BÁO CÁO THỰC TẬP-NHỮNG XU HƯỚNG DẠY HỌC KHÔNG TRUYỀN THỐNG

Khi dạy bài "Phép tịnh tiến và phép dời hình" - HH11NC, trong phần "Ứng dụng phép tịnh tiến", bài toán nêu như sau: "Cho hai điểm B, C cố định trên đường tròn O; R và một điểm A thay đổi

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

BÀI ĐIỀU KIỆN

Chuyên đề:

NHỮNG XU HƯỚNG DẠY HỌC KHÔNG TRUYỀN THỐNG

Họ và tên : Phạm Thị Thuý Ngần

Mã học viên : K19 0042 Chuyên ngành: Lý luận và Phương pháp dạy học môn Toán

Hà Nội, 09-2010

Bài tập 1 Hãy xây dựng hai ví vụ minh hoạ cho mỗi cách tạo tình huống gợi

vấn đề (một ví dụ dành cho học sinh đại trà, một ví dụ dành cho học sinh khá giỏi)?

1 Dựa vào nhận xét trực quan thực nghiệm.

Ví dụ 1 Khi dạy bài "Phép tịnh tiến và phép dời hình" - HH11NC, trong phần

"Ứng dụng phép tịnh tiến", bài toán nêu như sau:

"Cho hai điểm B, C cố định trên đường tròn (O; R) và một điểm A thay đổi trên đường tròn đó Chứng minh rằng trực tâm tam giác ABC nằm trên một đường tròn cố định."

Để gợi động cơ giải quyết bài toán, giáo viên có thể sử dụng phần mềm hình học động minh học cho học sinh thấy khi điểm A thay đổi trên đường tròn (O; R) thì trực tâm H của tam giác ABC luôn nằm trên một đường tròn cố định

H

O

A

Sau khi cho học sinh quan sát điểm A di động thì điểm M cũng di động theo nhưng luôn chạy trên một đường tròn cố định, học sinh sẽ nảy sinh nhu cầu giải quyết bài toán Cụ thể là đi tìm xem điểm M nằm trên đường tròn nào Khi

đó giáo viên hướng dẫn học sinh sử dụng phép tịnh tiến để giải quyết bài toán:

H

O

A

Dễ thấy AH = BC , nên ta có phép tịnh tiến theo véctơ cố định BC biến A thành H Do đó khi A thay đổi trên (O; R) thì trực tâm H luôn nằm trên đường tròn cố định là ảnh của đường tròn (O; R) qua phép tịnh tiến nói trên

Khi dạy các phép dời hình tiếp theo như phép đối xứng tâm, phép đối xứng trục, giáo viên vẫn có thể lấy ví dụ này và hướng dẫn học sinh sử dụng các phép dời hình khác để giải quyết bài toán Từ đó góp phần phát huy tính sáng tạo trong giải toán, nhất là trong giải toán hình học phẳng cho học sinh

Ví dụ 2 Trong giờ luyện tập về "Bất đẳng thức và chứng minh bất đẳng thức"

-ĐS10NC, giáo viên cho học sinh bài tập sau:

Bài toán: "Cho a  3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = a + 1

a"

Để hướng dẫn học sinh dự đoán giá trị của a khi S nhỏ nhất rồi từ đó định hướng cách giải bài toán, giáo viên cho học sinh lập bảng giá trị của a và S như sau:

1

a

1

3

1 4

1 5

1 6

1 7

1 8

1 9

1

30

3 41

4 51

5 61

6 71

7 81

8 91

9 10 1

10 … 30 1

30

Từ bảng trên ta thấy khi a càng tăng, S càng lớn, và dự đoán a = 3 thì S nhỏ nhất Áp dụng bất đẳng thức Cosi, chú ý chọn hai số dương nào đó để dấu bằng trong bất đẳng thức xảy ra khi a = 3 Cụ thể:

S = a + 1

a = (

9

a

+1

a ) + 8

9

a

 2 .1 9

a

a + 8.3

9 = 10

3

Vậy S nhỏ nhất bằng 103 khi a = 3

2 Dựa vào lật ngược vấn đề

Ví dụ 1 Trong khi dạy bài "Phương trình tổng quát của đường thẳng" - HH10NC,

hoạt động 2 nêu ra bài toán sau:

"Cho điểm I(x0, y0)và véctơ n = (a; b) khác 0 Có bao nhiêu đường thẳng

đi qua I và nhận n là véctơ pháp tuyến?"

Sau khi giáo viên hướng dẫn học sinh giải quyết bài toán trên thu được kết quả: Các đường thẳng d đi qua I và nhận n là véctơ pháp tuyến có phương trình dạng ax + by - ax0 - by0 = 0 hay ax + by + c = 0, gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng d

Như vậy khi biết toạ độ một điểm I và toạ độ một véctơ pháp tuyến của đường thẳng d ta viết được phương tình tổng quát của đường thẳng d

Ngược lại, khi biết phương trình tổng quất của một đường thẳng, ta có thể tìm được toạ độ của một điểm và toạ độ của một vectơ pháp tuyến của đường thẳng đó không?

Câu trả lời là có Ta có thể chứng minh được rằng: Mỗi phương trình dạng

ax + by + c = 0 với a2 + b2  0 đều là phương trình tổng quát của một đường thẳng xác định, nhận n = (a; b) là véctơ pháp tuyến

Tương tự như vậy, khi dạy bài "Phương trình tham số của đường thẳng"

-HH10NC, ta có kết quả: Khi biết toạ độ một điểm M và toạ độ một véctơ chỉ phương u của đường thẳng d ta viết được phương trình tham số của đường thẳng

đó Ngược lại, khi biết phương trình tham số của đường thẳng d ta tìm được toạ

độ một điểm và toạ độ một vectơ chỉ phương u của đường thẳng đó

Ví dụ 2 Trong dạy học ĐS&GT11NC, sau khi học sinh nắm được khái niệm

hàm số liên tục và khái niệm đạo hàm, giáo viên đặt ra câu hỏi:

- Liệu rằng một hàm số y = f(x) có đạo hàm tại điểm xo thì nó có liên tục tại điểm xo hay không?

Dễ dàng thấy rằng nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại điểm xo thì tồn tại

0

( ) ( ) lim

o

x x

x x





 = f '(xo) (*) Giả sử hàm số y = f(x) không liên tục tại điểm xo Khi đó:

lim( ( ) ( ))

x x f x f x

0

( ) ( ) lim

o

x x

x x





 =

0

lim

o

x x

L

x x

Vì L  0, x - xo  0 khi x  xo nên

0

lim

o

x x

L

x x

0

( ) ( ) lim

o

x x

x x





 =  (Mâu thuẫn (*)) Vậy hàm số y = f(x) liên tục tại điểm xo

- Ngược lại, cho hàm số y = f(x) liên tục tại điểm xo thì nó có đạo hàm tại điểm xo không?

Điều này là không đúng Ví dụ: Cho hàm số y = f(x) = x có:

0

lim ( )

x f x



0

lim ( )

x f x





0

lim ( )

x f x

 = 0 = f(0) Vậy hàm số đã cho liên tục tại x = 0

Nhưng

0

( ) (0) lim

0

x

x







 =

0

lim

x

x x



( ) (0) lim

0

x

x







 =

0

lim

x

x x







= -1

Do -1  1 nên không tồn tại giới hạn lim0 ( ) (0)

0

x

x





 hay hàm số đã cho không có đạo hàm tại x = 0

Vậy một hàm số có đạo hàm thì liên tục nhưng ngược lại, liên tục thì chưa chắc có đạo hàm

3 Dựa vào tương tự hoá

Ví dụ 1 Dạy học "Tính chất của tích vô hướng" trong bài "Tích vô hướng của hai

vectơ" - HH10NC, ta có thể sử dụng tính tương tự từ tính chất của phép nhân số

thực bất kì suy ra tính chất nhân vô hướng của vectơ

(k.a).b = a.(k.b) = k.(a.b) (k.a).b = a.(k.b) = k.(a.b)    

a.(b + c) = a.b + a.c a.(b + c) = a.b + a.c     

a.(b - c) = a.b - a.c a.(b - c) = a.b - a.c     

a.b = 0 a = 0 hoặc b = 0 a.b = 0   ????? (a b) 

(a.b)2 = a2.b2

(a.b) = a b   ????

((a.b) = a b os (a,b)2 22c 2  )

Ví dụ 2 Trong dạy học "Phép dời hình" - HH11NC, ví dụ 2 trang 7 nêu bài toán:

"Hai thôn nằm ở hai vị trí A và B cách nhau một con sông (xem rằng hai bờ sông

là hai đường thẳng song song) Người ta dự định xây một chiếc cầu MN bắc qua sông (cố nhiên cầu phải vuông góc với hai bờ sông) và làm hai đoạn đường từ A tới M và từ B tới N Hãy xác định vị trí chiếc cầu MN sao cho AM+BN ngắn nhất " (Hình vẽ)

b N

A

B M

Bái toán sẽ đơn giản hơn nếu con sông rất hẹp, hẹp đến mức hai bờ sông a

và b xem như trùng vào nhau Trong trường hợp đó bài toán được phát biểu đơn giản như sau:

" Cho hai điểm A và B nằm cùng phía với đường thẳng d Tìm trên d điểm

M sao cho MA + MB có giá trị nhỏ nhất"

d

A

Mo

A1

B

M

Với A1 là ảnh của A qua phép đối xứng trục d, ta có :

AM + MB = A1M + MB A1B

Và A1B nhỏ nhất khi MMo

Bằng cách làm tương tự, ta có thể giải bài toán đã nêu ban đầu như sau:

N M A

B

B1

Thực hiện phép tịnh tiến véctơ v có phương vuông góc với đường thẳng

a, b ; độ dài bằng khoảng cách giữa a, b và có hướng từ b đến a Khi đó ta có:

Tv: B B1

N  M Như vậy AM + NB nhỏ nhất khi AM + MB1 nhỏ nhất

Việc tìm M lại quay về bài toán ban đầu

Xuất phát từ cách giải bài toán trong ví dụ trên, ta có thể đưa ra những bài toán có cách làm tương tự nhưng nâng dần độ khó như sau:

Bài toán 1 "Cho đường thảng d và hai điểm A, B nằm cùng phía đối với đường

thẳng d Tìm trên d hai điểm M, N sao cho MN = a cho trước và AM + MN+ NB

có giá trị nhỏ nhất "

Giải: Việc tìm hai điểm M, N thoả mãn điều kiện đầu bài quy về tìm điểm

N; vì nếu tìm được N thì M là ảnh của N qua phép tịnh tiến vectơ -vcó phương trùng với phương đường thẳng d, độ dài bằng a

Từ đó AM + MN + NB nhỏ nhất khi AM + NB nhỏ nhất vì MN = a

Thực hiện phép tịnh tiến Tv: A A1;

M  N Suy ra AM + NB nhỏ nhất khi A1N + NB nhỏ nhất

Việc tìm N lại quay trở về bài toán ban đầu

A2

A

B

A1

Bài toán 2 "Cho góc xOy và điểm A nằm trong góc đó Hãy xác định các điểm

B, C lần lượt thuộc các tia Ox, Oy sao cho tam giác ABC có chu vi nhỏ nhất"

Giải: Xét hai phép đối xứng trục có trục lần lượt là Ox, Oy:

ĐOx: A A1

ĐOy: A A2

Khi đó AB = A1B, AC = A2C

Nên AB + BC + CA nhỏ nhất khi A1B + BC + A2C nhỏ nhất khi BBo, C

Co

B0

C0

A1

A2

O

B

C

A

Bài toán 2 cũng có thể phát biểu dưới dạng khác như sau:

Bài toán 3: "Cho tam giác nhọn ABC A1 là điểm cho trước thuộc cạnh BC hãy xác định điểm B1, C1 lần lượt thuộc các cạnh AC, AB sao cho tam giác A1B1C1

có chu vi nhỏ nhất"

Từ bài toán trên ta có thể phát triển thành bài toán khác với mức độ khó cao hơn:

Bài toán 4: "Cho tam giác nhọn ABC Hãy tìm ba điểm A1,B1,C1 lần lượt thuộc các cạnh BC, CA, AB sao cho tam giác A1B1C1 có chu vi nhỏ nhất."

C0

B0

A3

A2

A1

A

C1

B1

Giải: Đầu tiên ta xét một vị trí của A1 trên cạnh BC Khi đó chu vi tam giác A1B1C1 nhỏ nhất bằng độ dài đoạn A2A3

Tiếp theo ta xét tam giác AA2A3 cân tại A, có 

A = 2BAC - không đổi, nên A2A3 nhỏ nhất khi AA1 nhỏ nhất Suy ra A1 là chân đường vuông góc hạ từ

A xuống BC

Tương tự có B1, C1 là chân đượng cao của tam giác ABC lần lượt hạ từ đỉnh B và C

Vậy tam giác A1B1C1 có ba đỉnh là chân ba đường cao của tam giác ABC

là tam giác có chu vi nhỏ nhất thoả mãn điều kiện đầu bài

4 Dựa vào khái quát hoá

Ví dụ 1 Dạy học “Dạng lượng giác của số phức” – GT12NC, giáo viên hướng

dẫn học sinh tìm dạng lượng giác của số phức:

- Giả sử số phức z có điểm biểu diễn là M Góc lượng giác  tạo bởi Ox 

và OM được gọi là argumen của số phức z Kí hiệu arg z =  Thường arg z là giá trị không âm nhỏ nhất của 

- Cho số phức z = a + ib có môdun là r = z  a2 b2  0 Dạng lượng giác của z là:

z = r (cos + isin) ; Với a = rcos, b = r sin

- Tính z2, z3 ?

z2 = r2 (cos + isin)2

= r2 (cos 2  - sin2  + 2i cos sin) = r2 (cos2 + isin2)

z3 = r3 (cos3 + isin3)

- Khái quát hóa ta được công thức Moa-vrơ: zn = rn (cos n + isin n)

Ví dụ 2 Trong dạy học luyện tập về “Bất đẳng thức và chứng minh bất đẳng” –

ĐS10NC, giáo viên đưa ra bài tập:

- Bài toán: Chứng minh rằng với mọi số dương a, b, c ta có:

3 2

a

b + b23

c + c32

2

a

b + b2

c + c2

Giáo viên hướng dẫn học sinh chứng minh bất đẳng thức:

Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có:

(a2

b + b2

c + c2

a )(b + c + a)  (a + b + c)2 (1a) (a32

b + b32

c + c32

a )(a + b + c)  (a2

b + b2

c + c2

a )2 (1b)

Từ hai bất đẳng thức trên ta suy ra điều phải chứng minh

Tương tự, ta cũng chứng minh được các bất đẳng thức:

4 3

a

b + b43

c + c43

3 2

a

b +b23

c + c32

5 4

a

b + b45

c + c54

4 3

a

b + b34

c + c43

Chứng minh (2): Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki:

(a43

b + b43

c + c43

a )(a2

b + b2

c + c2

a ) (a32

b +b23

c + c32

a )2

Kết hợp với các bất đẳng thức (1a) và (1b) ta được bất đẳng thức cần chứng minh

Chứng minh (3) ta sử dụng thêm bất đẳng thức:

(a45

b + b54

c + c54

a )(a32

b +b32

c + c32

a )(a43

b + b43

c + c43

a )2

- Khái quát hóa ta được bài toán sau:

Chứng minh rằng với mọi số dương a, b, c , k *

  ta có:

1

k k

a b



+ b k k1

c



+ c k k1

a



 1

k k

a

b  + b k k1

c  + c k k1

5 Dựa vào lời giải có sai lầm

Ví dụ 1 Trong dạy học "Giới hạn một bên" - ĐS&GT11NC, giáo viên đưa ra ví

dụ:

VD: "Hãy tính giới hạn hàm số I =

0

1 os4x lim

x

x

c





"

Có học sinh giải như sau:

1 os4x lim

x

x

c



0

2sin 2 lim

x

x

x

0

2 2sin2 lim

2x

x

x

Giáo viên hướng dẫn học sinh phát hiện sai lầm trong lời giải bài toán trên

là: 2sin 22

x

x = 2|sin2 |

x

x =

2sin2

,sin2 0 x

2sin2

, sin2 0 x

x

x x

x













Với kiến thức đã học về khái niệm giới hạn hàm số, học sinh chưa giải quyết được bài toán Từ đó học sinh có nhu cầu mở rộng kiến thức, muốn biết thêm khái niệm giới hạn một bên của hàm số để giải bài toán như sau:

0

1 os4x lim

x

x

c





 =

0

2 2sin2 lim

2x

x

x



0

1 os4x lim

x

x

c







=

0

2 2sin2 lim

2x

x

x







= -2 2

Từ đó suy ra không tồn tại giới hạn của hàm số đã cho tại x = 0

Ví dụ 2 Trong giờ luyện tập về "Bất đẳng thức và chứng minh bất đẳng thức"

-ĐS10NC, giáo viên cho học sinh bài tập sau:

Bài tập: "Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:

y = f(x) = x + 4 x 2"

Một học sinh làm như sau:

Điều kiện để 4 x 2 có nghĩa là 4 - x2  0  -2  x  2 Khi đó:

f(x) = x + 4 x 2  x  -2 nên minf(x) = -2 f(x) = x + 4 x 2  2 + 4 = 4 nên maxf(x) = 4 Trong lời giải trên là có sai lầm:

maxf(x) = 4 khi 2 2

0

x x









 (vô nghiệm) Vậy dấu bằng không xảy ra

Từ đó giáo viên khắc sâu thêm định nghĩa giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số là M chỉ đạt được khi tồn tại giá trị của biến x để f(x) = M

Lời giải đúng như sau:

Điều kiện để 4 x 2 có nghĩa là 4 - x2  0  -2  x  2 Khi đó:

f(x) = x + 4 x 2  x  -2 nên minf(x) = -2 khi x = -2

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki, ta có:

f(x) = x + 4 x 2  2[x2 ( 4  x2 2) ] = 2 2

Suy ra maxf(x) = 2 2 khi x = 4 x 2 hay x = 2

Bài tập 2 Hãy vận dụng quy trình 4 bước của dạy học Phát hiện và giải quyết vấn đề vào dạy học một định lý cụ thể trong chương trình Toán THPT hoặc

THCS?

Bài làm: Vận dụng quy trình 4 bước của dạy học Phát hiện và giải quyết vấn đề

vào dạy học một định lý Côsin trong tam giác.

Bước 1 Thâm nhập vấn đề:

Ta biết rằng một tam giác hoàn toàn được xác định nếu biết ba cạnh, hoặc hai cạnh và góc xen giữa, hoặc một cạnh và hai góc kề; nghĩa là số đo các cạnh, các góc còn lại của tam giác này hoàn toàn xác định Như vậy, giữa các yếu tố của tam giác có những mối liên hệ nào đó Cụ thể trong tam giác vuông, ta đã biết hệ thức nào liên hệ giữa các cạnh của tam giác? (a2 = b2 + c2 - Định lý Pitago) Trong tam giác thường liệu có hệ thức nào liên hệ giữa các yếu tố trong tam giác không?

Bước 2 Tìm giải pháp

- Nhắc lại cách chứng minh định lý Pitago?

2

BC



= 2

AC



+ 2

AB



được chứng minh như sau:

2

BC



(              AC AB               )

= 2

AC



- 2 AC AB. + 2

AB



= 2

AC



+ 2

AB



- Trong chứng minh trên, giả thiết góc A vuông được sử dụng như thế nào? (A vuông nên ACAB

 

hay  AC AB. = 0)

A

- Làm tương tự như chứng minh trên, nhưng thay BC = a, AC = b, AB= c? (a2 = b2 + c2 – 2bc cosA)

- Như vậy ta được định lý Côsin trong tam giác

Bước 3 Thực hiện giải pháp

- Định lý Côsin trong tam giác được phát biểu như sau:

Trong tam giác ABC, với BC = a, AC = b, AB = c, ta có:

a2 = b2 + c2 – 2bc cosA (1)

b2 = a2+ c2 – 2ac cosB (2)

c2 = a2 + b2 – 2ab cosC (3)

- Chứng minh:

(1) Ta có: a2 = 2

BC



(AC AB )

 

= 2

AC



- 2 AC AB. + 2

AB



= b2– 2bc cosA+ c2

Hay a2 = b2 + c2 – 2bc cosA

Tương tự ta chứng minh (2), (3)

Bước 4 Kiểm tra, khai thác, đánh giá giải pháp.

- Khi tam giác ABC là tam giác vuông, chẳng hạn A = 90o, định lý Côsin trở thành định lý nào?

- Từ định lý Côsin, hãy tính giá trị cosA, cosB, cosC theo a, b, c?

cos

2

A

bc

 



cos

2

B

ac

 



cos

2

C

ab

 

