Tiểu luận môn TOÁN CHO KHOA HỌC MÁY TÍNH LOGIC VỊ TỪ MỘT SỐ VẤN ĐỀ LÝ THUYẾT & ỨNG DỤNG

Bảng chân lý của các toán tử logic có thể nhận giá trị đúng hoặc sai tùy theo mệnh đề đó là đúng hay sai trong thế giới thực và các ký hiệu liên kết  với ngữ nghĩa là phủ định,  và, 

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN

MỤC LỤC

MỤC LỤC 1

Lời nói đầu 1

Phần I Một Số Khái Niệm 1

I Lập luận và Logic 1

1 Lập luận 1

2 Logic là gì? 1

II Vị từ - Predicate 2

1 Khái niệm 2

III Mệnh đề (Proposition) là gì? 2

1 Khái niệm 2

2 Một số quy ước, định nghĩa 2

3 Các toán tử logic 3

4 Bảng chân lý của các toán tử logic 3

IV Logic mệnh đề 3

1 Cú pháp 3

2 Ngữ nghĩa 4

3 Các ví dụ 5

4 Các câu hằng đúng 5

5 Điểm yếu của logic mệnh đề 6

Phần II Logic Vị Từ 6

I Giới thiệu Logic vị từ 6

1 Mở đầu 6

2 Cú pháp 8

3 Ngữ nghĩa 9

4 Các ví dụ 10

5 Không gian của vị từ 10

6 Trọng lượng của vị từ 11

II Các phép toán trên Logic vị từ 11

1 Hằng 11

2 Biến 11

3 Các vị từ 12

4 Hàm 12

III Các lượng từ: ,  12

1 Lượng từ tồn tại () 12

2 Lượng từ với mọi () 12

3 Bảng tóm tắt ý nghĩa của lượng từ 12

IV Quy tắc và mô hình suy diễn trong logic vị từ 15

1 Quy tắc suy diễn 1 (rút gọn) 15

2 Quy tắc suy diễn 2 (cộng) 15

3 Quy tắc suy diễn 3 (khẳng định) 15

4 Quy tắc suy diễn 4 (phủ định) 15

5 Quy tắc suy diễn 5 (bắc cầu) 15

6 Quy tắc suy diễn 6 (tam đoạn luận tuyển) 16

7 Quy tắc suy diễn 7 (theo từng trường hợp) 16

8 Quy tắc suy diễn 8 (đặc biệt hóa phổ dụng) 16

10 Quy tắc suy diễn 10 17

11 Quy tắc suy diễn 11 17

12 Quy tắc suy diễn 12 17

V Các luật suy diễn 17

1 Luật Modus Ponens (MP) 17

2 Luật Modus Tollens (MT) 18

3 Luật triển khai phổ biến (Universal Instantiation) 18

VI Công thức tương đương 18

1 Các phép tương đương 18

2 Các phép tương đương có giới hạn 19

3 Một vài điều kiện không tương đương 19

VII Công thức chỉnh dạng (well – formed formulas) 20

1 Công thức chỉnh dạng (Wff) được xây dựng như sau: 20

2 Từ Wff sang mệnh đề 20

3 Sự tương đương 21

VIII Dạng chuẩn tắc của công thức logic vị từ - dạng chuẩn Prenex 21

Phần III Các Ứng Dụng & Công Cụ 22

I Cách biểu diễn vị từ 22

II PROLOG và lập trình logic 23

1 Prolog 23

2 Lập trình logic, môi trường lập trình SWI Prolog 23

3 Một số quy ước trong PROLOG 25

4 Thiết kế hệ thống các cổng logic 27

5 Chương trình tư vấn tài chính 27

Phần IV Tài Liệu Tham Khảo 29

Lời nói đầu



Ngày nay, dưới tác động của cách mạng khoa học – công nghệ hiện đại, logichọc phát triển hết sức mạnh mẽ dẫn đến sự hình thành một loạt các bộ môn logichọc hiện đại, như logic học mệnh đề, logic học vị từ, logic học đa trị, logic học tìnhthái, logic học xác suất…Các bộ môn đó cung cấp cho nhân loại những công cụ sắcbén giúp tư duy con người ngày càng đi sâu hơn vào nhận thức các bí mật của thếgiới khách quan

Sự ra đời của logic mệnh đề đánh dấu bước nhảy vọt trong sự phát triển củalogic học, chuyển từ logic học truyền thống đến logic học hiện đại Sử dụng toàn bộnhững khái niệm của logic mệnh đề kết hợp với khảo sát các mệnh đề từ việc phântích các thành phần của mệnh đề, người ta đã xây dựng các hàm vị từ, đồng thời đưavào sử dụng hai hằng logic quan trong Sự ra đời của logic vị từ đã khắc phục nhữnghạn chế của logic mệnh đề, cho phép ta đi sâu vào phân tích ngữ nghĩa của cácmệnh đề, các tư tưởng nói chung, mở ra một khả năng nghiên cứu tính chân lý củacác tư tưởng một cách sâu sắc hơn, đầy đủ hơn

Bài thu hoạch này em xin trình bày ba phần:

Phần 1: Giới thiệu một số khái niệm

Phần 2: Giới thiệu Logic vị từ

Phần 3: Các ứng dụng và công cụ Prolog

Em xin được gửi lời cảm ơn chân thành đến Thầy PGS.TSKH Nguyễn Phi

Khứ, Thầy đã rất tận tâm truyền đạt kiến thức vô giá cho em cũng như truyền cảm

hứng, hướng dẫn để em cho ra đời bài thu hoạch môn học này Do trong phạm vigiới hạn thời gian, kiến thức nên em chỉ trình bày những khái niệm, lý thuyết cơ bản

mà chưa có phần cài đặt minh họa sâu hơn, mong được sự cảm thông và chia sẽ củaThầy Kính chúc Thầy nhiều sức khỏe và thành công trong cuộc sống

Trân trọng!

Lập luận là hành động sinh ra một phát biểu đúng mới từ các phát biểu đúng

có trước Hay nói cách khác, một người hoặc một hệ thống được gọi là biết lập luậnnếu nó chỉ ra rằng một phát biểu nào đó có đúng (true) khi cho trước một tập cácphát biểu đúng hay không? Các phát biểu phải tuân theo một tập các qui tắc nhấtđịnh (ngữ pháp) và cách xác định một phát biểu là đúng (true) hay là sai (false)

Theo truyền thống, logic được nghiên cứu như là một nhánh của triết học vàtoán học nghiên cứu về nguyên tắc, phương pháp và tiêu chuẩn hình thức cho sựhợp lệ của suy luận, và kiến thức

Là khoa học ước lượng các suy luận

Các luật của logic xác định ý nghĩa chính xác của một lý luận

Logic dùng để làm gì?

 Suy luận toán học

 Khoa học máy tính: vi mạch, xây dựng chương trình, kiểm chứngchương trình, trí tuệ nhân tạo…

II. Vị từ - Predicate

1 Khái niệm

Vị từ (predicate) là một hàm mệnh đề mô tả thuộc tính của các đối tượng và

mối quan hệ giữa chúng

Định nghĩa: Cho A1, A2, A3… là n tập hợp khác trống Giả sử rằng ứng vớimỗi (x1, x2,…,xn) = (a1, a2,…, an)  A1 x A2 x… An, ta có một mệnh đề p= p(x1, x2,

…, xn) là một vị từ theo n biến (xác định trên A1 x A2 x… An)

Xét p(n) = “n > 6”, là một vị từ một biến xác định trên tập các số tự nhiên N

 Ta thấy với n = 7 ; 8 ta được các mệnh đề đúng p(7), p(8), còn n = 0, 1

ta được mệnh đề sai p(0), p(1)

Ví dụ 2 :

Xét p(x,y) = “x2 + y= 1” là một vị từ theo hai biến xác định trên R2, ta thấy

p(0,1) là một mệnh đề đúng, trong khi p(1,1) là một mệnh đề sai.

Giá trị chân lý đúng của một mệnh đề ký hiệu là T, sai ký hiệu là F

Bảng chân lý (truth table) biểu diễn mối quan hệ giữa những giá trị chân lý của cácmệnh đề

p  q: toán tử hội (conjunction)

p  q: toán tử tuyển (disjunction)

p  q: toán tử tuyển loại (exclusive-OR)

p → q: toán tử kéo theo (implication)

4 Bảng chân lý của các toán tử logic

có thể nhận giá trị đúng hoặc sai tùy theo mệnh đề đó là đúng hay sai trong thế giới

thực) và các ký hiệu liên kết  (với ngữ nghĩa là phủ định),  (và),  (hoặc),  (kéo theo),  (tương đương) Cú pháp và ngữ nghĩa của logic mệnh đề như sau :

Các ký hiệu “(“ và “)”

b) Quy tắc xây dựng câu

Có hai loại câu : câu đơn và câu phức

True và false là các câu (true là câu đơn hằng đúng, false là câu hằng sai)Mỗi ký hiệu mệnh đề là một câu, ví dụ P, Q là các câu (Câu đơn)

Nếu A và B là các câu thì các công thức sau cũng là câu (các câu phức) :

c) Các khái niệm và qui ước khác

Sau này, đễ cho gọn, ta bỏ đi các dấu “(“ , “)” không cần thiết Nếu câu chỉ cómột ký hiệu mệnh đề thì ta gọi câu đó là câu đơn hoặc câu phân tử Các câu khôngphải là câu đơn thì gọi là câu phức Nếu P là ký hiệu mệnh đề thi P và P gọi là các

literal, P là literal dương còn P là literal âm.

Các câu phức dạng A1  A2  … An, trong đó các Ai là các literal, được gọi làcác câu tuyển (clause)

2 Ngữ nghĩa

Qui định cách diễn dịch và cách xác định tính đúng (true) hay sai (false) chocác câu

True là câu luôn các giá trị đúng, false là câu luôn có giá trị sai

Mỗi ký hiệu biểu diễn (ánh xạ với) một phát biểu/mệnh đề trong thế giới thực;

ký hiệu mệnh đề có giá trị là đúng (true) nếu phát biểu/mệnh đề đó là đúng, có giátrị là sai (false) nếu phát biểu/mệnh đề đó là sai hoặc có giá tri chưa xác định (truehoặc false)

Các câu phức biểu diễn (ánh xạ với) một phủ định, mối quan hệ hoặc mối liênkết giữa các mệnh đề/phát biểu/câu phức trong thế giới thực Ngữ nghĩa và giá trịcủa các câu phức này được xác định dựa trên các câu con thành phần của nó, chẳnghạn:

 A có nghĩa là phủ định mệnh đề/ câu A, nhận giá trị true nếu A là false

và ngược lại

 A  B có nghĩa là mối liên kết “A và B”, nhận giá trị true khi cả A và B

là true, và nhận giá trị false trong các trường hợp còn lại

 A  B biểu diễn mối liên kết “A hoặc B”, nhận giá trị true khi hoặc Ahoặc B là true, và nhận giá trị false chỉ khi cả A và B là false

 (A  B) biểu diễn mối quan hệ “A kéo theo B”, chỉ nhận giá trị falsekhi A là true và B là false, nhận giá trị true trong các trường hợp khác

 (A  B) biểu diễn mối quan hệ “A kéo theo B” và “B kéo theo A”Như vậy, việc xác định tính đúng/sai của một ký hiệu mệnh đề (mệnh đề đơn)

là dựa trên tính đúng sai của sự kiện hoặc thông tin mà nó ám chỉ, còn việc xác địnhtính đúng sai của mệnh đề phức phải tuân theo các qui tắc trên Trong nhiều trườnghợp, chúng ta (cần chỉ) biết tính đúng/sai của các câu phúc, còn tính đúng/sai củacác câu đơn là không cần biết hoặc có thể lập luận ra từ các câu phức đã biếtđúng/sai và các qui tắc chuyển đổi tính đúng/sai giữa các câu đơn và câu phức theocác qui tắc trên

3 Các ví dụ

Gọi là mệnh đề “tôi chăm học”, B là mệnh đề “tôi thông minh”, C là mệnh đề

“tôi thi đạt điểm cao môn Toán cho khoa học máy tính”; Ta có thể biểu diễn các câusau trong logic mệnh đề:

 “Nếu tôi chăm học thì tôi thi đạt điểm cao môn Toán cho khoa học máytính”: A  C

 “Tôi vừa chăm học lại vừa thông minh”: A  B

 “Nếu tôi chăm học hoặc tôi thông minh thì tôi thi đạt điểm cao mônToán cho khoa học máy tính”: A  B  C

 (A  B)  A  B (luật Demorgan đối với ghép )

 (A  B)  A  B (luật Demorgan đối với phép )

 C  (A  B)  (C  A)  (C  B) (luật phân phối phép  đối với phép )

 C  (A  B)  (C  A)  (C  B) (luật phân phối phép  đối với phép )

 (A  (A  B))  B (Tam đoạn luận

5 Điểm yếu của logic mệnh đề

 Không thể biểu diễn các phát biểu có chứa biến (variables)

Ví dụ:

 X = y + 8

 X > 7

 Bởi vì các biến chưa có giá tri cụ thể

 Tuy nhiên, phát biểu dạng như trên xuất hiện nhiều trong thực tế

 Những sự tương đương sau không biểu diễn được bằng logic mệnh đề

 “Not all birds fly.” AND “Some bird don’t fly.”

 “Not all integers are even” AND “Some integers are not even”

 Cách duy nhất để suy luận là liệt kê riêng lẽ tất cả các mệnh đề

 Giả sử ta biết:

 “Mọi sinh viên IT phải học toán rời rạc.”

 Không có luật nào của Logic mệnh đề cho phép kết luận chân trị củaphát biểu:

 “Minh phải học toán rời rạc.”

Trong đó Minh là một sinh viên IT

 Không có luật để tìm chân trị của phát biểu:

 “Có một sinh viên IT không học toán rời rạc.”

các mệnh đề như thế nào Vì thế mà logic mệnh đề có những hạn chế trong việc biểudiễn và suy diễn.

Logic mệnh đề thiếu các câu mô tả đặc trưng cho một lớp các đối tượng (cũnggiống như nếu một ngôn ngữ lập trình mà thiếu các câu lệnh lặp như for, while màchỉ cỏ các kiểu lệnh đơn lẻ và rẽ nhánh), vì thế mà sức mạnh biểu diễn của nó rấthạn chế

Trong chương này, chúng ta sẽ xem xét logic cấp một, hay logic vị từ, một mởrộng của logic mệnh đề mà cho phép biểu diễn những mệnh đề mang tính phổ quát(“với mọi”) và những mệnh đề mang tính đặc thù (“tồn tại”) một cách dễ dàng Đểlàm được điều đó, chúng ta phân tích mệnh đề thành dạng (chủ ngữ - vị từ) hoặc(chủ ngữ - vị từ - tân ngữ) và chuyển chủ ngữ và tân ngữ thành đối tượng (hoặcbiến) của vị từ Vì vậy mà câu đơn của logic cấp một có dạng Vị_từ(chủ_ngữ) hoặcVị_từ(chủ_ngữ, tân ngữ); chẳng hạn “An là sinh viên” biểu diễn là Sinhvien(An);

“An yêu Bình” biểu diễn là Yeu(An,Binh) Chính vì thế mà ta gọi nó là logic vị từ

Từ các câu đơn như vậy ta xây dựng các câu phức sử dụng các ký hiệu (, , , ,

) và ,  (hai ký hiệu này không có trong logic mệnh đề) Quan trọng hơn, làmthế nào chúng ta xây dựng các thuật giải lập luận tự động, giải thuật cài đặt cho máytính để nó có thể chứng minh được KB ╞ q, với KB và q là các câu trong logic vị từcấp một, tương tự như các giải thuật phân giải, giải thuật suy diễn tiến, lùi tronglogic mệnh đề

Trong logic vị từ, một mệnh đề được cấu tạo bởi hai thành phần là các đối tượng tri thức và mối liên hệ giữa chúng (gọi là vị từ)

Vị từ (<đối tượng 1>, <đối tượng 2>, …, <đối tượng n>)

Như vậy để biểu diễn vị của các trái cây, các mệnh đề sẽ được viết lại thành: Cam có vị Ngọt Vị (Cam, Ngọt) ⇒ Vị (Cam, Ngọt)

Cam có màu Xanh Màu (Cam, Xanh)⇒ Vị (Cam, Ngọt)

Kiểu biểu diễn này có hình thức tương tự như hàm trong các ngôn ngữ lậptrình, các đối tượng tri thức chính là các tham số của hàm, giá trị mệnh đề chính làkết quả của hàm (thuộc kiểu BOOLEAN)

Với vị từ, ta có thể biểu diễn các tri thức dưới dạng các mệnh đề tổng quát, lànhững mệnh đề mà giá trị của nó được xác định thông qua các đối tượng tri thức cấutạo nên nó

2 Cú pháp

a) Các ký hiệu

 Ký hiệu hằng:

 Hằng của ngôn ngữ: true, false

 Hằng do người sử dụng đặt cho tên đối tượng cụ thể: An,Bình,…,a,b,c,… (đối tượng là các chủ ngữ hoặc tân ngữ trongmệnh đề)

 Ký hiệu biến (thường là biến đối tượng, đại diện cho chủ ngữ hoặc tânngữ): x,y,z,t,u,…

 Ký hiệu vị từ: P, Q,… hoặc Sinhvien, Yeu, father,… (mỗi ký hiệutương ứng vị từ trong mệnh đề) Mỗi ký hiệu vị từ là câu đơn tronglogic cấp một và có ngữ nghĩa true hay false

 Ký hiệu hàm: sin, cos, log, father,… Chú ý hàm father (father(An)=Binh) khác với vị từ father (fater(An, Binh)) ở chỗ hàm thì trả về giá trịcòn vị từ thì trả về true/false Việc xác định một cái tên là hàm hay vị từtùy vào sự xuất hiện của nó trong câu và các tham số của nó

 Ký hiệu kết nối logic: , , , , 

 Ký hiệu lượng từ: , 

 Các ký hiệu “(“ và “)”,”,”

b) Quy tắc xây dựng câu

Có 2 loại câu: Câu đơn và câu phức Chúng được định nghĩa đệ qui như sau :

 Câu đơn : true hay false là các câu (true là câu đơn hằng đúng, false làcâu hằng sai)

 Câu đơn : Ký_hiệu_vị_từ(hạng_thức_1, hạng_thức_2, …,hạng_thức_k)

là một câu (câu đơn), trong đó hạng_thức_i là biểu thức của các đối tượng,

cú pháp của hạng thức được xây dựng từ các ký hiệu hằng, biến và hàm

c) Các khái niệm và qui ước khác

 Nếu một hạng thức không chứa biến thì gọi là hạng thức nền

 Một câu đơn cũng có tên gọi là câu phân tử hay công thức phân tử

 Một câu đơn hoặc phủ định của một câu đơn thì gọi là literal

 Trong công thức có ký hiệu lượng tử (∀x, A hoặc ∃x, A) các biến xtrong A gọi là biến buộc (biến lượng tử), biến nào trong A không phải

là biến lượng tử thì gọi là biến tự do Các câu mà không có biến tự dogọi là câu đóng Trong môn học này, chúng ta chỉ quan tâm đến các câuđóng (chỉ các câu đóng mới xác định được tính đúng/sai của nó, xemphần ngữ nghĩa bên dưới)

 Miền giá trị của một biến là tập hợp các giá trị/đối tượng mà biến đó cóthể nhận

3 Ngữ nghĩa

Một câu đơn đóng (không chứa biến) là tương ứng với một mệnh đề (phátbiểu, sự kiện, thông tin) nào đó trong thế giới thực, câu đơn có giá trị chân lý truehay false tùy theo mệnh đề (phát biểu, sự kiện, thông tin) mà nó ám chỉ là đúng haysai trong thực tế

Câu phức là câu biểu diễn (ánh xạ với) một phủ định, mối quan hệ hoặc mốiliên kết giữa các mệnh đề/phát biểu/câu con hoặc một số phổ biến hoặc đặc thù củamệnh đề/phát biểu trong thế giới thực Ngữ nghĩa và giá trị chân lý cúa các câu phứcnày được xác định dựa trên các câu con thành phần của nó, chẳng hạn :

 A có nghĩa là phủ định mệnh đề/ câu A, nhận giá trị true nếu A là false

và ngược lại

 A  B có nghĩa là mối liên kết “A và B”, nhận giá trị true khi cả A và B

là true, và nhận giá trị false trong các trường hợp còn lại

 A  B biểu diễn mối liên kết “A hoặc B”, nhận giá trị true khi hoặc Ahoặc B là true, và nhận giá trị false chỉ khi cả A và B là false

 (A  B) biểu diễn mối quan hệ “A kéo theo B”, chỉ nhận giá trị falsekhi A là true và B là false, nhận giá trị true trong các trường hợp khác

 (A  B) biểu diễn mối quan hệ “A kéo theo B” và “B kéo theo A”

 x A biểu diễn sự phổ biến của A, nhận giá trị true tất cả các câu sinh

ra từ A bằng cách thay x bởi một giá trị/đối tượng cụ thể thuộc miền giátrị biến x đều là true, ngược lại thì câu phổ biến này nhận giá trị false

 x A biểu diễn sự tồn tại của A, nhận giá trị true khi có một giá trị x0trong miền giá trị của biến x làm cho A true, false trong các trường hợpcòn lại

Như vậy, việc xác định tính đúng/sai của một câu đơn (vị từ) là dựa trên tínhđúng sai của sự kiện hoặc thông tin mà nó ám chỉ, còn việc xác định tính đúng saicủa câu phức phải tuân theo các qui tắc trên Trong nhiều trường hợp, chúng ta (cầnchỉ) biết tính đúng/sai của các câu phức, còn tính đúng/sai của các câu đơn là khôngcần biết hoặc có thể lập luận ra từ các các câu phức đã biết đúng/sai và các qui tắcchuyển đổi tính đúng/sai giữa các câu đơn và câu phức theo các qui tắc trên

4 Các ví dụ

Các câu trong ngôn ngữ tự nhiên có thể biểu diễn trong logic vị từ cấp một:

 “An là sinh viên” Sinhvien(An)

 “Nam là cha của Hoàn” Cha(Nam,Hoàn)

 “Mọi sinh viên đều học giỏi” x Sinhvien(x) Hocgioi(x)∀ ⇒ Vị (Cam, Ngọt)

(chú ý thường đi với Khác với x Sinhvien(x) Hocgioi(x))∀ ⇒ Vị (Cam, Ngọt) ∀ ∧ Hocgioi(x))

 “Trong sinh viên có bạn học giỏi” x Sinhvien(x) Hocgioi(x)∃ ∧ Hocgioi(x))

(chú ý thường đi với Khác với x Sinhvien(x) Hocgioi(x).∃ ∧ Hocgioi(x)) ∃ ⇒ Vị (Cam, Ngọt)

5 Không gian của vị từ

Người ta có thể xem vị từ như là một ánh xạ P, với mỗi phần tử x thuộc tậphợp E ta được một ảnh P(x){, 1} Tập hợp E này được gọi là không gian của vịtừ

Không gian này sẽ chỉ rõ các giá trị khả dĩ của biến x làm cho P(x) trở thànhmệnh đề đúng hoặc sai

II Các phép toán trên Logic vị từ

Phép toán vị từ sử dụng các phép toán logic mệnh đề và là sự mở rộng củaphép toán mệnh đề để thể hiện rõ hơn các tri thức

Ví dụ: Viết câu “Nếu hai người thích một người thì họ không thích nhau” dướidạng logic vị từ

Trước khi viết cấu trên ta hãy tìm hiểu các câu đơn giản được viết như sau:

 “Nam thích Mai” được viết theo phép toán vị từ là: thích (Nam, Mai).

 “Đông thích Mai” được viết theo phép toán vị từ là: thích (Đông, Mai).

 Tổng quát khẳng định trên được viết như sau:

Thích (X, Z) AND thích (Y,Z)  NOT thích (X, Y)

Ví dụ : Vị từ “Quả bóng màu xanh” có thể viết lại : “X màu Y”

Quả bóng xanh là các hằng được xác định trong không gian của vị từ X, Y làbiến

3 Các vị từ

Một sự kiện hay mệnh đề trong phép toán vị từ được chia thành phần Vị từ vàtham số Tham số thể hiện một hay nhiều đối tượng của mệnh đề, còn vị từ dùng đểkhẳng định về đối tượng

Vídụ: Câu "X thích Y" có dạng thích (X, Y)

Thích là vị từ cho biết quan hệ giữa các đối tượng trong ngoặc Đối số là các

ký hiệu thay cho các đối tượng của bài toán

4 Hàm

Được thể hiện bằng ký hiệu, cho biết quan hệ hàm số

Vídụ: Hoa là mẹ của Mai, Đông là cha của Cúc Hoa và Đông là bạn của nhau

Ta có hàm số được viết để thể hiện quan hệ này

Ký hiệu:  x P(x)

Ví dụ :  X likes(X, ice-cream)

2 Lượng từ với mọi ()

Câu xác định "Tập hơp những x làm cho P(x) đúng là tất cả tập hợp E" là mộtmệnh đề Hay "P(x) đúng với mọi giá trị x trong không gian" cũng làmột mệnh đềđược gọi là lượng từ với mọi của P(x)

Ký hiệu:  x P(x)

Ví dụ :  Y friends(Y, tom)

3 Bảng tóm tắt ý nghĩa của lượng từ

Phát biểu Khi nào đúng ? Khi nào sai ?

xy P(x, y)

yx P(x, y)

P(x, y) là T với mọi x, y Có một cặp x, y làm cho

P(x, y) là F

x y P(x, y) Với mọi x, tồn tại y làm

cho P(x, y) là T Có một x sao cho P(x, y) là F với mọi y

x, y P(x, y) Tồn tại x sao cho P(x,y) là

T với mọi y Với mọi x, tồn tại y làm cho P(x,y) là F

x, y P(x ,y)

y, x P(x ,y)

Tồn tại một cặp x, y sao cho P(x, y) là T P(x, y) là F với mọi x, y

Ví dụ : Xét trong không gian các số thực, ta có :

Cho P(x) := "x + 1>x ", khi đó có thể viết : x P(x)

Cho P(x) := "2x = x + 1", khi đó có thể viết : x P(x)

Các định lý :

a) Định lý 1

Cho vị từ P(a, b) có trọng lượng là 2 Khi đó:

 a b P(a, b) và b a P(a, b) là có cùng chân trị.

Nghĩa là: a b P(a, b) b a P(a, b)

Ký hiệu: (a,b) P(a, b)

 a b P(a, b) và b a P(a, b) là có cùng chân trị.

Nghĩa là: a b P(a, b) b a P(a, b)

Ký hiệu:  (a,b) P(a, b)

 Nếu a b P(a, b) là đúng thì b a P(a, b) cũng đúng nhưng điều

ngược lại chưa đúng

Nghĩa là: a b P(a, b) b a P(a, b)

 Nếu b a P(a, b) là đúng thì a b P(a, b) cũng đúng nhưng điều

ngược lại chưa đúng

Nghĩa là: b a P(a, b) a b P(a, b)

b) Định lý 2

(x P(x)) và x (P(x)) là có cùng chân trị.