HƯỚNG DẪN DÙNG SKETCHPAD TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

OxyzOz: Hệ trục quay theo chiều ngang quanh trục Oz Oxyz: Hệ trục quay theo chiều ngang quanh một trục nào đó vuông góc với mặt phẳng Oxy Hình 1.1a Để sử dụng công cụ này ta nhấn nút lện

Hớng dẫn sử dụng công cụ dựng hình

trong hình học không gian

Phần này đợc đa vào để hớng dẫn cách sử dụng các công cụ có sẵn nhằm thiết

kế mô hình, vẽ các hình không gian phục vụ cho việc dạy, học hình học trongkhông gian, đặc biệt là hình học giải tích trong không gian Các công cụ này đ-

ợc xây dựng trên cơ sở lí thuyết của hình học giải tích trong không gian, do vậyhọc sinh có thể vừa học chơng 3 (HH 12) vừa sử dụng chúng để củng cố kiếnthức, thực hành dựng hình, giải toán trên máy tính, đồng thời có thể tạo ra cáccông cụ tiện dụng khác trên cở sở kiến thức đã đợc học

Để tiện trình bày, chúng ta sử dụng một số kí hiệu:

- Toạ độ của điểm đợc kí hiệu A(x, y, z).

- Đờng thẳng l qua điểm A(x; y; z) có vectơ chỉ phơng u(a; b; c) kí hiệu l(xyz,abc)

- Mặt phẳng có phơng trình: Ax + By + Cz + D = 0 kí hiệu mp(ABCD) hoặc

(ABCD).

- Mặt cầu có phơng trình: (x-a)2+(y-b)2+(z-c)2 = R2 kí hiệu (abc,R).

- Các chữ cái x, y, z thờng đợc dùng để viết tọa độ các điểm, các chữ cái a, b,

c thờng đợc dùng để viết tọa độ của các vectơ.

Muốn sử dụng các công cụ này ta có thể mở trang có chứa các công cụ trớc khi

thực hiện các thao tác trên trang hình, hoặc có thể copy các file có chứa các công cụ trên vào Tool Folder, khi khởi động GSP thì các công cụ này có sẵn,

Sau khi đặt các tệp tin có chứa công cụ vào

Tool Folder, khi mở Sketchpad, nhấn vào

nút lệnh Custom Tool (Công Cụ Thờng

Dùng), một trình đơn dọc xuất hiện cho ta

biết các công cụ thờng dùng đang sẵn sàng

Trên hình 1.1 minh họa các tệp tin có chứa

công cụ là: 1 HetrucOxyz, 2.Dung,

3.HesocuaMatphang, Đó là các công cụ

đợc dùng để dựng hình trong không gian

Sau đây chúng tôi sẽ trình bày chi tiết cách

sử dụng những Công Cụ Thờng Dùng này

1.HetrucOxyz

Hình 1.1Công cụ này dùng để thiết lập hệ trục toạ độ Đề các trong không gian có thểquay đợc

Có 3 lựa chọn:

Oxyz(O): Gốc toạ độ O bất động

khi hệ trục quay ngang, quay dọc

Công cụ này tỏ ra thuận tiện hơn

nhiều so với hai công cụ sau

(Nháy đúp trên nút lệnh Oxy trớc

khi dùng để có trục Oz ở vị trí

thẳng đứng)

Oxyz(Oz): Hệ trục quay theo

chiều ngang quanh trục Oz

Oxyz: Hệ trục quay theo chiều

ngang quanh một trục nào đó

vuông góc với mặt phẳng Oxy

Hình 1.1a

Để sử dụng công cụ này ta nhấn nút lệnh Công Cụ Thờng Dùng (Custom Tool), chọn Hetruc Oxyz / Oxyz2 (hoặc Oxyz(Oz) , hoặc Oxyz) , nháy chuột

vào hai vị trí trên trang hình ta sẽ có hệ trục Nháy chuột vào ô Mũi Tên Chọn

(Selection Arrow Tool) trên Hộp Công Cụ (Toolbox) để thôi làm việc với

công cụ này

Để chỉnh kích cỡ của hệ trục, di

chuyển vạch Co (cỡ); di chuyển các

vạch N (nghiêng mặt phẳng Oxy), vạch

Q (quay quanh trục Oz), vạch Z

(nghiêng trục Oz) đến các vị trí thích

hợp để đặt hình ở góc nhìn thuận lợi

Các nút lệnh Quay, Oxy, Oxz, Oyz

làm quay hệ trục, chiếu hệ trục lên

mpOxy, mp Oxz, mpOyz.

Hình 1.1b

Sau khi có hệ trục ta có thể giấu (Hide) các đối tợng không cần thiết (trừ các

điểm O, i, j, k) bằng cách chọn các đối tợng đó rồi dùng lệnh Ctrl + H , hoặc Display | Hide.

Chú ý : Khi sử dụng hệ trục Oxyz thì các chữ O; i; j; k; là mặc định , do vậy

không đặt tên cho các đối tợng khác bằng các chữ cái này ; có thể giấu (hide)

các đối tợng tuỳ ý, nhng không thể giấu các điểm O, i, j, k khi còn dùng hệ trục hay các công cụ có liên quan đến hệ trục Đơn vị đo góc đợc dùng trong các trang hình có chứa hệ trục là Ra-đi-an.

2.Dung (Dựng)

Hình 2.1

định bởi các tọa độ) và điểm; mp(ABCD) (có phơng trình Ax+By+Cz+D=0),

dựng hình chiếu vuông góc của điểm lên đờng thẳng, lên mặt phẳng, dựng đoạnvuông góc chung của hai đờng thẳng đợc xác định bởi điểm (xác định bởi tọa

độ) và vectơ chỉ phơng (xác định bởi tọa độ), tiếp diện của mặt cầu tâm I(a;b;c) bán kính R, đi qua đờng thẳng l(x1y1z1,u1u2u3), trong hệ trục tọa độ Oxyz cho trớc.

Hình trên là các công cụ dựng điểm, đờng thẳng , mặt phẳng…

Sau khi có hệ trục toạ độ Oxyz, ví dụ cần

dựng điểm A(1;2;3) ta làm nh sau:

Dùng lệnh Alt + = hoặc vào Measure |

Calculate , xuất hiện bảng tính, chọn số

1, tơng tự chọn 2; 3, dùng Công Cụ Chữ

(Text Tool) , nháy đúp vào tham số vừa

chọn (số 1), vào thẻ Label để đổi tên

thành x ( tơng tự cho y, z ) , nếu các số x,

y, z cha có sẵn.

Hình 2.1b

Vào Custom Tool | Dung | Diem(xyz), nháy chuột lần lợt vào các số x, y, z.

Lúc này trên trang hình xuất hiện một điểm có toạ độ tơng ứng Dùng Công Cụ

Chữ (Text Tool) để đặt tên cho điểm A.

Khi nháy vào nút lệnh Quay hệ trục di chuyển, điểm A di chuyển theo.

2.2 Diem tuy y thuoc (ABCD)

Công cụ này cho phép ta

dựng một điểm tùy ý thuộc

mặt phẳng (ABCD), điểm

đ-ợc dựng chỉ di chuyển trong

mặt phẳng (ABCD), trong

tr-ờng hợp cần thiết muốn có

tọa độ của điểm này ta dùng

- Vào Custom Tool | 2.Dung

| Diem tuy y thuoc

Hãy thử di chuyển điểm M,

thay đổi vị trí của hệ trục để

quan sát

Hình 2.2a

2.3 Diem tuy y thuoc Mp (3 Diem)

- Vào Custom Tool | 2.Dung | Diem tuy y thuoc Mp(3 Diem).

- Nháy chuột lần lợt vào các điểm

M, N, P ta sẽ đợc điểm L, dựng tứ

giác MLNQ và phần trong của nó,

rê điểm L, cho hệ trục quay để

quan sát

Đôi khi điểm đợc dựng không nằm

trong vùng làm việc của trang hình

mà xuất hiện bên ngoài khung hình,

quan sát thanh cuốn biên để xác

định nó và kéo về vị trí thích hợp

Hình 2.3a2.4 Diem tuy y trong KG

Tơng tự nh hai công cụ

trên, công cụ này giúp ta

dựng điểm tùy ý trong

không gian cùng với tọa

độ của nó đối với hệ trục

cho trớc

Hình 2.4Trong hệ trục cho trớc, muốn dựng điểm tùy ý trong không gian:

- Vào Custom Tool | 2.Dung | Diem tuy y trong KG.

- Trên trang hình có ngay một điểm tùy ý đợc tự động đặt tên và có các tọa độ

tơng ứng Trong một số trờng hợp cần đặt tên lại cho điểm và các tọa độ talàm nh sau

Để đổi tên điểm (lúc này tại vị trí

của điểm có hai điểm chồng nhau, ta

phải đổi tên cả hai điểm) Trớc hết ta

nháy chuột vào điểm hai lần rời rạc (

không phải là nháy đúp) vào Edit |

Properties | Label, đổi tên rồi nhấn

Ctrl + H để giấu luôn Sau đó nháy

chuột phải một lần vào điểm, vào

properties | Label đổi tên, hoặc

đờng thẳng khi biết tọa độ

(a; b; c) của vectơ pháp

tuyến (VTPT) của đờng

thẳng và một điểm thuộc

đờng thẳng.

Hình 2.5

Giả sử muốn dựng đờng thẳng d qua điểm A thuộc Oz, có VTCP(a;b;c) trong

hệ trục cho trớc, với các số a, b, c có sẵn Ta làm nh sau

- Vµo Custom Tool | Dung |

®iÓm (x; y; z), cã vect¬ chØ ph¬ng

(a; b; c), víi c¸c sè x, y, z, a, b, c

cã s½n

- Vµo Custom Tool | Dung |

Dt(xyz,abc) Nh¸y chuét lÇn lît

vµo c¸c sè x, y, z, a, b, c.

H×nh 2.6a

2.7 Mp(VTPT+Diem)

(A; B; C) đi qua điểm A

nào đó thuộc trục Oz, với

Ta sẽ đợc một hình chữ nhật, hình biểu diễn của mặt phẳng có VTPT

(A; B; C) qua điểm A, có chiều dài là tham số d, có chiều rộng là tham số r, tham số q (đơn vị là Radian) dùng để điều chỉnh góc quay của hình chữ nhật quanh điểm A.

Thay đổi các tham số d, r, q để chỉnh độ lớn ,vị trí của hình chữ nhật, muốn vậy

ta chọn tham số (chẳng hạn q) rồi nhấn phím (+) hoặc (-) để tăng hoặc giảm

giá trị của tham số q một đơn vị Để đổi đơn vị đo góc ta làm nh sau:

Vào Edit | Preferences, xuất

hiện hộp thoại bên, nháy chuột

vào chữ radians, đánh dấu

kiểm vào các ô: This Sketch và

New Sketches, chọn OK.

Hình 2.7b2.8 Mphang(ABCD)-d,r,q

Công cụ này dùng để dựng

mp(ABCD) (mặt phẳng có phơng

trình Ax+By+Cz+D=0) trong hệ

trục Oxyz cho trớc.

Giả sử muốn dựng mp(ABCD)

trong hệ trục Oxyz, với các hệ số

nhật-mp(ABCD) có chiều dài là

d, chiều rộng là r, tham số quay

là q.

Hình 2.8a

2.9 Hchieu-Diem len Dt(Diem+VTCP)

Công cụ này dùng để dựng hình chiếu vuông góc của điểm có tọa độ

(x0; y0 ; z0) lên đờng thẳng qua điểm (x1; y1; z1) có VTCP(a; b; c)

Hình2.9

Giả sử trong hệ trục Oxyz muốn dựng hình chiếu vuông góc của điểm A(x0;y0;z0) trên đờng thẳng qua điểm B(x1;y1;z1) và có VTCP(a;b;c) với các

số x0, y0, z0, x1, y1, z1, a, b, c có sẵn ta làm nh sau.

- Dựng đờng thẳng bằng cách vào Custom Tool | Dung | Dthang(xyz,abc),

nháy chuột lần lợt vào x1, y1, z1, a, b, c (nếu đờng thẳng cha có sẵn)

- Vào Custom Tool | Dung | Hchieu-Diem len Dt, nháy chuột lần lợt vào x0,

y0, z0, x1, y1, z1, a, b, c.

Ta sẽ có điểm A(x0;y0;z0)

và tọa độ của A’(xA’;yA’;zA’)

hình chiếu vuông góc của

A, và đoạn nối AA’.

Trờng hợp đờng thẳng đã

đợc dựng ta chỉ cần thực

hiện bớc 2

Hình 2.9a2.10 Hchieu-Diem len Mp(ABCD)

góc của điểm A (x0; y0; z0) lên mặt

phẳng (ABCD), với các số x0, y0, z0, A,

B, C, D có sẵn.

- Vào CustomTool | Dung |

Hchieu-Diem len Mp(ABCD), nháy chuột

lần lợt vào các số x0, y0, z0, A, B, C,

D Ta sẽ có đoạn nối điểm A và hình

chiếu A1, A1 có tọa độ (xA1,yA1,zA1)

Hình 2.10a

Để có hình ảnh trực quan hơn ta có thể dựng mp(ABCD) bằng cách tạo thêm

các tham số d, r, q, sau đó vào Custom Tool | Dung | Mphang(ABCD), nháy

chuột lần lợt vào các số A, B, C, D, d, r, q (đơn vị là Radian).

d1(x1y1z1,a1b1c1) và d2(x2y2z2,a2b2c2) trong hệ trục Oxyz , với các số x1, y1, z1, a1, b1, c1, x2, y2, z2, a2, b2, c2 có sẵn, ta làm nh sau

- Vào Custom Tool | Dung | Doanvgochung2Dt (Diem+VTCP).

- Nháy lần lợt vào các số x1,

y1, z1, a1, b1, c1, x2, y2, z2,

a2, b2, c2.

Khi đó xuất hiện đoạn vuông

góc chung HL của hai đờng

thẳng, độ dài của HL, và tọa độ

các chân H, L của đoạn vuông

góc chung

Hình 2.11a

Muốn có hai đờng thẳng d1, d2 ta dùng công cụ dựng đờng thẳng

Vào CustomTool | Dung | Dthang(xyz,abc), nháy chuột lần lợt vào các số: x1,

y1, z1, a1, b1, c1, và x2, y2, z2, a2, b2, c2.

Công cụ này cho ta xác định các hệ số (ABCD) của mặt phẳng qua ba điểm có

toạ độ (x1, y1,z1), (x2, y2,z2), (x3, y3,z3).

Lúc này các điểm A, B, C là các điểm

có hai điểm chồng nhau, để tiện chúng

ta giấu điểm thứ hai bằng cách nháy hai

lần vào điểm A, nhấn Ctrl + H, tơng tự

cho B và C.

Hình 3.1b

3.2 HesoMp:Diem+VTPT

Công cụ này cho ta xác định các hệ số của mặt phẳng qua điểm (x0; y0; z0 ) có

toạ độ vectơ pháp tuyến là (A; B;C ).

Hình 3.2

3.3 HesoMp:Diem+Dt(Diem+VTCP)

Công cụ này cho ta xác định các hệ số (ABCD) của mặt phẳng qua điểm (x0,y0,z0) và đờng thẳng (x1y1z1,abc) (đờng thẳng qua điểm(x1,y1,z1) có VTCP(a,b,c)).

Hình 3.3

Giả sử muốn xác định các hệ số (ABCD) của mặt phẳng qua điểm A(xA,yA,zA)

và đờng thẳng (xByBzB,abc) trong hệ trục xác định, với các số xA, yA, zA, xB, yB,

Công cụ này cho ta biết đợc khoảng cách giữa hai điểm; khoảng cách từ một

điểm đến một đờng thẳng, khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng,khoảng cách giữa hai đờng thẳng chéo nhau

- Vào CustomTool | Khoangcach | khcach

2-Diem Sau đó dùng chuột nháy lần lợt vào các

số: x0, y0, z0, x1, y1, z1 trên trang hình xuất

hiện khoảng cách d giữa hai điểm trên

toạ độ (x0,y0,z0) đến đờng

thẳng qua điểm (x1,y1,z1) có

- Vào Custom Tool | Khoangcach

| khcach Diem-Duongthang,

dùng chuột nháy theo thứ tự vào

các số x0, y0, z0, x1, y1, z1, u1,

u2, u3 ta sẽ có khoảng cách là:

d(diem,dt).

Công cụ này cho ta xác định

(x0,y0,z0) đến mặt phẳng có các hệ số

(ABCD).

- Vào Custom Tool | Khoangcach | Khcach

Diem-Mp, nháy chuột theo thứ tự vào các

số: x0, y0, z0, A, B, C, D ta sẽ có khoảng

Hình 4.3a

4.4 Khcach 2 Dthangcheonhau

Công cụ này cho ta xác định đợc khoảng cách giữa hai đờng thẳng chéo nhau

l1(x1y1z1,a1b1c1), l2(x2y2z2,a2b2c2) (l1 đợc xác định bởi điểm (x1,y1,z1), VTCP(a1,b1,c1) và l2 đợc xác định bởi điểm (x2,y2,z2), VTCP(a2,b2,c2)).

Hình 4.4Giả sử muốn tính khoảng cách giữa hai

đờng thẳng chéo nhau l1(x1y1z1,a1b1c1)

và l2(x2y2z2,a2b2c2).

- Vào CustomTool | Khoangcach |

Khcach 2 Duongthangcheonhau,

ta sẽ có khoảng cách d(dt,dt). Hình 4.4a

5.GiaocuaMatphang

Công cụ này cho ta xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (A1B1C1D1) và (A2B2C2D2), giao điểm của mặt phẳng(ABCD) và đoạn thẳng (xác định bởi toạ

độ 2 đầu mút), giao điểm của mặt phẳng (ABCD) và đờng thẳng xác định bởi điểm

và VTCP, giao điểm của 3 mặt phẳng, trên hệ trục Oxyz xác định.

Giả sử muốn dựng giao tuyến của

Công cụ này dùng để dựng giao điểm của mặt phẳng (ABCD) và đoạn thẳng

(đ-ợc xác định bởi toạ độ hai điểm mút)

Giả sử muốn dựng giao điểm của mặt

phẳng (ABCD) và đoạn thẳng AB với

A(x1;y1;z1) và B(x2;y2;z2) trong hệ trục

Oxyz (Hình bên)

GiaocuaMatphang |

Giao(ABCD)-Doanthang.

Sau đó nháy chuột theo thứ tự vào các số:

A, B, C, D, x1, y1, z1, x2, y2, z2 Lúc này

trên hình có đoạn thẳng AB, giao điểm

C(x;y;z) của mặt phẳng(ABCD) với đọan

thẳng AB.

Hình 5.2a

Nếu muốn có mặt phẳng (ABCD) ta

phải tạo thêm các tham số d, r, q Sau

Giả sử muốn dựng giao điểm của

(ABCD) và đờng thẳng d ta tạo

thêm các tham số d, r, q.

- Vào CustomTool | Dung |

Mphang(ABCD), nháy chuột

Hình 5.4

Sau đó lần lợt nháy chuột vào các số: A1, B1, C1, D1, A2, B2, C2, D2, A3, B3, C3, D3 ta sẽ có giao điểm M0 (x0,y0,z0).

Các công cụ đợc dùng sau khi có hệ trục toạ độ kèm theo đơn vị Unit (xuất hiện khi chọn hệ trục).

Khi sử dụng các công cụ này đơn vị đo góc là Radian

Ta còng cã thÓ t¹o c¸c tham sè d,

r, q råi dïng c«ng cô CustomTool

| Dung | Mphang(VTCP+Diem),

nh¸y chuét vµo c¸c sè A, B, C, d, r,

q vµ nh¸y chuét vµo t©m cña h×nh

R, x, y, z, u1, u2, u3 Trªn trang

h×nh cã hai giao ®iÓm

6.3 Giao 2 Mcau

Công cụ này giúp ta dựng đợc giao của hai mặt cầu (a1b1c1,R1), (a2b2c2,R2).

Hình 6.3

Giả sử muốn dựng giao tuyến của

hai mặt cầu (a1b1c1,R1) và

(a2b2c2,R2) trong hệ trục Oxyz.

- Vào Custom Tool |

GiaocuaMcau | Giao 2 Mcau,

sau đó nháy chuột lần lợt vào

Giả sử muốn dựng đờng tròn qua ba

điểm (x1;y1;z1), (x2;y2;z2),

(x3;y3;z3) trong hệ trục Oxyz.

- Vào Custom Tool | GiaoMcau |

Dtronqua3diem(toado).

Sau đó nháy chuột lần lợt vào các

số: x1, y1, z1, x2, y2, z2, x3, y3, z3

Giả sử muốn dựng tiếp diện của mặt cầu S(abc,R) qua đờng thẳng xác định bởi

điểm (x1;y1;z1), VTCP(u1;u2;u3) trong hệ trục tọa độ Oxyz ta làm nh sau Trớc hết để hình bớt phức tạp, khi tạo hệ trục Oxyz ta có thể giấu hoặc xóa các

đối tợng không cần thiết, chỉ để lại các điểm O, i, j, k và Unit, sau đó dùng bảng tính tạo các tham số: d, r, q1, q2.

- Vào Custom Tool |

hai tiếp diện, các tiếp

điểm và tọa độ của chúng

Hình 6.5a

Các số d, r, q1, q2 dùng để điều chỉnh kích cỡ, vị trí của hai tiếp diện Nếu

thay đổi các giá trị của q1 (bằng cách chọn q1 rồi nhấn phím (+) hoặc (–))),

q2 mà không thấy mặt phẳng thay đổi theo, lúc đó trang hình đang dùng đơn vị

đo góc là độ, ta phải chuyển sang Radian

7.TrongMp(ABCD)

Công cụ này giúp chúng ta xác

định các đối tợng nh điểm, đờng

Công cụ này giúp ta dựng đờng

thẳng vuông góc với một đoạn

thẳng cho trớc thuộc mp(ABCD)

và đi qua một điểm cho trớc thuộc

mp(ABCD).

Hình 7.1a

Giả sử trong mặt phẳng (ABCD) muốn dựng đờng thẳng ∆ vuông góc với đoạn thẳng M, N và đi qua điểm P, các điểm M, N, P nằm trên mp(ABCD) đối với hệ trục Oxyz cho trớc, và các số A, B, C, D và các điểm M, N, P có sẵn.

Dùng bảng tính tạo các tham số d, r, q, vào Custom Tool | Dung | Mphang(ABCD), nháy chuột vào các số: A, B, C, D, d, r, q để dựng

mp(ABCD), nếu mặt phẳng (ABCD) cha có sẵn.