Bïi V¨n Lu HÀM SỐ 1. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Dạng 1 : Tính đơn điệu của hàm số I. Kiến thức cơ bản 1. Định nghĩa Giả sử hàm số y = f(x) xác định trên K: + Hàm số y = f(x) được gọi đồng biến trên khoảng K nếu: 1 2 1 2 1 2 , , ( ) ( )x x K x x f x f x∀ ∈ < ⇒ < + Hàm số y = f(x) được gọi là nghịch biến trên khoảng K nếu: 1 2 1 2 1 2 , , ( ) ( )x x K x x f x f x∀ ∈ < ⇒ > 2. Qui tắc xét tính đơn điệu a. Định lí Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K: + Nếu f’(x) > 0 với mọi x thuộc K thì hàm số đồng biến + Nếu f’(x) < 0 với mọi x thuộc K thì hàm số nghịch biến b. Qui tắc B1: Tìm tập xác định của hàm số B2: Tính đạo hàm của hàm số. Tìm các điểm x i (i = 1, 2,…,n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định. B3: Sắp xếp các điểm x i theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên. B4: Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến. II. Các ví dụ Loại 1: Xét sự biến thiên của hàm số Ví dụ 1. Xét sự đồng biến và nghịc biến của hàm số: 3 2 2 4 2 1 1 . y = 2 2 b. y = -x 3 4 e. y = x( 3), (x > 0) 3 2 x - 1 c. y = x 2 3 . y = x +1 a x x x x x x d − − + + + − − + Ví dụ 2. Xét sự biến thiên của các hàm số sau: 2 3 4 2 3 2 2 2 . y = 3x 8 b. y = x 8 5 c. y = x 6 9 3- 2x x 2 3 . y = e. y = f. y = 25-x x + 7 1 a x x x x x d x − + + − + − + + Loại 2: Chứng minh hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên khoảng xác định. Phương pháp + Dựa vào định lí. Ví dụ 3. Chứng minh hàm số 2 2y x x= − nghịch biến trên đoạn [1; 2] Ví dụ 4 a. Chứng minh hàm số 2 9y x= − đồng biến trên nửa khoảng [3; + ∞ ). b. Hàm số 4 y x x = + nghịc biến trên mỗi nửa khoảng [-2; 0) và (0;2] Ví dụ 5. Chứng minh rằng Bïi V¨n Lu a. Hàm số 3 2 1 x y x − = + nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó. b. Hàm số 2 2 3 2 1 x x y x + = + đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó. c. Hàm số 2 8y x x= − + + nghịch biến trên R. Dạng 2. Tìm giá trị của tham số để một hàm số cho trước đồng biến, nghịch biến trên khoảng xác định cho trước Phương pháp: + Sử dụng qui tắc xét tính đơn điêu của hàm số. + Sử dụng định lí dấu của tam thức bậc hai Ví dụ 6. Tìm giá trị của tham số a để hàm số 3 2 1 ( ) ax 4 3 3 f x x x= + + + đồng biến trên R. Ví dụ 7. Tìm m để hàm số 2 2 5 6 ( ) 3 x x m f x x + + + = + đồng biến trên khoảng (1; )+∞ Ví dụ 8. Với giá trị nào của m, hàm số: 2 1 m y x x = + + − đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó. Ví dụ 9 Xác định m để hàm số 3 2 ( 1) ( 3) 3 x y m x m x= − + − + + đồng biến trên khoảng (0; 3) Ví dụ 10 Cho hàm số 4mx y x m + = + a. Tìm m để hàm số tăng trên từng khoảng xác định b. Tìm m để hàm số tăng trên (2; )+∞ c. Tìm m để hàm số giảm trên ( ;1)−∞ Ví dụ 11 Cho hàm số 3 2 3(2 1) (12 5) 2y x m x m x= − + + + + . Tìm m để hàm số: a. Liên tục trên R b. Tăng trên khoảng (2; )+∞ Ví dụ 12 (ĐH KTQD 1997) Cho hàm số 3 2 2 ax (2 7 7) 2( 1)(2 3)y x a a x a a= − − − + + − − đồng biến trên [2:+ )∞ Dạng 3 . Sử dụng chiều biến thiên để chứng minh BĐT Phương pháp Sử dụng các kiến thức sau: + Dấu hiệu để hàm số đơn điệu trên một đoạn. + f ( x) đồng biến trên [a; b] thì ( ) ( ) ()f a f x f≤ ≤ + f(x) nghịch biến trên [a; b] thì ( ) ( ) ( )f a f x f b≥ ≥ Ví dụ 1. Chứng minh các bất đẳng thức sau: Bïi V¨n Lu 2 2 3 1 1 . tanx > sinx, 0< x < b. 1 + 1 1 , 0 < x < + 2 2 8 2 x x . cosx > 1 - , 0 d. sinx > x - , x > 0 2 6 x a x x x c x π − < + < + ∞ ≠ Ví dụ 2. Chohàm số f(x) = 2sinx + tanx – 3x a. Chứng minh rằng hàm số đồng biến trên nửa khoảng 0; 2 π ÷ b. Chứng minh rằng 2sin tan 3 , (0; ) 2 x x x x π + > ∀ ∈ Ví dụ 3 Cho hàm số ( ) t anx - xf x = a.Chứng minh hàm số đồng biến trên nửa khoảng 0; 2 π ÷ b. Chứng minh 3 tan , (0; ) 3 2 x x x x π > + ∀ ∈ Ví dụ 3 Cho hàm số 4 ( ) t anx, x [0; ] 4 f x x π π = − ∈ a. Xét chiều biến thiên của hàm số trên [0; ] 4 π b. Chứng minh rằng 4 tan , [0; ] 4 x x x π π ≤ ∀ ∈ Dạng 4 : Dùng đơn diệu của hàm số để giải và biện luận phương trình bất phương trình Ví dụ 1: Giải phương trình: a, 2 2 3 (2 9 3) (4 2)( 1 1) 0x x x x x+ + + + + + + = (x = -1/5). b, 33 2 2 4 5 6 7 9 4x x x x x− − + = + − Ví dụ 2: Chứng minh rằng phương trình sau có nghiệm duy nhất. 2 2 2 11x x − = Ví dụ 3: Giải bất phương trình: a, 5 1 3 4x x− + + ≥ b, 5 3 3 2 2 6 2 1 x x x − + − ≤ − BÀI TẬP TỬ GIẢI : Bài 1 : Tìm các khoảng biến thiên của các hàm số sau : a. b. c. d. e. f. h. Bïi V¨n Lu k. ( m là tham số ) . Bài 2 : Cho hàm số định m để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định . Bài 3 : Cho hàm số định m để hàm số a. Ngịch biến trên R . b. Đồng biến trên (1,2) . c. Nhịch biến trên . Bài 4 : cho hàm số định m để hàm số ngịch biến trên . Bài 5 : cho hàm số sau định m để hàm số : a. Giảm trên từng khoảng xác định . b. Giảm trên ( -1,0). c. Tăng trên (-2,2). Bài 6 : cho hàm số tìm m để . a. Hàm số nghịch biến trên R . b. Đồng biến trên (0,1) và (2,3) . c. Đồng biến trên khoảng có độ dài là 1 . Bài 7: Giải hệ phương trình 3 3 2 2 x x y y y x + = + = . -1/5). b, 33 2 2 4 5 6 7 9 4x x x x x− − + = + − Ví dụ 2: Chứng minh rằng phương trình sau có nghiệm duy nhất. 2 2 2 11x x − = Ví dụ 3: Giải bất phương trình: a, 5 1 3 4x x− + + ≥ b, 5 3 3 2 2 6 2