng này ta đặt:
(1)
(1)
axx
byy
=+
=+
Hệ đã cho tương đương với:
86a=2
hay
122b=6
aba
abb
+==
⇒
==
Như vậy
(,)
xy
là nghiệm của cácphươngtrình sau:
2
12
2
33
) 21 2
)62 3
itttt
iitttt
+=⇒=∨=−
+=⇒=∨=−
Tóm lại nghiệm của hệ đã cho là:
(,)(1,2);(2,1);(2,3);(3,2)
xy
=−−−−
B. Phươngtrình đối xứng lọai 2:
(,)0.
(,)0.
fxy
fyx
=
=
Đối với dạng hệphươngtrình này, ta có thể đưa về một dạng hệ tương đương sau:
(,)(,)0
(,)(,)0.
fxyfyx
fxyfyx
−=
+=
Hệ phươngtrình mới mà cácbạn thu được là một hệ đối xứng hay nửa đối xứng mà ta
đã xét ở phần trên. Thật vậy nếu đặt
(,)(,)(,)
(,)(,)(,)
hxyfxyfyx
gxyfxyfyx
=−
=+
. Ta sẽ đưa hệ về
dạng:
(,)0
(,)0
hxy
gxy
=
=
. Ở đó
(,)(,)
(,)(,).
hxyhyx
gxygyx
=−
=
Có thể cácbạn thấy rằng
(,)
hxy
không đối xứng hòan tòan (nửa đối xứng). Tuy
nhiên ở đây có thể chấp nhận được bởi lẽ hệ ta ở dạng
(,)0.
hxy
=
(Nếu cácbạn vẫn
thấy ray rứt vì điều này thì cácbạn hãy viết dưới dạng
2
(,)0
hxy
=
,chẳng phải
2
(,)
hxy
đối xứng đó sao .Chú ý thêm là tác giả chỉ muốn cácbạn nắm bắt mối quan
hệ của sự đối xứng và nửa đối xứng một cách rõ ràng hơn, chứ trong lúc giải bài tập
các bạn chớ bình phương lên nhé. J)
C. Phươngtrình đẳng cấp.
(,)(1)
(,)(2)
fxya
gxyb
=
=
mà ở đó :
(,)(,)
(,)(,)
k
k
ftxtytfxy
gtxtytgxy
=
=
Ở đây điều kiện thứ hai cácbạncó thể hiểu một cách đơn giản là các đơn thức trong
các hàm
f
và
g
là đồng bậc (bậc của đơn thức hai biến x,y là tổng các bậc của x và
y). Nhận xét này sẽ giúp cho cácbạn nhận biết được phươngtrình đẳng cấp một cách
dễ dàng hơn.
Cách giải tổng quát ở đây là đưa về phương trình:
(,)(,)0
bfxyagxy
−=
,ở dó
,
ab
không đồng thời bằng 0.
Nếu a,b đồng thời bằng 0. Ta giải riêng cácphươngtrình
(,)0;(,)0
fxygxy
==
và
so sánh nghiệm.
Cách giải tương tự như phươngtrình
(,)(,)0
bfxyagxy
−=
nên cácbạncó thể tham
khảo bên dưới.
Ta xét 2 trường hợp.
)0
ix
=
là nghiệm của hệphương trình. Điều này thì cácbạn chỉ cần thế
0
x
=
và giải
phương trình một biến theo y.
Trường hợp này ta thu được nghiệm
1
(,)(0,)
xyy
=
)
ii
Trường hợp này ta sẽ tìm các nghiệm khác
1
(0,)
y
Chia hai vế cho
k
x
trong đó
k
là bậc của
f
. Đặt
x
t
y
=
. Ta đưa về phươngtrình theo ẩn
t
. Giải phươngtrình này
ta tìm được tỉ số
x
y
.Sau đó thay
x
thành
ty
trong
(1)
. Giải phươngtrình này theo ẩn
y, ta sẽ rút ra được các nghiệm của bài toán
0
(,)
o
tyy
.
Ví dụ:
22
22
3227
638
xxyy
xxyy
−+=
+−=−
Giải:
Hệ đã cho tương đương với:
22
22
24161656
7422156
xxyy
xxyy
−+=
+−=−
22
22
24161656
312650(*)
xxyy
xxyy
−+=
⇔
+−=
Ta giải (*).
22
312650
(315)()0(**)
3150(1)
0(2)
xxyy
xyxy
xy
xy
+−=
⇔−+=
−=
⇔
+=
Từ đây ta có thể dễ dàng giải được bằng cách thế vào hệphươngtrìnhban đầu
II.Các phương pháp giải hệ không mẫu mực:
A.Dùng bất đẳng thức :
Dấu hiệu cho phép ta sử dụng phương pháp này là ta sẽ thấy số phươngtrình trong hệ
ít hơn số ẩn .
Ví dụ1 Giải hệphươngtrình nghiệm dương :
()()()
()
3
3
3
1111
xyz
xyzxyz
++=
+++=+
Giải:
1()
VTxyzxyyzzxxyz
=+++++++≥
()
(
)
3
2
3
33
1331
xyzxyzxyzxyz
+++=+
Suy ra dấu bằng xảy ra khi
xyz
==
=1
Ví dụ 2: Giải hệphươngtrình :
22
135135
80
xxxyyy
xyxy
+++++=−+−+−
+++=
Giải: Đk:
1;5
xy
≥−≥
Giả sử
6
6
xyVTVP
xyVTVP
>−⇒>
<−⇒<
Suy ra
6
xy
=−
Đến đây bạn đọc có thể tự giải
Ví dụ 3: Giải hệ :
9342
342
1
111
8.1
xyz
xyz
xyz
++=
+++
=
Giải:
-Bài tóan này có số ẩn nhiều hơn số phươngtrình vì vậy ta sẽ sự dụng bất đẳng thức
-Nhận xét : bậc của x,y,z khác nhau nên ta sử dụng Cauchy sao cho xuất hiện bậc
giống hệ
Ta có:
1242
1111
xyz
xxyz
=++
++++
Áp dụng Cauchy 8 số:
1
1
x
=
+
()()()
242
8
242
8
11111111
111
xxyyyyzzxyz
xxyyyyzz
xyz
+++++++≥
++++++++
+++
Hòan tòan tương tự :
()()()
()()()
332
8
332
341
8
341
1
8
1
111
1
8
1
111
xyz
y
xyz
xyz
z
xyz
≥
+
+++
≥
+
+++
Từ các bất đẳng thức thu được ta có:
()()() ()()()
243216
9
8
342243216
9342
111
8
111111
81
xyz
xyzxyz
xyz
≥
++++++
⇒≤
dấu bằng xảy ra
⇔
11
11198
xyz
xyz
xyz
===⇔===
+++
Ví dụ 4: giải hệ:
42
22
697
81
3440
xy
xyxyxy
+=
++−−+=
Giải:
-Ví dụ này chúng tôi muốn giới thiệu công cụ xác định miền giá trị của x,y nhờ
điều kiện có nghiệm của tam thức bậc hai
-Xét phươngtrình bậc hai theo x:
(
)
()()()()
22
22
3440
7
342013701
3
xxyyy
yyyyy
+−+−+=
=−−−≤⇔−−≤⇔≤≤
Tương tự xét phươngtrình bậc hai theo y thì ta có
4
0
3
x
≤≤
Suy ra:
42
42
47697
3381
xy
+≤+=
4
3
x
⇒=
và
7
3
y
=
.Tuy nhiên thế vào hệ thì bộ nghiệm này không thỏa
Vì vậy hệphươngtrình vô nghiệm
Ví dụ 5: Giải hệ:
542
542
542
22
22
22
xxxy
yyyz
zzzx
−+=
−+=
−+=
Ý tưởng của bài tóan này là ta phải đóan nghiệm của hệ là
1
xyz
===
,sau đó chứng
minh là
1
x
>
hay
1
x
<
đều vô nghiệm
Nếu
1
x
>
(
)
(
)
5425424
2220122
zzzxzzzzzz
⇒=−+>−+⇒>−++
Do
4
22
zz
++
luôn dương nên
1
z
>
Tương tự
11
yx
⇒>⇒<⇒
Vô lí
Tương tự
1
x
<⇒
vô lí.Vậy
111
xyz
=⇒=⇒=
Bài tập luyện tập
Giải các hệ:
1)
2
2
24
xyz
xyz
++=
−=
2)
(
)
(
)
()()
()()
2
2
2
12
12
12
xyz
yzx
zxy
=−+
=−+
=−+
3)
2
2
2
2161988
2161988
2161988
y
y
x
z
z
y
x
x
z
+=
+=
+=
4)
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
x
y
x
y
z
y
z
x
z
=
+
=
+
=
+
5)
222
222
3
9
xyz
xyz
yzx
++=
++=
B.Đặt ẩn phụ:
Đôi khi bài tóan sẽ phức tạp nếu ta giải hệ với ẩn (x,y,z,…) nhưng chỉ sau một phép
đặt
(),(),(),
afxbfycfz
===
Ví dụ 1:Giải hệ
12
5
18
5
36
13
xy
xy
yz
yz
xz
xz
=
+
=
+
=
+
Hướng dẫn: Đặt
111
,,.
abc
xyz
===
Ví dụ 2: Giải hệ:
22222
22222
22222
()(31)
()(41)
()(51)
xyzxxyz
yxzyyxz
zxyzzxy
+=++
+=++
+=++
Nếu
0
x
=
dễ dàng suy ra được:
0
yz
==
.Như vậy
(,,)(0,0,0)
xyz
=
là một nghiệm
của hệ.
Ta tìm các nghiệm khác
(
)
0,0,0
Chia hai vế cho
222
xyz
ta thu được hệ tương đương:
2
2
2
2
2
2
11
3
11
4
11
5
yz
yzxx
xz
xzyy
xy
xyzz
+
=++
+
=++
+
=++
Ta lại đặt
111
;;abc
xyz
===
ta nhận được:
22
22
22
()5(1)
()3(2)
()4(3)
abcc
bcaa
acbb
+=++
+=++
+=++
Lấy
(
)
(2)(3)()2()11
(1)(2)()(2()1)1
ababc
bcabc
−⇒−+++=
−⇒−+++=
Từ đây suy ra
abbc
−=−
2
acb
⇒+=
Thay vào
(2)
ta được
2
340
bb
−+=
.
Từ đây cácbạncó thể dễ dàng giải tiếp bài toán.
Ví dụ 3: Giải hệ
3
3
(621)1
(6)21
xy
xy
+=
−=
Nếu giải hệ với ẩn
(,)
xy
thì ở đây ta thật khó để thấy đwocj hướng giải.
Nhưng mọi chuyện sẽ rõ ràng khi ta đặt
1
.
x
z
=
3
3
216
216
zy
yz
=+
=+
Đây là hệ đối xứng mà ta có thể dễ dàng tìm ra đước hướng giải. J
Sau đây là bài tập áp dụng dành cho bạn đọc:
Bài tập luyện tập.
Bài 1: Giải hệ:
22
2226
(1)4
xxy
xyxyxy
+++=
+++=
Bài 2: Giải hệ:
33
33
33
33
()12
()12
()12
()12
xyzt
yztx
ztxy
txyz
++=
++=
++=
++=
C.Tính các đại lượng chung
Ý tưởng của phương pháp này là tính các đại lượng trong đó.
Ví dụ 1:Giải hệ:
224
236(*)
35
xyyx
yzzy
xzzx
+++=
++=
++=
(1)(2)6
(*)(2)(3)12(1)(2)(3)24
(3)(1)8
xy
yzxyz
zx
++=
⇔++=⇒+++=±
++=
Từ đây cácbạncó thể có thể giải tiếp một cách dễ dàng.
Ví dụ 2:Giải hệ:
22
33
2(1)
3(2)
5(3)
9(4)
uv
uxvy
uxvy
uxvy
+=
+=
+=
+=
Giải:
Nhân
xy
+
vào
(3)
3322
5()
935()
uxvyuxyvxyxy
xyxy
⇒+++=+
⇒+=+
Nhân
xy
+
vào
(2)
2()3
uyvxxy
⇒+=+−
Nhân
22
xy
+
vào
(2)
[
]
22
3()9()92()3
xyxyuyvxxyxy
+=++=++−
Đặt
;
axybxy
=+=
.
Đến đây cácbạncó thễ dễ dàng giải tiếp J.
Bài tập luyện tập
Bài 1: Giải hệ
2222
2222
50
24
0.
xyzt
xyzt
xzyt
xyzt
+++=
−+−=−
=
−++=
Bài 2:Giải hệ
2
2
2
yxzb
zxyc
xyza
−=
−=
−=
(
,,
abc
là những hằng số)
Bài 3:Giải hệ
2
2
2
()
()
()
axbyxy
byczyz
czaxzx
+=−
+=−
+=−
(
,,
abc
là những hằng số)
Bài 4:Giải hệ.
32
32
32
()2
()30
()16
xxyz
yyzx
zzxy
+−=
+−=
+−=
D.Nhân liên hợp.
Phương pháp này chủ yếu bỏ dâu căn thức đễ dễ tính toán hay để xuất hiện những đại
lượng có thể đặt ẩn phụ.
Ví dụ 1:Giải hệ:
4
(1)
556
xy
xy
+=
+++=
Giải:
Ta có:
5513
(1)
552
5513
55
2
55
xxyy
xxyy
xxyy
xxyy
+++++=
⇔
+−++−=
+++++=
⇔
+=
++++
Đặt
5
5
uxx
vyy
=++
=++
Ta suy ra:
10
112
5
10
25
52.
uv
uv
uv
uv
uvxy
+=
+=
+=
⇒
=
⇒==⇒==
Ví dụ 2: Giải hệ:
5
324
42
5
32
42
y
yx
x
yx
−=
+
+=
+
Giải:
Từ hệ ta suy ra điều kiện:
,0
xy
>
Hệ đã cho tương đương với:
22
42
6
2
1024
42
2
1512
42
15(2)(42)
25840
(3)(28)0
3
280
yx
yx
xy
yxxy
xyyxyx
yxyx
xyyx
xy
yx
+=
=−
+
⇒=−
+
⇒=−+
⇒+−=
⇒−+=
=
⇒
+=
Trường hợp thứ hai ta loại do không thỏa điều kiện
,0
xy
>
.
Thay vào hệban đầu ta thu được nghiệm sau:
526526
(,),
279
xy
++
=
Bài tập luyện tập
Bài 1: Giải hệ
615
165
xy
xy
+++=
+++=
[...]... Giải hệ − x + y + xy + 1 = 5 − 2 ( x − 1)( y − 1) = 1 Bài 3: Giải hệ x y = y +1 + y − x +1 + x − 2 2 y + x + 2 ( x + 1)( y + 1) = 0 Kết thúc bài viết là phần bài tập tổng hợp các mục về hệphươngtrình mà ta đã xem xét: III)Bài tập tổng hợp Bài 1: Giải các hệphươngtrình sau: x 2 y + xy 2 = 6 a) xy + x + y = 5 x 4 + x 2 y 2 + y 4 = 21 b) 2 2 x − xy + y = 7 Bài 2: Giải hệ. .. + y = 5 x 4 + x 2 y 2 + y 4 = 21 b) 2 2 x − xy + y = 7 Bài 2: Giải hệphươngtrình sau: x + y + x2 + y 2 = 8 x( x + 1) + y ( y + 1) = 12 Bài 3:Giải hệphươngtrình sau: x + y + x 3 + 2 x 2 y + 2 xy 2 + y 3 = 0 x y = −2 Bài 4:Giải hệphươngtrình sau: x− y =6 3 3 x − y = 126 Bài 5:Giải hệphươngtrình sau: x 2 + y 2 = 2a 2 xy + 1 = 2a .
I .Các hệ phương trình cơ bản
A. Hệ phương trình đối xứng :
Dạng
(
)
()
,0
,0
fxy
gxy
=
=
. được bằng cách thế vào hệ phương trình ban đầu
II .Các phương pháp giải hệ không mẫu mực:
A.Dùng bất đẳng thức :
Dấu hiệu cho phép ta sử dụng phương