Chương 2: Cơ sở toán học

1 CHƯƠNG 2. CƠ SỞ TOÁN HỌC CỦA BẢN ðỒ §6. KHÁI NIỆM VỀ CÁC PHÉP CHIẾU BẢN ðỒ. PHÂN LOẠI PHÉP CHIẾU THEO ðẶC ðIỂM CỦA SAI SỐ Khi chuyển từ bề mặt tự nhiên của trái ñất sang hình chiếu biểu thị của nó trên mặt phẳng (trên bản ñồ) người ta thực hiện hai ñộng tác: thứ nhất chiếu mặt ñất cùng với ñịa hình phức tạp của nó lên mặt elipxoit trái ñất, kích thước của mặt elipxoit này ñược xác ñịnh bằng các phép ño trắc ñịa và thiên văn; thứ hai, biểu hiện mặt elipxoit lên mặt phẳng nhờ một trong những phép chiếu của bản ñồ. Phép chiếu bản ñồ là một phương pháp xác ñịnh về mặt toán học nhất ñịnh nhằm biểu thị mặt elipxoit lên mặt phẳng. Phép chiếu xác ñịnh mối quan hệ (tương ứng) giải tích giữa toa ñộ ñịa lý (hay toạ ñộ khác) của các ñiểm trên mặt elipxoit với toạ ñộ vuông góc hay toạ ñộ khác của chính những ñiểm ấy trên mặt phẳng. Mối quan hệ ñó có thể ñược biểu thị bằng hai phương trình có dạng: x = f 1 (ϕ, λ), y = f 2 (ϕ, λ). (1) và ñược gọi là những phương trình của các phép chiếu bản ñồ. Chúng cho phép tính ñược các toạ ñộ vuông góc x,y của một ñiểm ñược biểu thị dựa vào các toạ ñộ ñịa lý ϕ, λ của nó. Số quan hệ hàm số có thể có và do ñó số lượng phép chiếu là vô hạn chỉ cần làm sao cho mỗi ñiểm ϕ, λ trên elipxoit ñược biểu thị lên mặt phẳng một cách ñơn trị bằng x và y tương ứng và sao cho hình chiếu biểu thị ñược liên tục. Không thể dàn một mặt elipxoit (hay mặt cầu) thành mặt phẳng như mặt hình nón hay mặt hình ống. Vì vậy tính liên tục và tính ñơn trị của sự biểu hiện chỉ ñạt ñược bằng cách giãn ra (hay co lại một cách không ñều) tức là làm biến dạng mặt elipxoit khi ñưa về mặt phẳng. Hậu quả từ ñó là tỷ lệ của hình biểu thị phẳng không thể cố ñịnh. ðể có ñược khái niệm rõ ràng về ñộ lớn và ñặc ñiểm các biến dạng ñặc trưng cho một phép chiếu nhất ñịnh ta hãy xem các ñường tròn vô cùng nhỏ ñược chọn ở những ñiểm khác nhau trên mặt elipxoit sẽ ñược biểu thị như thế nào trên mặt phẳng. Trong lý thuyết của các phép chiếu bản ñồ có chứng minh rằng một ñường tròn vô cùng nhỏ trên mặt elipxoit nói chung ñược biểu thị trên mặt phẳng bằng một elip gọi là elip các sai số, ñiều ñó có nghĩa là tỷ lệ của hình biểu thị không chỉ phụ thuộc vào vị trí của ñiểm mà còn thay ñổi theo các hướng ở chính ñiểm ñó. Người ta phân biệt tỷ lệ chính bằng tỷ lệ mô hình elipxoit trái ñất ñược thu nhỏ theo một tỷ lệ cho trước nhằm biểu hiện trên mặt phẳng, và các tỷ lệ khác gọi là các tỷ lệ riêng. Tỷ lệ riêng ñược ñịnh nghĩa như tỷ số của một ñoạn vô cùng nhỏ trên bản ñồ δ d ( trên mặt phẳng ), trên một ñoạn thẳng tương ứng với nó trên mặt elipxoit ds . Tỷ số của tỷ lệ riêng trên tỷ lệ chính biểu thị bằng ds d δ µ = , ñặc trưng cho sai số chiều dài. 2 Ở một ñiểm bất kỳ của elipxoit ñều có hai hướng vuông góc với nhau gọi là những hướng chính. Trên hình chiếu, những hướng này cũng ñược biểu thị bằng những ñường vuông góc với nhau trùng với các trục lơn và trục nhỏ của elip sai số (hình 4). Rõ ràng là trong elip sai số tỷ lệ lớn nhất trùng với hướng trục lớn của elip sai số còn tỷ lệ nhỏ nhất trùng với hướng trục nhỏ. Các tỷ lệ theo những hướng chính này ñược biểu thị ñối với tỷ lệ chính và ký hiệu như sau: a- là tỷ lệ lớn nhất, b- là tỷ lệ nhỏ nhất. Nói chung các hướng có thể không trùng với các kinh tuyến và vĩ tuyến (và hình ảnh của chúng trong phép chiếu). Trong trường hợp ñó, các tỷ lệ theo kinh tuyến và vĩ tuyến ñược biểu thị tương ứng bằng m và n. Tính chất thay ñổi của các tỷ lệ ở một ñiểm theo những kinh tuyến khác nhau có thể thấy trên hình 5b, ở ñây chiều dài của kinh tuyến ñược biểu thị bằng chiều dài của các kinh tuyến elipxoit (tất nhiên là thu nhỏ ñến tỷ lệ của bản ñồ) còn chiều dài vĩ tuyến càng xa xích ñạo càng tăng. Trên hình vẽ các ñoạn vĩ tuyến giữa hai kinh tuyến ở bát kỳ vĩ ñộ nào cũng bằng nhau, trong thực tế càng gần ñến cực, chúng càng giảm dần ñến bằng không. Hình4: Elip biến dạng & các yếu tố của nó Như vậy tỷ lệ dọc theo các kinh tuyến là không ñổi ở bất kỳ ñiểm nào trên bản ñồ, nhưng dọc theo các vĩ tuyến các tỷ lệ tăng dần theo chiều tăng của vĩ ñộ. ðiều ñó thể hiện rõ ở các elip sai số trình bày trong hình vẽ trên. Hình 17 minh hoạ khá rõ sai số chiều dài. Trên mặt ñất, tất cả các kinh tuyến có chiều dài bằng nhau; trên từng vĩ tuyến một các ñoạn giữa kinh tuyến kế cận cũng bằng nhau. Trong khi ñó trên hình vẽ chỉ có các kinh tuyến giữa ñược biểu thị bằng một ñường thẳng, còn các kinh tuyến khác tạo thành những ñường cong. Chiều dài chúng càng tăng lên khi càng xa kinh tuyến giữa. Ngay cả vĩ tuyến cũng bị sai lệch, càng xa kinh tuyến giữa các ñoạn dài giữa những kinh tuyến kế cận càng tăng lên. Bên cạnh các sai số chiều dài người ta còn phân ra các sai số diện tích và góc. Sai số diện tích ở một ñiểm nào ñó của bản ñồ là tỷ lệ giữa diện tích elip sai số với diện tích hình tròn vô cùng nhỏ tương ứng trên elipxoit và ñược ký hiệu bằng P. Người ta gọi sai số góc là hiệu số giữa góc tạo thành bởi hai ñường trên elipxoit và hình ảnh của góc ñó trên bản ñồ. ðộ lớn của sai số góc ở một ñiểm ñược ñặc trưng bằng trị số lớn nhất của hiệu số ñó. Không tồn tại những phép chiếu hoàn toàn không có sai số chiều dài. Phép chiếu như vậy sẽ bảo toàn sự ñồng dạng và tính tỷ lệ của tất cả các phần mặt ñất. ðiều ñó chỉ có thể có trên mô hình elipxoit. Trong khi ñó có những phép chiếu thoát khỏi sai số góc hoặc sai số diện tích. Các phép chiếu thể hiện ñộ lớn các góc không có sai số ñược gọi là các phép chiếu ñồng góc. Một trong những phép chiếu ñó ñược phản ánh trong hình 5c. Ở mỗi ñiểm của hình ñồng góc tỷ lệ giống nhau theo tất cả các hướng (elip sai số biến thành ñường tròn) nhưng nói chung tỷ lệ ñó thay ñổi từ ñiểm này sang ñiểm khác (ñiều ñó thể hiện sự thay ñôỉ kích thước các ñường tròn elip sai số). Các phép chiếu ñồng diện tích (hay ñương lượng) bảo toàn diện tích (các elip sai số khắp mọi chỗ có diện tích như nhau hình 5a). Nhưng sự ñồng dạng của các hình bị sai lệch rất lớn (ñộ 3 kéo dài của elip sai số khác nhau). Tồn tại rất nhiều phép chiếu không phải là ñồng góc, cũng không phải là ñồng diện tích, chúng ñược gọi là những phép chiếu tự do. Nhưng không có và không thể có phép chiếu nào ñồng thời vẫn giữ góc và giữ diện tích, những tính chất ñó loại trừ lẫn nhau. Nói chung sai số góc càng lớn thì sai số diện tích càng nhỏ và ngược lại. Trong số các phép chiếu tự do người ta phân biệt các phép chiếu ñồng khoảng cách, ở tất cả các ñiểm của chúng, tỷ lệ theo một trong các hướng như theo các kinh tuyến hay vĩ tuyến là cố ñịnh và bằng tỷ lệ chính. Do các tính chất của mình, các phép chiếu tự do nằm giữa các phép chiếu ñồng góc và các phép chiếu ñồng diện tích. 4 ðặc ñiểm các sai số vốn có ở phép chiếu (ñồng góc, ñồng diện tích, ñồng khoảng cách) ñược nêu trong tên gọi của chúng. Hình 5. Các lưới chiếu bản ñồ trong phép chiếu hinh trụ a.ðồng diện tích: b.ðồng khoảng cách; c. ðồng góc ( Mercator) 5 §7. PHÂN LOẠI CÁC PHÉP CHIẾU THEO DẠNG KINH TUYẾN, VĨ TUYẾN CỦA LƯỚI CHUẨN Trong thực tiễn, bản ñồ học phổ biến hệ phân loại các phép chiếu theo dạng của mặt hình học hỗ trợ có thể ñược dùng khi xây dựng chúng. Trên quan ñiểm ñó người ta phân ra các phép chiếu: - Hình trụ: khi mặt hỗ trợ là mặt trụ sườn, tiếp tuyến với elipxoit hoặc cắt elipxoit. - Hình nón: khi mặt hỗ trợ là một mặt sườn của một hình nón tiếp tuyến hoặc cắt. - Phương vị: khi mặt hỗ trợ là một mặt phẳng của một hình nón tiếp tuyến hoặc cắt. Việc xây dựng các lưới chiếu trên về mặt hình học thường có ñược tính chất rõ ràng. ðể ñơn gian cho việc xem xét, ta sử dụng hình cầu thay cho elipxoit. Ta ñặt quả cầu trong một hình trụ tiếp tuyến với xích ñạo (hình 6a). Ta kéo dài các mặt phẳng của những kinh tuyến PA, PB, PC,… và xem các giao tuyến của những mặt phẳng này với mặt trụ sườn là những hình ảnh của các kinh tuyến trên mặt trụ. Nếu cắt mặt trụ sườn theo ñường aAa 1 và dàn nó ra trên mặt phẳng thì các kinh tuyến sẽ ñược biểu thị bằng những ñường thẳng aAa 1 ,bBb 1 , cCc 1 …cách ñều nhau, vuông góc với xích ñạo ABC…. Hình ảnh của các vĩ tuyến có thể thu ñược bằng những phương pháp khác nhau. Một trong số ñó là kéo dài các mặt phẳng vĩ tuyến cho ñến khi gặp mặt trụ. Khi mở ra nó cho ta một tập hợp các ñường thẳng song song thứ hai vuông góc với các kinh tuyến. Phép chiếu hình trụ thu ñược (hình 6b) là phép chiếu giữ diện tích, vì mặt sườn của ñai cầu AEDG bằng 2/7Rh (trong ñó h là khoảng cách giữa hai mặt phẳng Hình 6: Cách xây dựng lưới chiếu bản ñồ trong phộp chiếu ñồng khoảng cách 6 AG và ED) và tương ứng với diện tích của hình ảnh của ñai ñó khi mở ra. Tỷ lệ chính ñược bảo toàn dọc theo xích ñạo, các tỷ lệ riêng tăng dần theo vĩ tuyến, còn dọc theo các kinh tuyến thì chúng giảm dần khi càng ñi xa xích ñạo. Một phương pháp khác xác ñịnh vị trí các vĩ tuyến trên cơ sở bảo toàn chiều dài các kinh tuyến, tức là bảo toàn tỷ lệ chính dọc theo tất cả các kinh tuyến. Trong trường hợp này phép chiếu hình trụ giữ ñược khoảng cách theo các kinh tuyến (hình 5b). ðối với phép chiếu hình trụ giữ góc cần có sự cố ñịnh của tỷ lệ theo tất cả các hướng ở bất cứ ñiểm nào. ðiều ñó yêu cầu phải tăng tỷ lệ dọc các kinh tuyến theo hướng xa dần xích ñạo ñồng thời với việc tăng các tỷ lệ dọc theo các vĩ tuyến ở các vĩ ñộ tương ứng ( hình 5c ). Nhiều khi thay cho hình trụ tiếp tuyến, người ta sử dụng hình trụ cắt hình cầu theo hai vĩ tuyến (hình 7). Dọc theo các vĩ tuyến này tỷ lệ chính ñược bảo toàn khi mở ra. Trong trường hợp này các tỷ lệ riêng dọc theo tất cả các vĩ tuyến giữa hai vĩ tuyến bị cắt sẽ nhỏ hơn tỷ lệ chính, còn trên các vĩ tuyến còn lại sẽ lớn hơn. ðể xây dựng phép chiếu hình nón ta ñặt quả cầu trong một hình nón tiếp tuyến với quả cầu theo vĩ tuyến ABCD (hình 8a). Tương tự như cách xây dựng trên kia, ta kéo dài các mặt phẳng kinh tuyến PA, PB, PC,…và xem các giao tuyến của chúng với mặt nón sườn là hình ảnh các kinh Hình 8. Cách dựng lưới bản ñồ trong phép chiếu hình nón ñồng khoảng cách tuyến trên mặt nón. Sau khi mở mặt nón ra thành mặt phẳng (hình 8b) các kinh tuyến ñược biểu thị bằng những ñường thẳng dạng tia TA, TB, TC,…xuất phát từ một ñiểm T, và các góc giữa chúng tỷ lệ (nhưng không bằng nhau) và với những hiệu số kinh ñộ. Dọc theo vĩ tuyến tiếp tuyến ABC, tức là cung tròn có bán kính TA, tỷ lệ chính ñược bảo toàn. Vị trí của những vĩ tuyến này Hình 7: Hình trụ, cắt hình cầu bởi hai mặt phẳng song song 7 ñược biểu thị bằng những cung tròn ñòng tâm, có thể xác ñịnh từ những ñiều kiện khác nhau. Một trong những ñiều kiện ñó – bảo toàn tỷ lệ chính dọc theo các kinh tuyến (AE – Ae) dẫn ñến phép chiếu hình nón giữ khoảng cách. ðể xây dựng phép chiếu phương vị ta sử dụng mặt phẳng tiếp tuyến với quả cầu với cực ñiểm P (hình 9). Các giao tuyến của những mặt phẳng kinh tuyến với mặt phẳng tiếp tuyến, cho các hình ảnh của những kinh tuyến Pa, Pb, Pc,… dưới dạng những ñường thẳng. Góc giữa những ñường thẳng này bằng hiệu số các kinh ñộ. Các vĩ tuyến, những ñường tròn ñồng tâm có thể ñược xác ñịnh bằng nhiều con ñường khác nhau như ñược vẽ bởi các bán kính bằng các cung uốn thẳng của các kinh tuyến tính từ cực ñến vĩ tuyến tương ứng. Phép chiếu ñó ñã ñược sử dụng cho biểu tượng của Liên hiệp Quốc. Hình 9. Cách dựng lưới bản ñồ trong phép chiếu phương vị. Các phép chiếu ñược xét trên ñây tức là những phép chiếu trong khi xây dựng có trục hình trụ, trục hình nón trùng với trục của quả cầu trái ñất, và mặt phẳng tiếp tuyến với ñiểm cực, ñược gọi là những phép chiếu chuẩn. Như vậy trong những phép chiếu chuẩn của bất cứ một phép chiếu hình trụ nào các vĩ tuyến và kinh tuyến tạo thành hai tập hợp ñường thẳng vuông góc với nhau. Trong lưới chuẩn của bất cứ một phép chiếu hình nón nào các vĩ tuyến cũng là các cung tròn ñồng tâm, các kinh tuyến là bán kính của chúng, các góc giữa những kinh tuyến ứng với các góc trong thực tế, tức là bằng hiệu các kinh ñộ. Dựa vào dạng lưới chiếu chuẩn người ta cũng phân biệt các phép chiếu: Hình trụ giả: trong ñó các vĩ tuyến là những ñường thẳng song song với nhau, còn các kinh tuyến là những ñường cong ñối xứng qua kinh tuyến giữa có dạng ñường thẳng (hình 11). Hình 10. Biểu tượng của Liên hiệp Quốc về phép chiếu phương vị ñồng khoảng cách . 8 Hình nón giả: trong ñó các vĩ tuyến là những cung tròn ñồng tâm, còn các kinh tuyến là những ñường cong ñối xứng qua kinh tuyến giữa có dạng ñường thẳng (hình 12). Hình nón nhiều tầng: trong ñó các vĩ tuyến là những cung tròn lệch tâm có các tâm nằm trên ñường thẳng kinh tuyến giữa, còn các kinh tuyến là những ñường cong ñối xứng qua kinh tuyến giữa. Hình 11. Lưới bản ñồ của một trong những phép chiếu hình trụ giả (với các ñường thẳng sai số ). 9 Hình 12. Lưới bản ñồ của một trong những phép chiếu hình nón giả. Hình 13. Lưới bản ñồ của một trong những phép chiếu hình nón nhiều tầng (với các ñường thẳng sai số ). 10 Bên cạnh các lưới chuẩn trong bản ñồ học còn sử dụng rộng rãi những hướng bố trí khác của hình trụ và mặt phẳng cho các phép chiếu hình trụ và phương vị. Các phép chiếu ngang, khi trục hình trụ nằm trong mặt phẳng xích ñạo (hình 14 a) và khi mặt phẳng tiếp tuyến của quả cầu ở một trong những ñiểm của xích ñạo; các phép chiếu nghiêng khi trục hình trụ (hình 14 b) hoặc hình nón tạo với trục cực một góc nhọn và mặt phẳng tiếp tuyến với quả cầu ở một trong những ñiểm nào ñó giữa cực và xích ñạo. Hình 14. Vị trí hình trụ trong phép chiếu hình trụ ngang (a) và hình trụ nghiêng (b). Cũng cần nhận xét rằng người ta thường còn gọi phép chiếu phương vị chuẩn là phép chiếu cực, và phép chiếu ngang phương vị là phép chiếu xích ñạo. Nói chung các lưới kinh tuyến và vĩ tuyến trong các phép chiếu hình trụ ngang và nghiêng, phương vị ngang và nghiêng ñược tạo thành bởi những ñường cong và vì vậy hệ phân loại các phép chiếu dựa vào dạng kinh tuyến và vĩ tuyến ñược vận dụng cho các lưới chuẩn. Trong số các phép chiếu phương vị người ta phân biệt các phép chiếu phối cảnh, chúng ñược thu nhận bằng cách chiếu mặt cầu lên mặt phẳng theo qui tắc phối cảnh nhờ các tia ñi từ ñiểm chiếu nằm trên ñường thẳng ñi qua tâm quả cầu và vuông góc với mặt phẳng tiếp tuyến (mặt phẳng ảnh). Cụ thể phân biệt các phép chiếu phối cảnh: Phép chiếu phương vị thẳng: khi ñiểm chiếu ở xa vô cực và việc chiếu ñược tiến hành bởi chùm tia song song (hình 15), thực tế ta nhìn thấy mặt trong phép chiếu này; quả cầu trái ñất trên quốc huy của Liên Xô ñược biểu hiện trong phép chiếu này. Phép chiếu phương vị cầu: khi ñiểm chiếu nằm trên mặt cầu và ñối xứng với ñiểm tiếp tuyến của mặt phẳng ảnh. Phép chiếu hình cầu là phép chiếu ñồng góc; một ñường tròn bất kỳ trên mặt cầu trong phép chiếu này cũng ñược biểu thị bằng một ñường tròn Phép chiếu phương vị trung tâm, khi ñiểm chiếu nằm ở tâm quả cầu, trong phép chiếu này, tất cả các ñường tròn lớn của quả cầu ñều ñược biểu hiện bằng những ñường thẳng. Các phép chiếu có dạng lưới không hợp với các dạng xét trên ñược gọi là phép chiếu giả ñịnh. Trong thực tiễn bản ñồ học hiện ñại, các lưới thu nhận không phải qua việc xây dựng hình học mà bằng con ñường tính toán giải tích. Do kết quả tính toán theo công thức của phép chiếu . 1 CHƯƠNG 2. CƠ SỞ TOÁN HỌC CỦA BẢN ðỒ §6. KHÁI NIỆM VỀ CÁC PHÉP CHIẾU BẢN ðỒ. PHÂN LOẠI PHÉP CHIẾU THEO ðẶC. giả ñịnh. Trong thực tiễn bản ñồ học hiện ñại, các lưới thu nhận không phải qua việc xây dựng hình học mà bằng con ñường tính toán giải tích. Do kết quả tính toán theo công thức của phép chiếu. DẠNG KINH TUYẾN, VĨ TUYẾN CỦA LƯỚI CHUẨN Trong thực tiễn, bản ñồ học phổ biến hệ phân loại các phép chiếu theo dạng của mặt hình học hỗ trợ có thể ñược dùng khi xây dựng chúng. Trên quan ñiểm