Phần I: Đặt vấn đề. 1. Lý do chọn đề tài: Ngay từ khi bắt đầu làm quen với môn toán học sinh đã gặp rất nhiều bài toán dạy tìm x và đến khi đợc học khái niệm về phơng trình, thì các em hiểu rằng thực ra mình đã đợc làm quen với phơng trình từ học lớp 1. Có thể nói giải phơng trình là một dạng toán xuyên suốt chơng trình toán ở trờng THCS . Đặc biệt ở lớp 8, 9. Trong xu thế đổi mới phơng pháp dạy học hiện nay mục đích quan trọng của việc dạy là phải phát huy đợc tính tích cực học tập, khả năng t duy độc lập và sáng tạo của học sinh. Vì thế việc vận dụng kiến thức ở sách giáo khoa trong chơng trình cơ bản một cách linh hoạt để giải đợc các bài toán nâng cao, yêu cầu tổng hợp đợc kiến thức là một việc hết sức cần thiết. Sau khi HS đã đợc học cách giải phơng trình bậc nhất (lớp 8) và các cách giải ph- ơng trình bậc hai (lớp 9) thì việc tìm nghiệm nguyên của các phơng trình là một việc làm nhằm mục đích rèn luyện khả năng t duy tích cực, t duy độc lập, sáng tạo và khả năng linh hoạt cho HS, khác phục tính dập khuôn, máy móc, theo lối mòn của các em. Hơn nữa giải phơng trình nghiệm nguyên là một dạng toán hóc búa trong các đề thi vào PTTH ở rất nhiều năm trớc đây. Với mong muốn rèn luyện đợc tính linh hoạt, chủ động cho HS giải toán và giúp các em có đợc kết quả học tập mà cả gia đình, nhà trờng đều mong muốn là: Đạt kết quả cao trong các kì thi tôi nghĩ rằng đề tài này là cần thiết. 2. Mục đích nghiên cứu: Là để truyền thụ tốt cho HS nắm đợc phơng pháp đặc trng về tìm nghiệm nguyên của phơng trình. 3. Đối tợng nghiên cứu: Là học sinh lớp 8 4. Phơng pháp nghiên cứu: - Phân tích. - Tổng hợp. 1 - Thử nghiệm. 5. Phạm vi nghiên cứu : Tìm nghiệm nguyên của phơng trình Học sinh lớp 8 6. Thời gian nghiên cứu: Phần II. Nội dung I. Cơ sở lí luận của vấn đề nghiên cứu: Toán học là công cụ thiết yếu giúp HS học tập tốt các môn học khác đồng thơi giúp cho ngời học đạt kết quả cao trong học tập cũng nh mọi hoạt động xã hội khác. Muốn đạt đợc mục đích đó trớc tiên phải biết tận dụng kiến thức để giải toán một cách linh hoạt, sáng tạo. Việc tìm nghiệm nguyên của phơng trình đòi hỏi tính linh hoạt,sáng tạo cao. Đến lớp 9 HS đã có một lợng không ít kiến thức về Đại số, trong đó có rất nhiều phần đều đợc thầy cô lu ý là phần quan trọng : Các hằng đẳng thức, các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử; tính chất luỹ thừa bậc chẵn, tính chất chia hết của các số nguyên, công thức nghiệm của phơng trình bậc hai, giải phơng trình nghiệm nguyên giúp HS thấy đợc mối quan hệ giữa các phần kiến thức trọng tâm đó trong chơng trình Toán ở THCS nét đẹp của Toán học. Muốn nắm vững các phơng pháp giải phơng trình nói chung, phơng pháp giải phơng trình nghiệm nguyên nói riêng cần phải rèn luyện các phẩm chất trí tuệ: - Tập quan sát, dự đoán. - Tính chính xác trong suy luận. - Suy luận lôgic chặt chẽ. - Tính kiên nhẫn, chịu khó, cần cù, ham thích lẽ phải và chân lí. 2 Nói tóm lại ngời học, ngời dạy đều cần phải có sự say mê, có ham muốn và có lúc cần phải đóng vai trò là một ngời nghiên cứu: mò mẫm, dự đoán, đặc biệt hoá, tổng quát hoá, phân tích tổng hợp để tìm ra phơng pháp (kỹ năng )giải các dạng toán ( cũng nh hình thành kiến thức mới) chứ không phải học hay dạy học là đi theo lối mòn một cách máy móc, thiếu linh hoạt. II. Thực trạng : Với phơng trâm đổi mới phơcg pháp dạy học học toán ở trờng THCS hiện nay (cũng) đã có những bớc chuyển biến mới: không còn tình trạng thầy đọc, trò chép, thầy nói, trò ghi học sinh đã chủ động trong việc tiếp thu kiến thức. Những kĩ năng giải toán của HS vẫn còn yếu: Một bộ phận không ít HS không biết vận dụng kiến thức để giải bài tập, phần còn lại chủ yếu chỉ vận dụng đợc kiến thức một cách trực tiếp ( áp dụng quy tắc, công thức để giải ), khi gặp các bài toán yêu cầu phải vận dụng kiến thức một cách tổng hợp, linh hoạt (các dạng toán khác thờng)các em thờng không tập trung t duy mà chờ thầy, cô gỡ nút . Để khắc phục tình trạng này, tôi quyết định lồng vào giờ dạy một số bài tập về phơng trình nghiệm nguyên. III. Một số phơng pháp tìm nghiệm nguyên của phơng trình : 1. Sử dụng các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử biến đổi phơng trình về dạng 1 vế là tích của các đa thức (của ẩn) với hệ số nguyên, vế kia là 1 số nguyên (đặc biệt là một số nguyên tố): A(x, y, t) . B(x, y, t) . P(x, y, t) = K ), ,( ), ,( ), ,( tyxP tyxB tyxA Ví dụ: Tìm nghiệm nguyên của các phơng trình sau: 3 (k 1 ,k 2 ,,k n Z k.k 2 ,k n =k) a) 2x 2 + 3xy – 2y 2 = 15 (1) ⇔ 2x 2 + 4xy – xy – 2x 2 = 15 ⇔ 2x(x + 2y) – y(x +2y) = 15 ⇔ (x + 2y)(2x – y) = 15 (*) V× x, y ∈ Z ⇒ x + 2y ∈ Z; 2x – y ∈ Z, nªn: −=− −=+ −=− −=+ =− =+ =− =+ −=− −=+ −=− −=+ =− =+ =− =+ 32 52 52 32 32 52 52 32 12 152 152 12 12 152 152 12 yx yx yx yx yx yx yx yx yx yx yx yx yx yx yx yx 4 (*) ⇔ += ∉= ∉ − = −−= −= ∉= −= ∉= += ∉ − = ∉= ∉−= ∉ − = ∉= ∉−= ∉= 32 5 11 1 5 1 23 32 5 11 23 5 1 12 5 17 5 13 5 31 5 29 5 17 5 13 5 31 xy Zx Zy yx xy Zx yx Zy xy Zx Zy Zx Zy Zx Zy Zx ⇔ (Lo¹i) (Lo¹i) (Lo¹i) (Lo¹i) (Lo¹i) (Lo¹i) (Lo¹i) (Lo¹i) Phơng trình (1) không có nghiệm nguyên. b) xy + x + y = 6 (2) ( xy + y) + (y + 1) = 7 (y + 1)(x + 1) = 7 =+ =+ =+ =+ =+ =+ =+ =+ 11 71 71 11 11 71 71 11 y x y x y x y x Vậy phơng trình (2) có 4 nghiệm nguyên: (x = 0; y = 6); (x = 6; y = 0); (x =- 2; y = -8); (x = -8; y = -2). 2. Sử dụng tính chất của luỹ thừa bậc chẵn : a 2k 0 ( a) A 2k (x;y;.;t) + B 2k (x;y;;t) + + P 2k (x;y;;t) = 0 ( k N; k 0) = = = 0); ;;( 0); ;;( 0); ;;( tyxP tyxB tyxA Ví dụ : Tìm nghiệm nguyên của phơng trình : 2x 2 + 2xy + y 2 = 2x 1 ( x 2 + 2xy + y 2 ) + (x 2 - 2x + 1) = 0 ( x + y) 2 + (x 1) 2 = 0 = =+ 01 0 x yx (vì (x + y) 2 0 và (x 1 ) 2 0 với mọi x, y) = = 1 1 y x Vậy phơng trình có một nghiệm nguyên ( x = 1; y = -1) 3. Sử dụng tính chất chia hết của các số nguyên : Ví dụ: Tìm nghiệm nguyên của phơng trình: * xy + 2y = 3x + 5 5 (Vì x, y Z và Ư (7) = [ 1; 7] = = = = = = = = 2 8 8 2 0 6 6 0 y x y x y x y x y(x + 2) = 3x + 5 nếu x + 2 = 0 x = -2 phơng trìng vô nghiệm. Với x -2 ta có: y = 2 1 2 63 2 53 + + + = + + xx x x x y = 3 - 2 1 x Do x; y Z 2 1 x Z. x + 2 là Ư (1) =+ =+ 12 12 x x Với +) x = -1 y = 2 +) x = -3 y = 4 Vậy nghiệm nguyên của phơng trình đã cho là: (-1; 2) và (-3; 4). Phần III. Kết luận Việc hình thành một số phơng pháp tìm nghiệm nguyên của phơng trình đã có tác dụng củng cố các phần trọng tâm trong chơng trình Đại số ở THCS, tạo đợc sự say mê tìm tòi, nghiên cứu, học hỏi ở học sinh và đặc biệt chất lợng trong bài kiểm tra kiến thức Đại số 8 đã nâng lên rõ rệt, cụ thể ở lớp 8 nh sau : XL Giỏi Khá TB Yếu SL Tỷlệ(%) SL Tỷlệ(%) SL Tỷlệ(%) SL Tỷlệ(%) đầu năm Học kỳ I Cũng từ việc làm đó tôi rút ra bài học kinh nghiệm sau : Trong giảng dạy cần phải linh hoạt, sáng tạo, ngoài những bài tập rèn luyện các kỹ năng giải toán đơn giản muốn học sinh nắm vững, hiểu sâu đợc kiến thức cần phải cho học sinh làm quen với các bài tập cần vận dụng kiến thức linh hoạt, tổng hợp mới phát huy đợc năng lực t duy tích cực, sáng tạo của học sinh. * Các tài liệu tham khảo - Đề thi vào PTTH. - Chọn lọc và phát triển Đại số 7. - Các bài toán nâng cao lớp 7. - Nâng cao và phát triển Đại số 8. 6 = = 3 1 x x - 23 chuyên đề toán Mục lục Nội dung Tran g Phần I : Đặt vấn đề 1. Lý do chọn đề tài 2. Mục đích nghiên cứu 3. Đối tợng nghiên cứu 4 . Phơng pháp nghiên cứu 5 . Phạm vi nghiên cứu 6. Thời gian nghiên cứu Phần II : Nội dung I. Cơ sở lý luận của vấn đề nghiên cứu II. Thực trạng III. Những biện pháp để thực hiện Phần III : Kết luận Những đề xuất, đề nghị Các tài liệu tham khảo Mục lục 1 1 1 1 2 2 2 2 2 3 4 7 7 8 9 7 . về tìm nghiệm nguyên của phơng trình. 3. Đối tợng nghiên cứu: Là học sinh lớp 8 4. Phơng pháp nghiên cứu: - Phân tích. - Tổng hợp. 1 - Thử nghiệm. 5. Phạm vi nghiên cứu : Tìm nghiệm nguyên của. (của ẩn) với hệ số nguyên, vế kia là 1 số nguyên (đặc biệt là một số nguyên tố): A(x, y, t) . B(x, y, t) . P(x, y, t) = K ), ,( ), ,( ), ,( tyxP tyxB tyxA Ví dụ: Tìm nghiệm nguyên của. y) = = 1 1 y x Vậy phơng trình có một nghiệm nguyên ( x = 1; y = -1) 3. Sử dụng tính chất chia hết của các số nguyên : Ví dụ: Tìm nghiệm nguyên của phơng trình: * xy + 2y = 3x + 5 5 (Vì