Giải phương trình – một dạng toán đã trở nên quá quen thuộc với người học toán, một dạng toán mà ngay từ Tiểu học các em đã được làm quen với nó (Bài toán tìm x).. Giờ đây với chúng ta n[r]
(1)Giải phương trình – dạng tốn trở nên quen thuộc với người học toán, dạng toán mà từ Tiểu học em làm quen với (Bài tốn tìm x) Giờ với đa dạng hơn, hấp dẫn dĩ nhiên phức tạp nhiều
Chúng ta thường quen với giải phương trình bậc (ở lớp 8), phương trình bậc hai (ở lớp 9) Nhưng từ lớp 6, tốn tìm nghiệm ngun gây khơng khó khăn tới học sinh Tuần CLB muốn gửi đến em Kỳ I phương pháp tìm nghiệm nguyên Mời em tham khảo
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VỚI NGHIỆM NGUYÊN KỲ I: PHƯƠNG PHÁP ƯU VIỆT NHẤT I Phương pháp phát tính chia hết ẩn
Xét PT: ax + by = c (1) , a,b,c Z; a b 0 Ta có định lí: “PT (1) có nghiệm nguyên c ƯCLN(a,b)
Khi biết PT (1) có nghiệm ngun ta tìm phương pháp để giải PT Ví dụ1 Giải phương trình với nghiệm nguyên : 3x + 17y = 159
Hướng dẫn : Để ý 3x 159 chia hết cho
Giải : Vì 3x 159 chia hết cho Do 17y chia hết cho Mà 17 nguyên tố nhau, nên y Đặt y = 3t (t Z)
=> 3x + 17.3t = 159 x + 17t = 53 Do :
t y
t x
3 17 53
(t Z) Thử lại, ta thấy x, y nghiệm phương trình
Vậy nghiệm nguyên phương trình : :
t y
t x
3 17 53
(t Z) Bài tập tương tự :
1/ Tìm nghiệm nguyên phương trình : a) 2x + 13y = 156 ; (Đáp số :
t y
t x
2 12 13
(nếu phát x 13)
t y
t x
2 13 78
(nếu phát hieän y 2)
(Thực chất nghiệm nhau) b) 35x + 20y = 120
2/ Chứng minh không tồn số nguyên x, y cho 2x2 + y2 = 2007
Giaûi 2x2
2, 2007 nên y2 lẻ y = 2k + Ta coù 2x2 + 4k2 + 4k = 2006 Vì 2006 chia
dư nên 2x2 tức x lẻ, x = 2h + Từ 2(2h + 1)2 + 4k2 + 4k = 2006
8h2 + 8h + 4k2 + 4k = 2004 Soẩ 2004 maø 8h2 + 8h + 4k2 + 4k Vođ lí Vy khođng toăn
tại số nguyên x, y thỏa maõn 2x2 + y2 = 2007.
3/ Tồn hay không m, n N thỏa mãn m2 + 2006 = n2.
Giải Ta có 2006 = n2 – m2 = (n – m)(n + m) Nếu n m không tính chẵn, lẻ n2 – m2 =
(n – m)(n + m) số lẻ 2006 Nếu n, m tính chẵn lẻ thì n2 – m2 = (n – m)(n + m)
Nhöng 2006 Vậy không tồn m, n N thỏa mãn
(2)II/ PHƯƠNG PHÁP TÁCH RA CÁC GIÁ TRỊ NGUYÊN
Hướng giải chung : Biểu thị ẩn theo ẩn lại Dùng tính chất ẩn số nguyên để giải tiếp
Ví dụ Tìm nghiệm nguyên phương trình : xy – x – y = 2 Giải : Biểu thị x theo y : x(y – 1) = y +
Ta thấy y khác (vì y = ta có 0x = 3, vơ nghiệm Do : x = yy 12 = + y3 1
Để x Z y3 1 Z => y – Ư(3)
y – = y = 2; x=
y = 0; x = -2 y – = -1
=> y = -2 ; x = => y – = -3
y = ; x = y – =
Ví dụ Tìm nghiệm nguyên phương trình : 7x + 4y = 23 Giải : Biểu thị y theo x ta : y =
4
6
7
23
x
x x
Để x Z
4
x
Z ; Đặt
4
x
= t (t Z) => x = 4t + => y = – 7t Thay giá trị x, y vào PT cho ta nghiệm
Vậy nghiệm nguyên PT : x = 4t + ; y = – 7t (t Z) III/ PHƯƠNG PHÁP TÌM MỘT NGHIỆM RIÊNG
Ta có định lí : Cho PT ax + by = c (1) a,b,c Z ; a ; b (a,b) = Nếu (x0; y0) nghiệm nguyên PT (1) PT (1) có vơ số nghiệm ngun nghiệm
ngun biểu diễn dạng : x = x0 + bt
y = y0 - at
Ví dụ : Tìm nghiệm nguyên phương trình : 5x - 3y = 2 Giải :
Cách : Dễ thấy x0 = ; y0 = nghiệm riêng nên tập hợp nghiệm ngun phương
trình :
x= -3t y= – 5t
Cách 2 : Ta thấy x0 = ; y0 = nghiệm riêng nên tập hợp nghiệm ngun
phương trình :
x= -3t y= – 5t
Bài tập : Tìm nghiệm nguyên phương trình : 1/ 22x – 5y = 77
2/ 7x + 5y = 19
Với t Z
Với t Z