1. Trang chủ
  2. » Giáo án - Bài giảng

XÉT TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ

5 7,5K 53

Đang tải... (xem toàn văn)

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 5
Dung lượng 112,54 KB

Nội dung

XÉT TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐVấn đề 1: Xét tính liên tục của hàm số fx tại một điểm xo -B1: Tìm tập xác định của hàm số... Vấn đề 3: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ LIÊN TỤC TẠI MỘT ĐIỂM.. Phương

Trang 1

XÉT TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ

Vấn đề 1: Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại một điểm xo

-B1: Tìm tập xác định của hàm số.

-B2: Xét sự tồn tại của f(xo)

-B3: Xét sự tồn tại của

lim ( )

o

x x f x

-B4: So sánh

lim ( )

o

x x f x

và f(xo)

 Nếu hàm số có dạng

( ) nêu x x ( )

( ) nêu x = x

o o

g x

f x

h x

= 

thì tìm

lim ( ) lim ( )

x x f x x x g x

Nếu

( )o

lim ( ) f x

o

x x f x

hàm số liên tục tại xo.

Nếu

( )o lim ( ) f x

o

x x f x

hàm số gián đoạn tại xo.

 Nếu hàm số có dạng

( ) nêu x x ( )

( ) nêu x < x

o o

g x

f x

h x

= 

thì tìm

lim ( ) lim ( ) lim ( ) lim ( )

f x g x

f x h x

=



VD: Xét tính liên tục của các hàm số sau:

a)

x

x

tại x = 4 b)

f x

x

=

tại x = 0

c)

2

2

( )

nêu x < 1

f x

x

= 

tại x= 1

Giải

a) Tập xác định:

Ta có: f(4) = 8

4

Vậy hàm số f(x) liên tục tại x = 4.

b) Tập xác định:

Ta có hàm số không xác định tại x = 0 nên không tồn tại

Vậy hàm số không liên tục tại x= 0.

c) Tập xác định:

Ta có: = 1 (1)

Từ (1) và (2) ta có

1

x f x f

Vậy hàm số f(x) liên tục tại x = 1.

Trang 2

Vấn đề 2: Xét tính liên tục của hàm số f(x) trên một khoảng (một đoạn)

 Hàm số f(x) liên tục tại mọi điểm x0 (a; b) f(x) liên tục trên (a; b)

 Hàm số f(x) liên tục tại mọi điểm x0 (a; b) và

lim ( ) ( ),

x a+ f x f a

x bf x f b

f(x) liên tục trên [a; b]

VD : Xét tính liên tục của hàm số sau trên tập xác định của nó:

≤ +

>

+

=

3 1

2

3 3

6 5 )

(

2

x khi x

x khi x

x x x f

Giải Tập xác định:

- Với x >3: f(x) = 3

6 5

2

+

x

x x

là hàm phân thức hữu tỉ nên có tập xác định là do đó hàm số

6 5

2

+

x

x

x

liên tục trên ⇒ f(x) liên tục trên (3; + ∞ ) (1)

- Với x < 3: f(x) = 2x+1 là hàm số đa thức nên có tập xác định là do đó hàm số f(x)= 2x+1 liên tục trên

f(x) liên tục trên (-

;3)

- Với x = 3:

*

1 ) 2 ( lim 3

) 2 )(

3 ( lim 3

6 5 lim

) ( lim

3 3

2 3

=

+

x

x x x

x x x

f

x x

x x

*

7 ) 1 2 ( lim )

( lim

3

x x

) ( lim )

(

lim

3

x

nên hàm số đã cho không có giới hạn hữu hạn khi x

3

Do đó nó không liên tục tại x = 3.

Vấn đề 3: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ LIÊN TỤC TẠI MỘT ĐIỂM.

Phương pháp: Dùng định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm.

VD1:Tìm giá trị của tham số m để hàm số sau liên tục tại x= -1:

=

≠ +

+

=

1

1 1

1 4 3 ) (

x khi m

x khi x

x x

f

Giải.Tập xác định:

Ta có:

2

3 1 4 3

3 lim

) 1 4 3 )(

1 (

1 4 3 lim

1

1 4 3 lim

)

(

lim

1 1

1

+ +

= + + +

− +

= +

− +

=

x x

x x

f

x x

x

x

3 )

1 ( ) ( lim

x

VD2: Định a để hàm số liên tục:

2

5 nêu x > 2 ( )

ax

f x x

 −

trên R

Giải

Trang 3

Tập xác định:

- Với x >2: là hàm đa thức nên có tập xác định là do đó hàm sốliên tục trên ⇒ f(x) liên tục trên (2; + ∞ ) (1)

- Với x < 2: f(x) = x+1 là hàm số đa thức nên có tập xác định là do đó hàm số f(x) = x+1 liên tục trên

f(x) liên tục trên (-

;2) (2)

- Với x =2: f(2) = 3

2

lim ( ) lim (5 ax ) 5 4

lim ( ) lim (x + 1) 2 1 3

xf x x

Từ (1) và (2) ⇒ Hàm số f(x) liên tục trên R\{2} ⇒ (f(x) liên tục trên R ⇔ f(x) liên tục tại x = 2

lim ( ) lim ( ) (2)

x f x x f x f

1

2

Vậy a =

1

2

thì f(x) liên tục trên R

Vấn đề 4: Chứng minh phương trình có nghiệm trên đoạn [a; b]

-B1: Biến đổi để vế phải là số 0 Đặt f(x) là vế trái.

-B2: Tìm tập xác định của f(x) Chứng tỏ f(x) là hàm số liên tục trên [a; b].

-B3: Tìm 2 số c, d thuộc [a; b] (c < d) sao cho f(c).f(d)<0.

⇒ có xo∈ (c; d): f(xo) = 0.

Kết luận phương trình có nghiệm thuộc [a; b].

 Chú ý: Muốn chứng minh f(x) = 0 có 2, 3, … nghiệm trên [a; b] thì cần tìm 2, 3, …khoảng rời nhau mà trên mỗi

khoảng f(x) = 0 đều có nghiệm

o Để chứng minh phương trình có nghiệm, cần tìm hai số a và b sao cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b]

và f(a).f(b)<0.

o Nếu phương trình chứa tham số,thì chọn a và b sao cho:

+ Các giá trị f(a),f(b) không chứa tham số,hoặc chứa tham số nhưng dấu không đổi.

+ Hoặc cả f(a) và f(b) đều chứa tham số nhưng tích f(a).f(b)<0.

o Để chứng minh phương trình có ít nhất k nghiệm, cần tìm được k cặp số ai và bi sao cho các khoảng (ai;bi) rời nhau, f(ai).f(bi)<0 và hàm số y = f(x) liên tục trên tất cả các đoạn [ai;bi].

VD1: Chứng tỏ phương trình

a) 3x 4 + 4x 3 – x 2 + 2x – 1 = 3x +4 có nghiệm thuộc (-1; 3)

b) x 4 – x 2 + 4x = 2x 2 + 6 có ít nhất một nghiệm thuộc (1; 2)

Giải

a) Ta có: 3x4 + 4x3 – x2 + 2x – 1 = 3x +4 ⇔ 3x4 + 4x3 – x2 – x – 2 = 0

Đặt f(x) = 3x4 + 4x3 – x2 – x – 2

- TXĐ:

Ta có f(x) là hàm đa thức xác định với mọi x thuộc R nên f(x) liên tục trên R ⇒ f(x) liên tục trên [-1; 3]

Ta lại có: f(0) = 2 ; f(1) = 3

⇒ f(0).f(1) = - 6 < 0

⇒ f(x) có nghiệm xo ∈ (0; 1)

Vậy phương trình có nghiệm thuộc (-1;3)

b) Ta có: x4 – x2 + 4x = 2x2 + 6 ⇔ x4 – 3x2 + 4x – 6 = 0

Đặt f(x) = x4 – 3x2 + 4x – 6

- TXĐ:

Ta có f(x) là hàm đa thức xác định với mọi x thuộc R nên f(x) liên tục trên R ⇒ f(x) liên tục trên [1; 2]

Ta lại có: f(1) = - 4 ; f(2) = 6

⇒ f(1).f(2) =- 24 < 0

⇒ f(x) có nghiệm xo ∈ (1; 2)

Vậy phương trình có ít nhất 1 nghiệm thuộc (1; 2)

Trang 4

VD2: Chứng minh rằng phương trình 2x 3 – 3x 2 – 3x + 2 = 0 có 3 nghiệm phân biệt thuộc (-2; 2)

Giải: Đặt f(x) = 2x3 – 3x2 – 3x + 2

- TXĐ:

Ta có f(x) là hàm đa thức xác định với mọi x thuộc R nên f(x) liên tục trên R⇒ f(x) liên tục trên các đoạn [-2;0], [0;1], [1; 2]

Ta lại có: f(- 2) = - 19; f(0) = 3; f(1) = - 1; f(2) = 1

nên f(-2).f(0) = -57 < 0 ⇒ f(x) có nghiệm x1∈ (-2; 0)

f(0).f(1) = -3 < 0 ⇒ f(x) có nghiệm x2∈ (0; 1)

f(1).f(2) = -1 < 0 ⇒ f(x) có nghiệm x3 ∈ (1; 2)

Vậy phương trình 2x3 – 3x2 – 3x + 2= 0 có 3 nghiệm phân biệt thuộc (-2; 2)

VD3: CMR phương trình: 2x 3 - 5x 2 +x +1=0 có ít nhất hai nghiệm.

Giải: Xét hàm số f(x)= 2x3-5x2+x+1

- TXĐ:

Ta có f(x) liên tục trên R,suy ra f(x) liên tục trên các đoạn [0;1] và [1;3]

Ta lại có: f(0)=1; f(1)= -1; f(3)=13

Do đó f(0).f(1)<0 ⇒ f(x) có nghiệm x1∈ 0; 1)

f(1).f(3)<0 ⇒ f(x) có nghiệm x2∈ (1; 3)

Vậy phương trình: 2x3-5x2+x+1=0 có ít nhất hai nghiệm

VD4 Chứng minh phương trình sau có nghiệm: (m 2 - 4)(x-1) 6 + 5x 2 -7x+1=0

Giải Xét hàm số f(x)=(m2-4)(x-1)6+5x2-7x+1

Ta có f(x) liên tục trên R, suy ra f(x) liên tục trên [1;2]

Ta có f(1)= -1; f(2) = m2+3

Do đó f(1).f(2)<0

Vậy phương trình (m2-4)(x-1)6+5x2-7x+1= 0 có một nghiệm thuộc khoảng (1;2), nghĩa là có nghiệm.

BÀI TẬP

Bài 1 Phải chọn A bằng bao nhiêu để hàm số sau liên tục trên R

>

+ + +

=

3 1

.

3 3

3 4 )

(

2

x khi x A

x khi x

x x x f

Bài 2 Xét tính liên tục của hàm số sau trên tập xác định của nó.

>

+

+ +

=

1 1

1 1

2 3 )

(

2

x khi

x khi x

x x x f

Bài 3.Chứng minh rằng phương trình:

a) 2x5 +3x4 +3x2 -1= 0 có ít nhất 3 nghiệm c) 2x3 +3x2 +10x +200= 0 luôn có nghiệm

b) 4x4 +2x2 –x -28= 0 luôn có nghiệm

Bài 4 :Cho hàm số

x khi x

ax khi x

1

Tìm a để hàm số liên tục tại

x 3 =

Bài 5: Tìm m để hàm số sau liên tục tại x = –1

x khi x

mx khi x

=  +

Bài 6: Cho hàm số f(x) =

x

khi x

f x x

m khi x

 −

=  −

Xác định m để hàm số liên tục trên R

Bài 7: Xét tính liên tục của hàm số sau tại

0 3

x = :

Bài 8: Xét tính liên tục của các hàm số sau:

Trang 5

1,

2 4

2

x

voi x

f x x

voi x

= +

tại x = -2 2, f(x) =

nÕu x 3

3 x

4 nÕu x 3

tại x = 3

Bài 9: Xét tính liên tục của các hàm số sau trên TXĐ của chúng

a)



= 2 1

1 1 )

x x

f

0 ,

0 ,

=

x x

b)

( )

x > 2 2

x x

khi

f x x

x khi

 − −

= −

Bài 10: Tìm điều kiện của số thực a sao cho hàm số sau liên tục tại x0

7 3

x

khi x

với x0 = 2

Bài 11:a) CMR phương trình sau có ít nhất hai nghiệm:

3

2x −10x− =7 0

b) CMR phương trình sau có it nhất một nghiệm âm:

3 1000 0,1 0

c) CMR: Phương trình x4-3x2 + 5x – 6 = 0 có nghiệm trong khoảng (1; 2)

d) Chứng minh phương trình

x x x+ x+ =

có ít nhất một nghiệm

( )

e) Chứng minh phương trình

m xx− + x− =

luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.

Ngày đăng: 31/05/2015, 09:05

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

TÀI LIỆU CÙNG NGƯỜI DÙNG

TÀI LIỆU LIÊN QUAN

w