Những sai lầm của học sinh khi học chương ứng dụng đạo hàm vào khảo sát hàm số_SKKN toán THPT

1 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT ĐẶNG THAI MAI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NHỮNG SAI LẦM CỦA HỌC SINH KHI HỌC CHƯƠNG ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM VÀO KHẢO SÁT HÀM SỐ. Người thực hiện: Nguyễn Ngọc sơn Chức vụ: Giáo viên Đơn vị công tác: Trường THPT ĐẶNG THAI MAI SKKN thuộc lĩnh mực (môn): Toán THANH HOÁ NĂM 2013 PHẦN 1: MỞ ĐẦU I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI. Trong chương trình giải tích 12, nội dung ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số có một vị trí đặc biệt quan trọng, chiếm hầu hết số tiết có trong chương trình. Là một công cụ rất "mạnh" để giải quyết hầu hết những bài toán trong các đề thi tốt nghiệp Trung học phổ thông cũng như trong các đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng. Ưu điểm của phương pháp này là rất hiệu quả và dễ sử dụng khi giải toán liên quan đến khảo sát hàm số. Trong quá trình giảng dạy năm học 2011-2012 tôi nhận thấy các em học sinh hay gặp khó khăn khi giải các bài toán liên quan đến việc vận dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số. Các em thường mắc những sai lầm mà các em sẽ không tự mình khắc phục được nếu không có sự hướng dẫn của người thầy. Chẳng hạn, với bài tập Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số sau đạt cực đại tại 1x = . ( ) ( ) 3 2 2 1 1 1 3 f x x mx m m x= − + − + + Đa số các em khi giải thường mắc sai lầm sau: +) Tập xác định: D R= +) Ta có: ( ) 2 2 2 1f x x mx m m ′ = − + − + và ( ) 2 2f x x m ′′ = − +) Điều kiện để hàm số đạt cực đại tại 1x = là: ( ) ( ) 1 0 1 0 f f ′ =  ⇔  ′′ <   2 3 2 0 2 2 2 0 m m m m  − + = ⇒ =  − <  +) Vậy để hàm số đạt cực đại tại 1x = thì 2m = . 2 Sai lầm ở đây là : nếu ( ) ( ) 1 0 1 0 f f ′ =   ′′ <   thì hàm số đạt cực đại tại 1x = . Điều ngược lại nói chung không đúng. Vì vậy kết luận trên chưa hẳn đã chính xác. Đây chỉ là một sai lầm trong số rất nhiều sai lầm mà học sinh thường mắc phải, việc khắc phục những sai lầm này trong kỳ ôn thi tốt nghiệp năm học 2011-2012 diễn ra mất rất nhiều thời gian. Sang năm học 2012-2013 này, nhằm giúp học sinh nắm chắc các kiến thức về đạo hàm, có kỹ năng ứng dụng đạo hàm để giải các bài toán liên quan đến khảo sát hàm số, tôi đã đầu tư thời gian để phân tích kỹ những sai lầm mà học sinh thường gặp và trong kỳ ôn thi tốt nghiệp vừa qua những vấn đề tồn tại của năm học trước được khắc phục một cách có hiệu quả. Vì vậy tôi viết sáng kiến kinh nghiệm " NHỮNG SAI LẦM CỦA HỌC SINH KHI HỌC CHƯƠNG ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM VÀO KHẢO SÁT HÀM SỐ" với hy vọng giúp các em học sinh học tập tốt hơn và các giáo viên dạy môn toán có một kinh nghiệm bổ ích. II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU. 1. Chỉ ra cho học sinh thấy những sai lầm thường mắc phải. Qua đó, học sinh hiểu đúng bản chất của vấn đề. 2. Bồi dưỡng cho học sinh về phương pháp, kỹ năng giải toán. Qua đó học sinh nâng cao khả năng tư duy, sáng tạo. III. NHIỆM VỤ VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU. 1. Về nhiệm vụ: Đánh giá thực tế quá trình vận dụng giải bài tập toán lên quan đến việc ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số, các bài toán liên quan để có được bài giải toán hoàn chỉnh và chính xác. 2. Về phương pháp: 3 - Phương pháp điều tra. - Phương pháp đối chứng. - Phương pháp nghiên cứu tài liệu. IV. PHẠM VI NGHIÊN CỨU. - Các bài toán liên quan đến đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số - chương I, giải tích lớp 12 . PHẦN 2: NỘI DUNG 4 CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI Học sinh cần nắm được một số vấn đề sau đây (liên quan đến nội dung và phạm vi nghiên cứu của đề tài) 1. Định nghĩa về tính đơn điệu của hàm số. 2. Tính chất của các hàm số đồng biến, nghịch biến. 3. Công thức tính đạo hàm. 4. Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số của hàm số . 5. Quy tắc tìm điểm cực trị của hàm số. 6. Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số trên miền D. 7. Về phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y = f(x). CHƯƠNG II: THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI Trong thực tế, khi học sinh học ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị thường gặp phải những khó khăn sau: 1. Không nắm vững định nghĩa về tính đơn điệu của hàm số trên một khoảng, không hiểu chính xác về định nghĩa điểm tới hạn của hàm số. 2. Không nắm vững điều kiện để hàm số đơn điệu trên một khoảng. 3. Không nắm vững điều kiện để hàm số đạt cực trị tại một điểm x 0 . 4. Không nắm vững định nghĩa về giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số trên một miền D. 5. Không nắm vững bản chất sự khác nhau giữa tiếp tuyến tại một điểm thuộc đồ thị số với tiếp tuyến kẻ từ một điểm đến đồ thị hàm số đã cho. CHƯƠNG III: BIỆN PHÁP THỰC HIỆN VÀ KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI I. BIỆN PHÁP THỰC HIỆN. 5 Để khắc phục những khó khăn mà học sinh thường gặp phải, khi nghiên cứu đề tài tôi đã đưa ra các biện pháp như sau: 1. Bổ sung, hệ thống những kiến thức cơ bản mà học sinh thiếu hụt - Phân tích, mổ xẻ các khái niệm, định nghĩa, định lí để học sinh nắm được bản chất của các khái niệm, định nghĩa, định lí đó. - Đưa ra các ví dụ, phản ví dụ minh họa cho các khái niệm, định nghĩa, định lí. - So sánh giữa các khái niệm, các quy tắc để học sinh thấy được sự giống và khác nhau giữa chúng. - Chỉ ra các sai lầm mà học sinh dễ mắc phải. 2. Rèn luyện cho học sinh về mặt tư duy, kĩ năng, phương pháp. - Thao tác tư duy: phân tích, so sánh, - Kỹ năng: lập luận vấn đề, chọn phương án phù hợp để giải quyết vấn đề. - Phương pháp: phương pháp giải toán. 3. Đổi mới phương pháp dạy học ( lấy học sinh làm trung tâm ) - Sử dụng phương pháp dạy học phù hợp với hoàn cảnh thực tế. - Tạo hứng thú, đam mê, yêu thích môn học cho học sinh. - Sử dụng phương tiện dạy học, thiết bị dạy học nhằm làm cho bài giảng sinh động hơn, bớt khô khan và học sinh không cảm thấy nhàm chán. Chẳng hạn sử dụng bảng phụ, phiếu học tập, nếu có điều kiện thì sử dụng giáo án điện tử kết hợp với việc trình chiếu đồ thị hàm số, các hình vẽ, hình động liên quan trực tiếp tới bài giảng. II. NGHIÊN CỨU THỰC TẾ. 1. Sai lầm khi xét tính đơn điệu của hàm số 6  Các em thường mắc phải sai lầm khi không nắm vững định nghĩa về tính đơn điệu của hàm số. Ví dụ minh họa 1: Xét tính đơn điệu của hàm số ( ) 1 1 x f x x − = + Một số học sinh trình bày như sau: +) Tập xác định: { } \ 1D = ¡ +) Ta có: ( ) ( ) 2 2 0, 1 f x x D x ′ = > ∀ ∈ + +) Bảng biến thiên: +) Hàm số đồng biến trên ( ) ( ) ;1 1;−∞ ∪ +∞ Phân tích: Lời giải trên có vẻ như đúng rồi, nếu ta không chú ý đến kết luận của bài toán. Chú ý rằng: nếu hàm số ( ) y f x= đồng biến trên tập D thì với mọi 1 2 ,x x D∈ ta có ( ) ( ) 1 2 1 2 x x f x f x< ⇒ < . Trong kết luận của bài toán, nếu ta lấy 1 2x D= − ∈ và 2 2x D= ∈ thì 1 2 x x< nhưng ( ) 1 3f x = và ( ) 2 1 3 f x = Lời giải đúng: Qua phân tích ta thấy để có lời giải đúng thì ta phải kết luận: Hàm số đồng biến trên từng khoảng ( ) ;1−∞ và ( ) 1;+∞ . 7  Nhiều khi các em không chú ý đến các điểm tới hạn của hàm số, vì vậy việc xét dấu của đạo hàm y' sẽ bị sai. Ví dụ minh họa 2: Xét tính đơn điệu của hàm số ( ) 2 1 4f x x x= − + − Một số học sinh trình bày như sau: +) Tập xác định: [ ] 2;2D = − +) Ta có: ( ) 2 1 4 x f x x ′ = − − Cho ( ) 2 2 2 2 0 1 0 4 4 2 4 x f x x x x x x x ′ = ⇔ − = ⇔ − = ⇔ − = ⇒ = ± − +) Bảng biến thiên +) Hàm số đồng biến trên khoảng ( 2; 2)- và nghịch biến trên các khoảng ( 2; 2)- - và ( 2;2) . Phân tích: Nếu để ý ở bảng biến thiên ta thấy ngay một điều vô lý là trên đoạn [ ] 2;2− giá trị của hàm số giảm từ -3 xuống - 1 ??? . Thực ra ở đây - 2 không phải là điểm tới hạn của hàm số. Mặt khác , đạo hàm không xác định tại 2x = ± Lời giải đúng là: +) Tập xác định: [ ] 2;2D = − +) Ta có: ( ) 2 1 4 x f x x ′ = − − Đạo hàm không xác định tại 2x = ± 8 Cho ( ) 2 2 2 2 0 0 1 0 4 2 4 4 x x f x x x x x x x ≥  ′ = ⇔ − = ⇔ − = ⇔ ⇒ =  − = −  +) Bảng biến thiên +) Hàm số đồng biến trên nửa khoảng ) 2; 2  −  và nghịch biến trên nửa khoảng ( 2;2   2. Sai lầm khi chứng minh bất đẳng thức  Khi sử dụng tính đơn điệu của hàm số để chứng minh bất đẳng thức, học sinh thường mắc phải sai lầm là không nhớ chính xác định nghĩa tính đơn điệu của hàm số để vận dụng. Ví dụ minh họa 3: (Bài tập 5, trang 10, sách giáo khoa giải tích 12 - ban cơ bản). Chứng minh rằng: tan x x> , với 0; 2 x π   ∈  ÷   Một số học sinh trình bày như sau: +) Xét hàm số ( ) tanf x x x= − , với 0; 2 x π   ∈  ÷   . +) Ta có: ( ) 2 2 1 1 tan 0, 0; cos 2 f x x x x π   ′ = − = > ∀ ∈  ÷   , suy ra hàm số ( ) f x đồng biến trên khoảng 0; 2 π    ÷   . +) Từ ( ) ( ) 0 0x f x f> ⇒ > hay tan 0 tan , 0; 2 x x x x x π   − > ⇔ > ∀ ∈  ÷   9 Phân tích: Lời giải trên có vẻ đúng, nhưng sai lầm ở đây khá tinh vi (?!). Sau khi kết luận ( ) f x đồng biến trên khoảng 0; 2 π    ÷   thì vì sao từ ( ) ( ) 0 0x f x f> ⇒ > ? Sai lầm ở đây là 0 0; 2 π   ∉  ÷   . Nhớ rằng: nếu ( ) f x đồng biến trên đoạn [ ] ;a b (tức là ( ) f x liên tục trên [ ] ;a b và ( ) ( ) , ;f x x a b ′ > ∀ ∈ ) thì [ ] ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 , ; :x x a b x x f x f x∀ ∈ > ⇒ > Lời giải đúng là: +) Xét hàm số ( ) tanf x x x= − , với 0; 2 x π   ∈ ÷    . +) Ta có: ( ) 2 2 1 1 tan 0, 0; cos 2 f x x x x π   ′ = − = ≥ ∀ ∈ ÷    , dấu “=” chỉ sảy ra tại 0x = suy ra hàm số ( ) f x đồng biến trên khoảng 0; 2 π   ÷    . +) Khi đó 0; 2 x π   ∀ ∈  ÷   thì ( ) ( ) 0 0x f x f> ⇒ > hay tan 0 tanx x x x− > ⇔ >  Các em cũng hay mắc những sai lầm khi vận dụng sai tính chất của các hàm đồng biến, nghịch biến. Ví dụ minh họa 4: Chứng minh rằng nếu với , 1x x∀ ∈ > −¡ thì 1 . x x e e > − . Một số học sinh trình bày như sau: Xét các hàm số ( ) f x x= và ( ) x g x e= là các hàm đồng biến trên ¡ . Suy ra hàm số ( ) x h x xe= là tích của hai hàm đồng biến nên cũng đồng biến trên ¡ . Vì vậy , từ ( ) ( ) 1 1x h x h> − ⇒ > − hay 1 x xe e > − . Phân tích: 10 [...]... 06 3 Sai lầm khi giải các bài toán liên quan tới đạo hàm 4 Sai lầm khi giải các bài toán liên quan tới cực trị của hàm số 5 Sai lầm khi giải bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm 25 08 09 13 số 14 6 Sai lầm khi viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 15 7 Bài tập tương tự III KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU 16 1 Các bài tập khảo sát: 2 Kết quả khảo việc giải các bài tập trên trong năm học. .. được những sai lầm tương tự; bồi dưỡng thêm về mặt tư duy 23 Trước hết, đề tài này nhằm cung cấp cho các thầy cô giáo và các em học sinh như một tài liệu tham khảo Với lượng kiến thức nhất định về đạo hàm và các ứng dụng của đạo hàm, với những kiến thức liên quan, người học sẽ có cái nhìn sâu sắc hơn về những sai lầm thường mắc phải khi giải toán Đồng thời, qua những sai lầm ấy mà rút ra cho mình những. .. kinh nghiệm và phương pháp giải toán cho riêng mình ; người học có thể quay trở lại để kiểm chứng những lí thuyết đã được trang bị để làm toán Từ đó thấy được sự lôgic của toán học nói chung và của chương ứng dụng đạo hàm nói riêng, thấy được rằng đạo hàm là một công cụ rất "mạnh" để giải quyết rất nhiều bài toán ; hơn nữa, những bài toán được giải bằng công cụ đạo hàm thì lời giải cũng tỏ ra ngắn... lượng Phần trăm Không giải được 3 7% Giải sai phương pháp 5 11 % Giải đúng phương pháp 38 82 % Như vậy, bước đầu đề tài đã khắc phục được cơ bản những sai lầm của học sinh thường mắc phải khi giải các bài tập toán liên quan đến việc ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số, các bài toán liên quan ; đề tài đã góp phần nâng cao chất lượng học tập của học sinh và đem lại hiệu quả rõ rệt Trong thời... THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI CHƯƠNG III: BIỆN PHÁP THỰC HIỆN VÀ KẾT QUẢ 03 03 NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI I BIỆN PHÁP THỰC HIỆN 1 Bổ sung, hệ thống những kiến thức cơ bản mà học sinh thiếu hụt 03 2 Rèn luyện cho học sinh về mặt tư duy, kĩ năng, phương pháp 04 3 Đổi mới phương pháp dạy học ( lấy học sinh làm trung tâm ) II NGHIÊN CỨU THỰC TẾ 04 1 Sai lầm khi xét tính đơn điệu của hàm số 04 2 Sai lầm khi chứng minh... trước một bài toán đặt ra và không mắc phải những sai lầm thường gặp Trong khuôn khổ của bài viết này, tôi không có tham vọng sẽ phân tích được hết những sai lầm của học sinh và cũng sẽ không tránh khỏi những sai sót Vì vậy, tôi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của Hội đồng khoa học trường Trung học phổ thông Đặng Thai Mai, của Hội đồng khoa học Sở Giáo dục và Đào tạo Thanh Hóa và của quý thầy... các bài toán liên quan tới đạo hàm  Sai lầm khi vận dụng các công thức tính đạo hàm Tính đạo hàm của hàm số f ( x ) = ( 2 x + 1) x Ví dụ minh họa 5: Một số học sinh trình bày như sau: Ta có f ′ ( x ) = x ( 2 x + 1) x −1 ( 2 x + 1) ′ = 2 x ( 2 x + 1) x −1 Phân tích: Lời giải trên đã vận dụng công thức ( uα ) ′ = α uα −1u′ Vận dụng như vậy là sai, vì công thức này chỉ áp dụng cho số mũ α là một hằng... với m = 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 5 Sai lầm khi giải bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số  Các em thường mắc sai lầm khi không nắm vững định nghĩa giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số trên một miền D Ví dụ minh họa 10: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x ) = cos 2 x + 1 1   + 2  cos x + ÷− 1 2 cos x cos x   Một số học sinh trình bày... dung này học sinh sẽ được tiếp cận thêm khi có cơ hội học sâu hơn (chủ yếu ở bậc Đại học) Ở cấp độ trường trung học phổ thông Đặng Thai Mai, đề tài có thể áp dụng để cải thiện phần nào chất lượng bộ môn, củng cố phương pháp giải toán, góp phần nâng cao chất lượng dạy và học ; giúp học sinh hiểu rõ hơn bản chất của các khái niệm, định nghĩa, định lí cũng như những kiến thức liên quan đã được học, giúp... thu hoạch được khi khảo sát tình hình giải bài tập toán ở 2 lớp 12C1, 12C2 năm học 2011-2012 và ở 2 lớp 12C3, 12C9 năm học 2012-2013 như sau: 1 Các bài tập khảo sát: Bài số 1: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = x 3 − mx 2 + ( m 2 − 24 ) x + 4 đạt cực tiểu tại x = 2 Bài số 2: Xét tính đơn điệu của hàm số y = x+2 1− 2x 2 Kết quả khảo việc giải các bài tập trên trong năm học 2011-2012 . GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT ĐẶNG THAI MAI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NHỮNG SAI LẦM CỦA HỌC SINH KHI HỌC CHƯƠNG ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM VÀO KHẢO SÁT HÀM SỐ. Người thực hiện: Nguyễn Ngọc sơn Chức. nhất của hàm số trên miền D. 7. Về phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y = f(x). CHƯƠNG II: THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI Trong thực tế, khi học sinh học ứng dụng đạo hàm để khảo sát và. qua những vấn đề tồn tại của năm học trước được khắc phục một cách có hiệu quả. Vì vậy tôi viết sáng kiến kinh nghiệm " NHỮNG SAI LẦM CỦA HỌC SINH KHI HỌC CHƯƠNG ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM VÀO KHẢO