Tiểu luận môn TOÁN CHO KHOA HỌC MÁY TÍNH LOGIC VỊ TỪ MỘT SỐ VẤN ĐỀ LÝ THUYẾT & ỨNG DỤNG

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN  BÀI THU HOẠCH MÔN HỌC TOÁN CHO KHOA HỌC MÁY TÍNH Đề tài: LOGIC VỊ TỪ MỘT SỐ VẤN ĐỀ LÝ THUYẾT & ỨNG DỤNG Giảng viên hướng dẫn : PGS.TS. Nguyễn Phi Khứ Học viên thực hiện : Đào Tấn Ngọc Mã số : CH1301043 TP. Hồ Chí Minh, ngày 27 tháng 12 năm 2013 MỤC LỤC MỤC LỤC 1 Lời nói đầu 1 Phần I Một Số Khái Niệm 1 I. Lập luận và Logic 1 II. Vị từ - Predicate 2 III. Mệnh đề (Proposition) là gì? 2 IV. Logic mệnh đề 3 Phần II Logic Vị Từ 6 I. Giới thiệu Logic vị từ 6 II. Các phép toán trên Logic vị từ 11 III. Các lượng từ: ∃, ∀ 12 IV. Quy tắc và mô hình suy diễn trong logic vị từ 15 V. Các luật suy diễn 17 VI. Công thức tương đương 18 VII. Công thức chỉnh dạng (well – formed formulas) 20 VIII. Dạng chuẩn tắc của công thức logic vị từ - dạng chuẩn Prenex 21 Phần III Các Ứng Dụng & Công Cụ 23 I. Cách biểu diễn vị từ 23 II. PROLOG và lập trình logic 23 Phần IV Tài Liệu Tham Khảo 30 Lời nói đầu  Ngày nay, dưới tác động của cách mạng khoa học – công nghệ hiện đại, logic học phát triển hết sức mạnh mẽ dẫn đến sự hình thành một loạt các bộ môn logic học hiện đại, như logic học mệnh đề, logic học vị từ, logic học đa trị, logic học tình thái, logic học xác suất…Các bộ môn đó cung cấp cho nhân loại những công cụ sắc bén giúp tư duy con người ngày càng đi sâu hơn vào nhận thức các bí mật của thế giới khách quan. Sự ra đời của logic mệnh đề đánh dấu bước nhảy vọt trong sự phát triển của logic học, chuyển từ logic học truyền thống đến logic học hiện đại. Sử dụng toàn bộ những khái niệm của logic mệnh đề kết hợp với khảo sát các mệnh đề từ việc phân tích các thành phần của mệnh đề, người ta đã xây dựng các hàm vị từ, đồng thời đưa vào sử dụng hai hằng logic quan trong. Sự ra đời của logic vị từ đã khắc phục những hạn chế của logic mệnh đề, cho phép ta đi sâu vào phân tích ngữ nghĩa của các mệnh đề, các tư tưởng nói chung, mở ra một khả năng nghiên cứu tính chân lý của các tư tưởng một cách sâu sắc hơn, đầy đủ hơn. Bài thu hoạch này em xin trình bày ba phần: Phần 1: Giới thiệu một số khái niệm Phần 2: Giới thiệu Logic vị từ Phần 3: Các ứng dụng và công cụ Prolog Em xin được gửi lời cảm ơn chân thành đến Thầy PGS.TSKH. Nguyễn Phi Khứ, Thầy đã rất tận tâm truyền đạt kiến thức vô giá cho em cũng như truyền cảm hứng, hướng dẫn để em cho ra đời bài thu hoạch môn học này. Do trong phạm vi giới hạn thời gian, kiến thức nên em chỉ trình bày những khái niệm, lý thuyết cơ bản mà chưa có phần cài đặt minh họa sâu hơn, mong được sự cảm thông và chia sẽ của Thầy. Kính chúc Thầy nhiều sức khỏe và thành công trong cuộc sống. Trân trọng! Phần I Một Số Khái Niệm I. Lập luận và Logic 1. Lập luận Loài người thông minh vì biết lập luận. Liệu máy tính có khả năng lập luận được (như con người) không? Để trả lời câu hỏi này, chúng ta trước hết hãy cho biết thế nào là lập luận. Lập luận là hành động sinh ra một phát biểu đúng mới từ các phát biểu đúng có trước. Hay nói cách khác, một người hoặc một hệ thống được gọi là biết lập luận nếu nó chỉ ra rằng một phát biểu nào đó có đúng (true) khi cho trước một tập các phát biểu đúng hay không? Các phát biểu phải tuân theo một tập các qui tắc nhất định (ngữ pháp) và cách xác định một phát biểu là đúng (true) hay là sai (false). 2. Logic là gì? Logic hay luận lý học từ tiếng Hy Lạp cổ điển λόγος (logos), nghĩa nguyên thủy là từ ngữ, hoặc điều đã được nói, (nhưng trong nhiều ngôn ngữ châu Âu đã trở thành có ý nghĩa là suy nghĩa hoặc lập luận hay lý trí). Logic thường được nhắc đến như là một ngành nghiên cứu về tiêu chí đánh giá các luận cứ, mặc dù định nghĩa chính xác của logic vẫn là vấn đề còn đang được bàn cãi giữa các triết gia. Tuy nhiên khi môn học được xác định, nhiệm vụ của nhà logic hoặc vẫn như cũ: làm đẩy mạnh tiến bộ của việc phân tích các suy luận có hiệu lực và suy luận ngụy biện để người ta có thể phân biệt được luận cứ nào là hợp lý và luận cứ nào có chỗ không hợp lý. Theo truyền thống, logic được nghiên cứu như là một nhánh của triết học và toán học nghiên cứu về nguyên tắc, phương pháp và tiêu chuẩn hình thức cho sự hợp lệ của suy luận, và kiến thức Là khoa học ước lượng các suy luận Các luật của logic xác định ý nghĩa chính xác của một lý luận. Logic dùng để làm gì?  Suy luận toán học  Khoa học máy tính: vi mạch, xây dựng chương trình, kiểm chứng chương trình, trí tuệ nhân tạo… HV: Đào Tấn Ngọc CH1301043 Trang 1 II. Vị từ - Predicate 1. Khái niệm Vị từ (predicate) là một hàm mệnh đề mô tả thuộc tính của các đối tượng và mối quan hệ giữa chúng. Định nghĩa: Cho A1, A2, A3… là n tập hợp khác trống. Giả sử rằng ứng với mỗi (x 1 , x 2 ,…,x n ) = (a 1 , a 2 ,…, a n ) ∈ A 1 x A 2 x… A n , ta có một mệnh đề p= p(x 1 , x 2 , …, x n ) là một vị từ theo n biến (xác định trên A 1 x A 2 x… A n ) Ký hiệu Một phát biểu có n biến x 1 , x 2 , …, x n , biểu diễn là P(x 1 , x 2 , …, x n ), được gọi là hàm mệnh đề (proposition function) P được gọi là vị từ Ví dụ 1: Xét p(n) = “n > 6”, là một vị từ một biến xác định trên tập các số tự nhiên N  Ta thấy với n = 7 ; 8 ta được các mệnh đề đúng p(7), p(8), còn n = 0, 1 ta được mệnh đề sai p(0), p(1) Ví dụ 2 : Xét p(x,y) = “x2 + y= 1” là một vị từ theo hai biến xác định trên R 2 , ta thấy p(0,1) là một mệnh đề đúng, trong khi p(1,1) là một mệnh đề sai.  Vị từ không phải là mệnh đề III. Mệnh đề (Proposition) là gì? 1. Khái niệm Mệnh đề là một câu hoặc đúng hoặc sai, chứ không thể vừa đúng vừa sai Ví dụ: Thành phố Hồ Chí Minh là trung tâm kinh tế lớn nhất Việt Nam. Không có kẹt xe ở thành phố Hồ Chí Minh. 2 + 3 = 6. Một đồ thị đầy đủ có n(n-1)/2 cạnh. 2. Một số quy ước, định nghĩa p, q, r, dùng để ký hiệu mệnh đề Giá trị chân lý đúng của một mệnh đề ký hiệu là T, sai ký hiệu là F. Bảng chân lý (truth table) biểu diễn mối quan hệ giữa những giá trị chân lý của các mệnh đề. HV: Đào Tấn Ngọc CH1301043 Trang 2 P ¬p T F F T 3. Các toán tử logic Giả thiết p, q là mệnh đề • ¬p: phủ định (negation) • p ∧ q: toán tử hội (conjunction) • p ∨ q: toán tử tuyển (disjunction) • p ⊕ q: toán tử tuyển loại (exclusive-OR) • p → q: toán tử kéo theo (implication) 4. Bảng chân lý của các toán tử logic P Q ¬p p ∧ q p ∨ q p ⊕ q p → q p ↔ q T T F T T F T T T F F T T F F F T T F T T T F F F F F F T T IV. Logic mệnh đề Logic đơn giản nhất là logic mệnh đề. Các phát biểu trong logic mệnh đề được hình thành từ các ký hiệu mệnh đề (mỗi ký hiệu có nghĩa là một mệnh đề và vì vậy có thể nhận giá trị đúng hoặc sai tùy theo mệnh đề đó là đúng hay sai trong thế giới thực) và các ký hiệu liên kết ¬ (với ngữ nghĩa là phủ định), ∧ (và), ∨ (hoặc), ⇒ (kéo theo), ⇔ (tương đương). Cú pháp và ngữ nghĩa của logic mệnh đề như sau : 1. Cú pháp a) Các ký hiệu Hằng : true, false Ký hiệu : P, Q,… Mỗi ký hiệu gọi là ký hiệu mệnh đề hoặc mệnh đề. Các kết nối logic : ¬, ∧, ∨ HV: Đào Tấn Ngọc CH1301043 Trang 3 Các ký hiệu “(“ và “)” b) Quy tắc xây dựng câu Có hai loại câu : câu đơn và câu phức True và false là các câu (true là câu đơn hằng đúng, false là câu hằng sai) Mỗi ký hiệu mệnh đề là một câu, ví dụ P, Q là các câu (Câu đơn) Nếu A và B là các câu thì các công thức sau cũng là câu (các câu phức) :  ¬A  (A ∧ B)  (A ∨ B)  (A ⇒ B)  (A ⇔ B) c) Các khái niệm và qui ước khác Sau này, đễ cho gọn, ta bỏ đi các dấu “(“ , “)” không cần thiết. Nếu câu chỉ có một ký hiệu mệnh đề thì ta gọi câu đó là câu đơn hoặc câu phân tử. Các câu không phải là câu đơn thì gọi là câu phức. Nếu P là ký hiệu mệnh đề thi P và ¬P gọi là các literal, P là literal dương còn ¬P là literal âm. Các câu phức dạng A1 ∨ A2 ∨ …∨ A n , trong đó các Ai là các literal, được gọi là các câu tuyển (clause) 2. Ngữ nghĩa Qui định cách diễn dịch và cách xác định tính đúng (true) hay sai (false) cho các câu. True là câu luôn các giá trị đúng, false là câu luôn có giá trị sai Mỗi ký hiệu biểu diễn (ánh xạ với) một phát biểu/mệnh đề trong thế giới thực; ký hiệu mệnh đề có giá trị là đúng (true) nếu phát biểu/mệnh đề đó là đúng, có giá trị là sai (false) nếu phát biểu/mệnh đề đó là sai hoặc có giá tri chưa xác định (true hoặc false) Các câu phức biểu diễn (ánh xạ với) một phủ định, mối quan hệ hoặc mối liên kết giữa các mệnh đề/phát biểu/câu phức trong thế giới thực. Ngữ nghĩa và giá trị của các câu phức này được xác định dựa trên các câu con thành phần của nó, chẳng hạn: • ¬A có nghĩa là phủ định mệnh đề/ câu A, nhận giá trị true nếu A là false và ngược lại. HV: Đào Tấn Ngọc CH1301043 Trang 4 • A ∧ B có nghĩa là mối liên kết “A và B”, nhận giá trị true khi cả A và B là true, và nhận giá trị false trong các trường hợp còn lại. • A ∨ B biểu diễn mối liên kết “A hoặc B”, nhận giá trị true khi hoặc A hoặc B là true, và nhận giá trị false chỉ khi cả A và B là false. • (A ⇒ B) biểu diễn mối quan hệ “A kéo theo B”, chỉ nhận giá trị false khi A là true và B là false, nhận giá trị true trong các trường hợp khác • (A ⇔ B) biểu diễn mối quan hệ “A kéo theo B” và “B kéo theo A” Như vậy, việc xác định tính đúng/sai của một ký hiệu mệnh đề (mệnh đề đơn) là dựa trên tính đúng sai của sự kiện hoặc thông tin mà nó ám chỉ, còn việc xác định tính đúng sai của mệnh đề phức phải tuân theo các qui tắc trên. Trong nhiều trường hợp, chúng ta (cần chỉ) biết tính đúng/sai của các câu phúc, còn tính đúng/sai của các câu đơn là không cần biết hoặc có thể lập luận ra từ các câu phức đã biết đúng/sai và các qui tắc chuyển đổi tính đúng/sai giữa các câu đơn và câu phức theo các qui tắc trên. 3. Các ví dụ Gọi là mệnh đề “tôi chăm học”, B là mệnh đề “tôi thông minh”, C là mệnh đề “tôi thi đạt điểm cao môn Toán cho khoa học máy tính”; Ta có thể biểu diễn các câu sau trong logic mệnh đề: − “Nếu tôi chăm học thì tôi thi đạt điểm cao môn Toán cho khoa học máy tính”: A ⇒ C − “Tôi vừa chăm học lại vừa thông minh”: A ∧ B − “Nếu tôi chăm học hoặc tôi thông minh thì tôi thi đạt điểm cao môn Toán cho khoa học máy tính”: A ∨ B ⇒ C 4. Các câu hằng đúng Trong logic mệnh đề, ta có:  ¬¬A ⇔ A (luật phủ định kép)  A ∨ ¬A (luật loại trừ)  (A ⇔ b) ⇔ (A ⇒ B) ∧ (B ⇒ A)  (A ⇒ B) ⇔ ¬A ∨ B  ¬(A ∨ B) ⇔ ¬A ∧ ¬B (luật Demorgan đối với ghép ∨)  ¬(A ∧ B) ⇔ ¬A ∨ ¬B (luật Demorgan đối với phép ∧)  C ∨ (A ∧ B) ⇔ (C ∨ A) ∧ (C ∨ B) (luật phân phối phép ∨ đối với phép ∧) HV: Đào Tấn Ngọc CH1301043 Trang 5  C ∧ (A ∨ B) ⇔ (C ∧ A) ∨ (C ∧ B) (luật phân phối phép ∧ đối với phép ∨)  (A ∧ (A ⇒ B)) ⇒ B (Tam đoạn luận 5. Điểm yếu của logic mệnh đề  Không thể biểu diễn các phát biểu có chứa biến (variables) Ví dụ:  X = y + 8.  X > 7  Bởi vì các biến chưa có giá tri cụ thể.  Tuy nhiên, phát biểu dạng như trên xuất hiện nhiều trong thực tế.  Những sự tương đương sau không biểu diễn được bằng logic mệnh đề  “Not all birds fly.” AND “Some bird don’t fly.”  “Not all integers are even” AND “Some integers are not even” ⇒ Cách duy nhất để suy luận là liệt kê riêng lẽ tất cả các mệnh đề  Giả sử ta biết:  “Mọi sinh viên IT phải học toán rời rạc.”  Không có luật nào của Logic mệnh đề cho phép kết luận chân trị của phát biểu:  “Minh phải học toán rời rạc.” Trong đó Minh là một sinh viên IT.  Không có luật để tìm chân trị của phát biểu:  “Có một sinh viên IT không học toán rời rạc.” Phần II Logic Vị Từ I. Giới thiệu Logic vị từ 1. Mở đầu Trong phần trước chúng ta đã tìm hiểu logic mệnh đề, một ngôn ngữ đưa ra các qui tắc xác định ngữ pháp và ngữ nghĩa (tính đúng/sai) các câu. Câu đơn giản nhất trong logic mệnh đề là các ký hiệu mệnh đề, nó biểu diễn cho các sự kiện hoặc thông tin trong thế giới thực. Câu phức tạp hơn liên kết các câu đơn bằngcác phép HV: Đào Tấn Ngọc CH1301043 Trang 6 nối logic (¬, ∧, ∨, ⇒, ⇔) biểu diễn mệnh đề phức, mô tả quan hệ hoặc liên kết các mệnh đề đơn. Như vậy, logic mệnh đề chỉ có thể biểu diễn được các MỆNH ĐỀ và các liên kết hoặc quan hệ giữa các MỆNH ĐỀ. Vì vậy sức mạnh biểu diễn của logic mệnh đề chỉ giới hạn trong thế giới các mệnh đề. Nó không quan tâm đến nội dung các mệnh đề như thế nào. Vì thế mà logic mệnh đề có những hạn chế trong việc biểu diễn và suy diễn. Logic mệnh đề thiếu các câu mô tả đặc trưng cho một lớp các đối tượng (cũng giống như nếu một ngôn ngữ lập trình mà thiếu các câu lệnh lặp như for, while mà chỉ cỏ các kiểu lệnh đơn lẻ và rẽ nhánh), vì thế mà sức mạnh biểu diễn của nó rất hạn chế. Trong chương này, chúng ta sẽ xem xét logic cấp một, hay logic vị từ, một mở rộng của logic mệnh đề mà cho phép biểu diễn những mệnh đề mang tính phổ quát (“với mọi”) và những mệnh đề mang tính đặc thù (“tồn tại”) một cách dễ dàng. Để làm được điều đó, chúng ta phân tích mệnh đề thành dạng (chủ ngữ - vị từ) hoặc (chủ ngữ - vị từ - tân ngữ) và chuyển chủ ngữ và tân ngữ thành đối tượng (hoặc biến) của vị từ. Vì vậy mà câu đơn của logic cấp một có dạng Vị_từ(chủ_ngữ) hoặc Vị_từ(chủ_ngữ, tân ngữ); chẳng hạn “An là sinh viên” biểu diễn là Sinhvien(An); “An yêu Bình” biểu diễn là Yeu(An,Binh). Chính vì thế mà ta gọi nó là logic vị từ. Từ các câu đơn như vậy ta xây dựng các câu phức sử dụng các ký hiệu (¬, ∧, ∨, ⇒, ⇔) và ∀, ∃ (hai ký hiệu này không có trong logic mệnh đề). Quan trọng hơn, làm thế nào chúng ta xây dựng các thuật giải lập luận tự động, giải thuật cài đặt cho máy tính để nó có thể chứng minh được KB ╞ q, với KB và q là các câu trong logic vị từ cấp một, tương tự như các giải thuật phân giải, giải thuật suy diễn tiến, lùi trong logic mệnh đề. Trong logic vị từ, một mệnh đề được cấu tạo bởi hai thành phần là các đối tượng tri thức và mối liên hệ giữa chúng (gọi là vị từ) Vị từ (<đối tượng 1>, <đối tượng 2>, …, <đối tượng n>) Như vậy để biểu diễn vị của các trái cây, các mệnh đề sẽ được viết lại thành: Cam có vị Ngọt Vị (Cam, Ngọt) ⇒ Cam có màu Xanh Màu (Cam, Xanh)⇒ Kiểu biểu diễn này có hình thức tương tự như hàm trong các ngôn ngữ lập trình, các đối tượng tri thức chính là các tham số của hàm, giá trị mệnh đề chính là kết quả của hàm (thuộc kiểu BOOLEAN). Với vị từ, ta có thể biểu diễn các tri thức dưới dạng các mệnh đề tổng quát, là những mệnh đề mà giá trị của nó được xác định thông qua các đối tượng tri thức cấu tạo nên nó. HV: Đào Tấn Ngọc CH1301043 Trang 7 [...]... một vị từ 2 biến trên không gian N Ta nói P có trong lượng 2 Trong một vị từ P(x1, x2, , xn) có trọng lượng là n Nếu gán giá trị xác định cho một biến trong nhiều biến thì ta được một vị từ mới Q(x1, x2, xn) có trọng lượng là (n-1) Qui luật này được áp dụng cho đến khi n=1 thì ta có một mệnh đề Vậy, thực chất mệnh đề là một vị từ có trọng lượng là φ II Các phép toán trên Logic vị từ Phép toán vị từ. .. số nguyên n là chia chẵn cho 3” là “ Tồn tại ít nhất một số nguyên n không chia chẵn cho 3” Ví dụ 2 : Hãy xét phủ định của câu sau đây : “ Tất cả sinh viên trong lớp đều đã học môn Toán cho khoa học máy tính Câu này chính là câu sử dụng lượng từ với mọi như sau : ∀x P(x) Trong đó P(x) = {x đã học môn Toán cho khoa học máy tính} Phủ định của câu này là : “Không phải tất cả các sinh viên trong lớp đều... lớp đều đã học môn Toán cho khoa học máy tính ” Điều này có nghĩa là : “ Có ít nhất một sinh viên ở lớp này chưa học môn Toán cho khoa học máy tính Đây chính là lượng từ tồn tại của phủ định hàm mệnh đề ban đầu được viết như sau : ∃x ¬P(x) Ta có : ¬∀x P(x) ⇔ ∃x ¬P(x) ¬∃x P(x) ⇔ ∀x ¬P(x) Phương pháp ứng dụng : Để đạt được phủ định của một mệnh đề xây dựng bằng liên kết của những biến của vị từ với phương... không gian của vị từ X, Y là biến HV: Đào Tấn Ngọc CH1301043 11 Trang 3 Các vị từ Một sự kiện hay mệnh đề trong phép toán vị từ được chia thành phần Vị từ và tham số Tham số thể hiện một hay nhiều đối tượng của mệnh đề, còn vị từ dùng để khẳng định về đối tượng Vídụ: Câu "X thích Y" có dạng thích (X, Y) Thích là vị từ cho biết quan hệ giữa các đối tượng trong ngoặc Đối số là các ký hiệu thay cho các đối... Anh, Toán rời rạc, Nhà xuất bản Giáo dục [2] Kenneth H Rosen, Toán học rời rạc ứng dụng trong tin học, Nhà xuất bản Giáo dục, 2007 [3] TS Trần Ngọc Hội, Toán rời rạc [4] PGS TS Nguyễn Phi Khứ, Bài giảng Toán cho khoa học máy tính , Đại học CNTT – ĐHQG TP HCM [5] GS TSKH Hoàng Kiếm và PGS TS Đỗ Văn Nhơn, Bài giảng Logic mệnh đề và vị từ , Đại học CNTT – ĐHQG TP HCM [6] GS TSKH Hoàng Kiếm, Giải một. .. (∀x ∈ M1) P(x) (∀x ∈ M2) P(x) … (∀x ∈ Mn) P(x) ∴(∀x ∈ M) P(x) V Các luật suy diễn Ngữ nghĩa của phép tính vị từ cung cấp một cơ sở cho lý thuyết hình thức về suy diễn logic Khả năng suy ra những biểu thức đúng mới từ một tập hợp các khẳng định đúng là một đặc trưng quan trọng của phép tính vị từ Logic vị từ dùng các luật suy diễn sau: HV: Đào Tấn Ngọc CH1301043 17 Trang 1 Luật Modus Ponens (MP) P P⇒Q... Studies_Algebra) II PROLOG và lập trình logic 1 Prolog Prolog – programming in logic, ngôn ngữ gồm các câu Horn trong Logic vị từ cấp một có bổ sung một số thành phần phi logic giúp cho sức mạnh biểu diễn của ngôn ngữ Prolog tốt hơn và giúp cho việc cài đặt các giải thuật suy diễn dễ dàng và hiệu quả hơn Rất nhiều thuật toán lập luận tự động trong Prolog đã được cài đặt cho máy tính, ví dụ như SWI Prolog phát... từ sử dụng các phép toán logic mệnh đề và là sự mở rộng của phép toán mệnh đề để thể hiện rõ hơn các tri thức Ví dụ: Viết câu “Nếu hai người thích một người thì họ không thích nhau” dưới dạng logic vị từ Trước khi viết cấu trên ta hãy tìm hiểu các câu đơn giản được viết như sau:  “Nam thích Mai” được viết theo phép toán vị từ là: thích (Nam, Mai)  “Đông thích Mai” được viết theo phép toán vị từ là:... E ta được một ảnh P(x)∈{φ, 1} Tập hợp E này được gọi là không gian của vị từ Không gian này sẽ chỉ rõ các giá trị khả dĩ của biến x làm cho P(x) trở thành mệnh đề đúng hoặc sai HV: Đào Tấn Ngọc CH1301043 10 Trang 6 Trọng lượng của vị từ Chúng ta cũng thường gặp những câu có nhiều biến hơn Vị từ xuất hiện cũng như một hàm nhiều biến, khi đó số biến được gọi là trọng lượng của v từ Vídụ1: Vị từ P(a,b)... true, false  Hằng do người sử dụng đặt cho tên đối tượng cụ thể: An, Bình,…,a,b,c,… (đối tượng là các chủ ngữ hoặc tân ngữ trong mệnh đề)  Ký hiệu biến (thường là biến đối tượng, đại diện cho chủ ngữ hoặc tân ngữ): x,y,z,t,u,…  Ký hiệu vị từ: P, Q,… hoặc Sinhvien, Yeu, father,… (mỗi ký hiệu tương ứng vị từ trong mệnh đề) Mỗi ký hiệu vị từ là câu đơn trong logic cấp một và có ngữ nghĩa true hay false . ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN  BÀI THU HOẠCH MÔN HỌC TOÁN CHO KHOA HỌC MÁY TÍNH Đề tài: LOGIC VỊ TỪ MỘT SỐ VẤN ĐỀ LÝ THUYẾT & ỨNG DỤNG Giảng. đại, logic học phát triển hết sức mạnh mẽ dẫn đến sự hình thành một loạt các bộ môn logic học hiện đại, như logic học mệnh đề, logic học vị từ, logic học đa trị, logic học tình thái, logic học. viên trong lớp đều đã học môn Toán cho khoa học máy tính ”. Điều này có nghĩa là : “ Có ít nhất một sinh viên ở lớp này chưa học môn Toán cho khoa học máy tính . Đây chính là lượng từ tồn tại