PP tìm nghiệm nguyên

Giải phương trình – một dạng tốn đã trở nên q quen thuộc với người học tốn, một dạng tốn mà ngay từ Tiểu học các em đã được làm quen với nó (Bài tốn tìm x). Giờ đây với chúng ta nó càng đa dạng hơn, hấp dẫn hơn và dĩ nhiên sẽ phức tạp hơn rất nhiều. Chúng ta vẫn thường quen với giải phương trình bậc nhất (ở lớp 8), phương trình bậc hai (ở lớp 9). Nhưng ngay từ lớp 6, bài tốn tìm nghiệm ngun đã gây khơng ít khó khăn tới học sinh. Tuần này CLB muốn gửi đến các em Kỳ I về 3 phương pháp tìm nghiệm ngun. Mời các em tham khảo. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VỚI NGHIỆM NGUYÊN KỲ I: 3 PHƯƠNG PHÁP ƯU VIỆT NHẤT I. Phương pháp phát hiện tính chia hết của một ẩn Xét PT: ax + by = c (1) , trong đó a,b,c ∈ Z; a ≠ 0 hoặc b ≠ 0 Ta có đònh lí: “PT (1) có nghiệm nguyên  c  ƯCLN(a,b) Khi đã biết chắc PT (1) có nghiệm nguyên ta sẽ tìm các phương pháp để giải PT đó. Ví dụ1. Giải phương trình với nghiệm nguyên : 3x + 17y = 159 Hướng dẫn : Để ý 3x và 159 đều chia hết cho 3 Giải : Vì 3x và 159 đều chia hết cho 3. Do đó 17y chia hết cho 3. Mà 17 và 3 nguyên tố cùng nhau, nên y  3. Đặt y = 3t (t ∈ Z). => 3x + 17.3t = 159 ⇔ x + 17t = 53. Do đó :    = −= ty tx 3 1753 (t ∈ Z). Thử lại, ta thấy x, y nghiệm đúng phương trình. Vậy nghiệm nguyên của phương trình : :    = −= ty tx 3 1753 (t ∈ Z). Bài tập tương tự : 1/ Tìm các nghiệm nguyên của phương trình : a) 2x + 13y = 156 ; (Đáp số :    −= = ty tx 212 13 (nếu phát hiện x  13) hoặc    = −= ty tx 2 1378 (nếu phát hiện y  2) (Thực chất các nghiệm trên là như nhau) b) 35x + 20y = 120 2/ Chứng minh rằng không tồn tại các số nguyên x, y sao cho 2x 2 + y 2 = 2007 Giải 2x 2  2, 2007  2 nên y 2 lẻ ⇒ y = 2k + 1. Ta có 2x 2 + 4k 2 + 4k = 2006. Vì 2006 chia 4 dư 2 nên 2x 2  4 tức x lẻ, x = 2h + 1. Từ đó 2(2h + 1) 2 + 4k 2 + 4k = 2006 ⇔ 8h 2 + 8h + 4k 2 + 4k = 2004. Sốø 2004  8 mà 8h 2 + 8h + 4k 2 + 4k  8. Vô lí. Vậy không tồn tại các số nguyên x, y thỏa mãn 2x 2 + y 2 = 2007. 3/ Tồn tại hay không m, n ∈ N thỏa mãn m 2 + 2006 = n 2 . Giải Ta có 2006 = n 2 – m 2 = (n – m)(n + m). Nếu n và m không cùng tính chẵn, lẻ thì n 2 – m 2 = (n – m)(n + m) là số lẻ ≠ 2006. Nếu n, m cùng tính chẵn lẻ thì n 2 – m 2 = (n – m)(n + m)  4. Nhưng 2006  4. Vậy không tồn tại m, n ∈ N thỏa mãn m 2 + 2006 = n 2 . II/ PHƯƠNG PHÁP TÁCH RA CÁC GIÁ TRỊ NGUYÊN Hướng giải quyết chung : Biểu thò một ẩn theo ẩn còn lại. Dùng tính chất ẩn là một số nguyên để giải tiếp. Ví dụ 2. Tìm các nghiệm nguyên của phương trình : xy – x – y = 2 Giải : Biểu thò x theo y : x(y – 1) = y + 2 Ta thấy y khác 1 (vì nếu y = 1 thì ta có 0x = 3, vô nghiệm. Do đó : x = 1 2 − + y y = 1 + 1 3 − y . Để x ∈ Z thì 1 3 − y ∈ Z => y – 1 ∈ Ư(3) y – 1 = 1 y = 2; x= 4 y = 0; x = -2 y – 1 = -1 => y = -2 ; x = 0 => y – 1 = -3 y = 4 ; x = 2 y – 1 = 3 Ví dụ 3. Tìm các nghiệm nguyên của phương trình : 7x + 4y = 23 Giải : Biểu thò y theo x ta được : y = 4 1 26 4 723 − +−= − x x x Để x ∈ Z thì 4 1 − x ∈ Z ; Đặt 4 1 − x = t (t ∈ Z) => x = 4t + 1 => y = 4 – 7t Thay các giá trò x, y vào PT đã cho ta được nghiệm đúng Vậy nghiệm nguyên của PT là : x = 4t + 1 ; y = 4 – 7t (t ∈ Z) III/ PHƯƠNG PHÁP TÌM MỘT NGHIỆM RIÊNG Ta có đònh lí : Cho PT ax + by = c (1) trong đó a,b,c ∈ Z ; a ≠ 0 ; b ≠ 0 và (a,b) = 1. Nếu (x 0 ; y 0 ) là một nghiệm nguyên của PT (1) thì PT (1) có vô số nghiệm nguyên và mọi nghiệm nguyên của nó đều có thể biểu diễn dưới dạng : x = x 0 + bt y = y 0 - at Ví dụ : Tìm các nghiệm nguyên của phương trình : 5x - 3y = 2 Giải : Cách 1 : Dễ thấy x 0 = 1 ; y 0 = 1 là một nghiệm riêng nên tập hợp các nghiệm nguyên của phương trình là : x= 1 -3t y= 1 – 5t Cách 2 : Ta cũng thấy x 0 = 4 ; y 0 = 6 là một nghiệm riêng nên tập hợp các nghiệm nguyên của phương trình là : x= 4 -3t y= 6 – 5t Bài tập : Tìm các nghiệm nguyên của phương trình : 1/ 22x – 5y = 77 2/ 7x + 5y = 19 Với t ∈ Z Với t ∈ Z Với t ∈ Z . có nghiệm nguyên  c  ƯCLN(a,b) Khi đã biết chắc PT (1) có nghiệm nguyên ta sẽ tìm các phương pháp để giải PT đó. Ví dụ1. Giải phương trình với nghiệm nguyên. thấy x, y nghiệm đúng phương trình. Vậy nghiệm nguyên của phương trình : :    = −= ty tx 3 1753 (t ∈ Z). Bài tập tương tự : 1/ Tìm các nghiệm nguyên của