CÁC BÀI TOÁN VỀ TỔ HỢP CÓ LỜI GIẢI

Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 5 chữ số đôi một khác nhau lấy từ tập A và khôngbắt đầu bởi 123... Bao nhiêu số chẵn có bốn chữ số và bốn chữ số đó khác nhau từng đôi một.. Bao nhiêu s

BÀI TẬP GIẢI TÍCH TỔ HỢP

-Bài 1:(ĐHQG TPHCM khối A đợt 1 1999)

Cho tập hợp A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

1 Có bao nhiêu tập con X của tập A thoả điều kiện X chứa 1 và không chứ?

2 Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 5 chữ số đôi một khác nhau lấy từ tập A và khôngbắt đầu bởi 123

1

* m là số các số tự nhiên chẵn gồm 5 chữ số đôi một khác nhau lấy từ A.

* n là số các số tự nhiên chẵn gồm 5 chữ số đôi một khác nhau lấy từ A và bắt đầu bởi 123

* p là số các số tự nhiên thoả mãn yêu cầu đề bài

Ta cần tính p Hiển nhiên p = m – n

 Tính m: Lập một số chẵn a a a a a 5 4 3 2 1 gồm 5 chữ số khác nhau a1, a2, a3, a4, a5  A, cónghĩa là:

Bước 1: Đặt 3 nhóm sách lên kệ dài: 3! cách

Bước 2: Trong mỗi nhóm ta có thể thay đổi cách xếp đặt sách:

Nhóm sách Toán: 2! cách

Nhóm sách Văn: 4! cách

Nhóm sách Anh: 6! cách

Kết luận: có 3!2!4!6! = 6.2.24.720 = 207360 cách

Bài 3: Một bàn dài có hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy có 6 ghế Người ta muốn xếp chỗ

ngồi cho 6 học sinh trường A và 6 học sinh trường B vào bàn nói trên Hỏi có bao nhiêucách xếp trong mỗi trường hợp sau:

1 Bất cứ 2 học sinh nào ngồi cạnh nhau hoặc đối diện nhau thì khác trường với nhau

2 Bất cứ 2 học sinh nào ngồi đối diện nhau thì khác trường với nhau

3

Bài giải Giai đoạn 1: Xếp chỗ ngồi cho hai nhóm học sinh, có 2 cách xếp:

A B A B A B B A B A B A

B A B A B A A B A B A B

Giai đoạn 2: Trong nhóm học sinh của trường A, có 6! cách xếp các em vào 6 chỗ.

Tượng tự, có 6! cách xếp 6 học sinh trường B vào 6 chỗ

Kết luận: có 2.6!6! = 1036800 cách

2 Học sinh thứ nhất trường A ngồi trước: có 12 cách chọn ghế để ngồi

Sau đó, chọn học sinh trường B ngồi đối diện với học sinh thứ nhất trường A: có 6 cáchchọn học sinh trường B

Học sinh thứ hai của trường A còn 10 chỗ để chọn, chọn học sinh trường B ngồi đối diệnvới học sinh thứ hai trường A: có 5 cách chọn, v.v…

7

A = 840Vậy: có 4.840 = 3360 số chẵn hình thức

2 n = abcde

* Xem các số hình thức abcde (kể cả a = 0) Có 3 cách chọn vị trí cho 1 Sau đó chọn chữ

số khác nhau cho 3 vị trí còn lại từ X \ {1}: có 4

7

A cách

Như thế: có 3 4

7

A = 2520 số hình thức thoả yêu cầu đề bài

* Xem các số hình thức 0bcde Có 2 cách chọn vị trí cho 1 Chọn chữ số khác nhau cho 3

vị trí còn lại từ X \ {0,1}, số cách chọn là 3

6

A Như thế: có 2 3

6

A = 240 số hình thức dạng 0bcde.Kết luận: số các số n thoả yêu cầu đề bài là: 2520 – 240 = 2280 số

Bài 5: (ĐH Huế khối A chuyên ban 1999)

Một hộp đựng 4 viên bi đỏ, 5 viên bi trắng và 6 viên bi vàng Người ta chọn ra 4 viên bi

từ hộp đó Hỏi có bao nhiêu cách chọn để trong số bi lấy ra không có đủ cả 3 màu?

4

Vậy số cách chọn để 4 bi lấy ra không đủ 3 màu là: 1365 – 720 =645.

Bài 6: (ĐH Huế khối D chuyên ban 1999)

Người ta xếp ngẫu nhiên 5 lá phiếu có ghi số thứ tự từ 1 đến 5 cạnh nhau

1 Có bao nhiêu cách xếp để các phiếu số chẵn luôn ở cạnh nhau?

2 Có bao nhiêu cách xếp để các phiếu phân thành hai nhóm chẵn lẻ riêng biệt (chẳnghạn 2, 4, 1, 3, 5)?

5

Bài giải

1 * Xếp các phiếu số 1, 2, 3, 5 có 4! = 24 cách

* Sau đó xếp phiếu số 4 vào cạnh phiếu số 2 có 2 cách

Vậy: có 2.24 = 48 cách xếp theo yêu cầu đề bài

2 * Khi nhóm chẵn ở bên trái, nhóm lẻ ở bên phải Số cách xếp cho 2 số chẵn là 2! cách Sốcách xếp cho 3 số lẻ là: 3! cách

Vậy có 2.6 = 12 cách

* Tương tự cũng có 12 cách xếp mà nhóm chẵn ở bên phải, nhóm lẻ ở bên trái

Vậy: có 12 + 12 = 24 cách.

Bài 7: (ĐH Huế khối RT chuyên ban 1999)

Người ta viết các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 lên các tấm phiếu, sau đó xếp thứ tự ngẫu nhiênthành một hàng

1 Có bao nhiêu số lẻ gồm 6 chữ số được sắp thành?

2 Có bao nhiêu số chẵn gồm 6 chữ số được sắp thành?

1 Năm chữ số 1 được xếp kề nhau

2 Các chữ số được xếp tuỳ ý

Bài giải

6

5 chữ số 1 đứng liền nhau là: 5! = 120 số.

2 Lập một số có 9 chữ số thoả mãn yêu cầu; thực chất là việc xếp các số 2, 3, 4, 5 vào 4

vị trí tuỳ ý trong 9 vị trí (5 vị trí còn lại đương nhiên dành cho chữ số 1 lặp 5 lần)

Bài giải

1 Xếp C ngồi chính giữa: có 1 cách

Xếp A, B, D, E vào 4 chỗ còn lại: có 4! = 24 cách

Vậy: có 24 cách xếp thoả yêu cầu

2 Xếp A và E ngồi ở hai đầu ghế: có 2! = 2 cách

A = 6 khả năngchọn 2 chữ số cuối Vậy có 3.6 = 18 số

Do đó có 24 + 18 = 42 số gồm 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 5

Vậy có: 96 – 42 = 54 số gồm 4 chữ số khác nhau và không chia hết cho 5.

Bài 13: (ĐH Huế khối A chuyên ban 2000)

Một lớp có 30 học sinh nam và 15 học sinh nữ Có 6 học sinh được chọn ra để lập mộttốp ca Hỏi có bao nhiêu cách chọn khác nhau nếu:

15 30

C C cáchhoặc * 4 nữ, 2 nam  có 4 2

15 30

C C cáchhoặc * 5 nữ, 1 nam  có 5 1

Bài 14: (ĐH Huế khối DRT chuyên ban 2000)

Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 Từ các chữ số đã cho ta có thể lập được:

1 Bao nhiêu số chẵn có bốn chữ số và bốn chữ số đó khác nhau từng đôi một

2 Bao nhiêu số chia hết cho 5, có ba chữ số và ba chữ số đó khác nhau từng đôi một

3 Bao nhiêu số chia hết cho 9, có ba chữ số và ba chữ số đó khác nhau từng đôi một

Số cách chọn 1 nhà toán học nam, 1 nhà toán học nữ, 1 nhà vật lí nam là:

Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 ta lập các số mà mỗi số có năm chữ số trong đó các chữ sốkhác nhau từng đôi một Hỏi

1 Có bao nhiêu số trong đó phải có mặt chữ số 2

2 Có bao nhiêu số trong đó phải có mặt hai chữ số 1 và 6

13

Bài giải

Xét số năm chữ số a a a a a 1 2 3 4 5

1 Xếp chữ số 2 vào một trong năm vị trí: có 5 cách xếp

Sau đó xếp 5 chữ số còn lại vào 4 vị trí còn lại: có 4

Bài 17: (ĐH Thái Nguyên khối AB 2000)

Một đội văn nghệ có 20 người, trong đó có 10 nam và 10 nữ Hỏi có bao nhiêu cáchchọn ra 5 người sao cho:

1 Có đúng 2 nam trong 5 người đó

2 Có ít nhất 2 nam và ít nhất 1 nữ trong 5 người đó

14

Bài 18: (ĐH Thái Nguyên khối D 2000)

Từ 3 chữ số 2, 3, 4 có thể tạo ra được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số, trong đó cómặt đủ 3 chữ số trên

15

Bài 19: (ĐH Thái Nguyên khối G 2000)

Có bao nhiêu số gồm 5 chữ số sao cho tổng các chữ số của mỗi số là một số lẻ

16

Xét một số có 4 chữ số tuỳ ý đã cho a a a a 1 2 3 4 Có hai khả năng:

1 Nếu a1 + a2 + a3 + a4 là số chẵn thì có thể lấy a5  {1, 3, 5, 7, 9} và lập được 5 số có 5chữ số a a a a a 1 2 3 4 5 với tổng các chữ số là một số lẻ

2 Nếu a1 + a2 + a3 + a4 là số lẻ thì có thể lấy a5  {0, 2, 4, 6, 8} và lập được 5 số có 5chữ số a a a a a 1 2 3 4 5 với tổng các chữ số là một số lẻ

Vì có tất ca 9.10.10.10 = 9000 số có 4 chữ số, mỗi số có 4 chữ số này lại sinh ra 5 số có 5chữ số có tổng các chữ số là một số lẻ, nên có tất cả 9000.5 = 45000 số có 5 chữ số mà

tổng các chữ số là một số lẻ

Bài 20: (ĐH Cần Thơ khối AB 2000)

Có 9 viên bi xanh, 5 viên bi đỏ, 4 viên bi vàng có kích thước đôi một khác nhau

1 Có bao nhiêu cách chọn ra 6 viên bi, trong đó có đúng 2 viên bi đỏ

2 Có bao nhiêu cách chọn ra 6 viên bi, trong đó số bi xanh bằng số bi đỏ

17

Bài 21: (ĐH Đà Lạt khối ADV 2000)

Có 5 thẻ trắng và 5 thẻ đen, đánh dấu mỗi loại theo các số 1, 2, 3, 4, 5 Có bao nhiêucách sắp xếp tất cả các thẻ này thành một hàng sao cho hai thẻ cùng màu không nằm liềnnhau

18

Có 2 khả năng:

1 Các thẻ trắng ở vị trí lẻ, các thẻ đen ở vị trí chẵn  có 5!5! cách

2 Các thẻ trắng ở vị trí chẵn, các thẻ đen ở vị trí lẻ  có 5!5! cách

Vậy tất cả có: 5!5! + 5!5! cách

Bài 22: (ĐH Sư phạm HN 2 khối A 2000)

Có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số từ các chữ số: 1, 2, 3, 4, 5, 6 trong đó cácchữ số 1 và 6 đều có mặt 2 lần, các chữ số khác có mặt 1 lần

19

Bài giải

Có 8 ô trống, cần chọn ra 1 ô điền chữ số 2, 1 ô điền chữ số 3, 1 ô điền chữ số 4, 1 ô điền chữ

số 5 Sau đó trong 4 ô còn lại, cần chọn 2 ô điền chữ số 1, cuối cùng còn lại 2 ô điền chữ số 6

Vậy có tất cả có: 8.7.6.5. 2

4

C .1 = 10080 số thoả yêu cầu đề bài.

Bài 23: (ĐH Sư phạm Vinh khối ABE 2000)

Có bao nhiêu số khác nhau gồm 7 chữ số sao cho tổng các chữ số của mỗi số là một sốchẵn

20

Số các số có 6 chữ số a a a a a a 1 2 3 4 5 6 là 9.105 số

Với mỗi số có 6 chữ số a a a a a a 1 2 3 4 5 6 ta lập được 5 số có 7 chữ số a a a a a a a 1 2 3 4 5 6 7 mà tổngcác chữ số là một số chẵn

Vậy có tất cả: 9.105.5 = 45.105 số

Bài 24: (ĐH Sư phạm Vinh khối DGM 2000)

Tìm tất cả các số tự nhiên có đúng 5 chữ số sao cho trong mỗi số đó chữ số đứng sau lớnhơn chữ số đứng liền trước

21

Bài giải

Theo yêu cầu của bài toán và số 0 không đứng trước bất kì số nào nên các số có 5 chữ số chỉ

có thể tạo thành từ các số {1, 2, 3, 4, …, 8, 9} = T Ứng với mỗi bộ 5 chữ số phân biệt bất

kì trong T chỉ có 1 cách sắp xếp duy nhất thoả mãn đứng sau lớn hơn chữ số liền trước

Vậy số các số cần tìm là:C59 9!

5!4! = 126.

Bài 25: (HV Kỹ thuật quân sự 2000)

Một đồn cảnh sát khu vực có 9 người Trong ngày, cần cử 3 người làm nhiệm vụ ở địađiểm A, 2 người ở địa điểm B, còn 4 người thường trực tại đồn Hỏi có bao nhiêu cáchphân công?

22

Có tất cả: C C39 26 C C49 25 C C29 47 = 1260 cách

Bài 26: (ĐH GTVT 2000)

Một lớp học có 20 học sinh, trong đó có 2 cán bộ lớp Hỏi có bao nhiêu cách cử 3 người

đi dự hội nghị Hội sinh viên của trường sao cho trong 3 người đó có ít nhất một cán bộ lớp

23

1 Có bao nhiêu cách xếp khác nhau?

2 Có bao nhiêu cách xếp khác nhau sao cho 3 viên bi đỏ xếp cạnh nhau và 3 viên bixanh xếp cạnh nhau?

Bài 28: (ĐH Cảnh sát nhân dân khối G CPB 2000)

Có bao nhiêu số lẻ gồm 6 chữ số, chia hết cho 9?

Vậy tất cả có 50000 số lẻ gồm 6 chữ số, chia hết cho 9.

Bài 29: (ĐH Cảnh sát nhân dân khối G CB 2000)

Có bao nhiêu số lẻ gồm 6 chữ số khác nhau lớn hơn 500000?

A = 16800 sốKết luận: Tất cả có: 40320 + 16800 = 57120 số cần tìm

Bài 30: (CĐSP Nha Trang 2000)

Với các số: 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể thành lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khácnhau và trong đó phải có mặt chữ số 0

25

Vậy số các số tự nhiên thoả mãn yêu cầu là: 300 – 120 = 180 số.

Bài 31: (CĐSP Nhà trẻ – Mẫu giáo TƯ I 2000)

Một lớp học sinh mẫu giáo gồm 15 em, trong đó có 9 em nam, 6 em nữ Cô giáo chủnhiệm muốn chọn một nhóm 5 em để tham dự trò chơi gồm 3 em nam và 2 em nữ Hỏi

có bao nhiêu cách chọn?

26

Chọn 3 em nam: có 3

9

C cáchChọn 2 em nữ: có 2

6

C cáchVậy có: 3

9

C 2 6

C = 1260 cách

Bài 32: (ĐH An ninh khối D 2001)

Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 Hỏi có thể thành lập được

bao nhiêu số có bảy chữ số từ những chữ số trên, trong đó

Một nhóm gồm 10 học sinh, trong đó có 7 nam và 3 nữ Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp

10 học sinh trên thành một hàng dài sao cho 7 học sinh nam phải đứng liền nhau

Bài giải

Coi 7 học sinh nam đứng liền nhau như một vị trí mà thôi thì số cách

để bố trí 7 học sinh đứng liền nhau xen kẽ với 3 học sinh nữ bằng 4!

Nhưng để xếp 7 học sinh nam đứng liền nhau thì lại có 7! cách

Vậy tất cả có: 4!7! = 120960 cách.

Bài 34: (HV Chính trị quốc gia 2001)

Một đội văn nghệ có 10 người, trong đó có 6 nữ và 4 nam

1 Có bao nhiêu cách chia đội văn nghệ thành hai nhóm có số người bằng nhau và mỗinhóm có số nữ như nhau

2 Có bao nhiêu cách chọn ra 5 người mà trong đó không có quá 1 nam

Bài 35: (ĐH Giao thông vận tải 2001)

Cho 8 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 Hỏi có thể lập được bao nhiêu số gồm 6 chữ số khácnhau, trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 4

27

A = 10800 số

Vậy tất cả có: 2520 + 10800 = 13320 số

Bài 36: (ĐH Huế khối ABV 2001)

Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số sao cho không có chữ số nào lặp lại đúng 3 lần?

28

Bài 37: (ĐH Huế khối DHT 2001)

Từ một nhóm học sinh gồm 7 nam và 6 nữ, thầy giáo cần chọn ra 5 em tham dự lễmittinh tại trường với yêu cầu có cả nam và nữ Hỏi có bao nhiêu cách chọn?

29

Bài 38: (HV Kỹ thuật quân sự 2001)

Trong số 16 học sinh có 3 học sinh giỏi, 5 khá, 8 trung bình Có bao nhiêu cách chia sốhọc sinh đó thành 2 tổ, mỗi tổ có 8 người sao cho ở mỗi tổ đều có học sinh giỏi và mỗi tổ

có ít nhất 2 học sinh khá

30

Mỗi tổ có 1 hoặc 2 học sinh giỏi Vì không phân biệt thứ tự của 2 tổ nên số cách chia phảitìm là số cách tạo thành một tổ có 8 học sinh trong đó phải có 1 học sinh giỏi và ít nhất 2học sinh khá Các học sinh còn lại tạo thành tổ thứ hai.

Bài 39: (ĐH Kinh tế quốc dân 2001)

Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên mà mỗi số có 5chữ số khác nhau và trong đó phải có chữ số 5

31

Bài giải

Ta sử dụng 5 ô sau để viết số có 5 chữ số:

32

Có 4 cách chọn vị trí cho chữ số 0 Sau đó còn 4 cách chọn vị trí cho chữ số 5 Số cáchchọn 3 chữ số cọn lại là: 3

Bài 40.(HV Ngân hàng TPHCM khối A 2001)

1 Có thể tìm được bao nhiêu số gồm 3 chữ số khác nhau đôi một?

2 Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số chẵn có 5 chữ số đôimột khác nhau?

33

Bài giải

1 Có 9 cách chọn chữ số hàng trăm, 9 cách chọn chữ số hàng chục, 8 cách chọn chữ số hàngđơn vị Vậy có 9.9.8 = 648 số

2  Trường hợp 1: Chữ số tận cùng bằng 0 Bốn chữ số đứng đầu được chọn tuỳ ý trong 7chữ số còn lại nên số các số tạo thành là: 4

Bài 41.(ĐH Ngoại thương TPHCM khối A 2001)

Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể thiết lập được bao nhiêu số có 6 chữ số khác nhau

mà hai chữ số 1 và 6 không đứng cạnh nhau?

34

Số các số gồm 6 chữ số khác nhau là: 6! = 720

Trong đó, số các số có chứa 16 là 5! = 120

số các số có chứa 61 là 5! = 120

Vậy số các số cần tìm là: 720 – 240 = 480 số

Bài 42.(ĐH Nông nghiệp I HN khối A 2001)

Có 6 học sinh nam và 3 học sinh nữ xếp thành một hàng dọc Hỏi có bao nhiêu cách xếp

để có đúng 2 học sinh nam đứng xen kẽ 3 học sinh nữ (Khi đổi chỗ 2 học sinh bất kìcho nhau ta được một cách xếp mới)

35

Bài 43.(HV Quan hệ quốc tế 2001)

Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số có 9 chữ số mà chữ số

9 đứng ở vị trí chính giữa?

36

Ta chỉ có 1 cách chọn vị trí cho chữ số 9.

Khi đó số cách xếp 8 chữ số còn lại là 8!

Vậy tất cả có: 8! = 40320 số

Bài 44.(ĐH Quốc gia TPHCM 2001)

1 Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một khác nhau, trong đó có mặt chữ số 0nhưng không có mặt chữ số 1

2 Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số, biết rằng chữ số 2 có mặt đúng 2 lần, chữ số

3 có mặt đúng 3 lần và các chữ số còn lại có mặt không quá một lần

37

Bài giải

1 Số được xét có dạng: a a a a a a 1 2 3 4 5 6 Xếp chữ số 0 vào các vị trí từ a2 đến a6: có 5 cách xếp.Còn lại 5 vị trí, ta chọn 5 trong 8 chữ số để xếp vào 5 vị trí này: có 5

C 3 5

Kí hiệu X là tập hợp tất cả các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau đôi một lập từ 6 chữ số 1,

1 Có bao nhiêu tập hợp con của A?

2 Có bao nhiêu tập hợp con khác rỗng của A mà có số phần tử là số chẵn?

39

2 = 219 – 1.

Bài 47.(ĐH Thái Nguyên khối D 2001)

1 Có bao nhiêu số chẵn có ba chữ số khác nhau được tạo thành từ các chữ số 1, 2, 3, 4,5

2 Có bao nhiêu số có ba chữ số khác nhau được tạo thành từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6

mà các số đó nhỏ hơn số 345

40

1 Xét các số chẵn x = abc với 3 chữ số khác nhau; a, b, c  {1;2;3;4;5} = E.

Vì x chẵn nên c  {2;4}  có 2 cách chọn c

Với mỗi cách chọn c, có 2

4

A cách chọn bc.Vậy tất cả có: 2 2

Bài 48.(ĐH Văn Lang 2001)

Một lớp có 10 học sinh nam và 10 học sinh nữ Cần chọn ra 5 học sinh để đi làm côngtác “Mùa hè xanh” Hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu trong 5 học sinh đó phải có ít nhất:

1 Hai học sinh nữ và hai học sinh nam

2 Một học sinh nữ và một học sinh nam

41

Ta xét các trường hợp sau:

1 Chữ số hàng đơn vị là 2, 4, 6  có 3 cách chọn chữ số hàng đơn vị

a) Chữ số hàng trăm nhỏ hơn 7: Khi đã chọn chữ số hàng đơn vị, ta còn 5 cách chọn chữ

số hàng trăm Sau khi đã chọn chữ số hàng đơn vị và hàng trăm, ta còn 7 cách chọn chữ