những nguyên lí cơ bản trong các bài toán đếm

NHỮNG NGUN LÍ CƠ BẢN TRONG CÁC BÀI TỐN ĐẾM Mơn học: Đại số sơ cấp Khoa Tốn-Tin Giảng Viên: TS Tạ Thị Nguyệt Nga Lời nói đầu: Lí thuyết tổ hợp phần quan trọng toán học rời rạc chuyên nghiên cứu phân bố phần tử vào tập hợp Thông thường phần tử hữu hạn việc phân bố chúng phải thoả mãn điều kiện định đó, tùy theo yêu cầu toán cần nghiên cứu Mỗi cách phân bố gọi cấu hình tổ hợp Chủ đề nghiên cứu từ kỉ 17, vấn đề tổ hợp nêu cơng trình nghiên cứu trò chơi may rủi Liệt kê, đếm đối tượng có tính chất phần quan trọng lí thuyết tổ hợp Đếm đối tượng để giải nhiều toán khác Lý thuyết tổ hợp áp dụng nhiều lĩnh vực khác nhau: lý thuyết số, hình học hữu hạn, biểu diễn nhóm, đại số khơng giao hốn, thống kê xác xuất, … Lý thuyết tổ hợp gắn liền với việc nghiên cứu phân bố phần tử vào tập hợp Các phần tử hữu hạn việc phân bố chúng phải thỏa mãn điều kiện tùy theo u cầu cơng việc (bài tốn) Dù cố gắng nội dung trình bày luận văn chắn có sai sót định, nhóm mong đóng góp ý kiến từ cô bạn TP HCM 10 tháng năm 2018 Tạ Quốc Khánh Đỗ Đức Chung Nhắc lại lý thuyết tập hợp: Trước tiên, ta có khái niệm phần tử tập hợp hữu hạn: Một tập hợp A gọi tập hợp hữu hạn A có hữu hạn phần tử Nếu A có n phần tử, ta kí hiệu số phần tử A | | (n ngun dương) Ta tìm phần tử tập hợp hữu hạn cách đơn giản nhất: -Liệt kê phần tử tập hợp - Chỉ rõ tính chất đặc trưng cho phần tử tập hợp Ngồi ta có phép toán tập hợp: - Giao tập hợp A B kí hiệu A B: A B = {x | x A x - Hợp tập hợp A B kí hiệu A B: A B = {x | x A x - Hiệu tập hợp A B kí hiệu A\B: A\B = {x | x A x - Phần bù A X kí hiệu : A} = {x |x X x B} B} B} - Tích đề tập hợp A B kí hiệu A x B A.B – A x B = {(a, b)| a b B} A 1/ Quy tắc đếm: * Định nghĩa: Trong nhiều trường hợp ta cần phải đếm số phần tử, số tập hợp,số số hạng tổng Ví dụ 1: Người ta cần làm hàng rào dài 20m, cách 2m chơn cọc Tính số cọc cần dùng? Dễ dàng tìm số khoảng cách cọc là: 20:2 = 10 Kể từ cọc thứ trở số cọc số khoảng cách Do số cọc 20:2 + = 11 Ngồi số tồn ta áp dụng quy tắc đếm để giải -Dấu hiệu chia hết cho 2: Chữ số tận chữ số: 0;2;4;6;8 -Dấu hiệu chia hết cho 3: Tổng chữ số chia hết cho -Dấu hiệu chia hết cho 4: chữ số tận tạo thành số chia hết cho -Dấu hiệu chia hết cho 5: Chữ số tận chữ số: 0; -Dấu hiệu chia hết cho 6: Vừa chia hết cho đồng thời vừa chia hết cho -Dấu hiệu chia hết cho 7: Hiệu số tạo chữ số đứng trước số tận với lần chữ số tận chia hết cho (có thể làm nhiều lần chắn chia hêt cho 7) -Dấu hiệu chia hết cho 8: chữ số tận tạo thành số chia hết cho -Dấu hiệu chia hết cho 9: Tổng chữ số chia hết cho Ví dụ 2: - 12 có 1+2=3 chia hết 12 chia hết cho - 123 có 1+2+3=6 chia hết 123 chia hết cho - 136 chia hết cho 36 chữ số tận chia hết cho - 342 chia hết cho 3+4+2=9 chia hết cho - 67182 chia hết cho tận có 6+7+1+8+2=24 chia hết cho 2/Quy tắc cộng: * Định nghĩa: Giả sử có k cơng việc việc thực tương ứng , cách, giả sử khơng có việc thực đồng thời áp dụng nguyên tắc cộng ta có l + + Quy tắc cộng phát biểu dạng tập hợp sau: Nếu tập hợp đôi rời số phần tử hợp tập tổng phần tử tập hợp, giả sử khơng có việc thực đồng thời ta có: | |=| | | | | | | | Ví dụ 1: Một sinh viên chọn thực hành ba danh sách tương ứng có 23, 15 19 Vì theo quy tắc cộng sinh viên có 23 + 15 + 19 = 57 cách chọn thực hành Ví dụ 2: Người ta từ Hải Phòng đến Đà Nẵng ba phương tiện: tàu hoả, tàu thuỷ máy bay Nếu có hai cách tàu hoả, ba cách tàu thuỷ, cách máy bay có 2+3+1 = cách từ Hải Phòng đến Đà Nẵng 2/Quy tắc nhân: * Định nghĩa: Giả sử ta có cơng việc tách thành k cơng việc cơng việc k cơng việc có n cách thực tương ứng có , áp dụng ngun tắc nhân ta có cách làm k cơng việc +Quy tắc nhân phát biểu dạng tập hợp sau: Nếu phần tử hữu hạn số phần tử tích Descastes tập hợp tích số phần tử tập thành phần.Ta biết việc chọn phần tử từ tích Descastes tiến hành ̅̅̅̅̅ chọn phần tử | | | || || | | | Ví dụ 1: Đề từ thành phố A đến thành phố D người ta phải qua hai thành phố B C Nếu có hai cách từ A đến B, ba cách từ B đến C cách từ C đến D có 2x3x1 = cách từ A đến B Ví dụ 2: Có số tự nhiên có ba chữ số lấy từ tập 1,2,3,4,5,6 a)Các chữ số không cần phải khác nhau? b)Các chữ số phải khác nhau? c)Các chữ số phải khác chứa số 3? Đáp số:a) 6x6x6; b) 6x5x4; c)3x5x4 Ví dụ 3: Một đội viên tình nguyện có 15 người gồm 12 nam, nữ Hỏi có cách phân cơng đội niên giúp đỡ tỉnh miền núi, cho tỉnh có nam nữ? Giải Đầu tiên, chọn nam nữ cho tỉnh thứ Theo quy tắc nhân số cách chọn là: Sau chọn nam (trong nam lại) nữ (trong nữ lại) cho tỉnh thứ Lại theo quy tắc nhân, số cách chọn là: Dĩ nhiên lại ta chọn xong tỉnh thứ Vậy theo quy tắc nhân, số cách phân công theo u cầu là: Ví dụ 4: Người ta ghi nhãn cho ghế giảng đường chữ số nguyên dương không vượt 100 Bằng cách vậy, nhiều có ghế ghi nhãn khác nhau? Thủ tục ghi nhãn cho ghế gồm hai việc, gán 26 chữ sau gán 100 số nguyên dương Quy tắc nhân có 26x100=2600 cách khác để gán nhãn cho ghế Như nhiều ta gán nhãn cho 2600 ghế Ví dụ 5: Một đội niên tình nguyện có 15 người gồm 12 nam nữ Hỏi có cách phân công đội giúp đỡ tỉnh miền núi cho tỉnh có nam nữ Giải Gọi tỉnh có tên A, B, C Chọn đội niên tình nguyện phục vụ tỉnh A có C124 C13 Chọn đội niên tình nguyện phục vụ tỉnh A có C84 C12 Chọn đội niên tình nguyện phục vụ tỉnh A có C44 C11 Theo quy tắc nhân ta có: C124 C13 C84 C12 C44 C11 = 207900 Hoán vị * Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử, kết xếp thứ tự n phần tử tậphợp A gọi hốn vị n phần tử * Số hốn vị Số hoán vị n phần tử, ký hiệu Pn Pn = n! Ví dụ 1: Có cách xếp học sinh vào chỗ ngồi bàn học sinh Giải Số cách xếp học sinh vào chỗ ngồi số hoán vị phần tử Vậy P4 = 4! = 1.2.3.4 = 24 cách xếp Ví dụ 2: Cho cầu màu trắng khác cầu xanh khác Ta xếp cầu vào hàng chỗ cho trước Có cách xếp khác nhau? Giải Có 9! = 362880 cách Chỉnh hợp * Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử (n  1) Kết việc lấy k phần tử khác từ n phần tử tập hợp A xếp chúng theo thứ tự gọi chỉnh hợp chập k n phần tử cho * Số chỉnh hợp Số chỉnh hợp chập k n phần tử ký hiệu A kn A kn = n! (1  k  n) n  k ! + Chỉnh hợp chập n n phần tử hốn vị n phần tử A nn  Pn Ví dụ 1: Từ chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6; Hỏi lập số có chữ số khác Giải Có A 37 = 5.6.7 = 210 số có chữ sốkhác Ví dụ 2: với chữ số 0, 1, 2, 3, 4, lập bao nhiêu: a Số lẻ gồm chữ số khác b Số chẵn gồm chữ số khác nhau: Giải Gọi số có chữ số abcd a Số cần lập số lẻ nên: Có cách chọn số d Có cách chọn số a Có A 24 cách chọn số bc Vậy có: A 24 = 144 số b Số cần lập số chẵn: Trường hợp 1: d =  Số cách lập số có chữ số với d = A 35 Trường hợp d  Có cách chọn số d Có cách chọn số a Có A 24 cách chọn bc  có 2.4 A 24 = 96 số Vậy có A 35 + 96 = 156 số Tổ hợp * Định nghĩa: Giả sử tập A có n phần tử (n  1) Mỗi tập gồm k phần tử A gọi tổ hợp chập k n phần tử cho * Số tổ hợp Số tổ hợp chập k n phần tử, ký hiệu Ckn Ckn = n! k!n  k ! Ví dụ 1: Hãy tính tổ hợp C36 Giải Ta có: C 36  6! 4.5.6   20 3!3! 1.2.3 Ví dụ 2: Một cỗ túlơkhơ có 52 quân bài, chia cỗ thành phần (mỗi phần 13 quân) Hỏi có cách chia phần cho: a có át b có át Giải a Số cách chọn át từ át là: C 24 Số cách chọn 11 lại 48 là: C1148 Theo quy tắc nhân ta có: C 24 C1148 cách chia b Số cách chia phần có 13 C1352 Số cách chia phần mà khơng có át là: C1348 Vậy số cách chia phần có át C1352 - C1348 * Tính chất tổ hợp: + Tính chất 1: C kn  C nn  k + Tính chất 2: C kn 11  C kn 1  C kn Nguyên lí bù trừ: * Định nghĩa: Khi cơng việc làm đồng thời, ta khơng thể dung quy tắc cộng để tính số cách thực gồm việc Để tính số cách thực nhiệm vụ ta cộng số cách làm việc trừ số cách làm đồng thời hai việc Ta phát biểu ngun lí ngơn ngữ tập hợp: | | | | | | | | Ví dụ 1: Cho tập hợp A, B, C biết: A = {0,1,2,7,11,14,25}, B = {-5,4,0,2,7,13,15,16,19}, C = {-5,-2,2,7,13,14,16,20,21} Tính N(A B C) = ? Giải: Ta có N(A) = 7; N(B)=9; N(C)=9; N1=7+9+9 =25 N2=N(A B)+N(A C)+N(B C) = + 3+5=11 N3 = N(A B C) = Theo ngun lí bù trừ ta có: N(A B C)=N1-N2+N3 = 25-11+2=16 Ví dụ 2: Trong đề thi chọn đội tuyển tốn quốc gia có câu: câu số học, câu đại số câu hình học Trong 40 thí sinh dự thi có 25 thí sinh làm câu số học, 30 thí sinh làm câu đại số 15 thí sinh làm câu hình học Ngồi ra, số thí sinh làm câu số học đại số 20, số thí sinh làm câu số học hình học 5, số thí sinh làm câu đại số hình học 10 Biết khơng có thí sinh khơng làm câu Hỏi có thí sinh làm câu? Giải Gọi A, B, C tương ứng tập hợp thí sinh làm câu số học, đại số hình học Theo giả thuyết ta có: | | | | | | | | | | | | Vì khơng có thí sinh khơng làm câu nên | | Áp dụng ngun lí bù trừ ta có | | | | | | | | | | Suy 40 = 25 + 30 + 15 – 20 - 10 – + | | | | | | | | Vậy có học sinh làm câu Ứng dụng phép đếm nâng cao +Phương pháp song ánh: Phương pháp song ánh dựa vào ý tưởng đơn giản: Nếu tồn song ánh từ A vào B |A| = |B| Do đó, muốn chứng minh hai tập hợp có số phần tử, cần xây dựng song ánh chúng Hơn nữa, ta đếm số phần tử tập hợp A cách xây dựng song ánh từ A vào tập hợp B mà ta biết cách đếm +Phương pháp quan hệ đệ quy: Phương pháp quan hệ đệ quy phương pháp giải tốn với n đối tượng thơng qua việc giải toán tương tự với số đối tượng cách xây dựng quan hệ đó, gọi quan hệ đệ quy Sử dụng quan hệ này, ta tính đại lượng cần tìm ý với n nhỏ, tốn ln giải cách dễ dàng Bài tập Một họp gồm 12 người tham dự để bàn vấn đề Có người phát biểu vấn đề I, người phát biểu vấn đề II người phát biểu vấn đề III Ngồi ra, có người khơng phát biểu vấn đề Hỏi nhiều có người phát biểu vấn đề Có 17 nhà bác học viết thư cho trao đổi vấn đề Chứng minh ln tìm người trao đổi vấn đề Trong kỳ thi kết thúc học phần tốn học rời rạc có 10 câu hỏi Có cách gán điểm cho câu hỏi tổng số điểm 100 câu điểm Phương trình x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 21 có nghiệm ngun khơng âm? Có xâu khác lập từ chữ từ MISSISSIPI, yêu cầu phải dùng tất chữ? Lớp Tốn- Tin có 40 sinh viên cần bầu lớp trưởng, lớp phó ban kiểm phiếu người khơng có trưởng ban Hỏi có cách chọn người Trong kì thi sinh viên phải trả lời ngẫu nhiên 20 câu hỏi đề gồm 100 câu hỏi dạng sai Hỏi có đáp án Có 12 kẹo cần chia số gói, gói có chẵn số kẹo hỏi có cách chia Một hình tròn có bán kính 5cm Bên có 10 điểm Chứng minh ln tồn điểm có khoảng cách nhỏ 4cm 10 Tính tổng tất số hoán vị số 12345 11 Có tem thư khác bì thư khác Người ta muốn chọn từ tem thư bì thư, bì thư dán tem Có cách vậy? 12 Có số có chữ số khác mà có mặt chữ số chữ số 13 Từ chữ số 0, 1, 2, 3, lập số tự nhiên có chữ số, số có mặt lần số khác có mặt lần 14 Có thể thành lập số có chữ số, chữ số chữ số có mặt lần, chữ số 2, 3, 4, cómặt lần 15 Có số tự nhiên có chữ số, chữ số có mặt lần, chữ số có mặt lần, chữ số lại có mặt khơng q lần Tài liệu tham khảo: [1] Nguyễn Minh Tuấn, Chuyên đề đại số tổ hợp, lưu hành nội tháng năm 2013 [2] Trần Nam Dũng, Chuyên đề phép đếm_ Các ngun lí phép đếm NGUN LÍ DIRICHLET VÀ ỨNG DỤNG 1.Vài nét phương pháp Dirichlet: Dirichlet(1805-1859) - Nguyên lý Dirichlet nhà toán học người Đức tiếng 1là Dirichlet đề xuất từ kỷ XX áp dụng để chứng minh tồn nghiệm nhiều toán tổ hợp Nguyên lý phát triển từ mệnh đề đơn giản gọi nguyên lý “nguyên lý cam” nguyên lý “chuồng chim bồ câu”: Giả sử có đàn chim bồ câu bay vào chuồng Nếu số chim nhiều số ngăn chuồng chắn có ngăn có nhiều chim -Phương pháp sử dụng nguyên lý Dirichlet phương pháp mà học sinh làm quen sớm từ học bậc tiểu học Đây phương pháp thể rõ đẹp toán học, làm cho học sinh thêm u thích mơn tốn Chính mà kỳ thi học sinh giỏi cấp, bậc: Tiểu học, THCS, THPT… thường xuyên có mặt tốn phải sử dụng phương pháp 2.Khái niệm nguyên lí Dirichlet: -Nguyên lý: “Nếu nhốt hết thỏ vào chuồng ln có hai thỏ bị nhốt chuồng” + Nguyên lí Dirichlet bản: Nếu xếp nhiều n+1 đối tượng vào n hộp tồn hộp chứa khơng hai đối tượng Ta chứng minh phản chứng: Giả sử không hộp chứa nhiều đối tượng có nhiều n đối tượng xếp hộp, trái với giả thiết số đối tượng lớn n + Nguyên lí Dirichlet mở rộng Nếu nhốt n thỏ vào m ≥ chuồng tồn chuồng có * + thỏ, kí hiệu [α] để phần nguyên số α Ta chứng minh nguyên lí Dirichlet mở rộng sau : Giả sử trái lại chuồng thỏ khơng có đến * + * + * + con, số thỏ chuồng nhỏ * m * chứng sai + + Từ suy tổng số thỏ nhỏ Điều vơ lí có n thỏ Vậy giả thiết phản Dựa vào nguyên lí Dirichlet mở rộng ta phân chia đối tượng thành nhóm khác khơng cần quan tâm đến tính chất đối tượng mà cần quan tâm đến số “vật” “ngăn” 3.Ứng dụng nguyên lí Dirichlet dạng tốn Bài 1: Một trường học có 1000 học sinh gồm 23 lớp Chứng minh phải có lớp có từ 44 học sinh trở lên iải: Giả sử 23 lớp lớp có khơng q 43 học sinh hi số học sinh là: 43.23=989 học sinh(vơ lý) Theo ngun lí Dirichlet phải có lớp có từ 44 học sinh trở lên Bài 2: Một lớp có 50 học sinh Chứng minh có học sinh có tháng sinh giống iải Giả sử có khơng q 44 học sinh có tháng sinh giống Một năm có 12 tháng, số học sinh lớp có khơng q: 12.4=12.4=48 (học sinh) Theo ngun lí Dirichlet phải có học sinh có tháng sinh giống Bài 3: Trong 45 học sinh làm kiểm tra, khơng có bị điểm 2, có học sinh điểm 10 Chứng minh tìm học sinh có điểm kiểm tra (điểm kiểm tra số tự nhiên) iải: Có 43 học sinh phân thành loại điểm (từ đến 9) Giả sử 88 loại điểm điểm khơng q học sinh lớp học có: 5.8=40 học sinh, học sinh so với 43 Theo nguyên lý Dirichlet tồn học sinh có điểm kiểm tra Bài 4:Một lớp học có 50 học sinh, có học sinh thiếu nhiều tập thiếu tập Chứng minh tồn 17 học sinh thiếu số tập (trường hợp không thiếu tập coi thiếu bài) iải: Giả sử loại tập có 16 học sinh Số học sinh khơng q 16×3=48 (thiếu học sinh) Theo ngun lí Dirichlet có 17 học sinh thiếu số tập Bài 5:Trong hình vng đơn vị (cạnh 1) có 101 điểm Chứng minh có năm điểm điểm chọn phủ đường tròn bán kính Giải: Chia hình vng làm 25 hình vng nhau, cạnh hình vng 0.2.Vì có 101 điểm, mà có 25 hình vng, nên theo ngun lí Dirichlet tồn hình vng nhỏ chứa năm điểm (trong 101 điểm cho) Vì hình vng √ √ √ nội tiếp đường tròn bán kính R = Do nên dĩ nhiên đường tròn đồng tâm với đường tròn ngoại tiếp có bán kính chứa năm điểm nói Bài 6: Chứng minh số n nguyên dương ta tìm số tự nhiên mà chữ số bao gồm có chữ số chữ số chia hết cho n Giải: Xét n+ số sau: 5; 55; ; 55 a1  a2  an1  ( n+1 chữ số 5) Theo nguyên lý Dirichlet : với n+1 số tồn hai số có số dư chia cho n Hiệu hai số số có dạng: 55…50…0 gồm tồn chữ số chữ số chia hết cho n Bài 7: Cho số dương Chứng minh có hai bốn số đó, chẳng hạn x y, thoả mãn bất phương trình sau: √ Giải: Gọi số cho x1, x2, x3, x4 Đặt ( Đặt ) làm đoạn đoạn Suy tồn hai số thuộc đoạn, đoạn (nguyên lí dirichlet) ( ) ( ) √ √ √ ( )( ) √ 4.Bài tập tự giải: Bài 1: Một lớp học có 30 học sinh Khi viết tả, em A phạm 14 lỗi, em khác phạm lỗi Chứng minh có học sinh không mắc lỗi mắc số lỗi Bài 2: Cho người tùy ý Chứng minh số có hai người có số người quen ( ý A quen B B quen A) Bài 3: Trong giải bóng đá có 10 đội tham gia, hai đội số phải đấu với trận Chứng minh thời điểm lịch thi đấu có hai đội đấu số trận Bài 4: Chứng minh 1007 số tự nhiên tồn hai số cho tổng hiệu chúng chia hết cho 2011 Bài 5: Chứng minh 2011 số tự nhiên liên tiếp ln tồn số có tổng chữ số chia hết cho 28 5.Tài liệu tham khảo: [1] Nguyễn Hữu Điển, Phương pháp DIRICHLET ứng dụng, NXB Khoa học kĩ thuật Hà nội, 1999 [2] Phan Huy Khải, Các toán số học, NXB Giáo dục, 2009 [3]Nguyễn Văn Vĩnh, 23 chuyên đề giải 1001 toán sơ cấp, NXB Giáo dục, 2005  ... Nam Dũng, Chuyên đề phép đếm_ Các nguyên lí phép đếm NGUYÊN LÍ DIRICHLET VÀ ỨNG DỤNG 1.Vài nét phương pháp Dirichlet: Dirichlet(1805-1859) - Nguyên lý Dirichlet nhà toán học người Đức tiếng 1là... nhân: * Định nghĩa: Giả sử ta có cơng việc tách thành k cơng việc cơng việc k cơng việc có n cách thực tương ứng có , áp dụng nguyên tắc nhân ta có cách làm k cơng việc +Quy tắc nhân phát biểu... 1  C kn Nguyên lí bù trừ: * Định nghĩa: Khi cơng việc làm đồng thời, ta dung quy tắc cộng để tính số cách thực gồm việc Để tính số cách thực nhiệm vụ ta cộng số cách làm việc trừ số cách làm