ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ I. KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM 1. Đạo hàm của hàm số tại một điểm a. Khái niệm đạo hàm của hàm số tại một điểm. Cho hàm số y= f(x) xác định trên khoảng (a:b) và x o ∈ (a;b). • Đạo hàm của hàm số tại điểm x o, ký hiệu f’(x o ) hoặc y’(x o ). Ta có: f’(x o ) = 0 lim xx→ 0 0 )()( xx xfxf − − • Đặt ∆ x = x – x o (gọi là số gia của biến số tại điểm x o ) và ∆ y = f(x) – f(x o ) = f(x o + ∆ x) – f(x o ) (gọi là số gia của hàm số ứng với số gia ∆ x tại điểm x o ). Ta có: f’(x o ) = x y x xfxxf xx ∆ ∆ = ∆ −∆+ →∆→∆ 0 00 0 lim )()( lim Chú ý: yx ∆∆ , chỉ là những ký hiệu, không nhất thiết chỉ mang dấu dương, không được hiểu xx . ∆=∆ b. Quy tắc tính đạo hàm theo định nghĩa: Cách 1: Tính trực tiếp f’(x o ) = 0 0 )()( lim 0 xx xfxf xx − − → Cách 2: Để tính đạo hàm của hàm số f tại điểm x o , ta thực hiện 2 bước: Bước 1: Tính )()( 00 xfxxfy −∆+=∆ , ( x∆ là số gia của biến tại x o ). Bước 2: Tìm x y x ∆ ∆ →∆ 0 lim và kết luận. • Nhận xét : Nếu hàm số f(x) có đạo hàm tại x o thì f(x) liên tục tại x o . 2. Ý nghĩa hình học của đạo hàm. Ý nghĩa hình học: Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x o là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số đó tại điểm M o (x o ; f(x o )). Phương trình tiếp tuyến của đường cong. Cho đường cong (C) : y = f(x) (f(x) có đạo hàm tại điểm x o ) Tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M o (x o ;f(x o )) ∈ (C) có phương trình: )())(('))((' 000000 xfxxxfyxxxfyy +−=⇔−=− 3. Đạo hàm của hàm số trên một khoảng. a. Khái niệm: Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập J, J là một khoảng hay hợp của nhiều khoảng. * Định nghĩa: + Hàm số f gọi là có đạo hàm trên tập J nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm thuộc J. + Đạo hàm của hàm số f được ký hiệu là f’(x) hoặc y’. Chú ý: Tính đạo hàm của hàm số mà không nói rõ tính tại điểm nào, ta hiểu tính trên toàn TXĐ. * Quy tắc tính đạo hàm theo định nghĩa: Để tính đạo hàm của hàm số f. Ta thực hiện: Bước 1: Tính ).()( xfxxfy −∆+=∆ Bước 2: Tìm x y x ∆ ∆ →∆ 0 lim và kết luận: y’ = … b. Đạo hàm của một hàm số thường gặp. (C)’ = 0 (C là hằng số) (u n )’ = nn n-1 .u’ (x)’ = 1 u 1 ’ = - 2 ' u u (x ≠ 0) (x n )’ = nx n-1 (n ∈ N, n ≥ 2) x 1 ’ = - 2 1 x (x ≠ 0) ( u )’ = u u 2 ' (u > 0) ( x )’ = x2 1 (x > 0) II. CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM • (u + v)’ = u’ + v’ • (u – v)’ = u’ – v’ • (u.v)’ = u’v + uv’ • (c.u)’ = c. u’ (c là hằng số) • v u ’ = 2 '' v uvvu − (v ≠ 0) • g’ x = f’ u .u’ x Mở rộng : (u 1 ± u 2 ± … ± u n )’ = u 1 ’ ± u 2 ’ ± ± u n ’ (uvw)’ = u’vw + uv’w + uvw’; III. ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Hàm số y = tanx xác định trên mỗi khoảng ( - ) 2 ; 2 π π π π kk ++− (k ∈ Z) và hàm số y = cotx xác định trên mỗi khoảng ( πππ kk +; ) (k ∈ Z). • (sinx)’ = cosx * (sinu)’ = (cosu).u’ = u’.cosu • (cosx)’ = - sinx * (cosu)’ = (-sinu).u’ = -u’.sinu • (tanx)’ = x 2 cos 1 * (tanu)’ = u u 2 cos ' • (cotx)’ = - x 2 sin 1 * (cotu)’ = - u u 2 sin ' . ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ I. KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM 1. Đạo hàm của hàm số tại một điểm a. Khái niệm đạo hàm của hàm số tại một điểm. Cho hàm số y= f(x) xác định trên khoảng (a:b) và x o ∈ (a;b). • Đạo. hàm số y = f(x) xác định trên tập J, J là một khoảng hay hợp của nhiều khoảng. * Định nghĩa: + Hàm số f gọi là có đạo hàm trên tập J nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm thuộc J. + Đạo hàm của hàm. Ý nghĩa hình học: Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x o là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số đó tại điểm M o (x o ; f(x o )). Phương trình tiếp tuyến của đường cong. Cho đường