Đường Thẳng trong Không gian

a ∆ r ∆ a r ∆ d d a a ∆ = r r ∆ [n ,n ] α β r r n α r n β r α β a r • M ∆ Chủ đề: Đường thẳng trong không gian Hình học 12 Chủ đề: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN A- KIẾN THỨC CẦN NHỚ: I. VECTƠ CHỈ PHƯƠNG CỦA ĐƯỜNG THẲNG Định nghĩa a ( 0)≠ r r làVTCP của ∆ ⇔ giá( a r ) //, ≡ ∆ Lưu ý  i,j,k r r r lần luợt là VTCP của trục Ox, Oy, Oz.  ∆ qua 2 điểm A, B thì ∆ có VTCP AB uuur .  ∆ // d ⇒ VTCP của d là VTCP của ∆.  ∆ ⊥ ( α ) ⇒ VTPT cuûa (α) laø VTCP cuûa ∆.  ∆ là giao tuyến của 2 mặt phẳng (α) và (β) thì ∆ có VTCP là: a [n ,n ] ∆ α β = r r r II. PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ Định lý Nếu ∆ qua M(x o ; y o ; z o ) và có vectơ chỉ phương a r = (a 1 ; a 2 ; a 3 ) thì (∆) có phương trình tham số là: o 1 o 2 o 3 x x a t ( ): y y a t , (t ). z z a t  = +  ∆ = + ∈   = +  ¡ Lưu ý •Mỗi giá trị t ∈ IR ứng với một điểm thuộc ∆ và ngược lại. •Mỗi đuờng thẳng ∆ có nhiều phương trình tham số do tọa độ M và a r quyết định. ( ) o 1 o 2 o 3 M M x a t!; y a t!; z a t ∈∆⇔ + + + Đặc biệt Ox : x t y 0 z 0  =  =   =  , Oy : x 0 y t z 0  =  =   =  , Oz : x 0 y 0 z t  =  =   =  III. PHƯƠNG TRÌNH CHÍNH TẮC Định lý Nếu ∆ qua điểm M(x o ; y o ; z o ) và có VTCP a r = (a 1 ; a 2 ; a 3 ) với a 1 a 2 a 3 ≠ 0 thì ∆ có phương trình chính tắc là : o o o 1 2 3 x x y y z z ( ) : a a a − − − ∆ = = B- BÀI TẬP MINH HỌA: PHƯƠNG PHÁP  Tìm 1 điểm đi qua và VTCP ∆ : = +   = +   = +  o o o x x at y y bt z z ct , t ∈ IR ∆ : − − − = = o o o x x y y z z a b c , (abc ≠ 0)  Tìm 2 điểm đi qua PHÂN DẠNG • DẠNG 1: Qua 2 điểm • DẠNG 2: Qua 1 điểm và vuông góc 1 mặt phẳng. • DẠNG 3: Qua 1 điểm và song song 1 đường thẳng. • DẠNG 4: Giao tuyến của hai mặt phẳng. • DẠNG 5: Hình chiếu vuông góc của một đường thẳng trên một mặt phẳng. • DẠNG 6: Qua 1 điểm, cắt và vuông góc một đường thẳng. • DẠNG 7: Qua 1 điểm và cắt 2 đường thẳng chéo nhau. • DẠNG 8: Vuông góc 1 mặt phẳng và cắt 2 đường thẳng • DẠNG 9: Qua 1 điểm, vuông góc 1 đường thẳng và cắt 1 đường thẳng. • DẠNG 10: Nằm trong 1 mặt phẳng, vuông góc và cắt 1 đường thẳng. • DẠNG 11: Nằm trong 1 mp và cắt 2 đường thẳng. • DẠNG 12: Đường vuông góc chung của 2 đường thẳng. Gv: Lê Huy Đức – Võ Thị Quỳnh Mai 1 Trường THPT Lưu Tấn Phát ∆ α a n ∆ α = r r ∆ α u n ∆ α = r r M • Chủ đề: Đường thẳng trong không gian Hình học 12 Bài 1: a) (TNPT-PB-CB-2006).Viết PTTS của đt d đi qua 2 điểm A(– 1 ; 1 ; 2), B(0 ; 1 ; 1). b) Viết phương trình chính tắc đường thẳng ∆ qua 2 điểm P(2 ; 3 ; – 1), Q(1 ; 2 ; 4). HD: a) d qua A(– 1 ; 1 ; 2) và có vectơ chỉ phương ( ) AB 1 ; 0 ;–1 = uuur nên có phương trình tham số là: x 1 t d : y 1 z 2 t  = − +  =   = −  b) ∆ qua P(2 ; 3 ; – 1) và có vectơ chỉ phương ( ) PQ –1 ;–1 ; 5= uuur nên có phương trình chính tắc: ∆ : x 2 y 3 z 1 1 1 5 − − + = = − − Bài 2: Cho A(1 ; 0 ; – 1), B(1 ; 2 ; 1), C(0 ; 2 ; 0). Gọi G là trong tâm tam giác ABC.Viết phương trình đường thẳng OG. HD: G là trọng tâm tam giác ABC nên : G A B C G x x x 2 x 3 3 ( )  + + = =     ⇒ G(2/3 ; 4/3 ; 0) OG qua O và có VTCP OG uuur = ( ) Bài 3: Cho A(3; – 2 ; – 2) và mặt phẳng (P): 2x – 2y + z – 1 = 0. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua A và vuông góc (P). HD: (P) có vectơ pháp tuyến P n r = (2 ; – 2 ; 1) ∆ qua A(3; – 2 ; – 2) và vuông góc (P) nên ∆ có vectơ chỉ phương là: u ∆ r = P n r = (2 ; – 2 ; 1) Phương trình ∆ là : ∆: x 3 2t y 2 2t z 2 t  = +  = − −   = − +  ( hay ∆ : x 3 y 2 z 2 2 2 1 − + + = = − ) Bài 4:Viết phương trình tham số, chính tắc (nếu có) đường thẳng : a) ∆ đi qua điểm M(4 ; 3 ; 1) và song song đường thẳng: d : x 1 2t y 3t z 3 2t  = +  = −   = +  ( hay d : x 1 y z 3 2 3 2 − − = = − ) b) d qua A(2 ; – 1 ; 1) và song song trục Oy. HD: a) d có vectơ chỉ phương là: d u r = (2 ; – 3 ; 2) ∆ qua M(4 ; 3 ; 1) và song song d nên ∆ có vectơ chỉ phương u ∆ r = d u r = (2 ; – 3 ; 2). PTTS ∆ : x 4 2t y 3 3t z 1 2t  = +  = −   = +  PTCT ∆ : x 4 y 3 z 1 2 3 2 − − − = = − b) d qua A(2 ; – 1 ; 1) và song song trục Oy nên d có vectơ chỉ phương j r = (0 ; 1; 0). PTTS d : x 2 y 1 t z 1  =  = − +   =  . Không có PTCT. Bài 5: Viết phương trình tham số đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng : (α) : x + 2y – z + 3 = 0 (β) : 2x – 3y + 5z – 1 = 0 HD: Hệ tọa độ các điểm thuộc ∆ là : x 2y z 3 0 2x 3y 5z 1 0  + − + =  − + − =  C1: Cho x = 0 ⇒ 2y z 3 0 3y 5z 1 0  − + =  − + − =  ⇒ y 2 z 1  = −  = −  ⇒ M(0 ; – 2 ; – 1) ∈ ∆ Cho y = 0 ⇒ x z 3 0 2x 5z 1 0  − + =  + − =  ⇒ x 2 z 1  = −  =  ⇒ N(– 2 ; 0 ; 1) ∈ ∆ ∆ qua M và có vectơ chỉ phương MN uuuur = (…) ∆ : { x = C2: Cho x = 0 ⇒ 2y z 3 0 3y 5z 1 0  − + =  − + − =  ⇒ y 2 z 1  = −  = −  ⇒ M(0 ; – 2 ; – 1) ∈ ∆ (α) có VTPT n α r = (1 ; 2 ; – 1) (β) có VTPT n β r = (2 ; – 3 ; 5) ∆ có VTCP u ∆ r = [ n α r , n β r ] = (…) (…) C3: Cho x = t ⇒ t 2y z 3 0 2t 3y 5z 1 0  + − + =  − + − =  ⇒ y 2 t z 1 t  = − −  = − −  Vậy ∆ có phương trình tham số là : Gv: Lê Huy Đức – Võ Thị Quỳnh Mai 2 Trường THPT Lưu Tấn Phát ∆ d u u ∆ = r r M • d ∆ α u [n ,n ] ∆ α β = r r r n α r • β n β r M Coù 3 caùch ∆ α '∆ • P ? • • • Coù 2 caùch A ∆ 1 d 2 d M N • • • Chủ đề: Đường thẳng trong không gian Hình học 12 ∆ : x t y 2 t z 1 t  =  = − −   = − −  Bài 6: Cho đường thẳng: ∆ : x 1 t y 2 t z 1 3t  = +  = −   = − +  Viết phương trình hình chiếu ∆’ của ∆ trên mặt phẳng (Oxy). HD: C1: Cho: t = 0 ⇒ A(1 ; 2 ; – 1) ∈ ∆ t = 1 ⇒ B(2 ; 1 ; 2) ∈ ∆ Gọi A’, B’ là hình chiếu của A, B trên (Oxy). Khi đó : A’(1 ; 2 ; 0), B’(2 ; 1 ; 0) ∆’ qua A’ và có vectơ chỉ phương A'B' uuuur = (1 ; – 1 ; 0) nên có phương trình : ∆’ : x 1 t y 2 t z 0  = +  = −   =  C2: ∆ qua M(1 ; 2 ; – 1) vaø coù VTCP u ∆ r = (2 ;– 1; 3) (Oxy) coù VTPT k (0;0;1)= r Gọi (P) là mặt phẳng qua ∆ và vuông góc với mp(Oxy) (P) qua M và có VTPT: ( ) P n u ,k 1; 2;0 ∆   = = − −   r uur r Vậy (P) : -(x – 1) -2(y - 1) +0(z +1) = 0 ⇔ x + 2y – 3 = 0 Gọi ∆’ là hình chiếu vuông góc của ∆ trên (Oxy) thì ∆’ là giao tuyến giữa (P) và (Oxy). Hệ tọa độ các điểm thuộc ∆’ là : x 2y 3 0 z 0  + − =  =  Cho : y = t ⇒ x 2t 3 0 z 0  + − =  =  ⇒ x 3 2t z 0  = −  =  Vậy ∆’ có phương trình : ∆’ : x 3 2t y t z 0  = −  =   =  Bài 7: (ĐH-B-2004). Cho A(– 4 ; – 2 ; 4) và đường thẳng: d : x 3 2t y 1 t z 1 4t  = − +  = −   = − +  Viết phương trình đường thẳng ∆ qua A, cắt và vuông góc d. HD: Gọi H(– 3 + 2t ; 1 – t ; – 1 + 4t) ∈ d là hình chiếu của A trên d. AH uuur = (1 + 2t ; 3 – t ; – 5 + 4t) d u r = (2 ; – 1 ; 4) là VTCP của d Ta có : AH uuur ⊥ d u r ⇔ 2(1+2t )– 1(3 – t) + 4(–5+4t) = 0 ⇔ 21t – 21 = 0 ⇔ t = 1 ⇒ H(– 1 ; 0 ; 3) ∆ qua A(– 4 ; – 2 ; 4) và có VTCP AH uuur = (3 ; 2 ; – 1) nên có phương trình : ∆ : x 4 y 2 z 4 3 2 1 + + − = = − Bài 8*:(NC) Cho hai đường thẳng: d 1 : x 1 y 1 z 2 1 2 − + = = − , d 2 : x 2 y 3 z 1 1 2 4 − + − = = − a) Chứng minh d 1 và d 2 chéo nhau. b) Viết phương trình tham số đường thẳng ∆ qua A(– 1 ; 3 ; – 5) và cắt cả d 1 , d 2 . HD: b) Gọi M(1 + 2m ; – 1 – m ; 2m), N(2 + n ; – 3 – 2n ; 1 + 4n) lần luợt là giao điểm của ∆ với d 1 , d 2 . AM uuuur = (2 + 2m ; – 4 – m ; 5 + 2m) AN uuur = (3 + n ; – 6 – 2n ; 6 + 4n) [ AM uuuur , AN uuur ] = (6m – 6n + 6 ; – 6m – 3n – 6mn + 3 ; – 9m – 3mn ) Ta có AM uuuur , AN uuur cùng phương khi và chỉ khi : [ AM uuuur , AN uuur ] = 0 r ⇔ 6m 6n 6 0 6m 3n 6mn 3 0 9m 3mn 0  − + =  − − − + =   − − =  ⇔ m = 1 ; n = 0 Vậy M(1 ; – 1 ; 0), N(3 ; – 5 ; 5) ∆ qua A(– 1 ; 3 ; – 5) và có VTCP MN uuuur = (2 ; – 4 ; 5) nên có phương trình tham số : ∆ : x 1 2t y 3 4t z 5 5t  = − +  = −   = − +  , t ∈ IR Bài 9*: (ĐH-A-2007). Cho hai đường thẳng và mặt phẳng: d 1 : x y 1 z 2 2 1 1 − + = = − d 2 : x 1 2t y 1 t z 3  = − +  = +   =  (P) : 7x – y + 4z = 0 Gv: Lê Huy Đức – Võ Thị Quỳnh Mai 3 Trường THPT Lưu Tấn Phát ∆ A d • H d u r d 1 d 2 d M • P n r P ? • N A ∆ 1 d 2 d B • 1 u r • ? d A P n r P ? • ∆ d u r u ∆ r 1 d A P ? • ∆ • B 2 d Chủ đề: Đường thẳng trong không gian Hình học 12 Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với (P) và cắt d 1 , d 2 . HD: Gọi M(2m ; 1 – m ; – 2 + m) ∈ d 1 và N(– 1 + 2n ; 1 + n ; 3) ∈ d 2 lần lượt là giao điểm của d với d 1 , d 2 . MN uuuur = (– 1 + 2n – 2m ; n +m ; 5 – m) P n r = (7 ; – 1 ; 4) là VTPT của (P) Ta có: MN uuuur , P n r cùng phương ⇔ 1 2n 2m n m 7 1 1 2n 2m 5 m 7 4  − + − + =   −  − + − −  =   ⇔ 5m 9n 1 m 8n 39  + =  − = −  ⇔ m 7 n 4  = −  =  Suy ra M(– 14 ; 8 ; – 9), N(7 ; 5 ; 3) d qua M và có VTCP MN uuuur = (21 ; – 3 ; 12) nên có phương trình: d : x 14 y 8 z 9 21 3 12 + − + = = − Bài 10*: (ĐH-D-2006). Cho điểm A(1 ; 2 ; 3) và hai đường thẳng : d 1 : x 2 y 2 z 3 2 1 1 − + − = = − d 2 : x 1 y 1 z 1 1 2 1 − − + = = − Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua A, vuông góc d 1 và cắt d 2 . HD: d 1 có VTCP 1 u r = (2 ; – 1 ; 1) Gọi B(1 – t ; 1 + 2t ; – 1 + t) ∈ d 2 là giao điểm của ∆ và d 2 . AB uuur = (– t ; – 1 + 2t ; – 4 + t) là VTCP của ∆ Ta có : ∆ ⊥ d 1 ⇔ 1 u r . AB uuur = 0 ⇔ 2(– t) – 1(– 1 + 2t) + 1(– 4 + t) = 0 ⇔ – 3t – 3 = 0 ⇔ t = – 1 ⇒ B(2 ; – 1 ; – 2) ∆ qua A(1 ; 2 ; 3) và có VTCP AB uuur = (1 ; – 3 ; – 5) Do đó ∆ có phương trình : ∆ : x 1 y 2 z 3 1 3 5 − − − = = − − Bài 11: (ĐH-A-2005). Cho đường thẳng d : x 1 y 3 z 3 1 2 1 − + − = = − và mặt phẳng (P) : 2x + y – 2z + 9 = 0. Tìm giao điểm A của d với (P). Viết phương trình tham số đường thẳng ∆ nằm trong (P), qua A và vuông góc d. HD: Tọa độ giao điểm A của d và (P) là nghiệm hệ : x 1 y 3 z 3 1 2 1 2x y – 2z 9 0  − + − = =  −   + + =  ⇔ 2x y 1 0 x z 4 0 2x y – 2z 9 0  + + =  + − =   + + =  ⇔ x 0 y 1 z 4  =  = −   =  Vậy A(0 ; – 1 ; 4) d có VTCP d u r = (– 1 ; 2 ; 1) (P) có VTPT P n r = (2 ; 1 ; – 2) Vì ∆ nằm trong (P) và vuông góc d nên ∆ có VTCP u ∆ r = [ d u r , P n r ] = (| |, | |, | |) = (– 5 ; 0 ; – 5) Mặt khác ∆ qua A(0 ; – 1 ; 4) nên có phương trình tham số : d : x 5t y 1 z 4 5t  = −  = −   = −  Bài 12: (CĐKT CAO THẮNG 2007) Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P) : y + 2z = 0 và cắt hai đường thẳng : d 1 : x 1 t y t z 4t  = −  =   =  d 2 : x 2 t y 4 2t z 1  = −  = +   =  HD: Gọi A,B là giao điểm của d 1 , d 2 với (P). Tọa độ A, B là nghiệm các hệ (I) & (II): x 1 t y t (I): z 4t y 2z 0  = −  =   =   + =  ⇔ x 1 t y t z 4t 9t 0  = −  =   =   =  ⇔ x 1 y 0 z 0 t 0  =  =   =   =  ⇒ A(1; 0 ; 0) Gv: Lê Huy Đức – Võ Thị Quỳnh Mai 4 Trường THPT Lưu Tấn Phát Chủ đề: Đường thẳng trong không gian Hình học 12 x 2 t y 4 2t (II): z 1 y 2z 0  = −  = +   =   + =  ⇔ x 2 t y 4 2t z 1 6 2t 0  = −  = +   =   + =  ⇔ x 5 y 2 z 1 t 3  =  = −   =   = −  ⇒ B(5 ; – 2 ; 1) ∆ qua A và có VTCP AB uuur = (4 ; – 2 ; 1) nên có phương trình : ∆ : x 1 y z 4 2 1 − = = − Bài 13: Cho hai đường thẳng : d 1 : x 1 y 1 z 2 1 3 3 + − − = = − , d 2 : x 2 y 2 z 1 5 6 − + = = − a) Chứng minh d 1 và d 2 chéo nhau. b) Viết phương trình đường vuông góc chung giữa d 1 và d 2 . HD: b) Gọi A(– 1 + a ; 1 + 3a ; 2 – 3a) ∈ d 1 và B(2 + b ; – 2 + 5b ; – 6b) ∈ d 2 là giao điểm của ∆ với d 1 , d 2 (hình).  d 1 có VTCP 1 u r = (1 ; 3 ; – 3)  d 2 có VTCP 2 u r = (1 ; 5 ; – 6)  ∆ có VTCP AB uuur = ( 3 + b – a ; – 3 + 5b – 3a ; – 2 – 6b + 3a) Ta có : 1 2 u AB u AB  ⊥   ⊥   r uuur r uuur ⇔ 1(3 b a) 3( 3 5b 3a) 3( 2 6b 3a) 0 1(3 b a) 5( 3 5b 3a) 6( 2 6b 3a) 0  + − + − + − − − − + =  + − + − + − − − − + =  ⇔ 19a 34b 0 34a 42b 0  − + =  − + =  ⇔ a 0 b 0  =  =  Vậy A(– 1 ; 1 ; 2), B(2 ; – 2 ; 0) ∆ qua A và có VTCP AB uuur = (3 ; – 3 ; – 2 nên có phương trình : ∆ : x 1 3t y 1 3t z 2 2t  = − +  = −   = −  (hoặc ∆ : x 1 y 1 z 2 3 3 2 + − − = = − − ) * Lưu ý : Có bài giải ra a, b lẻ → vẫn tiếp tục ! C- BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Bài 14: (TNPT-PB-CB-2007). Cho (α) : x + 2y – 2z + 6 = 0 và E(1 ; 2 ; 3). Viết phương trình tham số đường thẳng d qua E và vuông góc (α). Bài 15: (TNPT-PB-NC-2007). Viết phương trình tham số đường thẳng d qua điểm M(– 1 ; – 1 ; 0) và vuông góc mặt phẳng (P) : x + y – 2z – 4 = 0. Bài 16: (TNPT-KPB-2008). Cho (α) : 2x – 3y +6z + 35 = 0 và M(1 ; 2 ; 3). Viết phương trình đường thẳng đi qua M và vuông góc (α). Bài 17: (ĐH-D-2007). Cho A(1 ; 4 ; 2), B(– 1 ; 2 ; 4). Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua trọng tâm G của tam giác OAB và vuông góc mặt phẳng (OAB) HD: Chỉ cần tìm VTPT của (OAB) Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên : O A B G x x x x 0 3  + + = =     ⇒ G(0 ; 2 ; 2) OA uuur = (1 ; 4 ; 2), OB uuur = (– 1 ; 2 ; 4) (d) qua G và vuông góc (OAB) nên (d) có VTCP : u r = [ OA uuur , OB uuur ] = (| |, | |, | |) = (12 ; – 6 ; 6) = 6(2 ; – 1 ; 1) (d) : (…) Lưu ý : Nếu đề không yêu cầu dạng TS hay CT thì viết dạng nào cũng được ! Bài 18: Viết phương trình giao tuyến giữa mặt phẳng (P) : 2x – 3y + z – 1 = 0 và mặt phẳng (Oxy). HD: Hệ tọa độ các điểm thuộc giao tuyến ∆ là : 2x 3y z 1 0 z 0  − + − =  =  Cho y = t được : ( ) ⇔ 1 3 x t 2 2 z 0  = +    =  Vậy phương trình tham số của ∆ là : ∆ :  = +    =   =    1 3 x t 2 2 y t z 0 Bài 19: Cho đường thẳng: d: x 1 y 3 4 z 2 1 1 + − − = = Viết phương trình hình chiếu d’ của d trên mặt phẳng (Oxz). HD: Trong phương trình của d cho :  x = – 1 ⇒ y = 3, z = 4 ⇒ A(– 1 ; 3 ; 4) ∈ d  x = 1 ⇒ y = 4, z = 3 ⇒ B(1 ; 4 ; 3) ∈ d Gv: Lê Huy Đức – Võ Thị Quỳnh Mai 5 Trường THPT Lưu Tấn Phát 1 d A ? • ∆ • B 2 d 1 u r 2 u r Chủ đề: Đường thẳng trong không gian Hình học 12 Gọi A’, B’ là hình chiếu vuông góc của A, B trên (Oxz) thì A’(– 1 ; 0 ; 4), B’(1 ; 0 ; 3) d' qua A’ và có VTCP A'B' uuuur = (2 ; 0 ; – 1) nên có phương trình : d’ : x 1 2t y 0 z 4 t  = − +  =   = −  Bài 20: Cho đường thẳng ∆: x 1 y 1 z 2 1 2 − + = = − và mặt phẳng: (α) : x – 2y + z + 3 = 0 Viết phương trình hình chiếu vuông góc của ∆ trên (α). HD: ∆ qua M(1 ; – 1 ; 0) và có VTCP u ∆ r = (2 ; – 1 ; 2) (α) có VTPT n α r = (1 ; – 2 ; 1) Gọi (P) là mặt phẳng chứa ∆ và vuông góc (α). (P) qua M và có VTPT : P n r = [ u ∆ r , n α r ] = (| |, | |, | |) = (3 ; 0 ; – 3) Vậy (P) : 3(x – 1) + 0(y + 1) – 3(z – 0) = 0 ⇔ 3x – 3z – 3 = 0 ⇔ x – z – 1 = 0 Gọi ∆’ là hình chiếu vuông góc của ∆ trên (α) thì ∆’ là giao tuyến giữa (P) và (α). Hệ tọa độ các điểm thuộc ∆’ là : x z 1 0 x 2y z 3 0  − − =  − + + =  Cho : z = t ⇒ x t 1 0 x 2y t 3 0  − − =  − + + =  ⇒ x 1 t y 2 t 0  = +  = + =  Vậy ∆’ có phương trình : ∆’ : x 1 t y 2 t z t  = +  = +   =  Bài 21: Cho tứ diện ABCD với A(1 ; – 2 ; 6), B(2 ; – 1 ; 1), C(0 ; – 2 ; 1), D(4 ; 5 ; 11). a) Viết phương trình mặt phẳng (BCD). b) Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng AB trên mặt phẳng (BCD). HD: a) ( ) (BCD) : x – 2y + z – 5 = 0 b) (BCD) có VTPT n r = (1 ; – 2 ; 1) Gọi d là đường thẳng qua A(1 ; – 2 ; 6) và vuông góc (BCD) thì d có VTCP là: d u r = n r = (1 ; – 2 ; 1) d : x 1 t y 2 2t z 6 t  = +  = − −   = +  Tọa độ hình chiếu H của A trên (BCD) là nghiệm hệ : x 1 t y 2 2t z 6 t x 2y z 5 0  = +  = − −   = +   − + − =  ⇔ x 1 t y 2 2t z 6 t 6t 6 0  = +  = − −   = +   + =  ⇔ x 0 y 0 z 5  =  =   =  ⇒ H(0 ; 0 ; 5) Hình chiếu vuông góc của AB trên (BCD) là đường thẳng BH. BH qua B(2 ; – 1 ; 1), có VTCP BH uuur = (– 2 ; 1 ; 4). Do đó AH : x 2 y 1 z 1 2 1 4 − + − = = − Bài 22: Cho hai đường thẳng : d : x 1 y 2 z 1 2 3 − − = = − , d’ : x 1 t' y 3 2t' z 1  = +  = −   =  Viết PT đường vuông góc chung giữa d 1 và d 2 . Bài 23: Cho tứ diện ABCD với A(2 ; 4 ; – 1), B(1 ; 4 ; – 1), C(2 ; 4 ; 3), D(2 ; 2 ; – 1). a) Chứng minh AB, AC, AD vuông góc với nhau từng đôi một. b) Viết phương trình đường vuông góc ∆ chung của hai đường thẳng AB, CD. HD: b) Ta có: AB AC AB AC  ⊥  ⊥  ⇒ AB ⊥ (ACD) ⇒ AB ⊥ CD Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên CD thì đường thẳng AH là đường vuông góc chung của AB, CD. CD uuur = (0 ; – 2 ; – 4) AH qua A(2 ; 4 ; – 1) và có VTCP : u r = [ AB uuur , CD uuur ] = (0; – 4 ; 2) AH : x 2 y 4 4t z 1 2t =   = −   = − +  Bài 24: (DB2-B-2006). Cho A(0 ; 0 ; 4), B(2 ; 0 ; 0) mặt phẳng (P) : 2x + y – z + 5 = 0. Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng AB trên mặt phẳng (P). Bài 25: (DB2-D-2006). Cho A(1 ; 2 ; 0), B(0 ; 4 ; 0), C(0 ; 0 ; 3). Viết phương trình đường thẳng ∆ qua gốc O và vuông góc mặt phẳng (ABC). Bài 26: (DB1-D-2006). Cho mặt phẳng (P) : 4x – 3y + 11z – 26 = 0 và hai đường thẳng : d 1 : x y 3 z 1 1 2 3 − + = = − , d 2 : x 4 y z 3 1 1 2 − − = = Viết phương trình đt ∆ nằm trong (P) và cắt d 1 , d 2 . Bài 27: (DB2-A-2007). Cho A(2 ; 0 ; 0), B(0 ; 4 ; 0), C(2 ; 4 ; 6) và đt d: x = t, y = 4, z = 6 – 3t. Viết phương trình đường thẳng ∆ song song d và cắt cả hai đường thằng AB và OC Bài 28: (DB1-D-2007). Cho mặt phẳng (P) : x + y + z + 2 = 0 và đường thẳng d : x 3 y 2 z 1 2 1 1 − + + = = − a) Tìm tọa độ giao điểm M của d và (P). b) Viết ptđt ∆ nằm trong (P), vuông góc d và cách điểm M một khoảng bằng 42 . Gv: Lê Huy Đức – Võ Thị Quỳnh Mai 6 Trường THPT Lưu Tấn Phát A C B D H A B C D H ? Ch : ng thng trong khụng gian Hỡnh hc 12 Bi 29: Cho ng thng : x 1 y 2 z 1 2 4 1 = = v mt phng (P) : 2x + y + z 4 = 0. Vit phng trỡnh hỡnh chiu song song ca trờn (P) theo phong d : x 3 y 1 z 2 4 1 3 + + = = HD : Gi (Q) l mt phng cha v song song d thỡ hỡnh chiu l giao tuyn ca (P) v (Q) Bi 30: (HKII-2010-NC) Vit ptt nm trong mt phng ( ):y 2z 0 + = v ct c hai ng thng: 1 2 x 1 t x 2 t d : y t & d : y 4 2t. z 4t z 1 = = = = + = = Bi 31: (HKII-2009-CB) Cho ng thng x 3 y 2 z 2 d : 3 2 2 = = v hai mt phng ( ):x 2y 2z 3 0, ( '):x 2y 2z 3 0. + = + + = a) Vit ptts ca t d v tỡm giao im ca d vi () v ('). b) Lp PT mt cu (S) cú tõm thuc d v tip xỳc vi c hai mt phng () v ('). Bi 32: (HKII-2009-NC) Cho im M(-2; 3; 1) v ng thng x y 5 z 4 d : . 1 3 2 = = a) Vit ptt i qua M vuụng gúc vi d v ct d. b) Vit pt mt cu (S) cú tõm A nm trờn d v cú bỏn kớnh AM 11.= Ch : V TR TNG I GIA HAI NG THNG TRONG KHễNG GIAN 1/ Theo chng trỡnh c bn: Cho hai ng thng: d qua M v cú VTCP a r d qua M v cú VTCP a' r Gi n r = [ a r , a' r ] Du hiu 1 (SGK-CB) d, d chộo nhau Heọ(d,d') nghieọm a,a' r r voõ khoõngcuứng phửụng d, d ct nhau H (d,d) cú mt nghim d, d song song Heọ(d,d') nghieọm a,a' r r voõ cuứng phửụng d, d trựng nhau H (d,d) vụ s nghim Du hiu 2 (SBT-CB) d, d chộo nhau n.MM' 0 r uuuuur d, d ct nhau n 0 n.MM' 0 = r r r uuuur d, d song song n 0 M d' = r r d, d trựng nhau n 0 M d' = r r Du hiu vuụng gúc d d a a' r r 2/ Theo chng trỡnh nõng cao: Cho hai ng thng: 1 qua M 1 v cú VTCP 1 u r 2 qua M 2 v cú VTCP 2 u r Du hiu 1 (SGK-NC) 1 , 2 chộo nhau 1 2 1 2 [u ,u ].M M 0 r r uuuuur 1 , 2 ct nhau 1 2 1 2 1 2 [u ,u ].M M 0 [u ,u ] 0 = r r uuuuur r r r 1 , 2 song song 1 2 1 1 2 [u ,u ] 0 [u , M M ] 0 = r r r r uuuuur r 1 , 2 trựng nhau 1 2 1 1 2 [u ,u ] [u ,M M ] 0= = r r r uuuuur r Du hiu 2 (C hai ban u dựng c) H ( 1 , 2 ) cú mt nghim: 1 , 2 ct nhau 1 2 1 2 Heọ( , ) nghieọm u ,u r r voõ cuứng phửụng : 1 , 2 song song 1 2 1 2 Heọ( , ) nghieọm u ,u r r voõ khoõngcuứng phửụng : 1 , 2 chộo nhau Gv: Lờ Huy c Vừ Th Qunh Mai 7 Trng THPT Lu Tn Phỏt 1 2 1 M 2 M 1 u r 2 u r caột nhau 1 2 1 M 2 M 1 u r 2 u r cheựonhau 1 2 1 M 2 M 1 u r 2 u r truứngnhau 1 2 1 M 2 M 1 u r 2 u r songsong Chủ đề: Đường thẳng trong không gian Hình học 12 Hệ (∆ 1 ,∆ 2 ) có vô số nghiệm: ∆ 1 , ∆ 2 trùng nhau * Trường hợp trùng nhau gần như không gặp ! ∆ 1 ⊥ ∆ 2 ⇔ 1 2 u u⊥ r r Ví dụ 1: Xét vị trí tương đối của đường thẳng x 1 y 1 z 5 ( ) : 2 3 1 - + - = =D lần lượt với các đường thẳng sau: 1 2 3 4 x 3 y 2 z 6 d : ; 4 6 2 x 4 y 1 z 3 d : ; 6 9 3 x 3 y 2 z 6 d : ; 4 3 5 x 1 y 2 z 1 d : ; 3 2 2 - - - = = - - - = = - - - = = - + + = = Giải Cách 1: (SGK-CB) Đường thẳng ( )D đi qua M(1 ; -1 ; 5) và có vectơ chỉ phương u (2;3;1)= r Đường thẳng 1 (d ) có vectơ chỉ phương 1 a (4;6;2)= ur Vì 1 1 u a 2 = r ur và ( ) 1 M 1 ; 1 ; 5 (d )- Î nên 1 ( ) (d ).D º Cách 2: (SBT-CB) Đường thẳng ( )D đi qua M(1 ; -1 ; 5) và có vectơ chỉ phương u (2;3;1)= r Đường thẳng 2 (d ) đi qua M’(4;1;3) và có vectơ chỉ phương 2 a (6;9;3)= uur Suy ra: ( ) 2 n u,a 0;0;0 0 é ù = = = ê ú ë û r r uur r Và ( ) 2 M 1 ; 1 ; 5 (d )- Ï nên 1 ( ) / / (d ).D Cách 3: (SGK-NC) Đường thẳng ( )D đi qua M(1 ; -1 ; 5) và có vectơ chỉ phương u (2;3;1)= r Đường thẳng 3 (d ) đi qua M’(3;2;6) và có vectơ chỉ phương 3 a (4;3;5)= uur Ta có: ( ) 3 n u,a 12; 6; 6 0. é ù = = - - ¹ ê ú ë û r r uur r MM ' (2;3;1). Suy ra : n.MM' 0.= = uuuur uur uuuur Vậy ( )D cắt 3 (d ) . Cách 4: Viết lại ptts của ( )D và 4 (d ) lần lượt là: 4 x 1 2t x 1 3t ' ( ) : y 1 3t (d ) : y 2 2t ' z 5 t z 1 2t ' ì ì = + = + ï ï ï ï ï ï ï ï =- + =- +D í í ï ï ï ï = + =- + ï ï ï ï î î Xét hệ pt: 1 2t 1 3t ' 1 3t 2 2t ' 5 t 1 2t ' ì + = + ï ï ï ï - + =- + í ï ï + = - + ï ï î 3 t 5 2t 3t ' 0 2 3t 2t ' 1 t ' 5 t 2t ' 6 t 2t ' 6 ì ï ï =- ï ï ì ï - = ï ï ï ï ï ï ï - =- =Û Û í í ï ï ï ï - =- ï ï ï î ï - =- ï ï ï ï î 3 t 5 2 t ' 5 3 4 6(vôlý) 5 5 ì ï ï =- ï ï ï ï ï ï =Û í ï ï ï ï ï - - =- ï ï ï î suy ra hệ pt vô nghiệm Do đó ( )D và 4 (d ) hoặc chéo nhau, hoặc song song nhau. Mặt khác: ( )D có vectơ chỉ phương u (2;3;1)= r Và 4 (d ) có vectơ chỉ phương 4 a (3;2;2)= uur Do 4 u ka , k"¹ Î r uur ¡ nên 4 u và a r uur không cùng phương. Vậy: ( )D và 4 (d ) chéo nhau. Ví dụ 2: Cho hai đường thẳng x 1 y 1 z (d) : 2 1 1 - + = = - và x 3 t (d ') : y 2t z 1 t ì = - ï ï ï ï = í ï ï =- + ï ï î a) Xét vị trí tương đối giữa d và d’. b) Tìm giao điểm của d và d’ (nếu có). Giải a) PTTS của d là: x 1 2t ' y 1 t ' z t ' ì = + ï ï ï ï =- + í ï ï =- ï ï î Xét hệ pt: 3 t 1 2t ' t 2t ' 2 2t 1 t ' 2t t ' 1 1 t t ' t t' 1 ì ì - = + + = ï ï ï ï ï ï ï ï =- + - =-Û í í ï ï ï ï - + =- + = ï ï ï ï î î t 2t ' 2 t 0 t 0 2t t ' 1 t ' 1 t ' 1 t t' 1 t t' 1 ì ì + = = ï ï ï ï ì = ï ï ï ï ï ï - =- =Û Û Û í í í ï ï ï = ï î ï ï + = + = ï ï ï ï î î Vậy d và d’ cắt nhau. b) Thay t = 0 vào ptts của d’ ta được giao điểm là M(3;0; 1) BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 1: Xét vị trí tương đối giữa các cặp đương thẳng sau đây: a) x 1 y 7 z 3 x 6 y 1 z 2 d : , d ': 2 1 4 3 2 1 - - - - + + = = = = - Gv: Lê Huy Đức – Võ Thị Quỳnh Mai 8 Trường THPT Lưu Tấn Phát Chủ đề: Đường thẳng trong không gian Hình học 12 b) x 1 y 2 z x y 8 z 4 d : , d ': 2 1 2 1 2 3 1 - - + - = = = = - - c) x 2 y z 1 x 7 y 2 z d : , d ': 4 6 8 6 9 12 - + - - = = = = - - - d) x 1 y 6 z 3 x 7 y 6 z 5 d : , d': 9 6 3 6 4 2 - - - - - - = = = = e) x t x 9 2t ' d : y 1 t và d ': y 8 2t ' z 2 t z 10 2t ' ì ì = = + ï ï ï ï ï ï ï ï = + = + í í ï ï ï ï = - = - ï ï ï ï î î f) x t x 0 d : y 3t và d ': y 9 z 1 2t z 5t ' ì ì =- = ï ï ï ï ï ï ï ï = = í í ï ï ï ï =- - = ï ï ï ï î î g) x 1 t x 1 y 5 z 4 d : y 1 2t và d': 3 2 2 z 2 3t ì = + ï ï - - - ï ï = + = = í ï ï =- + ï ï î h) x 9t d : y 5t và d ' z 3 t ì = ï ï ï ï = í ï ï =- + ï ï î là giao tuyến của hai mặt phẳng: ( ): 2x 3y 3z 9 0 và ( ) : x 2y z 3 0 - - = - + + =a b Bài 2: Chứng minh d và d’ chéo nhau, viết phương trình đường vuông góc chung của d và d’: a) x 2 y 3 z 4 x 1 y 4 z 4 d : , d': 2 3 5 3 2 1 - - + - - - = = = = - - - b) x 2 t x 2 2t ' d : y 1 t và d ': y 3 z 2t z t' ì ì = + = - ï ï ï ï ï ï ï ï = - = í í ï ï ï ï = = ï ï ï ï î î c) x 1 t x 1 y 2 z d : y 3 2t và d ': 1 2 3 z 1 ì = + ï ï - - ï ï = - = = í ï - ï = ï ï î Chủ đề: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG Cho đường thẳng d qua M và có VTCP a r , và mặt phẳng (α) có VTPT n r . Dấu hiệu 1 (SGK-CB-NC) d,(α) cắt nhau ⇔ Hệ [d,(α)] một nghiệm d,(α) song song ⇔ Hệ [d,(α)] vô nghiệm d,(α) trùng nhau ⇔ Hệ [d,(α)] vô số nghiệm Dấu hiệu 2 (SBT-CB) d,(α) cắt nhau ⇔ a.n r r ≠ 0 d,(α) song song ⇔ a.n 0 M ( )   =  ∉ α   r r d,(α) trùng nhau ⇔ a.n 0 M ( )   =  ∈ α   r r Dấu hiệu vuông góc ∆ ⊥ (α) ⇔ a ,n ∆ α r r cùng phương Ví dụ: Xét vị trí tương đối của đt x 1 2t : y 2 4t z 3 t = +   ∆ = +   = +  với mặt phẳng (α) trong các trường hợp sau: a) ( ): x y z 2 0α + + + = b) ( ): 4x 8y 2z 7 0α + + − = c) ( ): x y 2z 5 0α − + + = d) ( ): 2x 2y 4z 10 0α − + − = Giải C1: a) Xét hệ x 1 2t x 1 2t y 2 4t y 2 4t z 3 t z 3 t x y z 2 0 7t 8 0 = + = +     = + = +   ⇔   = + = +     + + + = + =   9 x 7 25 y 7 13 z 7 8 t 7  = −    = −  ⇔   =    = −  Vậy d cắt (α) tại 9 25 13 M ; ; . 7 7 7   − −  ÷   C2: b) đt ( )∆ đi qua M(1; 2; 3) và có VTCP a (2;4;1)= r mp(α) có VTPT = r n (4;8;2) Ta có: a.n 42 0= ≠ r r nên ( )∆ cắt mp(α). Câu c, d làm tương tự: c) ( ) / / ( ).∆ α d) ( ).∆ ⊂ α BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 1: Xét vị trí tương đối của đt (d) và mp(α) trong các trường hợp sau: a) x t d : y 1 2t và ( ) : x 2y z 3 0 z 1 t =   = + α + + − =   = −  Gv: Lê Huy Đức – Võ Thị Quỳnh Mai 9 Trường THPT Lưu Tấn Phát d α songsong α M • d caét nhau α naèm trong d Chủ đề: Đường thẳng trong không gian Hình học 12 b) x 2 t d : y t và ( ) : x z 5 0 z 2 t = −   = α + + =   = +  c) x 3 t d : y 2 t và ( ) : x y z 6 0 z 1 2t = −   = − α + + − =   = +  d) x 12 y 9 z 1 d : và ( ) : 3x 5y z 2 0 4 3 1 − − − = = α + − − = e) x 1 y 3 z d : và ( ):3x 3y 2z 5 0 2 4 3 + − = = α − + − = f) x 9 y 1 z 3 d : và ( ): x 2y 4z 1 0 8 2 3 − − − = = α + − + = g) d là giao tuyến của 2 mp(P): 3x + 5y + 7z + 16 = 0 và (Q): 2x – y + z – 6 = 0. ( ):5x z 4 0.α − − = Bài 2: Cho đường thẳng x 1 y 1 z d : 2 1 1 − + = = − và mặt phẳng ( ): x 2y z 1 0.α + + − = Chứng minh d cắt (α) và tìm tọa độ giao điểm của chúng. Bài 3: Cho đường thẳng x 3 y 1 z 1 d : 2 3 2 + + + = = và mặt phẳng ( ): 2x 2y z 3 0.α − + + = a) Chứng minh: d // (α). b) Tính khoảng cách giữa d và (α). Bài 4: Cho hai đt 1 x 1 y 2 z 5 d : 2 3 4 − + − = = − và 2 x 7 3t d : y 2 2t z 1 2t = +   = +   = −  a) CM: d 1 và d 2 cùng nằm trong một mặt phẳng (α). b) Viết phương trình của (α). HD: a) Tìm VTCP 1 2 a và a uur uur của d 1 ; d 2 . Lấy 1 1 2 2 M d ;M d∈ ∈ Tính 1 2 n a ,a   =   r uur uur ; 1 2 n.M M 0= r uuuuuur suy ra d 1 ; d 2 đồng phẳng b) mp(α) đi qua M 1 và có VTPT là n r , vậy pt của mp(α) là: 2x – 16y – 13z + 31 = 0. Chủ đề: KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG Cách 1 Cách 2 •Lập (α) qua M và vuông góc ∆. •Tìm giao điểm H giữa (α) và ∆ . •d(M,∆ ) = MH  Chọn N ∈ ∆ và a r là VTCP của ∆.  Tính [MN,a] uuuur r  d(M,∆ ) = |[MN,u | | u| uuuur r r Đặc biệt  Khoảng cách từ M đến các trục tọa độ : d(M, Ox) = 2 2 M M y z+ , d(M, Oy) = 2 2 M M x z+ •Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: Cách 1 Cách 2 • Lập (α) chứa ∆’ và song song ∆ . •Chọn M ∈ d. •d(∆, ∆’) = d[M,(α)] •Chọn M ∈ ∆ , a r là VTCP của ∆. •Chọn M’∈ ∆’ , a' r là •VTCP của ∆’ •d(∆ 1 , ∆ 2 ) = |[a,a'].MM'| |[a,a']| r r uuuur r r •Chú ý: CB hay dùng cách 1, NC hay dùng cách 2. Ví dụ: Tính khoảng cách từ điểm A đến đt ∆ trong các trường hợp sau: a) x 2 t A(1;2;1) và ( ) : y 1 2t z 1 2t = − +   ∆ = +   = − −  b) x 1 y z A(1;0;1) và ( ) : . 2 2 1 − ∆ = = Giải a) C1: Gọi (α) là mp đi qua A và vuông góc với ∆ . Ta có VTPT của (α) là n (1;2; 2).= − r Phương trình của (α) là: x + 2y – 2z – 3 = 0. Tọa độ giao điểm H của ∆ và (α) là nghiệm của hpt: 17 x 9 x 2 t 11 y y 1 2t 9 z 1 2t 11 z 9 x 2y 2z 3 0 1 t 9  = −   = − +   =  = +   ⇔ ⇔   = − −   = −   + − − =    =  17 11 11 H ; ; 9 9 9   ⇒ − −  ÷   Gv: Lê Huy Đức – Võ Thị Quỳnh Mai 10 Trường THPT Lưu Tấn Phát d 1 d 2 M 1 M 2 M • ? α H ∆ • M N a r ∆ ? M • ∆ '∆ α M M' a r a' r ∆ '∆ [...]... phương trình đường thẳng qua điểm A, vuông góc và cắt đường thẳng (d) Bài 32: Trong Kg Oxyz, cho điểm A(3;4;2), đường x 1 thẳng (d) : = y z −1 = và mp (P) : 4x + 2y + z − 1 = 0 2 3 a) Lập phương trình mặt cầu tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (P) và cho biết toạ độ tiếp điểm b) Viết phương trình đường thẳng qua A, vuông góc (d) và song song với mặt phẳng (P) Bài 33: Trong không gian (Oxyz) cho đường thẳng và... trình đường thẳng ∆ đi qua A , nằm trong (P) và vuông góc với (d) Bài 23: Trong kg Oxyz, cho đường thẳng (d) : x + 3 y +1 z − 3 = = và mp (P) : x + 2y − z + 5 = 0 2 1 1 a) Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng (d) và mặt phẳng (P) b) Tính góc giữa đường thẳng (d) và mặt phẳng (P) c) Viết phương trình đường thẳng ( ∆ ) là hình chiếu của đường thẳng (d) lên mp(P) Bài 24: Trong kg Oxyz, cho 4 điểm: A( −... trình đường thẳng ( ∆ ) đi qua M(1,4,-1) biết ( ∆ ) song song với hai mặt phẳng ( α ) và ( β ) Bài 18: Trong không gian Oxyz cho A(5,-1,0), B(2,1.6),C(-3,-1,-4) a) Chứng minh ABC là tam giác vuông Tính diện tích tam giác ABC và độ dài đường cao AH của tam giác ABC b) Viết phương trình đường thẳng ( ∆ ) đi qua tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng (ABC) Bài 19: Trong không. .. b) Viết pt đường thẳng ( ∆ ) qua M(0;1;0), nằm trong (P) và vuông góc với đường thẳng (d) Bài 30: Trong kg Oxyz, cho A(1;2;3) và đường x −1 y +1 z −1 = = thẳng (d) : 2 1 2 a)Viết phương trình mặt phẳng α qua A và vuông góc d b) Tìm tọa độ giao điểm của d và mặt phẳng α Bài 31: Trong Kg Oxyz, cho điểm A(2;0;1), mặt a) CMR: (d) cắt (P) tại A Tìm tọa độ điểm A b) Viết phương trình đường thẳng ∆ đi... Tấn Phát Chủ đề: Đường thẳng trong không gian Hình học 12 Bài 6:Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đt d: Bài 15: Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P) : x + 2y - z + 5 = 0 và đt ( d ) : x + 3 = y + 1 = z − 3 2 x −1 y + 2 z − 3 = = 2 3 1 a/ Trên mp(Oxy) b/ Trên mp(Oxz) a/ Hãy tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P) b/ Viết pt hình chiếu vuông góc của (d) lên (P) Bài 16: Trong không gian Oxyz cho... trình tham số của đường thẳng ( ∆ ) đi qua E và vuông góc ( α ) Bài 9: Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng :  x=t ( d1 ) :  y = −1 − 5t   z = −1 − 3t  ( d2 ) : (d) : a/ Hãy tìm giao điểm A của (d) và ( α ) b/ Viết phương trình đường thẳng ( ∆ ) đi qua A, vuông góc với (d) và nằm trong mp ( α ) Bài 17: Trong không gian Oxyz cho ( α ) : 2x − y + z + 2 = 0 và ( β ) : x + y + 2z − 1 = 0 a/... (BCD) và cách A một khoảng là 5 Bài 13: Trong không gian Oxyz cho điểm A(-1;2;3) và đường thẳng (d) : x −1 y − 2 z ( d ) : 2 = −2 = −1 và −2t x =  ( d ') :  y = −5 + 3t z = 4  a Chứng minh rằng (d) và (d’) là hai đường thẳng chéo nhau b Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa (d) và song song với (d’) Bài 20: Trong kg Oxyz, cho điểm M (4 ; -3 ; 2 ) và đường thẳng  x = −2 + 3t  (d) :  y = −2 + 2t... trình mp( P) qua điểm M và chứa đường thẳng (d) b) Viết phương trình mp( Q ) qua M và vuông góc đường thẳng (d) c) Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của M lên đường thẳng (d) Bài 21: Trong kg Oxyz, cho điểm A(−1 ; 2 ; 3) và x- 2 y- 1 z = = 1 2 1 a/ Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A trên (d) b/ Viết phương trình mặt cầu tâm A, tiếp xúc với (d) Bài 14: Trong không gian Oxyz cho điểm A(1;4;2)... A, tiếp xúc với (P) Gv: Lê Huy Đức – Võ Thị Quỳnh Mai x − 1 y − 1 z + 21 = = 1 2 −3 đường thẳng (d) : x − 2 y −1 z = = 1 2 1 a) Tìm tọa độ của hình chiếu vuông góc của A trên d b)Viết pt của mặt cầu tâm A, tiếp xúc với d Bài 22: Trong kg Oxyz, cho đường thẳng 12 Trường THPT Lưu Tấn Phát Chủ đề: Đường thẳng trong không gian (d) : Hình học 12 x +2 y z+3 = = và mp (P) : 2x + y − z − 5 = 0 1 −2 2 a)Viết... lên đường thẳng ( ∆ 2 ) b) Viết pt đt d cắt cả hai đường thẳng (∆1 ) , (∆ 2 ) và nằm trong mặt phẳng (P) Bài 26: Trong kg Oxyz, cho hai đường thẳng x = 1 + t  (d) :  y = 3 − t z = 2 + t  và mặt phẳng (P): 2x + y + 2z =0 a) Chứng tỏ (d) cắt (P).Tìm giao điểm đó b) Tìm điểm M thuộc (d) sao cho khoảng cách từ M đến (P) bằng 2.Từ đó lập phương trình mặt cầu có tâm M và tiếp xúc với (P) Bài 34: Trong . r n α r n β r α β a r • M ∆ Chủ đề: Đường thẳng trong không gian Hình học 12 Chủ đề: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN A- KIẾN THỨC CẦN NHỚ: I. VECTƠ CHỈ PHƯƠNG CỦA ĐƯỜNG THẲNG Định nghĩa a ( 0)≠ r. điểm và cắt 2 đường thẳng chéo nhau. • DẠNG 8: Vuông góc 1 mặt phẳng và cắt 2 đường thẳng • DẠNG 9: Qua 1 điểm, vuông góc 1 đường thẳng và cắt 1 đường thẳng. • DẠNG 10: Nằm trong 1 mặt phẳng,. điểm của đường thẳng (d) và mặt phẳng (P) . b) Tính góc giữa đường thẳng (d) và mặt phẳng (P). c) Viết phương trình đường thẳng ( ∆ ) là hình chiếu của đường thẳng (d) lên mp(P). Bài 24: Trong