Tiểu luận môn TOÁN CHO KHOA HỌC MÁY TÍNH LOGIC MỆNH ĐỀ VÀ LOGIC VỊ TỪ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THƠNG TIN BÀI THU HOẠCH MƠN TỐN HỌC CHO KHOA HỌC MÁY TÍNH LOGIC MỆNH ĐỀ VÀ LOGIC VỊ TỪ GVHD: PGS.TS Nguyễn Phi Khứ HVTH: Nguyễn Thành Thiện MSHV: CH1301059 TPHCM - 2013 Mục Lục CH1301059 – Nguyễn Thành Thiện A Mở Đầu Sống xã hội, người không tồn cách cô lập mà ln có mối quan hệ với quan hệ với tự nhiên Cùng với ngơn ngữ, Lơgíc giúp cịn người hiểu biết cách xác nhận thức tự nhiên đắn Trải qua trình lao động, tư lơgíc người hình thành trước có khoa học lơgíc Tuy nhiên tư lơgíc hình thành cách tư lơgíc tự phát Tư lơgíc tự phát gây trở ngại cho việc nhận thức khoa học, dễ mắc phải sai lầm q trình trao đổi tư tưởng với nhau, vấn đề phức tạp Lơgíc học giúp chuyển lối tư lơgíc tự phát thành tư lơgíc tự giác Không phải không học logic người ta tư thiếu xác, tư đắn hình thành kinh nghiệm, qua trình học tập, giao tiếp, ứng xử… Nhưng chưa phải thứ tư logic mang tính tự giác Và vậy, ta dễ tư sai lầm ngộ biện Chẳng hạn: Có người lập luận rằng: “Người tốt hay giúp người nghèo Ông Ba hay giúp người nghèo Vậy ông Ba người tốt” mà không hiểu lập luận sai Logic giúp ta nâng cao trình độ tư để có tư khoa học cách tự giác Nhờ đó, ta chủ động tránh sai lầm tư thân, ví dụ Logic công cụ hữu hiệu để, cần thiết, ta tranh luận, phản bác cách thuyết phục trước lập luận mâu thuẫn, ngụy biện, thiếu người khác CH1301059 – Nguyễn Thành Thiện B Nội Dung Chương LOGIC MỆNH ĐỀ Mệnh đề Trong Tiếng Việt (và ngơn ngữ khác) có câu - thường câu tường thuật mơ tảsự vật tượng Có câu mơ tả đúng, có câu mơ tả sai vật hiệntượng Những câu thế, câu câu sai, gọi mệnh đề Ví dụ, câu sau: (a) Nam sinh viên; (b) Khí hậu trái đất nóng dần lên; (c) Bạn thất vọng bị thất bại bạn khơng khơng nỗ lực hết mình(Beverly Silis); (d) Nếu người vợ đẹp mà khơng phải thiên thần người chồng vơ bất hạnh (J.J.Rousseau);là mệnh đề Không phải câu hoặc sai Các câu hỏi, câu mệnh lệnh, câu cảm thánkhơng mơ tả nên khơng mà khơng sai Có câu tường thuật không thểxác định hay sai Chẳng hạn, câu “Tơi nói dối” khơng thể đúng, khôngsai Những câu không đúng, không sai mệnh đề Các mệnh đề tách thành mệnh đề đơn giản gọi mệnh đề đơn Cácmệnh đề tách thành mệnh đề đơn giản gọi mệnh đề phức Nói cách khác,mệnh đề phức tạo thành từ mệnh đề đơn Các mệnh đề (a) (b) mệnh đềđơn, (c), (d) mệnh đề phức Các phép toán logic mệnh đề Như nói, xây dựng mệnh đề phức tạp từ mệnh đề đơn giản Việc thực nhờ phép toán (toán tử) logic Phủ định phép tốn đơn giản mệnh đề Đó phép tốn ngơi Mặc dầu ngơn ngữ tự nhiên mệnh đề bị phủ định nhiều cách khác nhau, ta phủ định mệnh đề cách nhất, cách đặt dấu ¬ trước mệnh đề Nếu A mệnh đề, ¬ A phủ định mệnh đề A Phép toán phủ định định nghĩa bảng chân lý sau: Phủ định A T F ¬A F T CH1301059 – Nguyễn Thành Thiện Các chữ T F giá trị chân lý “đúng” (True) “sai” (False) tương ứng Trong bảng trên, A phủ định nó, ¬ A, sai, ngược lại, A sai ¬A Hội phép tốn phổ biến thứ hai mệnh đề Người ta gọi phép liên kết Liên kết hai mệnh đề A B ký hiệu A & B Bảng chân lý định nghĩa phép hội sau (xem bảng) Mệnh đề A & B A B Các mệnh đề A B gọi thành phần liên kết mệnh đề A & B Hội B T F T F A T T F F A T T F F A&B T F F F Tuyển không nghiêm ngặt B A∨B T T F T T T F F Tuyển nghiêm ngặt A B T T F F T F T F A B F T T F Lựa chọn phép tính phổ biến thứ ba mệnh đề Người ta cịn gọi phép tuyển Trong tiếng Việt phép toán thường biểu thị từ “hoặc”, “hoặc là”, “hay”, “hay là” Lựa chọn hiểu theo hai nghĩa khác Trong nghĩa thứ “A B” (ký hiệu A ∨ B) hiểu có hai thành phần A B , A B Trong nghĩa thứ hai “A B” (ký hiệu A B) A đúng, B sai, A sai, B Nghĩa thứ phép tuyển không nghiêm ngặt, phép tuyển nghiêm ngặt ứng với nghĩa thứ hai Phép tuyển nghiêm ngặt ký hiệu Bảng chân lý phép tuyển không nghiêm ngặt nghiêm ngặt dẫn Kéo theo phép tốn hai ngơi định nghĩa bảng chân lý quan trọng nữatrên mệnh đề Với mệnh đề A B phép toán cho phép tạo nên mệnh đề A ⊃ B.Nghĩa mệnh đề “Nếu A B”, “A kéo theo B” Nghĩa không xácđịnh rõ ràng ứng dụng thông thường Ta CH1301059 – Nguyễn Thành Thiện biết “A kéo theo B” cónghĩa A B phải Trong tiếng Việt phép toán thường diễn đạtbằng cụm từ “Nếu … … “, “Nếu … … “,“Khi … … “, “Bao … … “, “… …“ số cụm từ khác Ví dụ, câu “Nếu khơng bảo vệ mơi trường từ lồi người khơng có tương lai” ; “Chuồn chuồn bay thấp mưa”; “Có nước có cá”; “Bao chạch đẻ đa, sáo đẻ nước ta lấy mình” … biểu đạt mệnh đề dạng kéo theo Trong ngôn ngữ thông thường, suy luận toán học khoa học khác, nghĩa cụm từ “nếu … …” cụm từ khác diễn đạt phép kéo theo Hội Tuyển không nghiêm ngặt Tuyển nghiêm ngặt hiểu phụ thuộc vào văn cảnh Câu “Nếu A B” tiếng Việt thường biểu thị mối liên hệ A B nội dung Chẳng hạn, A điều kiện, B hệ (vì mệnh đề loại cịn gọi mệnh đề điều kiện), hay A nguyên nhân, B kết Nhưng logic mệnh đề không quan tâm đến mối liên hệ mặt nội dung đó, mà quan tâm đến mối liên hệ giá trị chân lý chúng mà Cụ thể ta coi “Nếu A B” sai A mà B sai Trong tất trường hợp khác “Nếu A B” A T T F F Kéo theo B T F T F A⊃B T F T F A T T F F Tương đương B T F T F A≡B T F F T Bảng chân lý phép kéo theo dẫn Nếu ký hiệu cụm từ “A tương đương B” A ≡ B ta có bảng chân lý cho phép tương đương dẫn A ≡ B A B có giá trị chân lý Độ ưu tiên thực phép toán xác định theo thứ tự giảm dần sau : ¬, &, ∨, ⊃, ≡ Cùng phép tốn chúng kết hợp bên phải2, nghĩa là: p ∨ q ∨ r ⇔ p ∨ (q ∨ r) p & q & r ⇔ p & (q & r) p ⊃ q ⊃ r ⇔ p ⊃ (q ⊃ r) ¬¬ p ⇔ ¬ (¬p) p ≡ q ≡ r ⇔ p ≡ (q ≡ r) CH1301059 – Nguyễn Thành Thiện Định nghĩa phép tốn logic phương pháp giải tích Nếu ký hiệu val(A) giá trị logic công thức A, ký hiệu val(A) = T val(A) = bảng định nghĩa phép tốn logic cho thấy : val(A ∨ B) = max (val(A), val(B))= val (A) + val (B) (với ý: + = 1); val(A & B) = (val(A), val(B)) = val (A) val (B); val(¬A) = – val(A); val(A ⊃ B) = val (¬A ∨ B) = max(1 - val(A), val(B)); Công thức Ta dùng thuật ngữ công thức để loại biểu thức xây dựng từ mệnh đề đơn phép tốn mệnh đề Chính xác hơn: (i) Tất mệnh đề đơn p, q, r, p1, p2, … công thức (ii) Nếu A công thức (A), ¬A cơng thức (iii) Nếu A, B cơng thức A & B, A ∨ B, A ⊃ B, A ≡ B công thức (iv) Ngồi khơng cịn cơng thức khác Ví dụ cơng thức : •p • p ∨ (q & r) • (r & q) ⊃ (((r ∨ s) & ¬ q) ⊃ ¬ s) Những biểu thức sau khơng phải cơng thức : • p &∨ q, • ∀p ⊃ q, • p & (q ∨ r) ⊃ Mỗi công thức hàm biến (là mệnh đề đơn thành phần công thức đó) xác định tập giá trị chân lý {T, F} Hàm nhận giá trị từ tập {T, F} Mỗi phân bố giá trị chân lý mệnh đề đơn cấu thành công thức A tương ứng với giá trị chân lý cơng thức A Ví dụ, cơng thức (p ∨ q) & (¬ r) có giá trị tương ứng với phân bố giá trị chân lý mệnh đề đơn thành phần sau : p q r p∨q ¬r (p ∨ q) & (¬ r ) T T T T F F T T F T T T T F T T F F T F F T T T CH1301059 – Nguyễn Thành Thiện F T T T F F F T F T T T F F T F F F F F F F T F Bảng liệt kê giá trị chân lý công thức với phân bố giá trị mệnh đề đơn thành phần ví dụ gọi bảng chân lý (hay bảng chân trị) – khảo sát phần sau - công thức Các cổng logic kỹ thuật điện tử Trong kỹ thuật điện tử người ta sử dụng phần tử đặc biệt mạch điện, gọi cổng logic Các cổng logic thông thường cổng AND, tương ứng với phép toán hội; cổng OR, tương ứng với phép tuyển không nghiêm ngặt; cổng XOR, tương ứng với phép tuyển nghiêm ngặt; cổng đảo NOT, tương ứng với phép phủ định; cổng NAND, tương ứng với phủ định phép hội; cổng NOR, tương ứng với phủ định phép tuyển; NXOR, tương ứng với phủ định phép tuyển nghiêm ngặt Cổng AND Output = X & Y (đầu có tín hiệu hai đầu vào X Y có tín hiệu) Cổng OR Output = X ∨ Y (đầu có tín hiệu có đầu vào X Y có tín hiệu) Cổng XOR Output = X ∨ Y (đầu có tín hiệu có đầu vào X Y có tín hiệu) CH1301059 – Nguyễn Thành Thiện Cổng NOT (cổng đảo) Output = ¬ X (đầu có tín hiệu đầu vào khơng có tín hiệu, ngược lại ) Cổng NAND Output = ¬ (X & Y) (đầu khơng có tín hiệu khơng đầu vào có tín hiệu, trường hợp khác đầu có tín hiệu) Cổng NOR Output = ¬ (X ∨ Y) (đầu có tín hiệu khơng đầu vào có tín hiệu) Cổng NXOR Output = ¬ (X ∨ Y) (đầu có tín hiệu khơng đầu vào có tín hiệu tất đầu vào có tín hiệu) Một mạch điện tử thiết kế từ cổng logic tương ứng với công thức logic, ngược lại, công thức logic tương ứng với mạch điện tử thiết kế từ cổng CH1301059 – Nguyễn Thành Thiện Mạch điện tử tương ứng với công thức : Output = ¬(¬(¬(x y) ∨ ¬(y z)) ¬ (z & ¬y)) Hệ phép tốn đầy đủ Vì mệnh đề nhận hai giá trị chân lý T F nên số lượng phép tốn hai ngơi (khác nhau) mệnh đề có tất 24 = 16 Chúng biểu diễn bảng sau:B Trong bảng phép toán 1, 3, 4, phép tốn &, ∨, ⊃ ≡ tương ứng Nhận xét: phép kéo theo (⊃) định nghĩa thơng qua phép phủ định tuyển Cụ thể là: (A ⊃ B) ⇔ (¬A ∨ B) (1) Phép tốn 14 định nghĩa thông qua phép kéo theo phủ định: Ký hiệu “|“, ta có (A |B) ⇔ (¬ (A ⊃ B) và, từ (1), (2) ta thấy “ |” xác định thơng qua phép phủ định tuyển: 10 CH1301059 – Nguyễn Thành Thiện (A | B) ⇔ (¬ (¬A ∨ B)) Có câu hỏi tự nhiên với nhóm phép tốn đủ để định nghĩa tất phép tốn cịn lại 16 phép tốn nêu trên? Định lý sau trả lời cho câu hỏi Định lý 1.1 Bất phép tốn số 16 phép toán nêu bảng cho thơng qua phép tốn ¬, & và∨ Chứng minh Ta chứng minh định lý cách xác định phép toán số 16 phép tốn qua phép tốn ¬, &, ∨ Phép tốn phép &, phép tốn phép ∨ Phép kéo theo (4) phép toán (14) biểu diễn nói Phép tốn (13) phép tuyển nghiêm ngặt ∨ Như biết, A ∨ B ⇔ (A ∨ B) & ( ¬ A ∨ ¬B) Phép tốn (5) phép đồng Nó biểu : (A = B) ⇔ (¬A ∨ B) & (¬B ∨ A) Phép tốn thứ 8, ta ký hiệu dấu L, định nghĩa sau: (A L B) ⇔ (¬A & ¬B); phép tốn 7, ta tạm ký hiệu dấu ⎦, định nghĩa sau: (A ⎦ B) ⇔ ((¬A1 & A2) ∨ (¬A1 & ¬A2)) Chúng tơi dành phần cịn lại cho bạn đọc, coi tập Nếu cho trước bảng chân lý cịn cho phép ta xác định cơng thức có bảng chân lý Ví dụ: Có bảng chân lý Công thức D D = (A1 & A2 & ¬A3) ∨ (A1 & ¬A2 & ¬A3) ∨ (¬A1 & A2 & A3) Công thức D thu cách : Trong bảng chân trị D sử dụng dịng mà D có giá trị (T) Tại dịng đó, biến có giá trị T lấy ngun biến, có giá trị F phủ định biến Mỗi dịng bảng chân trị biểu thị 11 CH1301059 – Nguyễn Thành Thiện công thức, hội biến phủ định biến chọn theo cách vừa trình bày Các cơng thức tương ứng với dịng liên kết với dấu toán tuyển, kết D Nhóm phép tốn đủ để định nghĩa tất phép toán khác gọi hệ phép toán đầy đủ Như ta thấy, định lý khẳng định (¬, &, ∨) hệ phép toán đầy đủ Các cặp phép toán (⊃, ¬); ( ¬, ∨) hệ phép toán đầy đủ Chương LOGIC VỊ TỪ Khi xây dựng chuỗi suy diễn phép chứng minh, logic mệnh đề không xét cấu trúc bên (chẳng hạn cấu trúc chủ từ - vị từ) mệnh đề đơn Cho mệnh đề đơn “Mọi loài chim biết bay”, logic mệnh đề ký hiệu mệnh đề chữ đó, chẳng hạn p, sau coi p khơng có cấu trúc, nghĩa khơng tìm hiểu cấu trúc bên p, và, tất nhiên, không sử dụng thông tin chứa cấu trúc Thế có suy luận đòi hỏi thiết phải sử dụng đến cấu trúc bên mệnh đề Ví dụ, cho suy luận: Thịt tất loài vật bốn chân ăn được, bị lồi vật bốn chân, thịt bò ăn Với logic mệnh đề, ta suy luận p, q → r Tuy nhiên công thức biểu thị suy luận này, (p & q) ⊃ r lại khơng phải cơng phán đốn Từ logic mệnh đề cho suy luận cho sai Thế lại suy luận hồn tồn ! Tính đắn suy luận vừa nêu không dựa phụ thuộc hàm giá trị chân lý mệnh đề thành phần suy luận, mà dựa cấu trúc bên mệnh đề Logic vị từ hệ logic nghiên cứu suy luận Nó mở rộng logic mệnh đề I Ngôn ngữ logic vị từ Logic vị từ sử dụng ngơn ngữ hình thức tên Việc hiểu dịch câu ngôn ngữ tự nhiên sang ngôn ngữ logic vị từ dựa phân tích ngơn ngữ tự nhiên Vì vậy, trước hết tiến hành phân tích ngơn ngữ tự nhiên Phân tích ngơn ngữ tự nhiên Ngôn ngữ tự nhiên ngôn ngữ dân tộc, ví dụ tiếng Việt, tiếng Anh, tiếng Pháp,… Các ngơn ngữ hình thành lịch sử cách tự nhiên, thông qua hoạt động nhận thức cải tạo thực tiễn dân tộc Các ngơn ngữ tự nhiên hình thành phát triển cách tự phát – nghĩa ngôn ngữ tự nhiên kết qủa hoạt động tự giác nhằm tạo chúng người hay nhóm người Các quy tắc hình thành ngôn ngữ tự nhiên, chẳng hạn quy tắc ngữ pháp, cú pháp ,… nhiều khơng xác định dạng tường minh 12 CH1301059 – Nguyễn Thành Thiện a) Các tính chất ngơn ngữ tự nhiên i) Đa nghĩa Một từ cụm từ (từ sau ta gọi ngắn gọn biểu thức ngôn ngữ) ngôn ngữ tự nhiên có nhiều nghĩa khác nhau, tùy thuộc vào ngữ cảnh sử dụng ii) Giàu khả biểu đạt Tất ngôn ngữ tự nhiên giàu khả biểu đạt Người ta dùng ngơn ngữ tự nhiên nhiều lĩnh vực Có thể dùng chúng để trị chuyện, trao đổi thường ngày; dùng chúng để làm thơ, viết văn, để bàn luận thời sự, trị, luật pháp; dùng chúng để nghiên cứu trình bày tư tưởng cơng trình khoa học,… iii) Đóng ngữ nghĩa Trong ngơn ngữ tự nhiên vừa có phận từ câu nói đối tượng bên ngồi ngơn ngữ, nói giới bên ngồi ngơn ngữ, ví dụ, nói thời tiết, kinh tế, vật dụng, … có phận từ câu nói đối tượng thân ngơn ngữ, ví dụ, nói ngữ pháp, cú pháp, danh từ, động từ, câu, … Sự có mặt hai thành phần ngôn ngữ gọi tính đóng ngữ nghĩa iv) Có nhiều cấp độ ngơn ngữ Trong đoạn văn câu ngôn ngữ tự nhiên từ ngữ thuộc nhiều cấp độ khác Chẳng hạn, câu nói Socrate “Tơi biết khơng biết gì” hai lần xuất từ “biết” thuộc hai cấp độ ngôn ngữ khác Từ “biết” thứ hai biết toàn giới khách quan, ngoại trừ khả hiểu biết mình, thuộc cấp độ thứ Từ “biết” thứ lại thuộc cấp độ thứ hai, biết khả hiểu biết mình, nghĩa biết biết thuộc cấp độ thứ Nếu không phân biệt cấp độ ngôn ngữ khác ta cho câu nói chứa đựng nghịch lý v) Một phần thơng tin không biểu đạt tường minh Thông tin chứa đựng câu, đoạn văn ngôn ngữ tự nhiên có phần biểu đạt dạng tường minh, phần khác ngầm hiểu Ví dụ: câu “Trở nhà, lục tung phịng để tìm ảnh” chứa đựng thông tin không biểu thị tường minh : đâu đó; có ảnh Ví dụ khác: “Con chó có hai chân” có thơng tin ngầm hiểu : bình thường chó có nhiều hai chân Phần thơng tin biểu đạt tường minh ta gọi hiển ngôn, phần thông tin không biểu đạt tường minh gọi hàm ngơn Hàm ngơn tiền giả định hay hàm ý Để suy luận đắn ta cần phải xác định toàn nội dung thông tin mà câu đoạn văn chứa, hiển ngôn hàm ngôn b) Một số loại ký hiệu phạm trù ngữ nghĩa ngôn ngữ tự nhiên *) Tên gọi Hằng đối tượng Tên gọi từ hay cụm từ dùng để chỉ, thay thế, đại diện cho đối tượng tập hợp đối tượng giao tiếp ngơn ngữ Ví dụ, từ “sinh viên” giao tiếp ngôn ngữ dùng thay thế, đại diện cho tập hợp học sinh đại học cao đẳng – “sinh viên” tên tập hợp “Hồ Chí Minh” tên người sáng lập Nước Việt Nam Dân Chủ Cộng Hòa, tên dùng thay, dùng đại diện cho Người giao tiếp ngơn ngữ Tên chia thành tên chung tên riêng Tên riêng tên đối tượng đơn lẻ đó, tên chung tên tập hợp đối tượng Ví dụ, tên “Trường Đại học khoa 13 CH1301059 – Nguyễn Thành Thiện học xã hội nhân văn thành phố Hồ Chí Minh” tên riêng, tên “Học sinh đại học” lại tên chung Cũng chia tên gọi thành tên đơn tên phức (hay gọi tên mô tả) Tên đơn tên không tạo thành từ tên khác Ví dụ, “Việt Nam”, “Sơng Lam”, “học sinh”, … tên đơn Tên phức, hay tên mô tả, tên tạo thành từ nhiều tên khác Ví dụ, “con sơng lớn Việt Nam” tên phức, tạo thành từ tên “con sông”, “Việt Nam” Tên gọi ký hiệu, ký hiệu khác, tên gọi có hai đặc trưng quan trọng nghĩa thực (denotation), hay gọi biểu hiện1, ngữ nghĩa, hay gọi đơn giản nghĩa Trong ngơn ngữ hình thức, việc sử dụng tên phải tn theo ba quy tắc sau đâQuy tắc hướng đối tượng Khi sử dụng tên ta muốn nói đến đối tượng mà tên chỉ, nghĩa muốn nói đến nghĩa thực nó, khơng phải muốn nói đến thân tên Ví dụ, nói “Hà Nội thành phố nằm bờ sông Hồng” ta muốn nói Thủ nước ta, khơng muốn nói đến thân tên “Hà Nội” Quy tắc có nghĩa thực Mỗi tên đối tượng tập hợp đối tượng nhất, nghĩa quyền có nghĩa thực Tính đa nghĩa ngơn ngữ tự nhiên làm cho khơng tn theo quy tắc Quy tắc thay Hai tên có nghĩa thực phải thay cho trường hợp Trong ngơn ngữ tự nhiên tên có nghĩa thực thay cho số trường hợp thay cho số trường hợp khác Ví dụ, tên “Sao Hôm” thay cho tên “Sao Mai” câu “Sao Mai sáng” (khi thay ta câu “Sao Hôm sáng”), khơng thể thay cho câu “Ơng cha ta khơng biết Sao Hơm Sao Mai” (khi thay ta câu “Ơng cha ta khơng biết Sao Hơm Sao Hôm”!) Hằng đối tượng biểu thức ngôn ngữ đối tượng khơng đổi suốt qúa trình tư khảo sát Trong ngơn ngữ tự nhiên đối tượng thơng thường tên riêng Ví dụ, “Hoa hồng” đối tượng câu “Hoa hồng đẹp”; “Thỏ” đối tượng câu “Thỏ loài gặm nhấm” *) Biến đối tượng Hàm đối tượng Biến đối tượng biểu thức ngôn ngữ chạy tập hợp đối tượng, nghĩa nhận giá trị đối tượng khác Biến đối tượng coi khái quát hóa khái niệm biến số tốn học Trong ngơn ngữ tự nhiên biến đối tượng không biểu thị cách tường minh, mà thường không tách riêng khỏi biểu thức ngôn ngữ biểu thị tập hợp đối tượng mà chúng nhận giá trị Hàm đối tượng biểu thức ngôn ngữ (thường tên chung) mà dùng kết hợp với đối tượng xác định đối tượng khác Hàm đối tượng dùng cặp với biến đối tượng Hàm đối tượng dùng cặp với n biến đối tượng gọi hàm n ngơi Ta coi khái niệm hàm đối tượng khái qt hóa khái niệm hàm số tốn học Ví dụ: Biểu thức “Đại học Quốc gia” hàm đối tượng Khi kết hợp với đối tượng “Thành phố Hồ Chí Minh”, ta đối tượng “Đại học Quốc gia 14 CH1301059 – Nguyễn Thành Thiện thành phố Hồ Chí Minh”, cịn kết hợp với đối tượng “Hà Nội” ta lại đối tượng “Đại học Quốc gia Hà Nội” *) Vị từ (predicate) Đó biểu thức ngơn ngữ biểu thị tính chất đối tượng biểu thị mối quan hệ số đối tượng Ví dụ: Trong câu “Logic học khoa học quy phạm” cụm từ “khoa học quy phạm” thể tính chất logic học, vị từ Trong câu “5 lớn 3” cụm từ “lớn hơn” biểu thị quan hệ đối tượng 3, vị từ Vị từ tính chất gọi vị từ ngôi, vị từ mối quan hệ n đối tượng gọi vị từ n *) Lượng từ (quantifier) liên từ logic Lượng từ từ đặc trưng lượng câu : tất cả, mọi, tồn tại, số, có nh ững, đa số, thiểu số, … từ cấu trúc ngôn ngữ tương đương “Lượng từ tác tử trỏ lượng tác động lên đối mà chi phối”4 Ở đối biến đối tượng Các liên từ logic từ : và, hay là, , … …, kéo theo, khi, tương đương, không là, là, … từ cấu trúc ngôn ngữ tương đương với chúng Lưu ý Khái niệm lượng từ mà ta dùng khái niệm số từ mà ta dùng thường ngày Ví dụ, khơng có lượng từ câu: Dải Ngân Hà có khoảng 400 tỉ ngơi *) Mệnh đề đơn (proposition) Mệnh đề biểu thức ngơn ngữ có giá trị sai Mệnh đề đơn biểu thức ngôn ngữ khẳng định hay phủ định tính chất định đối tượng, khẳng định hay phủ định mối quan hệ định số đối tượng Mệnh đề đơn mệnh đề mà thành phần khơng phải mệnh đề Ví dụ, câu “Mọi số chẵn chia hết cho 2” mệnh đề đơn Câu “Nếu số a chẵn số a chia hết cho 2” khơng phải mệnh đề đơn, thành phần “số a chẵn” mệnh đề đơn Cần lưu ý ngôn ngữ tự nhiên biểu thức ngơn ngữ xác định đối tượng, biến đối tượng, hàm đối tượng vị từ, tùy thuộc vào ngữ cảnh Ta xét số ví dụ phân tích mặt logic biểu thức ngơn ngữ tự nhiên: Ví dụ Sinh viên học môn logic Trong câu “sinh viên” tên chung, tên đơn, đối tượng “Học môn logic” vị từ Ví dụ Vợ nhà thơ Tú Xương người phụ nữ đảm Trong câu “nhà thơ Tú Xương”, “vợ nhà thơ Tú Xương” đối tượng; “là người phụ nữ đảm đang” vị từ tính chất; “vợ” hàm đối tượng Hệ ký tự • p, q, r, s, p1, p2,… Các ký tự mệnh đề đơn; • a, b, c, d, a1, a2, … Các ký tự đối tượng; 15 CH1301059 – Nguyễn Thành Thiện • x, y, z, u, v, w, x1, x2, … Biến đối tượng; • f, g, h, f1,f2, … Các ký tự hm i tng; ã ơ, , &, , Cỏc liên từ (phép tốn) logic; • ∀, ∃ Các lượng từ; • (, ), … Các dấu kỹ thuật Hạn từ (term) • Hạn từ ngơn ngữ logic vị từ có vai trị tương tự danh từ cụm từ đóng vai trị danh từ ngơn ngữ tự nhiên, định nghĩa đệ quy sau: • Các ký tự biến đối tượng hạn từ ; • Nếu t1, t2, …, tk hạn từ, fk hàm đối tượng k ngơi (hàm k biến, k đối), fk(t1, t2, …, tk) hạn từ; • Ngồi khơng cịn hạn từ khác Cơng thức (WFF – Well Formed Formula) Công thức ngôn ngữ logic vị từ có vai trị tương tự câu (hay mệnh đề) ngôn ngữ tự nhiên, công thức định nghĩa đệ quy: • Các ký tự mệnh đề đơn cơng thức; • Nếu Pk vị từ k ngôi, t1, t2, …, tk hạn từ, Pk(t1, t2, …, tk) cơng thức (gọi cơng thức ngun tử – atom); • Nếu A B cơng thức (A), (B), ¬ A, ¬ B, A ∨ B, A & B, A ⊃ B, A ≡ B cơng thức; • Nếu A công thức chứa biến đối tượng x (khi ta viết A(x)) ∀x A, ∃x A (hay viết ∀x A(x), ∃x A(x)) công thức; • Ngồi khơng cịn cơng thức khác Các ví dụ a) Ví dụ hạn từ (term): • Cho f hàm ngôi, x biến đối tượng Khi f(x) hạn từ Nếu a đối tượng f(a) hạn từ • Giả sử f hàm ngôi, g hàm hai ngôi, t1 t2 hai hạn từ Khi đó:      t1, t2 hạn từ; g(t1, t2) hạn từ; f(t1), f(t2) hạn từ; f(g(t1, t2)) hạn từ; g(f(t1), g(f(t2), x)) hạn từ • a, b đối tượng, hạn từ; • x biến đối tượng, x hạn từ; 16 CH1301059 – Nguyễn Thành Thiện • f(a, b) hạn từ; • f(g(x), c) hạn từ; • Các biểu thức sau hạn từ :      f(a, f(b)); a + x; P(f(x)); f(P(a)); ∀xP(x); … b) Ví dụ cơng thức • p & (q ∨ r); • ∃x Q(x) ⊃ P(a) • p & ∀x R(x); • ∀x ∃y (P(x) ⊃ Q(y)) • ∀x (p & R(x)); • ∃x P2(x, a) & ∀x Q(x) • Các biểu thức sau công thức :  P & Q;  P(P(a));  P(P(x, a));  f(P(a));  R ∨ Q(a, b, x);  Q(a, b, c) ⊃ f(a, b, c); Biểu thị tư tưởng ngơn ngữ logic vị từ Các phán đốn suy luận thơng thường viết dạng công thức ngôn ngữ logic vị từ Việc có ý nghĩa lớn, giúp xác định rõ ràng, xác ý nghĩa phán đoán suy luận, tránh hiểu lầm, mập mờ nhiều nghĩa câu Hơn nữa, biểu thị tư tưởng, suy luận, v.v , ta sử dụng logic vị từ để kiểm tra tính đắn suy luận Muốn vậy, trước hết phải “dịch” suy luận từ ngôn ngữ thông thường sang ngôn ngữ logic vị từ Cấu trúc câu ngôn ngữ tự nhiên vơ phong phú, khơng có quy tắc chung bao quát tất trường hợp cần dịch Sau nêu số quy tắc hướng dẫn dịch số dạng câu Lưu ý hướng dẫn chưa bao quát hết trường hợp cần dịch, dạng câu đề cập không loại trừ trường hợp ngoại lệ Phương pháp dịch câu (mệnh đề) từ ngôn ngữ tự nhiên sang ngôn ngữ logic vị từ Với mệnh đề đơn cần thực bước sau : • Phân tích câu để xác định vị từ hạn từ tương ứng với Nếu hạn từ cấu thành từ hàm đối tượng số hạn từ khác biểu diễn 17 CH1301059 – Nguyễn Thành Thiện cách viết hàm đối tượng trước, sau liệt kê vào cặp ngoặc đơn mở đóng hạn từ tương ứng, số nhiều dùng dấu phẩy để ngăn cách chúng • Viết vị từ, liệt kê hạn từ tương ứng vào cặp ngoặc đơn để sau vị từ Nếu có nhiều hạn từ dùng dấu phẩy để phân cách chúng Ta gọi cách biểu thị câu cách viết vị từ, hay dạng vị từ câu • Thay vị từ hạn từ cách viết vị từ ký hiệu tương ứng quy định phần hệ ký tự ngơn ngữ logic vị từ Ví dụ : Cho mệnh đề “Mẹ Mai bác sĩ” Trước hết, cần phân tích câu để xác định thành phần ngữ nghĩa Rõ ràng câu câu đơn Ở “Mẹ” hàm đối tượng, “Mai” đối tượng, nên “Mẹ(Mai)” hạn từ ; “là bác sĩ” vị từ (tính chất “là bác sĩ” tính chất “bác sĩ” nhau, nên sau ta lược bỏ “là”, ta lược bỏ với vị từ khác) Vị từ “bác sĩ” tương ứng với hạn từ “Mẹ(Mai)” Vậy mệnh đề ban đầu viết dạng vị từ thành “bác sĩ (Mẹ(Mai))” Thay vị từ “bác sĩ”, hàm đối tượng “Mẹ” đối tượng “Mai” ký hiệu phép quy định hệ ký tự ngôn ngữ logic vị từ Kết ta công thức tương đương mệnh đề cho : P(f(a)) Với mệnh đề tạo thành từ hai nhiều mệnh đề đơn, ta thực bước : • Xác định mệnh đề đơn thành phần; • Dịch riêng mệnh đề đơn thành phần Lưu ý, vị từ, hằng, hàm đối tượng xuất nhiều mệnh đề đơn thành phần phải thay ký tự giống ngôn ngữ logic vị từ; • Dùng dấu liên từ logic thay cho cụm từ tương ứng để nối mệnh đề đơn thành phần với Ví dụ, cho mệnh đề “Hằng sinh viên Hằng với Mai chị em” Ở có hai mệnh đề đơn thành phần “Hằng sinh viên”, “Hằng với Mai chị em” Dịch riêng chúng, ta công thức P(a), Q(a, b) Nối chúng với dấu & - dấu tương ứng với liên từ “và”, ta công thức biểu diễn mệnh đề cho ban đầu : P(a) & Q(a,b) Với mệnh đề phổ quát đơn giản : • Chuyển câu hai dạng “Mọi S P” “Mọi S khơng P” • Mọi S P dịch thành ∀x(S(x) ⊃ P(x)) • Mọi S khơng P dịch thành ∀x(S(x) ⊃ ¬P(x)) Ví dụ, mệnh đề “Mọi sinh viên học logic” tương đương với mệnh đề “Mọi sinh viên người học logic” Mệnh đề có dạng “Mọi S P”, S = “Sinh viên”, P = “người học logic” Vậy dịch sang ngơn ngữ logic vị từ thành công thức ∀x(S(x) ⊃ P(x)) Với mệnh đề phận đơn giản : • Chuyển câu thành hai dạng “Một số S P” “Một số S không P” 18 CH1301059 – Nguyễn Thành Thiện • Một số S P dịch thành ∃x(S(x) & P(x)) • Một số S khơng P dịch thành ∃x(S(x) & ¬P(x)) Ví dụ Câu “Một số loài chim di cư Phương Nam” tương đương với câu “Một số loài chim loài di cư Phương Nam”3 Nó có dạng “Một số S P”, với S = “loài chim”, P = “loài di cư Phương Nam” Vậy công thức tương ứng ∃x(S(x) & P(x)) Biến tự biến buộc Trong biểu thức ∀x A(x), A(x) gọi vùng tác động của lượng từ ∀x Nếu biến x xuất vùng tác động lượng từ ∀x (trong cơng thức lượng từ ∀x xuất nhiều lần, có nhiều vùng tác động khác ∀x công thức) lần xuất x gọi xuất khơng tự (cịn gọi buộc) Ngược lại gọi xuất tự Một biến xuất tự cơng thức, xuất khơng tự cơng thức, vừa xuất tự do, vừa xuất không tự công thức Với lượng từ ∃x (tồn tại) hoàn toàn tương tự Chính xác hơn, điều vừa nói xuất tự buộc biến công thức mà ta thay lượng từ ∀x (với x) lượng từ ∃x (tồn tại), điều Ví dụ xuất tự xuất buộc biến Trong công thức ∀x (Ρ(x) ⊃ Ρ(y)) & Ρ(a) xuất biến x buộc, biến y xuất tự Trong công thức ∀x (Ρ(x, y) ⊃ ∃y (Q(y, x))) Cả hai lần xuất x xuất buộc, biến y vừa xuất tự (lần đầu), vừa xuất buộc (lần sau), lần xuất đầu biến y nằm miền tác động lượng từ ∀y ∃y, lần xuất thứ hai, nằm vùng tác động lượng từ ∃y nên xuất buộc Biến x tự cơng thức có xuất tự công thức Nếu x xuất tự cơng thức, nghĩa xuất cơng thức xuất buộc x biến buộc cơng thức 19 CH1301059 – Nguyễn Thành Thiện 20 CH1301059 – Nguyễn Thành Thiện C Kết Luận Ngôn ngữ logic vị từ mà ta vừa xác định, thấy, đơn giản, khả biểu đạt nó, sánh với ngôn ngữ tự nhiên, lớn Nếu không tồn tiêu chuẩn cú pháp hình thức để xác định biểu thức ngơn ngữ tự nhiên có phải câu hay khơng, ngơn ngữ logic vị từ ta thấy rõ xác định cách dễ dàng biểu thức ngơn ngữ có phải công thức hay không Cũng tương tự với danh từ cụm từ đóng vai trị danh từ ngôn ngữ tự nhiên hạn từ ngơn ngữ logic vị từ Chính vậy, việc sử dụng ngôn ngữ logic vị từ thay cho ngôn ngữ tự nhiên nhiều trường hợp (đặc biệt hệ thống hình thức, hệ thống máy móc) thuận tiện nhiều 21 CH1301059 – Nguyễn Thành Thiện Tài Liệu Tham Khảo [1] GS.TSKH Hoàng Kiếm, Ths Đinh Nguyễn Anh Dũng, “Logic vị từ” [2] GS.Nguyễn Hữu Anh, “Toán Rời Rạc”, Nhà Xuất Bản Lao Động Xã Hội, 2005 [3] Trần Ngọc Danh, “Toán rời rạc nâng cao ”, Nhà Xuất Bản ĐHQG TP HCM, 2001 [4] Phạm Đình Nghiệm, Logic Chuyên Ngành, 2006 [5] http://vi.wikipedia.org/wiki/Logic 22 CH1301059 – Nguyễn Thành Thiện ... không sai mệnh đề Các mệnh đề tách thành mệnh đề đơn giản gọi mệnh đề đơn Cácmệnh đề tách thành mệnh đề đơn giản gọi mệnh đề phức Nói cách khác ,mệnh đề phức tạo thành từ mệnh đề đơn Các mệnh đề (a)... mệnh đề? ?ơn, (c), (d) mệnh đề phức Các phép toán logic mệnh đề Như nói, xây dựng mệnh đề phức tạp từ mệnh đề đơn giản Việc thực nhờ phép toán (toán tử) logic Phủ định phép toán đơn giản mệnh đề. .. thể tính chất logic học, vị từ Trong câu “5 lớn 3” cụm từ “lớn hơn” biểu thị quan hệ đối tượng 3, vị từ Vị từ tính chất gọi vị từ ngơi, vị từ mối quan hệ n đối tượng gọi vị từ n *) Lượng từ (quantifier)