BÁO CÁO THỰC TẬP-Các nguyên lý cơ bản cho các bài toán đêm

Các nguyên lý cơ bảncho các bài toán đếm Bài toán đếm số cấu hình là một trong những bài toán cơ bản của lý thuyết tổ hợp.Các nguyên lý cơ bản nhất được sử dụng trong quá trình đếm là ng

Các nguyên lý cơ bản

cho các bài toán đếm

Bài toán đếm số cấu hình là một trong những bài toán cơ bản của lý thuyết

tổ hợp.Các nguyên lý cơ bản nhất được sử dụng trong quá trình đếm là nguyên lý cộng, nhân;bù trừ.Trong bài chúng tôi đề cập đến ba nguyên lý này.Nếu A là một tập hữu hạn thì ta kí hiệu N(A)là số phần tử của A

1 Nguyên lý cộng và nhân

1.1 Nguyên lý cộng

Nguyên lý cộng:Cho A1,A2, ,Am là các tập hữu hạn từng đôi một rời nhau.Khi đó ta có N (A1∪ A2∪ ∪ Am) = Pm

i=1

N (Ai)

Nhận xét: ta luôn có N (A1∪ A2∪ ∪ Am) ≤ Pm

i=1

N (Ai), dấu bằng của đẳng thức chỉ xảy ra khi và chỉ khi A1, A2, , Am từng đôi một rời nhau

Ví dụ 1 : Trong mặt phẳng cho 10 đường thẳng phân biệt và 6 đường tròn phân biệt Tìm số giao điểm tối đa có thể có giữa đường thẳng và đường tròn đó

Lời giải

Số giao diểm tối đa của 10 đương thẳng là C2

10 = 45

Số giao điểm tối đa của 6 đường tròn là 2.C2

6 = 30

Số giao điểm tối đa của của 10 đường thẳng với 6 đường tròn là: 2.10.6 = 120 Vậy số giao điểm tối đa của các đường thẳng và đường tròn đó là :

45 + 30 + 120 = 195

1.2 Nguyên lý nhân

Nguyên lý nhân: Nếu A1, A2, , Am là các tập hữu hạn, ta có:

N (A1.A2 Am) = N (A1).N (A2) N (Am)

Ví dụ1: Người ta có thể ghi nhãn cho những chiếc ghế trong một giảng đường bằng một chữ cái và một số nguyên dương không vượt quá 100 Bằng cách như vậy, nhiều nhất có bao nhiêu chiếc ghế có thể được ghi nhãn khác nhau? Giải

Thủ tục ghi nhãn cho một chiếc ghế gồm hai việc, gán một trong 26 chữ cái

và sau đó gán một trong 100 số nguyên dương Quy tắc nhân chỉ ra rằng

có 26.100 = 2600 cách khác nhau để gán nhãn cho một chiếc ghế Như vậy nhiều nhất ta có thể gán nhãn cho 2600 chiếc ghế

Ví dụ 2: Có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số được lấy từ tập 1, 2, 3, 4, 5, 6 nếu:

a)Các chữ số không cần phải khác nhau?

b)Các chữ số phải khác nhau ?

c)Các chữ số phải khác nhau và chứa số 3 ?

d)Các chữ số không cần phải khác nhau và chứa số 3 ?

Lời giải Giả sử số cần tìm là abc

a) Do các chữ số không cần khác nhau nên: a có 6 cách chọn, b có 6 cách chọn, c cũng có 6 cách chọn

Vậy số các số tự nhiên có 3 chữ số thỏa mãn yêu cầu đề bài là:

6.6.6 = 216 b) Do các chữ số phải khác nhau nên: a có 6 cách chọn, b có 5 cách chọn, c

có 4 cách chọn

Vậy số các số tự nhiên có 3 chữ số thỏa mãn yêu cầu đề bài là :

6.5.4 = 120 c) Đầu tiên ta chọn vị trí cho số 3, sau đó chọn hai số còn lại lần lượt Đáp

số là: 3.5.4 = 60

d)Ta chia trường hợp theo vị trí của số 3 nằm bên trái nhất Nếu số 3 này nằm ở vị trí hàng trăm thì số có ba chữ số phải có dạng 3bc

Khi đó số các số thỏa mãn là: 6.6 = 36

Nếu nó nằm ở vị trí hàng chục thì số có ba chữ số phải có dạng a3c với (a 6= 3) Khi đó số các số thỏa mãn là: 5.6 = 30

Nếu số 3 này nằm ở vị trí hàng đơn vị thì số ba chữ số phải có dạng ab3 với (a, b 6= 3) Khi đó số các số thỏa mãn là: 5.4 = 20

Vậy số các số thỏa mãn yêu cầu bài toán là: 36 + 30 + 20 = 86 (số)

Ví dụ 3: Trong mặt phẳng cho một tập gồm 8 đường thẳng song song cắt một tập hợp gồm n đường thẳng song song (theo phương khác) tạo thành

420 hình bình hành( nhiều hình có thể phủ hình khác) Tính n

Lời giải.

Gọi A, B lần lượt là các tập hợp gồm 8 và n đường thẳng song song

Khi đó mỗi hình bình hành tương ứng với một cách chọn 2 đường thẳng thuộc A và 2 đường thẳng thuộc B

Vậy có tất cả C2

8.C2

n= 420 ⇔ 28.2!(n−2)!n! = 420 ⇔ n(n − 1) = 30

⇔

" n=−5

n=6

=⇒ n = 6

Ví dụ: Có thể tạo được bao nhiêu ánh xạ từ tập A có m phần tử vào tập B có n phần tử?

Giải Theo định nghĩa, một ánh xạ xác định trên A có giá trị trên B là một phép tương ứng mỗi phần tử của A với một phần tử nào đó của B Giả sử các phần tử của A được đánh số theo thứ tự là a1, a2, , am Rõ ràng

có n cách chọn ảnh cho mỗi phần tử a1, a2, , am

Vì vậy số ánh xạ từ A đền B là: n.n.n n = nm

Ví dụ 4: Có bao nhiêu đơn ánh xác định trên tập A có m phần tử và nhận giá trị trên tập B có n phần tử?

TH1: Nếu m > n thì với mọi ánh xạ, ít nhất có hai phần tử của A có cùng một ảnh, điều đó có nghĩa là không có đơn ánh từ A đến B

TH2: Nếu m ≤ n và gọi các phần tử của A là a1, a2, , am Rõ ràng có n cách chọn ảnh cho phần tử a1 Vì ánh xạ là đơn ánh nên ảnh của phần tử a2 phải khác ảnh của a1 nên chỉ có n − 1 cách chọn ảnh cho phần tử a2 Nói chung, để chọn ảnh của am ta có n − m + 1 cách Theo quy tắc nhân, ta có

n(n − 1)(n − 2) (n − m + 1) đơn ánh từ tập A đến tập B

Ví dụ 5: Một đợt phát hành sổ số với cách đánh vé số gồm 2 phần: phần đầu gồm 3 chữ cái trong bảng 26 chữ cái, phần sau gồm 4 chữ số trong

hệ thập phân Hỏi có tất cả bao nhiêu vé được phát hành?

Lời giải:Theo nguyên lý nhân ta thấy phần chữ của vé có 263 khả năng Cũng theo nguyên lý nhân thì phần số của vé có 104 khả năng

Vậy lại theo nguyên lý nhân ta có số vé được phát hành là:

263.104 = 175760000

Ví dụ 6: Có 2n học sinh trong đó có n học sinh nữ và n học sinh nam ngồi xung quanh một bàn tròn.Hỏi có bao nhiêu cách xếp 2n học sinh vào một bàn tròn sao cho 2 học sinh cùng giới không ngồi cạnh nhau?

Lời giải

Trước hết ta xếp n học sinh nữ vào vị trí xung quanh bàn tròn.Số cách xếp là

(n − 1)!

Sau khi xếp n học sinh nữ, ta xếp n học sinh nam vào n chiếc ghế trong n khoảng trống giữa các học sinh nữ Số cách xếp là n!

Vậy số cách xếp 2n học sinh thỏa mãn yêu cầu bài toán là

(n − 1)!n!

Ví dụ 7: Từ các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 lậptất cả các chữ số gồm 4 chữ số khác nhau Hãy tìm tổng của tất cả các số này?

Lời giải

Kí hiệu S là tất cả các số lập được Giả sử số cần lập có dạng: abcd

Khi đó ta có: a có 9 cách chọn, b có 8 cách chọn, c có 7 cách chọn và d có 6 cách chọn

Từ đó theo nguyên lý nhân ta có số phần tử của S là

9.8.7.6 = 3024

Số lớn nhất trong S là 9876

Số nhỏ nhất trong S là 1234

Tổng của số lớn nhất và số nhỏ nhất là:11110

Ta sẽ chia S thành các cặp có tổng là 11110 Giả sử a1b1c1d1 ∈ S và a0

1b01c01d01

là số sao cho

a1b1c1d1+ a01b01c01d01 = 11110

Khi đó: a + a0 = b + b0 = c + c0 = d + d0 = 10 Vì a1b1c1d1 có các chữ số khác nhau nên a01b01c01d01 cũng có các chữ số khác nhau, tức là a01b01c01d01 ∈ S.Vậy ta

có thể chia S thành các cặp,mỗi cặp có tổng là 11110

Như vậy tổng các phần tử của S là

1

2.3024.11110 = 16798320

2 Nguyên lý bù trừ

Nguyên lý bù trừ là một quy tắc hữu hiệu, trong việc giải quyết những bài toán đếm.Nguyên lý này là sự kết hợp cả hai nguyên lý cộng và nhân Nguyên

lý trừ không hề xa lạ với đời sống thực tế, chẳng hạn :Để tính số công dân Việt Nam ở ngoài biên chế nhà nước, thì ta chỉ việc tính số người ở trong biên chế, rồi từ đó suy ra số người kia Triết lý của nó là "Hãy đếm phần tử

dễ đếm rồi suy phần tử khó đếm”

Ví dụ 1: Có 5 người đứng thành một hàng ngang Tính xác xuất của sự kiện A không đứng cạnh B

Giải

Trước hết ta thấy ngay có tất cả 5!=120 cách xếp hàng.Để đếm số cách xếp

A không đứng cạnh B, ta đã gặp phải khá nhiều khả năng.vì vậy hãy đếm

số cách sắp xếp mà A đứng cạnh B

Ta giải bài toán này như sau:

Ta xem A và B như một chỗ, ta có số cách sắp xếp là 4!.Nhưng khi ta xem

A và B như một chỗ thì có hai khả năng khi A đứng cạnh B, đó là A đứng bên phải B và ngược lại

Từ trên ta suy ra số cách sắp xếp để A đứng cạnh là:2.4!.Bù lại ta suy ra số cách sắp xếp mà A không đứng cạnh B phải là : 5! − 2.4! = 72

Vậy xác xuất phải tìm là:12072 =0,6

Nguyên lý trừ (Dạng đơn giản): N (X \ A) = N (X) − N (A) với A là tập con của X

Nếu A là sự kết hợp của nhiều khả năng Chẳng hạn: A = B ∪C là sự kết hợp chỉ hai khả năng ,khi đó ta có N (A) = N (B) + N (C) − N (B ∩ C) Lúc này ta thu được:

N (X \ A) = N (X) − [N (B) + N (C)] + N (B ∩ C)

Như vậy nếu A là sự kết hợp của nhiều khả năng khác nhau thì nguyên lý trừ sẽ phức tạp hơn rất nhiều

Nguyên lý bù trừ dạng tổng quát: Giả sử A1, A2, , Am là các tập con của một tập hữu hạn khi đó ta có

N (X \ A1 ∪ A2∪ A2∪ A3 ∪ Am) = N (X) +

m

X

k=1

(−1)k−1.Nk

Để chứng minh nguyên lý bù trừ ở dạng tổng quát trước hết ta chứng minh

bổ đề sau:

Bổ đề:

N (A1∪ A2∪ ∪ Am) =

m

X

k=1

(−1)k−1.Nk

(1) Chứng minh: Trước hết ta nhắc lại rằng với mỗi tập A hữu hạn, ta kí hiệu N(A) là số phần tử của A.Giả sử A1, A2, , Am là các tập hữu hạn

Ta kí hiệu Nk là tổng phần tử của tất cả các giao của k tập lấy từ m tập đã cho (k ≤ m).cụ thể hơn ta có:

N1 =

m

X

i=1

N (A1)

;

1≤i<j≤m

N (Ai ∩ Aj)

1≤i 1 <i 2 < <i k ≤m

N (Ai 1 ∩ Ai 2 ∩ Aik)

Nm = N (A1∩ A2∩ ∩ Am)

Nhận xét: Nk có Cmk số hạng

Với một phần tử a ∈ A1∪ A2 ∪ ∪ Am, ta thấy ngay trong vế trái của (1), a đếm được 1 lần Thật vậy giả sử rằng, a chỉ thuộc vào đúng k tập trong các tập đã cho Khi đó với mỗi t ≤ k, thì trong tổng Nt a sẽ được tính Ckt lần Còn với t > k thì trong tổng Nt a không được tính lần nào Như vậy, theo vế phải của (1), thì số lần đếm a theo kiểu vế phải sẽ là

k

X

t=1

(−1)t−1Ckt = 1 − (1 −

k

X

t=1

(−1)t−1Ckt) = 1

Ta nhận được đẳng thức (1)

Bây giờ giả sử A1, A2, , Am cùng là các tập con của một tập hữu hạn

X nào đó có Ta cần đếm số lượng tất cả các phần tử của X mà không thuộc

A1 ∪ A2∪ ∪ Am, tức là cần tính

N = N [X \ (A1∪ A2∪ ∪ Am)]

Vì N =N (X) − N (A1∪ A2∪ ∪ Am) Vậy định lý được chứng minh

Ví dụ 2: Có n lá thư và n phong bì ghi sẵn địa chỉ.Bỏ ngẫu nhiên các lá thư vào phong bì Hỏi xác suất để xảy ra sự kiện không một lá thư nào bỏ đúng

địa chỉ là bao nhiêu?

Trước hết ta thấy ngay có n! cách bỏ thư

Gọi X là tập tất cả các cách bỏ,Ak là tập tất cả các cách bỏ sao cho lá thư

thứ k đúng địa chỉ Ta có n tập con của X: A1, A2, , An

1≤i 1 <i 2 < <i k ≤n

N (Ai1∩ Ai2∩ ∩ Aik) có Ck

n Còn N (Ai1∩ Ai2∩ ∩ Aik) là số các cách bỏ thư sao cho có k lá thư đúng địa chỉ = (n − k)!

cách

Vậy Nk = (n − k)!Cnk = n!k!, và do đó N [X \ (A1 ∪ A2 ∪ ∪ A3)] =

n! − Pm

k=1

(−1)k−1 n!

k! = n! Pn

k=0

(−1) k

k! Vậy ta thấy xác xuất cần tính là:

n

X

k=0

(−1)k

k!

Chú ý: Khi n ra vô tận thì Pn

k=0

(−1) k

k! hội tụ về e−1 như vậy với n đủ lớn thì xác xuất này còn cao hơn 13 Số N [X \ (A1 ∪ A2∪ ∪ Am)] = n! Pn

k=0

(−1 k ) k!

được gọi là số mất trật tự

Ví dụ 3: Trong 2010 số nguyên dương đầu tiên có bao nhiêu số không

chia hết cho 2, 3, 5?

Giải: Kí hiệu S là tập 2010 số nguyên dương đầu tiên

Ta sẽ đếm xem số phần tử của S chia hết cho ít nhất một trong các số 2,

3, 5 Kí hiệu A1, A2, A3 tương ứng là tập con của S gồm các số chia hết cho

2, 3, 5 Khi đó A1 ∪ A2∪ A3 là tập các số trong S chia hết cho ít nhất một

trong các số 2, 3, 5 Ta có:

N (A1) = [2010

2 ] = 1005, N (A2) = [

2010

3 ] = 670, N (A3) = [

2010

5 ] = 402 ,

N (A1∩A2) = [2010

6 ] = 335, N (A1∩A3) = [2010

10 ] = 201, N (A2∩A3) = [2010

15 ] = 134 ,

N (A1∩ A2∩ A3) = [2010

30 ] = 67

Từ đó áp dụng bổ đề (1) ta có

N (A1∪A2∪A3) = N (A1)+N (A2)+N (A3)−N (A1∩A2)−N (A1∩A3)−N (A2∩A3)+N (A1∩A2∩A3)

= 2010 − 1005 − 670 − 402 + 335 + 201 + 134

= 1474

Vậy theo nguyên lý bù trừ ta có: 2010 − 1474 = 536 số không chia hết cho

2, 3, 5

Ví dụ: Một số điện thoại d1d2d3d4d5d6d7 được gọi là dễ nhớ nếu dãy d1d2d3 giống hoặc d4d5d6 hoặc d5d6d7 (hoặc cả hai ) Mỗi di(1 ≤ i ≤ 7) là một trong các giá trị 0,1, , 9 Hãy tính số các số điện thoại dễ nhớ

Lời giải:

Kí hiệu A là tập hợp các số điện thoại dễ nhớ mà d1d2d3 giống d4d5d6 và B

là tập các số điện thoại dễ nhớ mà d1d2d3 giống d5d6d7 Khi đó A ∪ B là tập tất cả các số điện thoại dễ nhớ Ngoài ra một số điện thoại thuộc vào A ∩ B khi và chỉ khi d1 = d2 = d3 = d4 = d5 = d6 = d7 Do đó theo nguyên nguyên

lý bù trừ ta có:

N (A ∪ B) = N (A) + N (B) − N (A ∩ B)

= 103.1.10 + 103.10.1 − 10 = 19990

Ví dụ 4: Cho số nguyên dương n Tính số các số nguyên dương không lớn hơn n(n + 1)(n + 2) mà không chia hết cho n, n+ 1, n+ 2

Lời giải

kí hiệu S là tập các số nguyên dương không vượt quá n(n + 1)(n + 2) Giả sử A1, A2, A3 tương ứng là các tập con của S gồm các số không chia hết cho4n, n + 1, n + 2 Khi đó

A = S \ (A1∪ A2∪ A3)

là tập các số nguyên dương thỏa mãn yêu cầu của bài toán

Ta có:

N (A1) = [n(n + 1)(n + 2)

N (A2) = n(n + 2)

N (A3) = n(n + 1)

Mặt khác :

A1∩ A2 = {k ∈ S|k chia hết cho n(n + 1)}

Do đó N (A1∩ A2) = n + 2 Tương tự N (A2∩ A3) = n.

Để tính N (A3 ∩ A1) và N (A1 ∩ A2 ∩ A3) ta xét hai trường hợp sau :

TH1: n lẻ Khi đó n, n+2 nguyên tố cùng nhau, do đó

N (A1∩ A3) = [n(n + 1)(n + 2)

n(n + 2) ] = n + 1 và

N (A1∩ A2∩ A3) = 1

TH2: n chẵn.Khi đó (n, n +2) = 2, do vậy

N (A1∩ A3) = 2(n + 1)vN (A1∩ A2∩ A3) = 2

Sử dụng nguyên lý bù trừ ta có:

Nếu n lẻ thì:

N (A1∪A2∪A3) = N (A1)+N (A2)+N (A3)−N (A1∩A2)−N (A2∩A3)−N (A1∩A3)+N (A1∩A2∩A3)

= (n + 1)(n + 2) + n(n + 2) + n(n + 1) − (n + 2) − n − (n + 1) + 1

= 3n(n + 1)

Nếu n chẵn:

N (A1∪ A2∪ A3) = n(3n + 2)

Vậy ta có:

Nếu n chẵn thì

N (A) = n(n + 1)(n + 2) − n(3n + 2) = n3

Nếu n lẻ thì

N (A) = n(n + 1)(n + 2) − 3n(n + 1) = n3− n

Ví dụ 5 :Đề thi học sinh giỏi toán tại một trường trung học phổ thông

gồm ba bài: hình học, đại số và tổ hợp Có 100 học sinh tham ra kỳ thi Kết

quả chấm thi cho thấy: 80 em làm được bài hình, 70 em giải được bài đại, 50

em giải được bài tổ hợp, 60 em giải được cả bài hình và bài đại, 50 em giải

được cả bài hình và bài tổ hợp, 40 em giải được cả bài đại và bài tổ hợp và

30 em giải được cả 3 bài Hỏi có bao nhiêu em giả được ít nhất một bài thi?

Lời giải

Kí hiệu A1 là tập học sinh giải được bài hình

A2 là tập học sinh giải được bài đại

A3 là tập học sinh giải được bài tổ hợp

Khi đó tập học giải được ít nhất một bài thi là A1∪ A2∪ A3 Ta có

N (A1∪A2∪A3) = N (A1)+N (A2)+N (A3)−N (A1∩A2)−N (A2∩A3)−N (A1∩A3)+N (A1∩A2∩A3)

= 80 + 70 + 50 − 60 − 50 − 40 + 30 = 80

Ví dụ: Trên mỗi cạnh của một hình vuông, lấy n điểm khác nhau Tính số tam giác được tạo thành từ các điểm đó

Lời giải:

Nhận xét: Cứ 3 điểm không cùng nằm trên một cạnh của hình vuông tạo

thành một tam giác

Do mỗi cạnh của hình vuông có n điểm khác nhau nên ta có tất cả 4n điểm

Số cách chọn 3 điểm từ các điểm đã cho là C4n3

Số cách chọn 3 điểm sao cho chúng cùng nằm trên một cạnh của hình

vuông là: 4.Cn3

Vậy số tam giác được tạo thành là:

C4n3 − 4.C3

n

Ví dụ 6 : Cho p > 4 điểm trong không gian, trong đó có q điểm đòng phẳng

Dựng tất cả các mặt phẳng chứa 3 điểm trong p điểm đã cho Hỏi có bao

nhiêu mặt phẳng phân biệt, và có bao nhiêu tứ diện được tạo thành?

Lời giải

Số mặt phẳng đi qua 3 điểm trong p là Cp3 Do trong p điểm đã cho có q

điểm đồng phẳng nên số mặt phẳng đi qua 3 điểm trong q điểm này chỉ được

tính là 1.

Vậy số các mặt phẳng phân biệt được tọa thành là :

Cp3 − C3

q + 1

Mỗi tứ diện được tạo thành từ 4 trong p điểm trên Số cách chọn 4 điểm trong p điểm đã cho là: Cp4 Do 4 điểm đồng phẳng không tạo thành một tứ diện, mà trong p điểm trên có q điểm đồng phẳng nên ta có: Cp4− C4

q tứ diện được tạo thành

3 Bài tập

Bài 1: Cho số tự nhiên n Chứng minh rằng

C2nn = (Cn0)2+ (Cn1)2+ + (Cnn)2 Lời giải

Số cách chọn n phần tử từ một tập gồm 2n phần tử là Cn

2n (1)

Để chứng minh được bài toán trên ta sẽ đếm số cách chọn n phần tử từ 2n phần tử bằng một cách khác như sau:

Trước hết ta chia tập gồm 2n phần tử thành 2 tập con, mỗi tập gồm n phần tử, sau đó chọn từ tập con thứ nhấ k phần tử Số cách chọn

sẽ là: Ck

n Cách và chọn từ tập con thứ hai n − k phần tử, số cách chọn sẽ là:

Cnn−k = Cnk cách

Vậy số cách chọn n phần tử từ 2n phần tử bằng cách chia 2n phần tử thành

2 tập con là:(Ck

n)2 cách Cho k chạy từ 0 đến n ta được số cách chọn cần tìm là:

(Cn0)2+ (Cn1)2+ + (Cnn)2 (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra:

(Cn0)2+ (Cn1)2+ + (Cnn)2 = C2nn Bài 2: Có bao nhiêu số chẵn có 4 chữ số được tạo thành từ các chữ số 0, 1,

2, 3, 4, 5, 6 sao cho:

a) Các chữ số có thể giống nhau?

b) Các chữ số phải khác nhau?

Lời giải