Đề thi HSG toán lớp 9

SỞ GD&ĐT BẮC GIANG KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2010-2011 ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI MÔN :TOÁN LỚP 9 Ngày thi: 2/4/2011 Thời gian làm bài :150 phút Câu 1 ( 4 điểm) 1. Cho hai số x, y > 0. Rút gọn biểu thức sau: 2 2 2 2 4 4 4 4 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) x y x y x y A x y x y x y x y = + + + + + + + 2. Cho x = 3 3 2 2 3 2 2 3 − + + và y = 3 3 3 17 3 17 − + + Tính giá trị biểu thức: B = x 3 – y 3 + 6x – 6y + 2013 Câu 2 (4 điểm) Cho hệ phương trình 2 2 2ax 2( ) 2 (1) ay x y b y x b  + + + =  − =  (a; b là tham số) 1. GiẢI hệ phương trình (1) với a = 2 3 ; b = 3. 2. Tìm giá trị hực của b để hệ phương rình (1) có nghiệm với mọi số thực a Câu 3 (4 điểm) 1. Tìm tất cả các số tự nhiên n để P = (n 2 – 2n + 1).( n 2 – 2n + 2) + 1 là số nguyên tố. 2. Giải phương trình nhiệm nguyên: 2y 3 = 2x 6 + 9x 4 - 2011 Câu 4 (6 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường (O;r), với BC là đường kính cố định, điểm A thay đổi. Lấy điểm D đối xứng với điểm A qua điểm B. Kẻ AM vuông góc với BC (M BC), điểm N là trung điểm của đoạn MC. Đường thẳng DM cắt (O) tại các điểm P và Q, đường thẳng AN cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là K. Chứng minh rằng: 1. Điểm D di động trên một đường tròn cố định. 2. DM ⊥ AN. 3. Tổng bình phương các cạnh tứ giác APKQ không đổi. Câu 5 (2 điểm) Cho a; b; c là độ dài ba cạnh tam giác và x; y; z là ba số thực thỏa mãn ax + by + cz + a + b + c = 0 . Chứng minh rằng: xy + yz + zx + 2x + 2y + 2z + 3 ≤ 0. ……………………………Hết………………………… . SỞ GD&ĐT BẮC GIANG KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2010-2011 ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI MÔN :TOÁN LỚP 9 Ngày thi: 2/4/2011 Thời gian làm bài :150 phút Câu 1. 2n + 1).( n 2 – 2n + 2) + 1 là số nguyên tố. 2. Giải phương trình nhiệm nguyên: 2y 3 = 2x 6 + 9x 4 - 2011 Câu 4 (6 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường (O;r), với BC là đường kính cố định,