XÉT TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐVấn đề 1: Xét tính liên tục của hàm số fx tại một điểm xo -B1: Tìm tập xác định của hàm số... Vấn đề 3: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ LIÊN TỤC TẠI MỘT ĐIỂM.. Phương
Trang 1XÉT TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ
Vấn đề 1: Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại một điểm xo
-B1: Tìm tập xác định của hàm số.
-B2: Xét sự tồn tại của f(xo)
-B3: Xét sự tồn tại của
lim ( )
o
x x f x
→
-B4: So sánh
lim ( )
o
x x f x
→
và f(xo)
Nếu hàm số có dạng
( ) nêu x x ( )
( ) nêu x = x
o o
g x
f x
h x
≠
=
thì tìm
lim ( ) lim ( )
x x f x x x g x
• Nếu
( )o
lim ( ) f x
o
x x f x
hàm số liên tục tại xo.
• Nếu
( )o lim ( ) f x
o
x x f x
hàm số gián đoạn tại xo.
Nếu hàm số có dạng
( ) nêu x x ( )
( ) nêu x < x
o o
g x
f x
h x
≥
=
thì tìm
lim ( ) lim ( ) lim ( ) lim ( )
f x g x
f x h x
=
VD: Xét tính liên tục của các hàm số sau:
a)
x
x
tại x = 4 b)
f x
x
=
tại x = 0
c)
2
2
( )
nêu x < 1
f x
x
=
tại x= 1
Giải
a) Tập xác định:
Ta có: f(4) = 8
•
4
→
Vậy hàm số f(x) liên tục tại x = 4.
b) Tập xác định:
Ta có hàm số không xác định tại x = 0 nên không tồn tại
Vậy hàm số không liên tục tại x= 0.
c) Tập xác định:
Ta có: = 1 (1)
•
•
Từ (1) và (2) ta có
1
x f x f
Vậy hàm số f(x) liên tục tại x = 1.
Trang 2Vấn đề 2: Xét tính liên tục của hàm số f(x) trên một khoảng (một đoạn)
Hàm số f(x) liên tục tại mọi điểm x0 ∈ (a; b) ⇒ f(x) liên tục trên (a; b)
Hàm số f(x) liên tục tại mọi điểm x0 ∈ (a; b) và
lim ( ) ( ),
x a+ f x f a
x b− f x f b
⇒ f(x) liên tục trên [a; b]
VD : Xét tính liên tục của hàm số sau trên tập xác định của nó:
≤ +
>
−
+
−
=
3 1
2
3 3
6 5 )
(
2
x khi x
x khi x
x x x f
Giải Tập xác định:
- Với x >3: f(x) = 3
6 5
2
−
+
−
x
x x
là hàm phân thức hữu tỉ nên có tập xác định là do đó hàm số
6 5
2
−
+
−
x
x
x
liên tục trên ⇒ f(x) liên tục trên (3; + ∞ ) (1)
- Với x < 3: f(x) = 2x+1 là hàm số đa thức nên có tập xác định là do đó hàm số f(x)= 2x+1 liên tục trên
⇒ f(x) liên tục trên (-∞
;3)
- Với x = 3:
*
1 ) 2 ( lim 3
) 2 )(
3 ( lim 3
6 5 lim
) ( lim
3 3
2 3
−
−
−
=
−
+
−
x
x x x
x x x
f
x x
x x
*
7 ) 1 2 ( lim )
( lim
3
→
x x
Vì
) ( lim )
(
lim
3
x
nên hàm số đã cho không có giới hạn hữu hạn khi x →
3
Do đó nó không liên tục tại x = 3.
Vấn đề 3: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ LIÊN TỤC TẠI MỘT ĐIỂM.
Phương pháp: Dùng định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm.
VD1:Tìm giá trị của tham số m để hàm số sau liên tục tại x= -1:
−
=
−
≠ +
−
+
=
1
1 1
1 4 3 ) (
x khi m
x khi x
x x
f
Giải.Tập xác định:
Ta có:
2
3 1 4 3
3 lim
) 1 4 3 )(
1 (
1 4 3 lim
1
1 4 3 lim
)
(
lim
1 1
1
+ +
= + + +
− +
= +
− +
=
−
→
−
→
−
→
−
x x
x x
f
x x
x
x
3 )
1 ( ) ( lim
⇔
−
x
VD2: Định a để hàm số liên tục:
2
5 nêu x > 2 ( )
ax
f x x
−
trên R
Giải
Trang 3Tập xác định:
- Với x >2: là hàm đa thức nên có tập xác định là do đó hàm sốliên tục trên ⇒ f(x) liên tục trên (2; + ∞ ) (1)
- Với x < 2: f(x) = x+1 là hàm số đa thức nên có tập xác định là do đó hàm số f(x) = x+1 liên tục trên
⇒ f(x) liên tục trên (-∞
;2) (2)
- Với x =2: f(2) = 3
2
lim ( ) lim (5 ax ) 5 4
lim ( ) lim (x + 1) 2 1 3
x − f x x −
Từ (1) và (2) ⇒ Hàm số f(x) liên tục trên R\{2} ⇒ (f(x) liên tục trên R ⇔ f(x) liên tục tại x = 2
lim ( ) lim ( ) (2)
x f x x f x f
1
2
Vậy a =
1
2
thì f(x) liên tục trên R
Vấn đề 4: Chứng minh phương trình có nghiệm trên đoạn [a; b]
-B1: Biến đổi để vế phải là số 0 Đặt f(x) là vế trái.
-B2: Tìm tập xác định của f(x) Chứng tỏ f(x) là hàm số liên tục trên [a; b].
-B3: Tìm 2 số c, d thuộc [a; b] (c < d) sao cho f(c).f(d)<0.
⇒ có xo∈ (c; d): f(xo) = 0.
Kết luận phương trình có nghiệm thuộc [a; b].
Chú ý: Muốn chứng minh f(x) = 0 có 2, 3, … nghiệm trên [a; b] thì cần tìm 2, 3, …khoảng rời nhau mà trên mỗi
khoảng f(x) = 0 đều có nghiệm
o Để chứng minh phương trình có nghiệm, cần tìm hai số a và b sao cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b]
và f(a).f(b)<0.
o Nếu phương trình chứa tham số,thì chọn a và b sao cho:
+ Các giá trị f(a),f(b) không chứa tham số,hoặc chứa tham số nhưng dấu không đổi.
+ Hoặc cả f(a) và f(b) đều chứa tham số nhưng tích f(a).f(b)<0.
o Để chứng minh phương trình có ít nhất k nghiệm, cần tìm được k cặp số ai và bi sao cho các khoảng (ai;bi) rời nhau, f(ai).f(bi)<0 và hàm số y = f(x) liên tục trên tất cả các đoạn [ai;bi].
VD1: Chứng tỏ phương trình
a) 3x 4 + 4x 3 – x 2 + 2x – 1 = 3x +4 có nghiệm thuộc (-1; 3)
b) x 4 – x 2 + 4x = 2x 2 + 6 có ít nhất một nghiệm thuộc (1; 2)
Giải
a) Ta có: 3x4 + 4x3 – x2 + 2x – 1 = 3x +4 ⇔ 3x4 + 4x3 – x2 – x – 2 = 0
Đặt f(x) = 3x4 + 4x3 – x2 – x – 2
- TXĐ:
Ta có f(x) là hàm đa thức xác định với mọi x thuộc R nên f(x) liên tục trên R ⇒ f(x) liên tục trên [-1; 3]
Ta lại có: f(0) = 2 ; f(1) = 3
⇒ f(0).f(1) = - 6 < 0
⇒ f(x) có nghiệm xo ∈ (0; 1)
Vậy phương trình có nghiệm thuộc (-1;3)
b) Ta có: x4 – x2 + 4x = 2x2 + 6 ⇔ x4 – 3x2 + 4x – 6 = 0
Đặt f(x) = x4 – 3x2 + 4x – 6
- TXĐ:
Ta có f(x) là hàm đa thức xác định với mọi x thuộc R nên f(x) liên tục trên R ⇒ f(x) liên tục trên [1; 2]
Ta lại có: f(1) = - 4 ; f(2) = 6
⇒ f(1).f(2) =- 24 < 0
⇒ f(x) có nghiệm xo ∈ (1; 2)
Vậy phương trình có ít nhất 1 nghiệm thuộc (1; 2)
Trang 4VD2: Chứng minh rằng phương trình 2x 3 – 3x 2 – 3x + 2 = 0 có 3 nghiệm phân biệt thuộc (-2; 2)
Giải: Đặt f(x) = 2x3 – 3x2 – 3x + 2
- TXĐ:
Ta có f(x) là hàm đa thức xác định với mọi x thuộc R nên f(x) liên tục trên R⇒ f(x) liên tục trên các đoạn [-2;0], [0;1], [1; 2]
Ta lại có: f(- 2) = - 19; f(0) = 3; f(1) = - 1; f(2) = 1
nên f(-2).f(0) = -57 < 0 ⇒ f(x) có nghiệm x1∈ (-2; 0)
f(0).f(1) = -3 < 0 ⇒ f(x) có nghiệm x2∈ (0; 1)
f(1).f(2) = -1 < 0 ⇒ f(x) có nghiệm x3 ∈ (1; 2)
Vậy phương trình 2x3 – 3x2 – 3x + 2= 0 có 3 nghiệm phân biệt thuộc (-2; 2)
VD3: CMR phương trình: 2x 3 - 5x 2 +x +1=0 có ít nhất hai nghiệm.
Giải: Xét hàm số f(x)= 2x3-5x2+x+1
- TXĐ:
Ta có f(x) liên tục trên R,suy ra f(x) liên tục trên các đoạn [0;1] và [1;3]
Ta lại có: f(0)=1; f(1)= -1; f(3)=13
Do đó f(0).f(1)<0 ⇒ f(x) có nghiệm x1∈ 0; 1)
f(1).f(3)<0 ⇒ f(x) có nghiệm x2∈ (1; 3)
Vậy phương trình: 2x3-5x2+x+1=0 có ít nhất hai nghiệm
VD4 Chứng minh phương trình sau có nghiệm: (m 2 - 4)(x-1) 6 + 5x 2 -7x+1=0
Giải Xét hàm số f(x)=(m2-4)(x-1)6+5x2-7x+1
Ta có f(x) liên tục trên R, suy ra f(x) liên tục trên [1;2]
Ta có f(1)= -1; f(2) = m2+3
Do đó f(1).f(2)<0
Vậy phương trình (m2-4)(x-1)6+5x2-7x+1= 0 có một nghiệm thuộc khoảng (1;2), nghĩa là có nghiệm.
BÀI TẬP
Bài 1 Phải chọn A bằng bao nhiêu để hàm số sau liên tục trên R
−
≤
−
−
>
+ + +
=
3 1
.
3 3
3 4 )
(
2
x khi x A
x khi x
x x x f
Bài 2 Xét tính liên tục của hàm số sau trên tập xác định của nó.
−
≤
−
>
+
+ +
=
1 1
1 1
2 3 )
(
2
x khi
x khi x
x x x f
Bài 3.Chứng minh rằng phương trình:
a) 2x5 +3x4 +3x2 -1= 0 có ít nhất 3 nghiệm c) 2x3 +3x2 +10x +200= 0 luôn có nghiệm
b) 4x4 +2x2 –x -28= 0 luôn có nghiệm
Bài 4 :Cho hàm số
x khi x
ax khi x
1
Tìm a để hàm số liên tục tại
x 3 =
Bài 5: Tìm m để hàm số sau liên tục tại x = –1
x khi x
mx khi x
= +
Bài 6: Cho hàm số f(x) =
x
khi x
f x x
m khi x
−
= −
Xác định m để hàm số liên tục trên R
Bài 7: Xét tính liên tục của hàm số sau tại
0 3
x = :
Bài 8: Xét tính liên tục của các hàm số sau:
Trang 51,
2 4
2
x
voi x
f x x
voi x
= +
tại x = -2 2, f(x) =
nÕu x 3
3 x
4 nÕu x 3
tại x = 3
Bài 9: Xét tính liên tục của các hàm số sau trên TXĐ của chúng
a)
= 2 1
1 1 )
x x
f
0 ,
0 ,
=
≠
x x
b)
( )
x > 2 2
x x
khi
f x x
x khi
− −
= −
Bài 10: Tìm điều kiện của số thực a sao cho hàm số sau liên tục tại x0
7 3
x
khi x
≠
với x0 = 2
Bài 11:a) CMR phương trình sau có ít nhất hai nghiệm:
3
2x −10x− =7 0
b) CMR phương trình sau có it nhất một nghiệm âm:
3 1000 0,1 0
c) CMR: Phương trình x4-3x2 + 5x – 6 = 0 có nghiệm trong khoảng (1; 2)
d) Chứng minh phương trình
x x x+ x+ =
có ít nhất một nghiệm
( )
e) Chứng minh phương trình
m x− x− + x− =
luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.