Slide bài giảng chi tiết +bài tập,Slide bài giảng chi tiết +bài tập,Slide bài giảng chi tiết +bài tập,Slide bài giảng chi tiết +bài tập,Slide bài giảng chi tiết +bài tập,Slide bài giảng chi tiết +bài tập,Slide bài giảng chi tiết +bài tập
Chng GII HN V LIấN TC Chng ny cung cp kin thc v gii hn v liờn tc nhm giỳp sinh viờn s dng c cỏc hm s cp, tớnh c cn bc n ca s phc; s dng c cỏc gii hn c bn, cỏc vụ cựng tng ng, vụ cựng ln tng ng kh cỏc dng vụ nh; trỡnh by c cỏc tớnh cht c bn ca hm liờn tc v phõn loi c cỏc im giỏn on 1.1 TP HP 1.1.1 Khỏi nim chung 1.1.1.1 Tp hp Phn t Tp hp l mt khỏi nim c bn ca toỏn hc Vic biu din nú qua cỏc khỏi nim khỏc l khụng cú Cú th hiu hp to thnh cỏc s vt, hin tng quy t li vi theo mt tớnh cht no ú Vớ d nh hp cỏc s, hp cỏc im ca ng thng, hp cỏc sinh viờn mt lp, Ngi ta thng ký hiu hp bi cỏc ch in hoa A, B, , Y , Z Cỏc i tng to nờn hp gi l cỏc phn t ca hp v c ký hiu bi cỏc ch in thng a , b, , y , z Nu a l phn t ca hp A thỡ ta vit a A (c l: a thuc A ) Nu a khụng l phn t ca hp A thỡ ta vit a A (c l: a khụng thuc A ) Vớ d, vi hp s t nhiờn thỡ v 1.1.1.2 Tp hp rng Tp hp khụng cha mt phn t no gi l rng v ký hiu l 1.1.1.3 Tp hp bng A B A B B A 1.1.1.4 Tp hp A B x, x A x B 1.1.2 Cỏc phộp toỏn trờn hp Cho hai hp A v B Ta cú mt s phộp toỏn nh sau: a) Phộp giao A B x x A x B Hỡnh 1.1 b) Phộp hp A B x x A x B Hỡnh 1.2 c) Hiu hai hp A \ B x x A x B Hỡnh 1.3 d) Phn bự ca mt hp A Cho A X Phn bự ca A X l X \ A v c ký hiu l C X Hỡnh 1.4 e) Tớch Descartes A B ( a, b) a A, b B M rng : Tớch Descartes ca n hp A , i 1, n i A A A An (a , a , a , , an ) Ai , i 1, n 3 c bit, nu A A A An thỡ ta kớ hiu: An A A A A n Chỳ thớch: Ký hiu c l v, ký hiu c l hoc 1.1.3 Mt s hp s thụng dng a) Tp cỏc s t nhiờn : 1, 2, , n, b) Tp cỏc s nguyờn : 0, 1, 2,, n, p c) Tp cỏc s hu t : p, q , q q d) Tp cỏc s thc : ( , ) e) Khong úng : [a, b] x x , a x b f) Khong m: (a, b) x x , a x b g) Khong na úng, na m : [a, b) x x , a x b , (a, b] x x , a x b , [a, ) x x , a x , (a, ) x x , a x , (, a] x x , x a , (, a) x x, x a 1.1.4 S phc Lch s phỏt trin cỏc khỏi nim s theo chu trỡnh c thỳc y bi s phỏt trin ca thc t sn xut v toỏn hc u tiờn ngi ta dựng s m, lỳc ú cn cỏc s t nhiờn S õm xut hin bt u cú chuyn n nn, cú chuyn tr s nh cho s ln S hu t xut hin phi thc hin cỏc phộp chia khụng ht Cũn s vụ t xut hin ngi ta thy cnh huyn ca tam giỏc vuụng cõn cnh bng khụng th biu din di dng thng ca hai s nguyờn, v thut ng s thc cú ngha l di ca cỏc on thng cú thc Vic gii phng trỡnh x trờn s thc thỡ khụng thc hin c, vỡ vy s phc xut hin gii quyt bi toỏn ny 1.1.4.1 nh ngha S phc cú dng z a bi , (a, b ) a gi l phn thc Kớ hiu : Re( z ) a b gi l phn o Kớ hiu : Im( z ) b i gi l n v o ca s phc Quy c : i Tp tt c cỏc s phc c kớ hiu l: z a bi / a, b Vớ d 1.1 z 3i ; z 15i ; z i ; z l cỏc s phc S phc liờn hp S phc z a bi , (a, b ) cú s phc liờn hp z a bi Hai s phc bng Cho hai s phc z1 a1 b1i ; z2 a2 b2i Ta cú: a1 a2 z1 z2 b1 b2 1.1.4.2 Cỏc phộp toỏn dng i s Cho hai s phc: z1 a1 b1i ; z2 a2 b2i a Phộp cng, tr: z1 z2 ( a1 a2 ) (b1 b2 )i b Phộp nhõn: z1 z2 ( a1a2 b1b2 ) (a1b2 b1a2 )i c z1 a1 b1i (a1 b1i )(a2 b2i ) a1a2 b1b2 (b1a2 a1b2 )i z2 a2 b2i a2 b22 a2 b2 a22 b2 Phộp chia: Vi z a bi thỡ z (z 0) 1 gi l s nghch o ca z z a bi Vớ d 1.2 Cho hai s phc z1 3i ; z2 4i Ta cú z1 z2 i ; z1 z2 7i; z1 z2 14 5i; z1 3i (2 3i )(1 4i) 10 11 i 2 z2 4i 17 17 n k i n k Chỳ ý: Vi n , ta cú i n n 4k i n 4k k 1.1.4.3 Cỏc dng biu din ca s phc a Dng i s (chớnh tc) z a bi (a, b ) l dng i s ca s phc b Dng hỡnh hc Mi s phc z a bi (a, b ) cú th c biu din bi im M (a, b) trờn mt phng ta Oxy M (a, b) Ox c gi l trc thc, Oy c gi l trc o Mt phng Oxy c gi l mt phng phc Hỡnh 1.5 Hai s phc liờn hp c biu din bi hai im i xng vi qua trc Ox Vớ d 1.3 Biu din cỏc s phc z 2i ; z i trờn mt phng phc y f(x)=x f(x)=-x x -4 -3 -2 -1 O -2 -4 Hỡnh 1.6 c Dng lng giỏc nh ngha Trong mt phng phc cho z a bi ; a, b Ox ,OM , t r OM a b , r c gi l mụun ca z v ký hiu l | z | t c gi l argument ca z v kớ hiu l arg z Cỏc giỏ tr ca arg z s sai khỏc c [0,2 ) hoc ( , ] gi l giỏ tr chớnh ca argument y b r O x a Hỡnh 1.7 a r cos Chiu OM lờn trc thc v trc o ta c b r sin Suy z a bi (r cos ) i (r sin ) r.(cos i sin ) Ta gi z r (cos i sin ) l dng lng giỏc ca s phc d Dng m ca s phc Ta cú cụng thc Euler ei cos i sin Khi ú z r cos i sin r.e i gi l dng m ca s phc Vớ d 1.4 Chuyn cỏc s phc sau sang dng lng giỏc a / z 3i a cos r Gii:Ta cú r a b v sin b r Suy dng lng giỏc ca z l z 2(cos i sin ) 3 b / z i Gii: Ta cú r a cos r v sin b r 10 k Vỡ vy, ta quy Do ú z i cos i sin c / z cos i sin Tớnh cht Cho hai s phc: z1 r1 (cos i sin ) ; z2 r2 (cos i sin ) a Quan h bng ca hai s phc dng lng giỏc r1 r2 z1 z2 k ( k ) b Tng, hiu hai s phc dng lng giỏc z1 z2 ( r1 cos r2 cos ) i ( r1 sin r2 sin ) c Tớch ca hai s phc dng lng giỏc z1 z2 r1r2 [cos(1 ) i sin(1 )] d Thng ca hai s phc z1 r1 cos isin z2 r2 e Ly tha bc n Cho s phc z r cos i sin Ta cú: z n r n cos n i sin n, n Z (Cụng thc Moirve) f Khai cn bc n ca s phc Cho s phc z r (cos i sin ) v n , n S phc w gi l cn bc n ca s phc z w n z Cỏc cn bc n ca s phc z c xỏc nh nh sau: k k vi k 0,1, n wk n z n r cos i sin n n Cỏc cn bc n ca s phc z c biu din hỡnh hc di dng cỏc nh ca mt a giỏc u n cnh ni tip ng trũn tõm O, bỏn kớnh n r Vớ d 1.5 11 a/ Cho z 3i Tớnh z 100 Gii: Chuyn s phc v dng lng giỏc: r 12 Do nờn z (cos i sin ) 6 Ly tha ca s phc: z100 [2 3(cos b/ Tớnh i 100 100 50 50 i sin )]100 (2 3)100 [cos i sin ] (2 3)100[cos i sin ] 6 6 3 2010 cos i sin Gii:Chuyn s phc v dng lng giỏc : z i 2010 Ly tha s phc : z 2010 2010 cos 2010 i sin 1005 i Vớ d 1.6 Cho z1 cos i sin ; z2 cos i sin 3 4 7 Ta cú z1 z 2.6 cos i sin 12 cos i sin 12 12 z1 cos i sin cos i sin z2 12 12 Vớ d 1.7 a/ Tớnh cn bc ba ca s phc z i Gii: Chuyn sang dng lng giỏc: Ta cú: r a cos r sin b r 12 Vy z cos i sin 6 Cn bc ba ca s phc: Vy cú ba 3 k z cos k i sin , vi z nh sau: 0.2 0.2 3 6 k : z0 cos i sin cos i sin 3 18 18 13 13 k 1: z1 cos i sin 18 18 19 19 k : z2 cos i sin 6 b/ Tớnh v biu din hỡnh hc cỏc kt qu nhn c Gii: Chuyn sang dng lng giỏc: z cos i sin Cn bc bn ca s phc: Vy z l: z0 cos k z cos k i sin k 0;3 3 i sin ; z1 cos i sin ; 4 4 z2 cos Biu din hỡnh hc: 5 7 i sin ; z3 cos i sin 4 4 y 4 x O Hỡnh 1.8 13 k 0,1, Vớ d 1.8 a s phc v dng m a/ z1 2 cos i sin cú dng m l z 2.ei 4 b/ z 2i r , arc cos cú dng m l z e i 1.2 NH X 1.2.1 nh ngha ỏnh x Mt ỏnh x f t X sang Y , vit l f : X Y l mt quy tc lm tng ng mi phn t x X vi mt v ch mt phn t y Y Trong ú: Y X X c gi l ngun, Y ớch, x l to nh, y l nh ca x qua ỏnh x f v ta vit y f ( x) Hỡnh 1.9 Vớ d 1.9 Ta cú: f : x y f ( x) x l mt ỏnh x Vớ d 1.10 Tng ng g : x y g ( x) 2x x khụng l ỏnh x vỡ x khụng cú to nh 1.2.2 nh v nh ngc nh ngha Cho A X , B Y v ỏnh x f : X Y Ta gi 14 a) nh ca A qua ỏnh x f l f ( A) f ( x) x A b) nh ngc ( hay nghch nh) ca B qua ỏnh x f l f ( B ) x x X , f ( x) B Nhn xột f ( A) Y , f ( B ) X Vớ d 1.11 Cho A 1; 2;3 X 1;2;3;4;5 , B a, b, c Y v ỏnh x f : X Y c xỏc nh bi f (1) a, f (2) b, f (3) a, f (4) c Th thỡ f ( A) f (1), f (2), f (3) a, b Y , v f ( B) 1; 2;3;4 Vớ d 1.12 Cho f : x y f ( x) x3 v A [1;2], B [1;5] Ta cú f ( A) [1;8] v f ( B ) [1; 5] 1.2.3 n ỏnh, ton ỏnh, song ỏnh nh ngha Cho ỏnh x f : X Y Khi ú f c gi l n ỏnh nu hai phn t khỏc ngun thỡ cú nh khỏc nhau: x , x X , x x f (x ) f (x ) f c gi l ton ỏnh nu mi phn t thuc ngun u cú to nh: y Y , x X : f (x ) y f c gi l song ỏnh nu f va l n ỏnh va l ton ỏnh Ngha l: y Y , ! x X : f (x ) y Hỡnh 1.10 Ta cú th phỏt biu nh sau: f n ỏnh phng trỡnh f (x ) y cú nhiu nht mt nghim x X , y Y f ton ỏnh phng trỡnh f (x ) y cú ớt nht mt nghim x X , y Y f song ỏnh phng trỡnh f (x ) y cú nghim nht x X , y Y 15 + n , thỡ chui xn phõn k n=1 46 II CHUI S DNG + xn c gi l chui nh ngha Chui n=1 dng, nu xn > n kho sỏt s hi t ca chui dng, ta thng s dng mt s tiờu chun sau Tiờu chun so sỏnh 47 + + un v Cho chui dng n=1 n=1 + (a) Nu un n no v chui hi n=1 + un hi t t thỡ chui n=1 + (b) Nu un n no v chui n=1 48 + un phõn k phõn k thỡ chui n=1 un = l (0, ) thỡ chui (c) Nu lim n + + un v dng n=1 cựng hi t hoc n=1 cựng phõn k un = v chui (d) Nu lim n 49 + hi t thỡ n=1 + un hi t chui n=1 un = v chui (e) Nu lim n + un phõn k thỡ chui n=1 Tiờu chun DAlembert 50 + phõn k n=1 + un Gi s Cho chui dng n=1 un+1 = l lim n un + Nu l < thỡ chui dng un hi t n=1 + Nu l > thỡ chui dng un phõn k n=1 Tiờu chun Cauchy 51 + un Gi s Cho chui dng n=1 lim n n un = l + Nu l < thỡ chui dng un hi t n=1 + Nu l > thỡ chui dng un phõn k n=1 Tiờu chun tớch phõn Gi s hm f (x) liờn tc, n iu gim v 52 khụng õm trờn [no , ) Khi ú tớch phõn suy + f (x)dx v chui rng no f (n) cựng hi n=no t hoc cựng phõn k 53 III CHUI AN DU + un c gi l chui nh ngha Chui n=1 an du, nu un un+1 < n Tiờu chun Leibniz + un Gi s Cho chui an du n=1 54 (a) lim un = n (b) |un | |un+1 | n + un hi t Khi ú chui n=1 55 IV CHUI HI T TUYT I + un c gi l chui nh ngha Chui n=1 + |un | hi t hi t tuyt i, nu chui n=1 nh lý + + |un | hi t n=1 un hi t n=1 56 IV CHUI LY THA nh ngha Chui + an (x )n , (1) n=0 ú , (an )n0 l cỏc s thc cho trc v x l bin, c gi l chui ly tha Trng hp = ta cú chui ly tha + an x n , n=0 57 (2) S thc xo c gi l im hi t ca chui + an xno hi t (2) nu chui n=0 Tp cỏc im hi t ca chui (2) gi l hi t ca chui ny Bỏn kớnh hi t ca chui ly tha Gi s an+1 =l lim n an 58 hoc lim n n |an | = l t R= l Khi ú Chui (2) hi t |x| < R Chui (2) phõn k |x| > R Ta gi R l bỏn kớnh hi t ca chui (2) Cỏch tỡm hi t ca chui (2) 59 THI MễN: TON CAO CP A1 Mã môn học: MATH130101 Thi gian 90 phỳt c s dng ti liu I HC S PHM K THUT TP HCM KHOA KHOA HC C BN B MễN TON -* Cõu I (2,5 im) Gii phng trỡnh z12 - z = trờn Ê Tỡm m hm s f ( x) = x + sin x e2 x + m liờn tc trờn Ă Cõu II (2,5 im) Tớnh o hm ca hm f ( x) = ( xe x + 1) ln x ti x = x + arctan x Cho hm f ( x) = ( x + 1)(e x - 1) Tớnh f (2014) (0) Cõu III (2,0 im) Tớnh tớch phõn suy rng I = +Ơ ũ xe -2 x dx ũ Kho sỏt s hi t ca tớch phõn suy rng x + ln x x2 - 5x + dx Cõu IV (3,0 im) Kho sỏt s hi t ca chui s 3n + 2n n =1 ( n - 1)! +Ơ Tỡm hi t ca chui ly tha +Ơ ồn x n n =1 Khai trin thnh chui Fourier hm f ( x) tun hon vi chu k T = 2p 3p ỡ ùù1 Ê x < , v c xỏc nh bi f ( x) = ù-1 3p Ê x < 2p ùợ -Ghi chỳ: Cỏn b coi thi khụng gii thớch thi [...]... e6 1.4.2 Các định nghĩa giới hạn hàm số 1.4.2.1 Điểm tụ Cho D là tập số thực Số thực x0 gọi là điểm tụ của D nếu và chỉ nếu tồn tại dãy số xn D \{ xo } hội tụ đến x0 Ví dụ 1.33 1 n * a D , n N có duy nhất một điểm tụ là 0 b D (0,1) có tập hợp điểm tụ là [0,1] 1.4.2.2 Lân cận Cho 0 Ta gọi - lân cận của x0 là tập x : x x0 Vậy x - lân cận của x0 x ( x0... 1 là hàm giảm trên y x 2 là hàm tăng trên [0; ) và giảm trên ( ;0] 1.3.2.4 Hàm số bị chặn Hàm f ( x) được gọi là bị chặn trên bởi số thực M trên tập X x X , f ( x ) M Hàm f ( x) được gọi là bị chặn dưới bởi số thực N trên tập X x X , f ( x) N Hàm bị chặn trên và dưới gọi là hàm bị chặn, hay hàm giới nội Ví dụ 1.18 a Hàm số f ( x) sin x bị chặn trên bởi 1 và dưới bởi -1... được ký hiệu là D f ; y là ảnh của x hoặc giá trị của f tại x và ta viết y f ( x) Miền giá trị của hàm f là tập tất cả các ảnh của các phần tử thuộc X, được ký hiệu là R f hoặc T Chú ý : Khi cho hàm số mà không nói rõ đến miền xác định thì ta qui ước miền xác định của hàm số y f ( x) là tập hợp các giá trị của x làm cho biểu thức f ( x) có nghĩa Ví dụ 1.14 Ta có các hàm số sau: f : [1,1] x... đề Nếu hàm f đơn điệu tăng ngặt hoặc đơn điệu giảm ngặt trên một khoảng thì f có hàm ngược trên khoảng ấy 1.3.5 Các hàm số sơ cấp cơ bản, hàm số sơ cấp Các hàm số được tạo bởi một số hữu hạn các phép toán cộng, trừ, nhân, chia của các hàm số sơ cấp cơ bản của cùng một biến gọi là các hàm sơ cấp Những hàm số không được xây dựng theo cách vừa nêu thì không là hàm số sơ cấp (ví dụ như hàm số có biểu thức... các hàm số sau: f : [1,1] x y f ( x) 1 x 2 , 16 f : x 1, x 1 x y f ( x) 2 x, x 1 Các cách cho hàm số Dạng biểu thức đại số, dạng đồ thị, dạng bảng Đồ thị hàm số Là tập hợp những điểm trên mặt phẳng tọa độ Oxy có tọa độ ( x, f ( x)) Kí hiệu: G ( x) {( x, f ( x ) / x D f , f ( x ) R f } Đồ thị của hàm số y f ( x) còn được gọi là đường cong y f ( x) 1.3.2... loại 2 x0 gọi là điểm gián đoạn loại 2 nếu nó không là điểm gián đoạn loại 1 Khi đó, không tồn tại ít nhất một giới hạn (hữu hạn) một phía Ví dụ 1.49 a/ Hàm sơ cấp f x ln x 2 1 liên tục trên tập xác định D f \ 1;1 b/ Hàm sơ cấp x lim x lim x0 x 0 sin x không xác định tại 0 x gián đoạn tại 0 x sin x 1 lim x lim x 1 x 0 là điểm gián