PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT

DOÃN XUÂN HUY-THPT Ân Thi-Hưng Yên 1 PHƢƠNG TRÌNH, HỆ PHƢƠNG TRÌNH, BẤT PHƢƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARÍT I.Phương trình, bất phương trình mũ : 1/ Đƣa về cùng một cơ số hoặc hai cơ số: 1 2 8 1 3 1 2 3 4 1/ 3 0,2 1/2 4 ;2/3 3 3 3 750;3/5 .8 500 (5.2 ) 1 3; 2 x x x x x x x x x x x x x log                    1 1 1 1 4/( 5 2) ( 5 2) 1 ( 2; 1) (1; ) 1 x x x x xx x                     1 2 1 2 9/4 5/9 9 9 4 4 4 9 .91 4 .21 9/4 21/91 log (21/91) x x x x x x x x x x                2 2 3 1 2 6/2 .4 256;7/2 .5 0,01;8/ 2 . 3 216;9/(3 3 3) (1/81) ;10/2 .3 .5 12 x x x x x x x x x x x        2 2 31 1/ 2 1 4 2 2 1/(3 1) 2 1 3 11/2 5 ;12/8 36.3 ;13/1 5 25;14/2 2 ;15/( 10 3) ( 10 3) x x x xx x x x x x x x x                   2/ Đặt ẩn phụ: 2 2 2 2 2 2 1 2 1/(7 4 3) 3(2 3) 2 0( 3/ 2 0);2/(3 5) (3 5) 2 0 x x x x x x x x tt                  3 3( 1) 1 2 4 4 ( 1/ 2 0);3/2 6.2 1/2 12/2 1( 2 2 );4/3 8.3 9.9 0 x x x x x x x x x x t t t                  ( chia 2 vế cho 2 3 x ); 22 2 1 2 3 2 1 5/4 5.2 6 0;6/4 7.4 2 0 x x x x cosx cosx             ; 22 2 2 1 4 1 7/27 6.64 6.36 11.48 ;8/2 2 2 ;9/( 5 2 6) ( 5 2 6) 10 x x x x x x x x x x            21 22 7 2.3 2 2 4 1 1 10/ 6.(0,7) 7;11/ 1 1 ;12/ 3. 12 100 3 2 1 3 3 x x x x xx x x x x t t                             2 2 2 2 2 1 2 2 2 3 6 3 5 2 13/9 9 10;14/2 9.2 2 0;15/2 15.2 2 ;16/ 9 3 3 9 sin x cos x x x x x x x x x x x x                   2 1 /2 3 1 17/25 10 2 ;18/4 2.6 3.9 ;19/4.3 9.2 5.6 ;20/125 502 x x x x x x x x x x x x         . 3/ Sử dụng tính đơn điệu của hàm số: /2 1 1 1/ 4 2 4 1/2 1 3 ;2/2 3 6 1;3/(2,5) (0,4) 2,9;4/3 2 13;5/2 6 x x x x x x x x x x x                DOÃN XUÂN HUY-THPT Ân Thi-Hưng Yên 2 22 1 2 3 2 6 10 2 6/2 2 ( 1) ;7/2 8 14;8/3 6 6;9/3 5 6 2 x x x x x x x x x x x x x x                    2 3 2 1 1 2 1 10/3 (3 10).3 3 0;11/3.25 (3 7).5 2 0;12/ (3 2 ) 2 2 0 x x x x x x x x x x x x                     2 2 1 2 2 1 1 2 3 3 2 13/3 3 2 2 6 2 6;14/2 3 5 2 3 5 ;15/ 0 42 x x x x x x x x x x x x x x x                        . 22 ( ) ( ) 2 1 16/4 4 8 12 1/2( 3/4);17/4 2 ( ) 2 0( ;0) y sin x cos x sinx sinx x x cos xy k             18/   2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 .2 0,5. 2 2 2 2 0 0;0,5 cos x sin x sin x sin x cos x sin x sin x sin x          2 22 22 1 1 2 22 19/(2 2) (2 2) (2 2) (1 2 /2) ( 2 0);20/2 2 ( 2)/2 xx sin x cos x cos x cos x xx cos x x x             4/ Một số dạng khác: 2 2 2 2 2 1 3 2 6 5 2 3 7 3 2 6 5 2 1 1/4 4 4 1 (4 1)(4 1) 0;2/( 2 1) 1 x x x x x x x x x x x x xx                       2 2 1 1 1 2 1 1 1 2 2 5 2 3/5.3 7.3 1 6.3 9 0 5.3 7.3 3 1 0;4/( ) 1 x x x x x x x x x xx                     2 1 2 2 2 5/4 .3 4.3 1 0 4.3 4.3 1 (2.3 1) 0(*) x x x x x x           BPT vô nghiệm vì x = 0 KTM (*). 2 2 2 3 2 3 4 1 ( 1) 2 1 2 1 2 1 1 6/4 2 2 1;7/ .2 2 .2 2 ;8/ .3 (3 2 ) 2(2 3 ) xx x x x x x x x x x x x x x x x                      2 3 2 2 2 1 2 9/ .3 3 .(12 7 ) 8 19 12;10/4 8 2 4 ( ).2 .2 . 2 x x x x x x x x x x x x x x x                2 2 2 2 2 2 1 2 1 11/ 2 5 3 2 2 .3 . 2 5 3 4 .3 ;12/( 1/2) ( 1/2) x x x x x x x x x x x x x x              2 2 2 2 10 10 2 11 20 13/( 4 ) (4 ) ( 10; 1;4);14/( 2) ( 2) ( 1;2;3;4;5) x x x x x x x x x x x x               2 32 3 1 2 2 2 2 2 15 15/1/(3 1) 1/(1 3 );16/( 1) 1 ;17/( 1) ( 1) xx x x x x xx x x x x x x               25 1 5 5 7 7/5 5 18/ 1 1( ; 1);19/3 ;20/ 5( );21/7 5 ( 7) xx nn xx n x n x x n n cosx x x t x log log               2 1 2 1 22/7 7 ( 0) 1 x x x nx n n x           II. Phương trình, bất phương trình lôgarít: 1/ Đƣa về 1 cơ số: 5 25 0,2 2 3 4 20 1/ 3;2/0,5 (5 4) 1 2 0,18;3/log x log x log lg x lg x lg log x log x log x log x          2 5 1/5 5 1/25 4/ ( 6) 0,5 (2 3) 2 25;5/ ( 1) 5 ( 2) 2 ( 2)lg x lg x lg log x log log x log x           DOÃN XUÂN HUY-THPT Ân Thi-Hưng Yên 3 3 2 3 3 2 3 3 2 1 1 1 4 4 4 3 1 3 3 6/( ). 1; ;7/ ( 2) 3 (4 ) ( 6) 2 8 2 3 x log x log log log x x log x log x log x x              2 2 0,5 0,25 2 0,5 2 8/ ( 3) 5 2 ( 1) ( 1)( 2)9/ (1 /2) 2 /4 0( 1)log x log log x log x log x log x             22 2 0,5 2 4 10/2 ( 1 ) ( 1 ) 3;11/ /(2 ) 0log x x log x x log tanx log cosx cosx sinx           2 5 5 5 5 25 0,2 12/ ( 6) ( 2);13/ 3;14/ ( 2 3) ( 3)/( 1)log x log x log x log x log x log lg x x lg x x           2 2 2 2 3 6 0;15/0,5. (5 4) 1 2 0,18;16/ ( 1). ( 1) ( 1)lg x lg x lg log x x log x x log x x             2 1/5 5 2 2 17/ ( 6 8) 2 ( 4) 0;18/ ( 3) 1 ( 1)log x x log x log x log x         2/3 3 8 1/8 0,5 3 3 2 19/2 ( 2) ( 3) 2/3;20/ 1( (1 3) 1 0 3 ) log log x log x log x log x log x log x            2 2 3 5 2 3 5 5 2 (2 ) 20/ . . ;21/ 3 4. 5 1;22/ ( 2). 2 2 0 xx log x log x log x log xlog xlog x log x log log x log          ( 3) 0,25 2 2 3 3 2 23/ 6 2 (4 ) / ( 3) 1( 3); . 2 . 3 0(0 6 /6; 1) x log log x log x x log xlog x log xlog x x x              2/ Đặt ẩn phụ: 0,04 0,2 16 2 1/1/(4 lg ) 2/(2 lg ) 1;2/ 1 3 1;3/3 16 4 2 x x x log x log x log log x log x          2 31 2 2 2 1/ 2 4/ 16 64 3;5/lg(lg ) lg(lg 2) 0;6/ (4 4). (4 1) 1/8 xx x x log log x x log log log          22 (3 2 ) (3 ) 4 2 2 4 7/ (2 9 9) (4 12 9) 4 0;8/ ( ) ( ) 2( 4 1) t xx log x x log x x log log x log log x x t              2 4 4 3 2 2 2 2 2 25 9/ (2/ ). 1( ( 1)( 2 2 1) 0);10/ (125 ). 1(5&1/625) xx log x log x log x t t t t t log x log x          23 3 3 2 2 5 11/ 3 3 1/2;12/ (4 1) (2 6) ;13/ (5 ). 2 xx x xx log log x log log x log log x log x log x            2 2 2 2 2 8 2 1 1 2 1 14/ 4 2 1 2 4 4 1: 3/2 (2 1) 2 1 2 1 2 x x x log log log t t t log x x x x                                2 sin /16 /64 5 5 15/ . 1/4;16/ 2. 2 2;17/ (5/ ) 1 xcosx sinxcosx x x x x log sinxlog cosx log log log log x log x    1 22 18/ 10 6 0;19/lg(6.5 25.20 ) lg25;20/2(lg2 1) lg(5 1) lg(5 5) x x x x log x log x x             1/3 2 2 /16 2 21/ 5/2 3;22/ 2. 2. 4 1;23/ 2. 2 1/( 6) x x x x x log x log log log log x log log log x     2 2 4 3 3 3 1/2 2 16 24/ 4 9 2 3;25/ 4 2(4 )log x log x log x log x log x log x       1 2 2 2 2 1/ 2 2 1/ 2 4 26/ (2 1). (2 2) 2;27/ 3 5( 3) xx log log log x log x log x          2 2 2 2 2 2 2 6 4 6 3 5 28/ (2 ) (2 );29/2 2 (1/5);30/4 2.3 ( 6 ) log x log log x log log x x x x log x log x log x log x x      DOÃN XUÂN HUY-THPT Ân Thi-Hưng Yên 4 3/ Phƣơng pháp mũ hóa, lôgarít hóa: 23 5 11 1/ 44 5 5 2 3( 1) (lg 5)/3 5 lg 6 lg lg 3 1 1 2 ;2/ 10 ;3/ .5 11 ;4/ 2/ ( 1 1) ( 1 1) x log log log x log x x x x x x x x x x x                    2 22 1/3 4 9 2 (3 ) 5/log ( 5) 0;6/ (3 9) 1;7/ ( 5 6) 1;8/ (3 ) 1 x xx xx log x log log log x x log x                   2 3 2 66 2 2 2 2 2 4 lg 3lg 1 2 9/ 1/ ;10/ 32;11/ 1000;12/6 12;13/ (4 6) 1 log x log x log x log x log x x x x x x x x x x log log              1/2 3 2 1/3 1/ 2 3 6 2 3 1 2 2 1 3 2 14/ 0;15/ ;16/ 0;17/ 1 1 2 2 2 2 xx x x x x x log log log log log log log log log x x x x x                  23 2 3 4 2 2 3 3 3/ 2 3 18/ ( ) 0;19/ ( 2 3 ( 2)) tt log log log x log log x log log x t x t log log        2 3 3 2 3 3 2 3 3 3 2 3 3 20/ ( / ) 2log log x log log x log log x log log x log log x log x log log x       2 33 2 3 log log 2 3 2 3 3 2 3 2 21/ 3 2 (2 3) 1 t xx log log log log log log x log log x log log t x          2log 3 2 3 3 2 3 log    22 2 3 4 4 3 2 3 2 3 4 3 3 22/ ( 4) ( ) (2 )( 1)log log log x log log log x x log log x log log x log t log t t       3 3 3 3 1 4 2 48 1 48log log log t log x         1 48 3 3 4 log ; 2 23/ ( 9 1) 1 x log x x    22 4 0,5 1,5 2 0,25 2 24/2. 2 ;25/ ( 3) 1 ( 4) ( / 3) 0 x log x log x x log x log x x log log x x              4/ Sử dụng tính đơn điệu của hàm số: 2 35 1/ lg( 6) 4 lg( 2) lg( 3) 4 4;2/ ( 1) (2 1) 2 2x x x x x x x log x log x x                  2 3 3 3 3/( 2) ( 1) 4( 1) ( 1) 16 0( ( 1) 4;4/( 2) 80/81;2)x log x x log x log x x x              2 2 2 93 2 2 3 2 4/ (1 ) ( 1 3 2 2);5/ .3 ( 9 12 3 ) t log log x log t t t t log x log x t t x x x log x t              5 ( 3) 6 3 3 2 5 2 6/3 (1 ) 2 ( 2 1 8 4 9 2);7/2 ( 3) log x t t t t log x x log x x t x log x log x                  6 6 6 26 2 3 5 2;8/ 3 3 2 6 3 2 1 1/6 log x log x log x t t t t t t x log x log x x t x                   2 2 2 1 3 2 2 3 9/3 1;10/2 2 8/ (4 4 4)( , 1/2) log x xx x log x x VP VT x          7 3 7 3 11/ ( 2)( ( 7 2) 3 7 2 1 (2) ( ) tt t log x log x log x t t log f f t             7 ( 7 /3) 2.(1/3) 2 49 0) tt t log x x       22 2 2 2 2 3 2 1/3 3 3 12/4 ( 2 3) 2 (2 2 2) 0 2 ( 2 3) x x x x x log x x log x log x x                2 2 2 2 3 2 (2 2 2) 2 3 2 2 2 3 x log x x x x x             DOÃN XUÂN HUY-THPT Ân Thi-Hưng Yên 5 2 2 2 2 2 3 2 3 13/ ( 5 5 1) ( 5 7) 2( 5 5 ( ) ( 1) ( 2) 2log x x log x x t x x f t log t log t                (1) 0 1 1 (5 5)/2 (5 5)/2 4f t x x            22 22 22 14/2 (4 2) 1 2 ( 2) 2 . 1 2 xx log x x log x VT VP x                 3 2 2 3 4 5 15/2 cot ( 1);16/ ( 1) ( 2) ( 3)log x log cosx t t log x log x log x log x           24 ( ) ( 2) '( ) 1/ ln2 1/( 2)ln4 0 0f x log x log x f x x x x           f(x) đồng biến khi x > 0. Tương tự 35 ( ) ( 1) ( 3)g x log x log x    cũng đồng biến khi x > 0. Suy ra pt có nghiệm dn x = 2.   2 1/2 1/ 2 2 2 16/( 1) (2 5) 6 0 ( 2) ( 1) 3 0 0 2 4x log x x log x log x x log x x x               2 2 2 3 2 5 11 5 11 2 ( 4 11) ( 4 11) 17/ 0( 4 11 0; ( ) 2 3 ; 2 5 3 log x x log x x t x x f t log t log t xx                '( ) ln(121/125) / ln5.ln11 0 0;0 (1) 2 15 6f t t t f x x          2 2 2 (2 3) 2 2 3 18/ ( 2 2) ( 2 3); 2 3 2; 2 3 0log x x log x x a t x x               2 2 2 ( 1) 1 (2 ) ( /2) (1/2 ) 1 2 1 11 4 3 u u u u a a log t log t u a a a a u x                2 2 2 1/3 1/3 2 19/( 1) 2( 3) 8 0;20/2 8 (2 1)/( 1)x log x x log x x x log x x             2 2 2 22 2( 1) ( 1) (2 1) 2(2 1) ( 1) 2 1 0;4x log x log x x x x x             5/ Một số Phƣơng trình, bất phƣơng trình khác:   22 2 ( 6) 2 1/3 1/3 1/1/ 2 3 1 1/ ( 1) (0;1/2) (1;3/2) (5; ) ;2/(2 3.2 ) 1( 1) log x log x xx log x x log x a             3/ ( 1) lg1,5(0 1 0 ; 1 1 ) x log x x VT VP x VT VP           2 2 2 2 22 4/ ( 3 1) 2 0 0 ( 2)( 3) 1& 3 2 3 1 0log x x log x t t t t t x                  1 2 2 3 3 5/ (3.2 1) / 1( 1 (2/3) 0);6/( 1)/ (9 3 ) 3 1( log 9 3 0) xx log x x log x x log MS                         5 5 3 3 4 4 7/ ( /3) (2 )/ ((0; 5/5) (1;3));8/1/ ( 1)/( 2) 1/ ( 3) x log x log x log x log x log x log x x log x        III. Hệ phương trình, bất phương trình mũ và lôgarít: 3 1 2 3 2 3 2 1 2 2 2 3.2 3 2 77 2 5 4 2 2 12 1/ ;2/ ;3/ ;4/ ; 5 3 2 7 4 2 (2 2) 3 1 1 x y y x x y x xy x y x x x yy xy y x xy x                                    DOÃN XUÂN HUY-THPT Ân Thi-Hưng Yên 6 2 3 2 3 5 1 2 1 4 2 4 5( ) 26 4 3.4 2(1) 3 5 (1) 5/ ;6/ ;7/ 3 2 3(2) 64 4 1 ( 3) 8(2) x x log x y y y xy log y log x x y log xy y y y                             88 12 () 2 2 2 x+y 3 3 3 3 44 (1 2 2) 1 3 4 8/ ;9/ ;10/ ;11/ 12 1 23 xy log y log x xy xy log log xy xlog log y y log x xy xy xlog log x y log y log x log y yx xy                               22 12 2 2 2 2 2 2 2 3 2 ( )( 1) 0(1) .2 3 .2 2 12/ ;13/ ;14/ 2 .2 3 .8 1 1 /3 3 5 9 0(2) xy x y x y x y x y e e log y log x xy log x log x xy xy x y x x x                               1 1/4 4 22 23 93 ( ) (1/ ) 1 1 2 1 ( 1)lg2 lg(2 1) lg(7.2 12) 15/ ;16/ ;17/ ( 2) 2 25 3 (9 ) 3 xx x log y x log y xy x log x xy log x log y                          Gợi ý một số bài: Bài 5: 2 23 32 (1) 3 5 1 3 0 3 (2): 4 1 ( 3) 8 xx y y y y y y                    ( 3) 0 3 0 3 1;3y y y y x             Bài 6: 4 1 2 3 2 1 2 1 2 2 1 4 (2) 1 1 2 3;(1) 2 4 3.4 (3.4 1) 0 4 1/3 y log y y y x y y log                   44 0,5 (4/3); 2 (9 3/8)y log x log    Bài 14: (1) có nghiệm ( 1; 4 ). Hàm số vế trái của (2) dương trên khoảng ( 1; 4 ) nên hệ có nghiệm là khoảng ( 1; 4 ). // . DOÃN XUÂN HUY-THPT Ân Thi-Hưng Yên 1 PHƢƠNG TRÌNH, HỆ PHƢƠNG TRÌNH, BẤT PHƢƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARÍT I .Phương trình, bất phương trình mũ : 1/ Đƣa về cùng một cơ số hoặc hai cơ số:. 1/ ( 3) x log x log x log x log x log x log x x log x        III. Hệ phương trình, bất phương trình mũ và lôgarít: 3 1 2 3 2 3 2 1 2 2 2 3.2 3 2 77 2 5 4 2 2 12 1/ ;2/ ;3/ ;4/.         2 1 2 1 22/7 7 ( 0) 1 x x x nx n n x           II. Phương trình, bất phương trình lôgarít: 1/ Đƣa về 1 cơ số: 5 25 0,2 2 3 4 20 1/ 3;2/0,5 (5 4) 1 2 0,18;3/log