Đạo hàm của hàm số tại một điểm a.. Khái niệm đạo hàm của hàm số tại một điểm.. • Nhận xét : Nếu hàm số fx có đạo hàm tại xo thì fx liên tục tại xo.. Ý nghĩa hình học của đạo hàm.. Ý n
Trang 1ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ
I KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM
1 Đạo hàm của hàm số tại một điểm
a Khái niệm đạo hàm của hàm số tại một điểm.
Cho hàm số y= f(x) xác định trên khoảng (a:b) và xo ∈ (a;b).
• Đạo hàm của hàm số tại điểm xo, ký hiệu f’(xo) hoặc y’(xo) Ta có:
f’(xo) = limx→x0
0
0 ) ( ) (
x x
x f x f
−
−
• Đặt ∆x = x – xo (gọi là số gia của biến số tại điểm xo) và
∆y = f(x) – f(xo) = f(xo + ∆x) – f(xo) (gọi là số gia của hàm số ứng với số gia ∆x tại điểm xo)
Ta có: f’(xo) =
x
y x
x f x x f
x
∆
=
∆
−
∆ +
→
∆
→
0 0
lim
Chú ý: ∆x, ∆y chỉ là những ký hiệu, không nhất thiết chỉ mang dấu dương, không được hiểu ∆x= ∆ x
b Quy tắc tính đạo hàm theo định nghĩa:
Cách 1: Tính trực tiếp f’(xo) =
0
0 ) ( ) ( lim
x f x f
x
−
→
Cách 2: Để tính đạo hàm của hàm số f tại điểm xo, ta thực hiện 2 bước:
Bước 1: Tính ∆y= f(x0 + ∆x) − f(x0), (∆xlà số gia của biến tại xo)
Bước 2: Tìm
x
y
x ∆
∆
→
∆ lim 0 và kết luận
• Nhận xét : Nếu hàm số f(x) có đạo hàm tại xo thì f(x) liên tục tại xo
2 Ý nghĩa hình học của đạo hàm
Ý nghĩa hình học: Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm xo là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số đó tại điểm Mo (xo; f(xo))
Phương trình tiếp tuyến của đường cong
Cho đường cong (C) : y = f(x) (f(x) có đạo hàm tại điểm xo)
Tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm Mo(xo;f(xo)) ∈ (C) có phương trình:
y−y0 = f' (x0)(x−x0) ⇔ y= f' (x0)(x−x0) + f(x0)
Trang 23 Đạo hàm của hàm số trên một khoảng.
a Khái niệm: Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập J, J là một khoảng hay hợp của
nhiều khoảng
* Định nghĩa:
+ Hàm số f gọi là có đạo hàm trên tập J nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm thuộc J
+ Đạo hàm của hàm số f được ký hiệu là f’(x) hoặc y’
Chú ý: Tính đạo hàm của hàm số mà không nói rõ tính tại điểm nào, ta hiểu tính trên toàn TXĐ
* Quy tắc tính đạo hàm theo định nghĩa: Để tính đạo hàm của hàm số f Ta thực hiện:
Bước 1: Tính ∆y= f(x+ ∆x) − f(x).
Bước 2: Tìm
x
y
x ∆
∆
→
∆ lim 0 và kết luận: y’ = …
b Đạo hàm của một hàm số thường gặp.
(C)’ = 0 (C là hằng số) (un)’ = nnn-1.u’
(x)’ = 1
u
= - 2'
u
u
(x≠ 0) (xn)’ = nxn-1 (n ∈ N, n≥ 2)
x
1 ’
= - 12
x (x≠ 0) ( u)’ =
u
u
2
'
(u > 0) ( x)’ =
x
2
1
(x > 0)
• (u + v)’ = u’ + v’
• (u – v)’ = u’ – v’
• (u.v)’ = u’v + uv’
• (c.u)’ = c u’ (c là hằng số)
v
u ’
= ' 2 '
v
uv v
u − (v ≠ 0) • g’x = f’ u .u’ x
Mở rộng : (u1 ± u2 ± … ± un)’ = u1’ ± u2’± ±un’
(uvw)’ = u’vw + uv’w + uvw’;
III ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Hàm số y = tanx xác định trên mỗi khoảng ( - )
2
;
− (k∈ Z) và hàm số y = cotx
xác định trên mỗi khoảng (kπ ; π +kπ ) (k∈ Z).
• (sinx)’ = cosx * (sinu)’ = (cosu).u’ = u’.cosu
• (cosx)’ = - sinx * (cosu)’ = (-sinu).u’ = -u’.sinu
• (tanx)’ =
x
2 cos
1
* (tanu)’ =
u
u
2 cos '
• (cotx)’ = -
x
2 sin
1
* (cotu)’ = -
u
u
2 sin '