Chuyên đề thể tích khối đa diện nâng cao, phân dạng có đáp số.

Cho hình chĩp S.ABC cĩ đáy ABC là tam giác vuơng tại A, cĩ SA = AB = a 3, cạnh bên SA vuơng gĩc với mặt phẳng đáy, gĩc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ABC bằng 60.. Tính thể tích khối c

CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

Dạng 1 Khối chĩp cĩ một cạnh vuơng gĩc với đáy, hoặc cĩ hai mặt phẳng vuơng gĩc với đáy.

☆☆☆

Chú ý Nếu hai mặt phẳng vuơng gĩc với đáy thì giao tuyến của nĩ vuơng gĩc với đáy Suy ra giao tuyến là đường cao hình chĩp.

Bài 1 Cho hình chĩp S.ABCD cĩ SA =a là đường cao, đáy ABCD là hình thang vuơng tại A,

B cĩ AB = BC = a, AD = 2a Tính thể tích khối chĩp S.ACD và khoảng cách giữa SB

và CD

Đề thi thử đại học 2014 lần 7 – Chuyên ĐHSP Hà Nội

3

S ACD

Bài 2 Cho hình chĩp S.ABCD cĩ SA là đường cao, SA = a đáy ABCD là hình thang vuơng tại

A, B cĩ AB = BC = a, AD = 2a Tính thể tích khối chĩp S.BCD và khoảng cách từ điểm

B đến mặt phẳng (SCD)

Đề thi thử đại học 2014 – THPT Thuận Thành – Bắc Ninh.

6

S CD

Bài 3 Cho hình chĩp S.ABC cĩ đáy ABC là tam giác vuơng tại A, cĩ SA = AB = a 3, cạnh

bên SA vuơng gĩc với mặt phẳng đáy, gĩc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng 60 1) Tính thể tích khối chĩp S.ABC0

2) Trong tam giác SAC vẽ phân giác gĩc A cắt cạnh SC tại D Tính khoảng cách giữa đường thẳng AC và BD

Đề thi thử đại học 2014 khối D lần 1 – THPT Hùng Vương – Bình Phước

3 3

S ABC

a

V = d AC BD =a

-Bài 4 Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, SA = BC =2a, biết hai

mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuơng gĩc với mặt phẳng (ABCD) Tính thể tích khối chĩp S.ABCD và khoảng cách giữa AC và SD

Đề thi thử đại học 2014 khối D lần 2 – THPT Lương Thế Vinh - Hà Nội

S ACD

Bài 5 Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh a, BD = a, trên cạnh AB

lấy điểm M sao cho BM = 2AM Biết hai mặt phẳng (SAC) và (SDM) cùng vuơng gĩc với mặt phẳng (ABCD) và mặt bên (SAB) tạo với đáy gĩc 60 Tính thể tích khối chĩp 0

S.ABCD và cosin gĩc giữa hai đường thẳng OM và SA

Đề thi thử đại học 2014 khối AA1BD lần 1 – Chuyên Hà Nội Amsterdam - Hà Nội

S ACD

a

Bài 6 Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình thoi cạnh a, BCD =1200, cạnh SD vuơng

gĩc với đáy Mặt phẳng (SAB) tạo với mặt phẳng (SBC) gĩc 60 Gọi K là trung điểm 0

SC Tính thể tích khối chĩp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và BK

Đề thi thử đại học 2014 khối AA1 lần 2 – Chuyên ĐH Vinh – Nghệ An

2

S ACD

Bài 7 Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng cạnh a, mặt bên (SAB) là tam giác

đều và nằm trong mặt phẳng vuơng gĩc với hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) Tính thể tích khối chĩp S.ABCD và khoảng cách từ C đến mp(SAD)

Đề thi thử đại học 2014 khối D lần 2 – Chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ.

S ACD

Dạng 2 Chĩp đều

☆☆☆

Chú ý Đáy là đa giác đều (tam giác đều, hình vuơng) và chân đường cao là tâm đáy.

Bài 8 Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình thoi cạnh a Biết tứ diện SABD là tứ diện

đều cạnh a Tính thể tích khối chĩp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng BD

và SC

Đề thi thử đại học 2014 khối D lần 2 – Chuyên Quốc Học – Huế

2

,

S ABCD

Bài 9 Chĩp đều S.ABC cĩ SA = 6a, AB = 3a M là điểm thuộc cạnh SC sao cho MS = MC/2

Tính theo a thể tích khối chĩp S.ABC và cosin gĩc hai đường thẳng SB và AM

Đề thi thử đại học 2014 khối BD lần 3 – Chuyên ĐH Vinh – Nghệ An.

os , AM

S ABC

a

Dạng 3 Khối chĩp cĩ một mặt vuơng gĩc với đáy.

☆☆☆

Chú ý Chân đường cao nằm trên giao tuyến của mặt vuơng với đáy và đáy

Bài 10.Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng cạnh a 2 Tam giác SAC cĩ SA

= a, SC = a 3 và nằm trong mặt phẳng vuơng gĩc với mặt phẳng đáy Tính thể tích khối chĩp S.ABCD và gĩc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng (SBC)

Đề thi thử đại học 2014 khối AB lần 2 – Chuyên Lê Quý Đơn – Quảng Trị

cos ,

S ABCD

a

Bài 11.Cho hình chĩp S.ABC cĩ đáy ABC và mặt bên SAB là tam giác đều cạnh a Mặt phẳng

(SAB) vuơng gĩc với mặt phẳng (ABC) Tính thể tích khối chĩp S.ABC và cosin gĩc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC)

Đề thi thử đại học 2014 khối D lần 3 – Chuyên Quốc Học – Huế.

1

S ABC

a

Bài 12.Cho hình chĩp S.ABC cĩ đáy ABC là tam giác vuơng tại B, tam giác SAC cân tại S và

nằm trong mặt phẳng vuơng gĩc với đáy Gĩc giữa mạt phẳng (SBC) và đáy bằng 60 độ Biết SA = 2a, BC = a Tính thể tích khối chĩp S.ABC và khoảng cách giữa SA, BC

Đề thi thử đại học 2014 khối A lần 1 – Chuyên Lê Quý Đơn – Quảng Trị.

,

S ABC

Dạng 4 Khối chĩp biết vị trí chân đường cao

☆☆☆

Chú ý Vẽ đường cao từ chân (và vuơng gĩc với đáy)

Bài 13.Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O, SO vuơng gĩc với đáy,

SA = a Các mặt phẳng (SAB), (SBC) lần lượt hợp với đáy gĩc 45 độ và 60 độ Tính thể tích khối chĩp S.ABCD và gĩc giữa đường thẳng AC và SB

Đề thi thử đại học 2014 khối D lần 2 – Chuyên Lê Quý Đơn – Quảng Trị

S ABCD

a

Bài 14.Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình hình bình hành với AB = 2a, BC =

a BD a= Hình chiếu vuơng gĩc S lên mp(ABCD) là trọng tâm G của tam giác BCD, biết SG = 2a Tính thể tích khối chĩp S.ABCD và tính khoảng cách từ A đến mp(SBD)

Đề thi thử đại học 2014 lần 1 – Phan Đăng Lưu – Nghệ An.

A,

S ABCD

Bài 15.Cho hình chĩp S.ABC cĩ đáy ABC là tam giác vuơng tại A, gĩc ABC bằng 60 độ, BC

= 2a, H thuộc đoạn BC sao cho BC = 4BH Biết SH vuơng gĩc với mặt phẳng (ABC)

và SA tạo với đáy một gĩc 60 độ Tính thể tích khối chĩp S.ABC Chứng minh SC vuơng gĩc với AD, biết D xác định bởi 3SB=2SD

Đề thi thử đại học 2014 khối A lần 1 – Lương Thế Vinh – Hà Nội.

Đs:

3

3

4

S ABC

a

Bài 16.Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình chữ nhật, mặt bên SAD là tam giác

vuơng tại S, hình chiếu vuơng gĩc của S trên (ABCD) là điểm H thuộc AD sao cho HA

= 3HD M la trung điểm AB, SA = 2 3a và SC tạo với đáy một gĩc 30 độ Tính thể

tích khối chĩp S.ABCD và khoảng cách từ điểm M đến mp(SBC)

Đề thi thử đại học 2014 khối AA1 lần 1 – Chuyên ĐH Vinh – Nghệ An.

S ABCD

Bài 17.Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình thoi cạnh a và BAD =600 Hình chiếu

của điểm S lên mặt phẳng (ABCD) là trọng tâm tam giác ABC, gĩc giữa mặt phẳng (ABCD) và mặt phẳng (SAB) bằng 60 độ Tính thể tích khối chĩp S.ABCD và khoảng cách giữa SC và AB

Đề thi thử đại học 2014 khối A – Lương Thế Vinh – Đồng Nai.

S ABCD

Bài 18.Cho hình chĩp S.ABC cĩ đáy ABC là tam giác vuơng tại A, 2AC = BC = 2a Mặt phẳng

(SAC) tạo với mặt phẳng (ABC) gĩc 60 độ Hình chiếu của S lên (ABC) là điểm H là trung điểm cạnh BC Tính thể tích khối chĩp S.ABC và khoảng cách giữa AH và SB

Đề thi thử đại học 2014 khối ABD – THPT Triệu Sơn 4 – Thanh Hĩa.

S ABC

Bài 19.Trong mặt phẳng (P) cho ABCD là hình thoi cạnh a, ABC =1200, G là trọng tâm tam

giác ABD Trên đường thẳng vuơng gĩc với mp(P) tại G lấy điểm S sao cho ASC =900 Tính thể tích khối chĩp S.ABCD và khoảng cách từ G đến (SBD)

Đề thi thử đại học 2014 khối D lần 1 – Chuyên Nguyễn Đình Chiểu.

S ABCD

Dạng 5 Chĩp cĩ ba cạnh bên bằng nhau hoặc gĩc giữa các cạnh bên và đáy bằng nhau

☆☆☆

Chú ý Giả sử chĩp cĩ ba cạnh bên SA, SB, SC bằng nhau, (hoặc tạo với đáy những gĩc bằng

nhau) thì chân đường cao của chĩp là tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC

Bài 20.Cho hình chĩp S.ABC cĩ đáy ABC là tam giác vuơng tại A; AC = 6a, ACB =600, các

cạnh bên cùng tạo với đáy gĩc 60 độ Gọi M là điểm thuộc cạnh AC sao cho MC = 2MA Điểm H là trung điểm BC Tính theo a thể tích khối chĩp S.ABC và khoảng cách giữa đường thẳng MH và SC

Đề thi thử đại học 2014 khối D lần 4 – THPT Hồng Quang – Hải Dương.

S ABC

Bài 21.Cho hình chĩp S.ABC cĩ SA = SB = SC = CA = CB = a, AB = a 2 Tính theo a thể

tích khối chĩp S.ABC và cosin gĩc hai mặt phẳng (SAC) và (SBC)

Đề thi thử đại học 2014 khối D lần 1 – Lý Tự Trọng – Cần Thơ.

S ABC

a

Bài 22.Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình chữ nhật AB = a, SA = SB = SC = BC =

2a Tính theo a thể tích khối chĩp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng AC

và SD

Đề thi thử đại học 2014 khối AB lần 1 – Lương Thế Vinh – Hà Nội.

S ABCD

Dạng 6 Sử dụng tỉ số thể tích hai khối chĩp.

☆☆☆

Chú ý.

i) Cho chĩp S.ABC và ' A ỴSA, B'ỴSB,C'ỴSC thì ' ' '

.

S A B C

S ABC

ii) Khối chĩp cĩ đáy tứ giác, ta cần tách thành hai khối chĩp tam giác Sử dụng tỉ số thể tích hai lần.

Bài 23.Cho hình chĩp tứ giác đều S.ABCD cĩ độ dài cạnh đáy bằng a, mặt bên tạo với đáy gĩc

60 độ Mặt phẳng (P) chứa AB và trọng tâm tam giác SAC cắt SC, SD lần lượt tại M, N Tính thể tích khối chĩp S.ABMN

Đề thi thử đại học 2014 khối AB lần 3 – Chuyên Trần Phú – Hải Phịng.

Đs:

3

3 16

S ABCD

a

Bài 24.Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng cạnh a, SA vuơng gĩc với đáy,

gĩc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAB) bằng 30 độ Gọi M là trung điểm SA Mặt phẳng (P) đi qua M và vuơng gĩc với SC cắt SB, SC, SD lần lượt tại N, E, F Tính thể tích khối chĩp S.MNEF và bán kính mặt cầu ngoại tiếp chĩp S.MNEF

S ABCD

Đề thi thử đại học 2014 khối B lần 2 – Chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ.

Bài 25.Cho hình chĩp S.ABCD là chĩp tứ giác đều cĩ cạnh đáy bằng a, các mặt bên tạo với đáy

gĩc 60 độ Mặt phẳng (P) chứa AB và trong tam giam giác SAC cắt SC, SD lần lượt tại

M, N Tính thể tích khối chĩp S.ABMN và khoảng cách giữa SD và BC

Đề thi thử đại học 2014 khối D lần 1 – Chuyên Lê Quý Đơn – Quảng Trị.

S ABCD

Bài 26.Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng cạnh a, tam giác SAB đều và

mp(SAB) vuơng gĩc với đáy, M, N, P, K lần lượt là trung điểm BC, CD, SD, SB Tính theo a thể tích khối chĩp S.ABMN và khoảng cách giữa MK và AP

S ABCD

Đề thi thử đại học 2014 khối D lần 1 – Chuyên Vĩnh Phúc.

Bài 27.Cho hình chĩp S.ABCD đáy ABCD là hình chữ nhật AB = a, AD = 2a, SA vuơng gĩc

với đáy, SB tạo với đáy gĩc 60 độ Trên SA lấy điểm M sao cho 3

3

a

AM = Mặt phẳng (BCM) cắt SD tại N Tính thể tích khối chĩp S.BCMN

Đề thi thử đại học 2014 – THPT Thuận Thành I – Bắc Ninh.

Đs:

3 BCMN

10 3; 27

S

a

Bài 28.Cho hình chĩp S.ABCD đáy ABCD là hình chữ nhật AB = a, AC = 2a, SA vuơng gĩc

với đáy, SC tạo với (SAB) gĩc 30 độ Lấy điểm M thuộc cạnh AB sao cho MB = 3MA Tính thể tích khối chĩp S.DCM và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCM)

Đề thi thử đại học 2014 khối D lần 1 – Chuyên Nguyễn Quang Diêu – Đồng Tháp

S

Dạng 7 Lăng trụ đứng lăng trụ đều

☆☆☆

Chú ý.

i) Lăng trụ đứng là lăng trụ cĩ các cạnh bên vuơng gĩc với đáy

ii) Lăng trụ đều là lăng trụ đứng, cĩ đáy là đa giác đều (tam giác đều, hình vuơng).

Bài 29.Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ cĩ các cạnh AB = AD = a, ' 3

2

a

AA = và gĩc

 600

BAD = Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh A’D’ và A’B’ Chứng minh rằng

'

AC ^ BDMN và tính thể tích khối A.BDMN

Đề thi thử đại học 2014 lần 8 – Chuyên ĐHSP Hà Nội.

Đs:

3

3 16

S ABCD

a

Bài 30.Cho lăng trụ đều ABC.A’B’C’ cĩ AA '=a 2, đường thẳng B’C tạo với mặt phẳng

(ABB’A’) một gĩc 45 độ Tính thể tích lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách giữa AB’ và BC

Đề thi thử đại học 2014 khối D lần 1 – Chuyên ĐH Vinh – Nghệ An.

' ' '

30

5

ABC A B C

a

Bài 31.Cho lăng tam giác đều ABC.A’B’C’ cĩ cạnh đáy bằng a, chiều cao 2a Mặt phẳng (P) đi

qua B’ và vuơng gĩc A’C chia lăng trụ thành hai khối Tính tỉ số thể tích hai khối và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P)

Đề thi thử đại học 2014 khối B lần 2 – Chuyên Hạ Long – Quảng Ninh.

2

,

d A P

Dạng 8 Lăng trụ xiên, biết vị trí chân đường cao trên đáy

☆☆☆

Chú ý.Vẽ hình theo các bước

B1) Vẽ đáy chứa chân đường cao, xác định chân đường cao, dựng đường cao

B2) Vẽ các đỉnh cịn lại, vẽ các cạnh bên.

Bài 32.Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ cĩ đáy ABC là tam giác vuơng tại C, ABC =600, BC = 2a

Gọi M là trung điểm AB Hình chiếu vuơng gĩc của C’ trên mp(ABC) trùng với trung điểm I của CM Gĩc giữa cạnh bên CC’ và mặt đáy (ABC) bằng 45 độ Tính thể tích khối lăng trụ và khoảng cách giữa hai đường thẳng BC và C’I theo a

Đề thi thử đại học 2014 khối D lần 3 – Chuyên Trần Phú – Hải Phịng.

2

LT

a

Bài 33.Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ cĩ đáy ABC là tam giác vuơng tại A, AB = 2, BC = 4 Hình

chiếu vuơng gĩc của A’ trên mp(ABC) trùng với trung điểm AC Gĩc giữa hai mặt phẳng (BCB’C’) và (ABC) bằng 60 độ Tính thể tích khối lăng trụ và khoảng cách giữa hai đường thẳng BC và AA’

Đề thi thử đại học 2014 khối A lần 1 – Chuyên Vĩnh Phúc.

2

LT

Bài 34.Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ cĩ đáy ABC là tam giác cân vuơng tại B, AB = a

Hình chiếu vuơng gĩc của A’ trên mp(ABC) là điểm H thuộc cạnh AC sao cho HC = 2HA Mặt bên (ABB’A’) hợp với đáy (ABC) gĩc 60 độ Tính thể tích khối lăng trụ và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CC’

Đề thi thử đại học 2014 khối D lần 1 – Chuyên Quốc Học – Huế.

LT

Bài 35.Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ cĩ đáy ABCD là hình vuơng tâm O cạnh AB = a, AA’

và mặt phẳng (ABCD) cĩ gĩc là 60 độ tính thể tích khối hộp và khoảng cách giữa AA’

và DC biết A’O vuơng gĩc với mp(ABCD)

Đề thi thử đại học 2014 khối D lần 3 – Hùng Vương – Bình Phước.

hop

Bài 36.Cho lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ cĩ đáy ABCD là hình vuơng cạnh a, canh bên AA’ = a

Hình chiếu vuơng gĩc của A’ lên mặt phẳng (ABCD) trùng với trung điểm I của AB K

là trung điểm BC Tính thể tích khối '.A IKD và khoảng cách từ I đến mp(A’KD)

Đề thi thử đại học 2014 lần 1 – Chuyên Nguyên Quang Diêu – Đồng Tháp.

LT

Dạng 9 Tứ diện cĩ hai mặt bên là tam giác cân chung đáy

☆☆☆

Bài 37.Cho tứ diện ABCD cĩ AB = AC = a 2; BD = CD = a 3, BC = 2a Gĩc tạo bởi hai

mặt phẳng (ABC) và (BCD) bằng 45 độ Tính thể tích tứ diện ABCD và khoảng cách

từ B đến (ACD)

Đề thi thử đại học 2014 khối BD lần 2 – ĐH Vinh – Nghệ An.

Đs: 3 ( ,( ) ) 2 (khi goc 45 , bang a 6 / 3 khi goc 135 )0 0

3

LT

a

Dạng 10 Xác định tâm, tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

☆☆☆

Bài 38.Cho chĩp S.ABC cĩ SBC và ABC là các tam giác đều cạnh a Cạnh bên SA nghiêng với

đáy (ABC) gĩc 60 độ Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chĩp

Đề thi thử đại học 2014 lần 6 – Chuyên ĐHSP Hà Nội.

6

a

R =

Dạng 11 Một số bài tốn khác

☆☆☆

Bài 39.Trong mặt phẳng (P) cho hình vuơng ABCD cạnh a Trên các tia Ax, Ay vuơng gĩc với

mặt phẳng (P) lấy các điểm M, N sao cho CN = a , AM = x (0 x a< < )

1) Chứng minh BD vuơng gĩc với mp(ACMN)

2) Tìm x để thể tích khối BDMN bằng

3

4

a

Đề thi thử đại học 2014 – Chuyên Bắc Ninh.

6

a

R =

Bài 40.Cho hình trụ cĩ trục OO’ bán kính bằng a Gọi A là điểm thuộc đường trịn tâm O, A’

thuộc đường trịn tâm O’ sao cho AA’ = 2a Tính thể tích tứ diện OAA’O’

Đề thi thử đại học 2014 lần 1 – Chuyên Nguyễn Tất Thành – Yên Bái.

Đs:

3 ' '

3 12

OAA O

a