De thi HSG toan 9 ( 06-07)

đề thi học sinh giỏi huyện năm học 2006-2007 Môn: Toán lớp 9-Thời gian 120 phút Bài 1: Cho biểu thức: A= + + + xxx 1 1 1 1 1 1 a) Tìm tập xác định và rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị của x để AA > Bài 2 : Giải các phơng trình sau: a) 11 =+ xx b) 21212 =++ xxxx c) x +y +z +4 = 2 56342 ++ zyx Bài 3: a) Cho 2 số không âm a và b. Chứng minh rằng: ab ba + 2 , dấu =xảy ra khi nào? b) Tìm cặp số x,y sao cho: x 11 + xyy = xy c) Cho 0 < a, b, c < 2. Chứng minh có ít nhất một trong các bất đẳng thức sau đây là sai: a(2 - b) > 1; b(2 - c) > 1; c(2 - a) > 1 Bài 4: Cho tam giác ABC vuông ở A,đờng cao AH. Gọi D và E lần lợt là hình chiếu của điểm H trên AB và AC. Biết BH=4cm, CH=9cm. a) Tính độ dài đoạn DE . b) Chứng minh: AD.AB = AE.AC c) Chứng minh: AH 3 =BC.BD.CE Bài 5: Cho n số a 1 ; a 2 ; .; a n , mỗi số trong chúng bằng 1 hoặc bằng -1 và a 1 a 2 + a 2 a 3 + .+ a n a 1 = 0. Hỏi n có thể bằng 2006 đợc không? Tại sao? Phòng Giáo dục huyện Yên Thành đáp án, biểu điểm chấm môn toán 9 Bài Nội dung Điểm 1 (1,5đ) Câu a:1 điểm, câu b: 0,5 điểm a)TXĐ = { 1;0/ > xxRx } A= x x x xx 1 . 1 11 + ++ = 1 2 )1)(1( )1(2 )1( )1(2 = + + = + xxx x xx xx b) 10)1( <>> AAAAA (Điều kiện:A 0 101 >> xx ) 93121 1 2 ><<< xxx x (Thỏa mãn) Vậy với x>9 thì AA > 0.5 0.5 0.25 0.25 2 (3đ) Câu a:1 điểm. câu b: 1 điểm. câu c: 1điểm a) 11 =+ xx Điều kiện:x 1 2 )1(1 =+ xx 0)1( = xx 0 = x (loại) hoặc x=1 (Thỏa mãn) b) 21212 =++ xxxx 22 )11()11( ++ xx =2 1111 ++ xx =2 Điều kiện x 1 Nhận xét: =++ 1111 xx 1111 ++ xx 2 Dấu bằng xẩy ra khi:( )11 + x .(1- )1 x 0 2-x 0 x 2 Vậy nghiệm của phơng trình là:1 2 x c) x+y+z+4 = 2 56342 ++ zyx Điều Kiện :x 5;3;2 zy [ ] [ ] [ ] 095.6)5(43.4)3(122)2( =+++++ zzyyxx 2 )12( x + 0)35()23( 22 =+ zy = = = 035 023 012 z y x = = = 14 7 3 z y x Là nghiệm 0.25 0.5 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.5 0.25 3 (2,0đ) Câu a:0,5 điểm. câu b: 1 điểm. câu c: 0.5 điểm a) vì a và b không âm nên tồn tại a và b Ta có 0)( 2 ba 02 + abba abba 2 + ab ba + 2 Dấu = xảy ra khi a=b b) Điều kiện : x 1 ; y 1 2 1 22 11 )1(11 xy xy xx xx = + = (1) 0.25 0.25 0.25 Tơng tự 2 1 2 1 xy yx y y (2) Từ (1) và (2) ta có : x xyxyy + 11 Dấu "="xảy ra = = 11 11 y x = = 2 2 y x c) Giả sử các BĐT trên đều đúng. Khi đó nhân vế với vế các BĐT lại với nhau ta đợc: a(2 - b)b(2 - c)c(2 -a) > 1 (1) Ta lại có a(2 - a) = 2a - a 2 = 1 - (1-a) 2 1 Tơng tự b(2 - b) 1 c(2 - c) 1 Do 0 < a, b, c < 2 nên a( 2 - a) > 0; b(2 - b) > 0; c(2 - c) > 0 Suy ra: a(2 - a)b(2 - b)c(2 - c) 1 Mâu thuẫn với (1) Vậy có ít nhất một trong các BĐT đã cho là sai. 0.5 0.25 0.25 0.25 4 (2,5đ) Câu a: 1điểm; câu b: 1điểm; câu c: 0.5đ a) Tứ giác ABCD là hình chữ nhật vì có 3 góc vuông DE = AH Tam giác ABC vuông ở A, có AH BC, nên AH 2 =BH.CH=4.9=36 AH=6(cm) Vậy DE=6cm. b) Ta có AH 2 =AD.AB ; AH 2 =AE.AC AD.AB=AE.AC c) Ta có AH 2 =BH.CH AH 4 =BH 2 CH 2 =AB.BD.AC.CE=AH.BC.BD.CE AH 3 =BC.BD.CE 0.5 0.5 0.5 0.5 0.25 0.25 5 (1đ) Vì a j = + 1 nên a i a j = + 1 Do đó tổng n số hạng a 1 a 2 + a 2 a 3 + + a n a 1 mỗi số hạng bằng 1 hoặc -1. Mà tổng này bằng 0 (g thiết) nên suy ra n chẵn. Giả sử n = 2k với k số hạng bằng 1, k số hạng bằng -1. Tích của n số hạng đó (a 1 a 2 )(a 2 a 3 ) .(a n a 1 ) = (a 1 a 2 .a n ) 2 = 1 Nên số hạng bằng -1 phải là số chẵn, k = 2p Vậy n = 2k = 4 p. Mà 2006 không chia hết cho 4, suy ra n không thể bằng 2006. 0.5 0.25 0.25 Các cách giải khác đúng đều cho điểm tối đa A B C D E H . đợc: a(2 - b)b(2 - c)c(2 -a) > 1 (1 ) Ta lại có a(2 - a) = 2a - a 2 = 1 - (1 -a) 2 1 Tơng tự b(2 - b) 1 c(2 - c) 1 Do 0 < a, b, c < 2 nên a( 2. môn toán 9 Bài Nội dung Điểm 1 (1 ,5đ) Câu a:1 điểm, câu b: 0,5 điểm a)TXĐ = { 1;0/ > xxRx } A= x x x xx 1 . 1 11 + ++ = 1 2 )1 )(1 ( ) 1(2 ) 1( ) 1(2 = +