bài tập toán A1

Bài tập toán cao cấp Tập 1 Nguyễn Thủy Thanh NXB Đại học quốc gia Hà Nội 2006, 276 Tr. Từ khoá: Số phức, Đa thức và hàm hữu tỷ, Ma Trận, Định thức, Hệ phương trình tuyến tính, Không gian Euclide, Dạng toàn phương. Tài liệu trong Thư viện điện tử ĐH Khoa học Tự nhiên có thể sử dụng cho mục đích học tập và nghiên cứu cá nhân. Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép, in ấn phục vụ các mục đích khác nếu không được sự chấp thuận của nhà xuất bản và tác giả. NGUY ˆ E ˜ N THUY ’ THANH B ` AI T ˆ A . P TO ´ AN CAO C ˆ A ´ P Tˆa . p1 D a . isˆo ´ tuyˆe ´ n t´ınh v`a H`ınh ho . c gia ’ it´ıch NH ` AXU ˆ A ´ TBA ’ NDA . IHO . CQU ˆ O ´ C GIA H ` AN ˆ O . I H`a Nˆo . i – 2006 Mu . clu . c L`o . in´oidˆa ` u 4 1Sˆo ´ ph´u . c6 1.1 D - i . nh ngh˜ıa sˆo ´ ph´u . c 6 1.2 Da . ng d a . isˆo ´ cu ’ asˆo ´ ph´u . c 8 1.3 Biˆe ’ udiˆe ˜ n h`ınh ho . c. Mˆod un v`a acgumen . . . . . . . . 13 1.4 Biˆe ’ udiˆe ˜ nsˆo ´ ph´u . cdu . ´o . ida . ng lu . o . . ng gi´ac . . . . . . . . 23 2D - ath´u . c v`a h`am h˜u . uty ’ 44 2.1 D - ath´u . c 44 2.1.1 D - ath´u . c trˆen tru . `o . ng sˆo ´ ph´u . c C 45 2.1.2 D - ath´u . c trˆen tru . `o . ng sˆo ´ thu . . c R 46 2.2 Phˆan th´u . ch˜u . uty ’ 55 3 Ma trˆa . n. D - i . nh th ´u . c66 3.1 Ma trˆa . n 67 3.1.1 D - i . nh ngh˜ıa ma trˆa . n 67 3.1.2 C´ac ph´ep to´an tuyˆe ´ n t´ınh trˆen ma trˆa . n 69 3.1.3 Ph´ep nhˆan c´ac ma trˆa . n 71 3.1.4 Ph´ep chuyˆe ’ nvi . ma trˆa . n 72 3.2 D - i . nh th ´u . c 85 3.2.1 Nghi . ch thˆe ´ 85 3.2.2 D - i . nh th ´u . c 85 3.2.3 T´ınh chˆa ´ tcu ’ ad i . nh th ´u . c 88 2MU . CLU . C 3.2.4 Phu . o . ng ph´ap t´ınh d i . nh th ´u . c 89 3.3 Ha . ng cu ’ a ma trˆa . n 109 3.3.1 D - i . nhngh˜ıa 109 3.3.2 Phu . o . ng ph´ap t`ım ha . ng cu ’ a ma trˆa . n 109 3.4 Ma trˆa . n nghi . ch d a ’ o 118 3.4.1 D - i . nhngh˜ıa 118 3.4.2 Phu . o . ng ph´ap t`ım ma trˆa . n nghi . ch da ’ o 119 4Hˆe . phu . o . ng tr`ınh tuyˆe ´ nt´ınh 132 4.1 Hˆe . n phu . o . ng tr`ınh v´o . i n ˆa ’ nc´odi . nh th´u . c kh´ac 0 . . . . 132 4.1.1 Phu . o . ng ph´ap ma trˆa . n 133 4.1.2 Phu . o . ng ph´ap Cramer . . . . . . . . . . . . . . 134 4.1.3 Phu . o . ng ph´ap Gauss . . . . . . . . . . . . . . . 134 4.2 Hˆe . t`uy ´y c´ac phu . o . ng tr`ınh tuyˆe ´ n t´ınh . . . . . . . . . . 143 4.3 Hˆe . phu . o . ng tr`ınh tuyˆe ´ n t´ınh thuˆa ` n nhˆa ´ t 165 5 Khˆong gian Euclide R n 177 5.1 D - i . nh ngh˜ıa khˆong gian n-chiˆe ` u v`a mˆo . tsˆo ´ kh´ai niˆe . mco . ba ’ nvˆe ` vecto . 177 5.2 Co . so . ’ .D - ˆo ’ ico . so . ’ 188 5.3 Khˆong gian vecto . Euclid. Co . so . ’ tru . . cchuˆa ’ n 201 5.4 Ph´ep biˆe ´ nd ˆo ’ i tuyˆe ´ nt´ınh 213 5.4.1 D - i . nhngh˜ıa 213 5.4.2 Ma trˆa . ncu ’ a ph´ep bdtt . . . . . . . . . . . . . . 213 5.4.3 C´ac ph´ep to´an . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 5.4.4 Vecto . riˆeng v`a gi´a tri . riˆeng . . . . . . . . . . . . 216 6Da . ng to`an phu . o . ng v`a ´u . ng du . ng d ˆe ’ nhˆa . nda . ng du . `o . ng v`a m˘a . tbˆa . c hai 236 6.1 Da . ng to`an phu . o . ng 236 6.1.1 Phu . o . ng ph´ap Lagrange . . . . . . . . . . . . . . 237 6.1.2 Phu . o . ng ph´ap Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . 241 MU . CLU . C3 6.1.3 Phu . o . ng ph´ap biˆe ´ nd ˆo ’ i tru . . c giao . . . . . . . . . 244 6.2 D - u . aphu . o . ng tr`ınh tˆo ’ ng qu´at cu ’ ad u . `o . ng bˆa . c hai v`a m˘a . t bˆa . c hai vˆe ` da . ng ch´ınh t˘a ´ c 263 L`o . i n´oi d ˆa ` u Gi´ao tr`ınh B`ai tˆa . p to´an cao cˆa ´ p n`ay du . o . . c biˆen soa . n theo Chu . o . ng tr`ınh To´an cao cˆa ´ p cho sinh viˆen c´ac ng`anh Khoa ho . cTu . . nhiˆen cu ’ a D a . iho . c Quˆo ´ c gia H`a Nˆo . iv`ad˜a d u . o . . cD a . iho . c Quˆo ´ c gia H`a Nˆo . i thˆong qua v`a ban h`anh. Mu . cd ´ıch cu ’ a gi´ao tr`ınh l`a gi´up d˜o . sinh viˆen c´ac ng`anh Khoa ho . c Tu . . nhiˆen n˘a ´ mv˜u . ng v`a vˆa . ndu . ng du . o . . c c´ac phu . o . ng ph´ap gia ’ i to´an cao cˆa ´ p. Mu . c tiˆeu n`ay quyˆe ´ tdi . nh to`an bˆo . cˆa ´ utr´uc cu ’ a gi´ao tr`ınh. Trong mˆo ˜ imu . c, d ˆa ` u tiˆen ch´ung tˆoi tr`ınh b`ay t´om t˘a ´ tnh˜u . ng co . so . ’ l´y thuyˆe ´ t v`a liˆe . tkˆenh˜u . ng cˆong th´u . ccˆa ` n thiˆe ´ t. Tiˆe ´ pd´o, trong phˆa ` n C´ac v´ı du . ch´ung tˆoi quan tˆam d˘a . cbiˆe . tt´o . iviˆe . c gia ’ i c´ac b`ai to´an mˆa ˜ ub˘a ` ng c´ach vˆa . ndu . ng c´ac kiˆe ´ nth´u . cl´y thuyˆe ´ td˜a tr`ınh b`ay. Sau c`ung, l`a phˆa ` n B`ai tˆa . p.O . ’ d ˆay, c´ac b`ai tˆa . pdu . o . . cgˆo . p th`anh t`u . ng nh´om theo t`u . ng chu ’ d ˆe ` v`a d u . o . . cs˘a ´ pxˆe ´ p theo th´u . tu . . t˘ang dˆa ` nvˆe ` dˆo . kh´o v`a mˆo ˜ i nh´om dˆe ` u c´o nh˜u . ng chı ’ dˆa ˜ nvˆe ` phu . o . ng ph´ap gia ’ i. Ch´ung tˆoi hy vo . ng r˘a ` ng viˆe . c l`am quen v´o . il`o . i gia ’ i chi tiˆe ´ t trong phˆa ` n C´ac v´ı du . s˜e gi´up ngu . `o . iho . c n˘a ´ md u . o . . c c´ac phu . o . ng ph´ap gia ’ i to´an co . ba ’ n. Gi´ao tr`ınh B`ai tˆa . p n`ay c´o thˆe ’ su . ’ du . ng du . ´o . isu . . hu . ´o . ng dˆa ˜ ncu ’ a gi´ao viˆen ho˘a . ctu . . m`ınh nghiˆen c´u . u v`ı c´ac b`ai tˆa . pdˆe ` uc´od´ap sˆo ´ ,mˆo . t sˆo ´ c´o chı ’ dˆa ˜ n v`a tru . ´o . c khi gia ’ i c´ac b`ai tˆa . pn`ayd˜a c´o phˆa ` n C´ac v´ı du . tr`ınh b`ay nh ˜u . ng chı ’ dˆa ˜ nvˆe ` m˘a . tphu . o . ng ph´ap gia ’ i to´an. T´ac gia ’ gi´ao tr`ınh chˆan th`anh ca ’ mo . n c´ac thˆa ` y gi´ao: TS. Lˆe D `ınh Ph `ung v`a PGS. TS. Nguyˆe ˜ n Minh Tuˆa ´ nd˜ado . ck˜yba ’ n tha ’ ov`ad´ong Co . so . ’ l´y thuyˆe ´ t h`am biˆe ´ nph´u . c5 g´op nhiˆe ` u´ykiˆe ´ n qu´y b´au vˆe ` cˆa ´ utr´uc v`a nˆo . i dung v`a d˜a g´op ´y cho t´ac gia ’ vˆe ` nh˜u . ng thiˆe ´ u s´ot cu ’ aba ’ n tha ’ o gi´ao tr`ınh. M´o . i xuˆa ´ tba ’ nlˆa ` ndˆa ` u, Gi´ao tr`ınh kh´o tr´anh kho ’ i sai s´ot. Ch´ung tˆoi rˆa ´ t chˆan th`anh mong du . o . . cba . ndo . c vui l`ong chı ’ ba ’ o cho nh˜u . ng thiˆe ´ u s´ot cu ’ a cuˆo ´ n s´ach dˆe ’ gi´ao tr`ınh ng`ay du . o . . c ho`an thiˆe . nho . n. H`a Nˆo . i, M `ua thu 2004 T´ac gia ’ Chu . o . ng 1 Sˆo ´ ph´u . c 1.1 D - i . nh ngh˜ıa sˆo ´ ph´u . c 6 1.2 Da . ng d a . isˆo ´ cu ’ asˆo ´ ph´u . c 8 1.3 Biˆe ’ udiˆe ˜ n h`ınh ho . c. Mˆod un v`a acgumen . 13 1.4 Biˆe ’ udiˆe ˜ nsˆo ´ ph´u . cdu . ´o . ida . ng lu . o . . ng gi´ac . 23 1.1 D - i . nh ngh˜ıa sˆo ´ ph´u . c Mˆo ˜ ic˘a . psˆo ´ thu . . c c´o th ´u . tu . . (a; b) ∀a ∈ R, ∀b ∈ R du . o . . cgo . i l`a mˆo . tsˆo ´ ph´u . cnˆe ´ u trˆen tˆa . pho . . p c´ac c˘a . pd´o quan hˆe . b˘a ` ng nhau, ph´ep cˆo . ng v`a ph´ep nhˆan du . o . . cdu . a v`ao theo c´ac di . nh ngh˜ıa sau dˆay: (I) Quan hˆe . b˘a ` ng nhau (a 1 ,b 1 )=(a 2 ,b 2 ) ⇐⇒    a 1 = a 2 , b 1 = b 2 . (I I) Ph´ep cˆo . ng 1.1. D - i . nh ngh˜ıa sˆo ´ ph´u . c 7 (a 1 ,b 1 )+(a 2 ,b 2 ) def =(a 1 + a 2 ,b 1 + b 2 ). 1 (I II) Ph´ep nhˆan (a 1 ,b 1 )(a 2 ,b 2 ) def =(a 1 a 2 − b 1 b 2 ,a 1 b 2 + a 2 b 1 ). Tˆa . pho . . psˆo ´ ph´u . cdu . o . . ck´yhiˆe . ul`aC. Ph´ep cˆo . ng (II) v`a ph´ep nhˆan (I II) trong C c´o t´ınh chˆa ´ t giao ho´an, kˆe ´ tho . . p, liˆen hˆe . v´o . i nhau bo . ’ i luˆa . t phˆan bˆo ´ v`a mo . i phˆa ` ntu . ’ =(0, 0) dˆe ` u c´o phˆa ` ntu . ’ nghi . ch d a ’ o. Tˆa . pho . . p C lˆa . p th`anh mˆo . t tru . `o . ng (go . i l`a tru . `o . ng sˆo ´ ph´u . c) v´o . i phˆa ` n tu . ’ khˆong l`a c˘a . p (0; 0) v`a phˆa ` ntu . ’ d o . nvi . l`a c˘a . p (1; 0). ´ Ap du . ng quy t˘a ´ c (II I) ta c´o: (0; 1)(0; 1) = (−1, 0). Nˆe ´ uk´yhiˆe . u i =(0,1) th`ı i 2 = −1 Dˆo ´ iv´o . i c´ac c˘a . pda . ng d ˘a . cbiˆe . t(a, 0), ∀a ∈ R theo (II) v`a (III) ta c´o (a, 0) + (b, 0)=(a + b, 0), (a, 0)(b, 0) = (ab, 0). T`u . d´ovˆe ` m˘a . tda . isˆo ´ c´ac c˘a . pda . ng (a, 0), a ∈ R khˆong c´o g`ı kh´ac biˆe . t v´o . isˆo ´ thu . . c R:v`ıch´ung du . o . . ccˆo . ng v`a nhˆan nhu . nh˜u . ng sˆo ´ thu . . c. Do vˆa . y ta c´o thˆe ’ dˆo ` ng nhˆa ´ t c´ac c˘a . pda . ng (a; 0) v´o . isˆo ´ thu . . c a: (a;0)≡ a ∀a ∈ R. D ˘a . cbiˆe . t l`a (0; 0) ≡ 0; (1; 0) ≡ 1. Dˆo ´ iv´o . isˆo ´ ph´u . c z =(a, b): 1 + Sˆo ´ thu . . c a d u . o . . cgo . i l`a phˆa ` n thu . . c a =Rez,sˆo ´ thu . . c b go . i l`a phˆa ` n a ’ ov`ak´yhiˆe . ul`ab =Imz. 2 + Sˆo ´ ph´u . c z =(a, −b)go . il`asˆo ´ ph´u . c liˆen ho . . pv´o . isˆo ´ ph´u . c z 1 def. l`a c´ach viˆe ´ tt˘a ´ tcu ’ at`u . tiˆe ´ ng Anh definition (di . nh ngh˜ıa) 8Chu . o . ng 1. Sˆo ´ ph´u . c 1.2 Da . ng da . isˆo ´ cu ’ asˆo ´ ph´u . c Mo . isˆo ´ ph´u . c z =(a; b) ∈ C d ˆe ` u c´o thˆe ’ viˆe ´ tdu . ´o . ida . ng z = a + ib. (1.1) Thˆa . tvˆa . y, z =(a, b)=(a, 0) + (0,b)=(a, 0) + (0, 1)(b, 0) = a + ib Biˆe ’ uth´u . c (1.1) go . i l`a da . ng d a . isˆo ´ cu ’ asˆo ´ ph´u . c z =(a, b). T`u . (1.1) v`a d i . nh ngh˜ıa sˆo ´ ph´u . c liˆen ho . . p ta c´o z = a −ib. Du . ´o . ida . ng d a . isˆo ´ c´ac ph´ep t´ınh trˆen tˆa . pho . . psˆo ´ ph´u . cd u . o . . c thu . . c hiˆe . n theo c´ac quy t˘a ´ c sau. Gia ’ su . ’ z 1 = a 1 + ib 1 , z 2 = a 2 + ib 2 . Khi d´o (I) Ph´ep cˆo . ng: z 1 ± z 2 =(a 1 ± a 2 )+i(b 1 ±b 2 ). (I I) Ph´ep nhˆan: z 1 z 2 =(a 1 a 2 − b 1 b 2 )+i(a 1 b 2 + a 2 b 1 ). (I II) Ph´ep chia: z 2 z 1 = a 1 a 2 + b 1 b 2 a 2 1 + b 2 1 + i a 1 b 2 − a 2 b 1 a 2 1 + b 2 1 · C ´ AC V ´ IDU . V´ı d u . 1. 1 + T´ınh i n .T`u . d´och´u . ng minh r˘a ` ng a) i n + i n+1 + i n+2 + i n+3 =0; b) i ·i 2 ···i 99 · i 100 = −1. 2 + T`ım sˆo ´ nguyˆen n nˆe ´ u: a) (1 + i) n =(1−i) n ; b)  1+i √ 2  n +  1 − i √ 2  n =0. Gia ’ i. 1 + Ta c´o i 0 =1,i 1 = i, i 2 = −1, i 3 = −i, i 4 =1,i 5 = i v`a gi´a tri . l˜uy th`u . ab˘a ´ td ˆa ` ul˘a . pla . i. Ta kh´ai qu´at h´oa. Gia ’ su . ’ n ∈ Z v`a n =4k + r, r ∈ Z,0 r  3. Khi d ´o i n = i 4k+r = i 4k · i r =(i 4 ) k i r = i r [...]... thˆ t´nh c´c tˆng dang ’ ’ ` a o e ı a o B˘ng phu a S + iT = c + cz + · · · + cz n = a1 sin b1 + a2 sin b2 + · · · + an sin bn , a1 cos b1 + a2 cos b2 + · · · + an cos bn 29 ´ Chu.o.ng 1 Sˆ ph´.c o u 30 ´ ´ ´ nˆu c´c acgumen b1, b2, , bn lˆp nˆn cˆp sˆ cˆng c`n c´c hˆ sˆ e a a e a o o o a e o ´ ´ ´ a e a o a a1 , a2, , an lˆp nˆn cˆp sˆ nhˆn ’ V´ du 5 T´ tˆng ı ınh o 1) Sn = 1 + a cos ϕ . Bài tập toán cao cấp Tập 1 Nguyễn Thủy Thanh NXB Đại học quốc gia Hà Nội 2006, 276 Tr. Từ khoá:. phương. Tài liệu trong Thư viện điện tử ĐH Khoa học Tự nhiên có thể sử dụng cho mục đích học tập và nghiên cứu cá nhân. Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép, in ấn phục vụ các mục đích khác nếu