Tiểu luận môn TOÁN CHO KHOA HỌC MÁY TÍNH Logic mệnh đề - Logic vị từ

Có nhiều loại logic như: logic mệnh đề propositional logic, logic vị từ predicate logic, logic vị từ cấp một first order logic, logic theo thời gian temporal logic, non-monotonic logic,

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN

BÁO CÁO THU HOẠCH MÔN HỌC TOÁN CHO KHOA HỌC MÁY TÍNH

GVHD: P.GS-TS NGUYỄN PHI KHỨ HỌC VIÊN: NGÔ HOÀNG LÊ MINH

MSSV: CH1301039 UIT

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên, tôi xin gửi lời chân thành cảm ơn đến Ban Chủ nhiệm trường Đại học công nghệ thông tin TP HCM đã tạo điều kiện cho tôi được theo học chương trình đào tạo Thạc Sĩ Công nghệ thông tin của trường.

Tôi xin chân thành cảm ơn thầy P.GS-TS NGUYỄN PHI KHỨ và các thầy cô trong khoa Khoa học máy tính của trường đã tận tình giảng dạy và hướng dẫn để tôi hoàn thành tốt bài thu hoạch

Tuy nhiên vì thời gian cũng như kiến thức của bản thân còn hạn chế, nên bài thu hoạch không tránh khỏi những sai sót và nhầm lẫn Rất mong nhận được mọi sự đóng góp ý kiến từ quý thầy cô và bạn bè.

Ngô Hoàng Lê Minh

MỤC LỤC

Tổng quan 3

CHƯƠNG I: LOGIC MỆNH ĐỀ (PROPOSITION LOGIC) 4

1 Giới thiệu 4

2 Mệnh đề và câu 4

3 Cú pháp logic mênh đề 5

4 Các phép toán 5

5 Công thức trong logic mệnh đề 8

6 Tương đương logic 8

7 Dạng chuẩn 10

8 Ngữ nghĩa của logic mệnh đề 11

CHƯƠNG II:LOGIC VỊ TỪ (PREDICATE LOGIC) 12

1.Giới thiệu logic vị từ 12

2.Lượng từ 13

3.Phạm vi lượng từ 14

4.Thứ tự các lượng từ 15

5.Các luật suy diễn trong logic vị từ 16

6.Ứng dụng logic vị từ vào lập trình logic 17

7 Lời kết 18

TÀI LIỆU THAM KHẢO 19

TỔNG QUAN

Logic là gì?

Theo truyền thống, logic là một nhánh của triết học và từ giữa thế kỷ 19 thì logic trở thành một ngành của toán học dùng để nghiên cứu về nguyên tắc, phương pháp và tiêu chuẩn hình thức cho sự hợp lệ của suy luận và kiến thức Gần đây nhất logic được áp dụng vào khoa học máy tính và trí tuệ nhân tạo

Logic có quá trình lý luận từ những trường hợp cá biệt suy ra một kết luận tổng quát được gọi là suy luận quy nạp Nó được dùng trong các trường hợp mà ta không có đầu đủ các thông tin ban đầu hay việc thu thập thông tin tốn quá nhiều thời gian hoặc chi phí Ta chỉ có các kết luận

và thống kê tạm thời Ngược lại, suy luận diễn dịch là quá trình suy luận từ một phát biểu tổng quát để suy ra một kết luận cá biệt

Logic cho khoa học máy tính

Là một loại ngôn ngữ hình thức có cấu trúc và ngữ nghĩa chặt chẽ có các quy luật dẫn tới các lí luận đúng Một logic bao gồm: cú pháp, ngữ nghĩa và suy luận Cú pháp là cách mô tả các câu trong ngôn ngữ, cho biết cái gì được logic chấp nhận Ngữ nghĩa dùng để xác định nghĩa của câu, là nghĩa thực tế của các đối tượng trong logic Cú pháp là hình thức còn ngữ nghĩa là nội dung của các đối tượng trong logic

Có nhiều loại logic như: logic mệnh đề (propositional logic), logic vị từ (predicate logic), logic vị từ cấp một (first order logic), logic theo thời gian (temporal logic), non-monotonic logic, Markov logic…

Trong phạm vi bài báo cáo tôi xin phép giới thiệu về 2 loại logic căn bản trong lĩnh vực logic toán học đó là logic mệnh đề (proposition logic) và logic vị từ (predicate logic)

CHƯƠNG I: LOGIC MỆNH ĐỀ (PROPOSITION LOGIC)

1.Giới thiệu về mệnh đề:

Logic toán là một phân nhán trong logic học, nó là cơ sở cho mọi ngành toán học Và cũng theo logic toán thì mệnh đề, hay gọi đầy đủ là mệnh đề logic là một khái niệm nguyên thủy, không định nghĩa

Thuộc tính cơ bản của một mệnh đề là giá trị chân trị của nó và được quy định như sau:

“Mỗi mệnh đề có đúng một trong hai chân trị là 0 hoặc 1 Mệnh đề có giá trị chân trị 1 là mệnh đề đúng, mệnh đề có giá trị chân trị 0 là mệnh đề sai.”

Theo quy ước trên thì ta dễ dàng suy ra các luật sau đây của logic mệnh đề:

Luật bài trùng: mỗi mệnh đề phải hoặc đúng hoặc sai, không có mệnh đề nào không đúng không sai

Luật mâu thuẫn: không có mệnh đề nào vừa đúng vừa sai

2.Mệnh đề và câu:

Mệnh đề có thể là một câu nhưng không phải mọi câu đều là mệnh đề Có thể chia các câu trong khoa học cũng như trong cuộc sống ra làm hai loại: loại thứ nhất gồm những câu phản ánh tính đúng hoặc sai một thực tế khách quan và loại thứ hai gồm những câu không phản ánh tính đúng hoặc sai một thực tế khách quan nào Những câu thuộc loại thứ nhất là chính những mệnh

đề Vì vậy có thể nói: "Mệnh đề là một câu khẳng định có tính chất hoặc đúng hoặc sai"

Ví dụ:

“Hà nội là thủ đô của Việt Nam” là một mệnh đề

“Ôi trời lạnh quá!” “Bao giờ xe đến?” không phải là các mệnh đề

Ta có thể nhận thấy rằng các câu nghi vấn, cảm thán, mệnh lệnh không phải là mệnh đề Logic mệnh đề chỉ khảo sát các loại câu khai báo(statement) là các câu phản ánh tính đúng hoặc sai một thực tế khách quan nào đó

3.Cú pháp logic mệnh đề:

Cú pháp của logic mệnh đề bao gồm tập các ký hiệu & tập các luật xây dựng công thức Các ký hiệu ( hay còn gọi là các biến mệnh đề-propositional variables): a,b,c… nó được định nghĩa từ các công thức nguyên (atom) Câu khai báo thỏa một số điều kiện nào đó sẽ được gọi là công thức nguyên Công thức nguyên là phần tử cơ bản của logic mệnh đề Mỗi biến mệnh

đề phải mang 1 giá trị chân lí là 0 hoặc 1

4.Các phép toán:

Các công thức nguyên kết hợp với nhau bằng cách sử dụng các phép toán logic cơ bản: hội

∧, tuyển ∨, phủ định ¬, suy ra →, tương đương ↔

4.1_Phép hội ∧: Hội của hai mệnh đề a, b là một mệnh đề, đọc là a và b, kí hiệu a Λ b (hoặc a.b), đúng khi

cả hai mệnh đề a, b cùng đúng và sai trong các trường hợp còn lại

Bảng chân trị:

Ví dụ khi ta nói ”ABC là tam giác vuông cân” là hội của hai mệnh đề a=”ABC là tam giác vuông” và b=”ABC là tam giác cân” Vì hai mệnh đề này có thể cùng đúng nên P(a Λ b) =1

4.2_Phép tuyển ∨: Tuyển của hai mệnh đề a, b là một mệnh đề đọc là a hoặc b, kí hiệu là a ν b (hoặc a+b), sai khi cả hai mệnh đề cùng sai và đúng trong trường hợp còn lại

Phép tuyển "hoặc a hoặc b" là phép tuyển loại trừ để chỉ a hoặc b nhưng không thể cả a lẫn

b

Phép tuyển "a hoặc b" là phép tuyển không loại trừ để chỉ a hoặc b và có thể cả a lẫn b

4.3_Phép phủ định ¬:

Phủ định của mệnh đề a là một mệnh đề, kí hiệu là ¬a (hay ), đúng khi a sai và sai khi a đúng

4.4_Phép suy ra →:

a suy ra ( hay kéo theo) b là một mệnh đề, kí hiệu là a → b, chỉ sai khi a đúng và b sai và đúng trong các trường hợp còn lại

Kéo theo được dùng nhiều trong suy luận toán học Những thuật ngữ khác của →:

• Nếu a thì b

• a chỉ nếu b

• a kéo theo b

• a là điều kiện đủ của b

• b là điều kiện cần của a

4.5_Phép tương đương ↔:

a tương đương b là một mệnh đề, kí hiệu là a↔ b, nếu cả hai mệnh đề a và b cùng đúng hoặc cùng sai

Ta có thể hình dung các từ ngữ trong thế giới thực được mô tả lại trong logic mệnh đề qua các phép toán trên qua hình minh họa bên dưới

Các liên từ “nếu”, ”hay”, “và”, “không” trong ngôn ngữ tự nhiên chỉ kết hợp những câu khai báo trong một số bối cảnh cụ thể Trong một số bối cảnh khác thì sự kết hợp này là vô nghĩa

Các toán tử của logic mệnh đề có thể kết hợp được mọi công thức

5.Công thức trong logic mệnh đề:

Các công thức được xây dựng theo các quy tắc sau đây:

i.Mỗi biến mệnh đề là một công thức.

ii.Nếu A là công thức thì ¬A là công thức

iii.Nếu A và B là công thức thì khi đó: A∧B, A∨B, A→B, A↔B là các công thức iiii.Chỉ có những phát biểu ở quy tắc i và iii mới được công nhận là công thức Quy tắc rút gọn cặp dấu ngoặc cho các phép toán: ¬,∧, ∨

Mức độ ảnh hưởng của các phép toán được xắp xếp giãm dần theo thứ tự từ trái sang phải Nếu các phép toán cùng cấp thì khi đó ta áp dụng theo quy tắc độ ảnh hưởng giãm dần từ trái sang phải

Ví dụ:

(¬((A∨ (¬B)) ∧((¬A) ∨ ((¬B) ∧( ¬(¬C)))))) có thể rút gọn thành ¬((A∨ (¬B)

∧(¬A ∨¬B) ∧¬¬C))

6.Tương đương logic:

Cho P và Q là hai công thức Ta nói rằng hai công thức P, Q tương đương logic với nhau, kí hiệu là P ≡ Q nếu với mọi hệ chân trị gán cho các mệnh đề có mặt trong hai công thức đó thì chúng luôn nhận giá trị chân trị như nhau

Một trong nhữnh cách chứng minh sự tương đương là dùng bảng chân trị

Ví dụ để chứng minh ¬ (p∨q) ≡ ¬p ∧¬q

Bảng chân trị vế trái:

p q p∨q ¬ (p∨q)

Bảng chân trị vế phải:

p q ¬ p ¬ q ¬p ∧¬q

Vì kết quả 2 bảng chân tri giống nhau nên ta nói ¬ (p∨q) ≡ ¬p ∧¬q

Hai mệnh đề a, b gọi là tương đương logic, kí hiệu là a ≡ b nếu chúng cùng đúng hoặc cùng sai

Quan hệ P ≡ Q ta gọi là một đẳng thức

Dưới đây là một số đẳng thức thường gặp trong logic:

6.1_Phủ định của phủ định:

¬¬a ≡ a 6.2_Luật De Morgan:

¬(a∨b) ≡¬a∧¬b

¬(a∧b) ≡¬a∨¬b 6.3_Tính kết hợp:

(a∧b)∧c ≡ a∧(b∧c) (a∨b) ∨c ≡ a∨ (b∨c) 6.4_Tính giao hoán:

a∨b ≡ b∨a

a∧b ≡ b∧a

a↔b ≡ b↔a 6.5_Tính phân phối:

a∧(b∨c) ≡ (a∧b) ∨ (a∧c)

a∨ (b∧c) ≡ (a∨b) ∧ (a∨c) 6.6_Tính lũy đẳng:

a∧a ≡ a

a∨a ≡ a 6.7_Biểu diễn phép kéo theo:

a → b ≡ ¬a∨b 6.8_Biểu diễn phép tương đương:

a↔b ≡ (a → b) ∧ (b → a)

7.Dạng chuẩn:

Trong mục này chúng ta sẽ xét việc chuẩn hóa các công thức, đưa các công thức về dạng thuận lợi cho việc lập luận, suy diễn Các công thức tương đương có thể xem như các biểu diễn khác nhau của cùng một sự kiện Để dễ dàng viết các chương trình máy tính thao tác trên các công thức, chúng ta sẽ chuẩn hóa các công thức, đưa chúng về dạng biểu diễn chuẩn

7.1_Dạng chuẩn hội:

Là hội các mệnh đề, trong đó mệnh đề là tuyển các công thức nguyên( hay còn gọi là tích các tổng) Dạng chuẩn hội tổng quát có dạng: P1∧ P2…∧ Pn

Trong đó Pi= A1∨ A2…∨ Am và Ai là công thức nguyên

7.2_Dạng chuẩn tuyển:

Là tuyển các mệnh đề, trong đó mệnh đề là hội các công thức nguyên( hay còn gọi là tổng các tích) Dạng chuẩn tuyển tổng quát có dạng: P1∨ P2…∨ Pn

Trong đó Pi= A1∧ A2…∧ Am và Ai là công thức nguyên

8.Ngữ nghĩa của logic mệnh đề:

Ngữ nghĩa của logic mệnh đề cho phép ta xác định thiết lập ý nghĩa của các công thức trong thế giới hiện thực nào đó Điều đó được thực hiện bằng cách kết hợp mệnh đề với một phát biểu cho một sự kiện nào đó trong thế giới hiện thực

Ví dụ: Ký hiệu mệnh đề a có thể ứng với phát biểu “Hà Nội là thủ đô nước Việt Nam” Bất kỳ một sự kết hợp các kí hiệu mệnh đề với các phát biểu sự kiện trong thế giới thực được gọi là một minh họa (interpretation ) Một kí hiệu mệnh đề chỉ có thể mang một trong hai giá trị là đúng(TRUE) hoặc sai(FALSE)

Ở ví dụ trên thì sự kiện “Hà Nội là thủ đô nước Việt Nam” là đúng nên a sẽ mang giá trị đúng hay nói cách khác a có chân trị là 1, còn khi ta xét b ứng với phát biểu “Hình vuông có 5 cạnh” thì b sẽ có chân trị là 0

Giả sử gọi T là một giá trị thực (truth assignment hay valuatio) khi đó ta sẽ có:

T cho atoms:

T:{a1, a2,…} →{0,1}

T cho các công thức mệnh đề:

T:{P|P là một công thức mệnh đề} →{0,1} thì khi đó T sẽ tuân theo các quy tắc : i.T(¬P) = 1 khi và chỉ khi T(¬P)= 0 và ngược lại

ii.T(P∨Q) = 1 khi và chỉ khi T(P)= 1 hoặc T(Q)= 1 và ngược lại

iii.T(P∧Q) = 1 khi và chỉ khi T(P)= T(Q)= 1 và ngược lại

Một công thức được gọi là thoả mãn được (satisfiable) nếu T của nó đúng trong một trường hợp cụ thể nào đó nào đó

Một công thức được gọi là vững chắc (valid hoặc tautology) nếu T của nó đúng trong mọi trường hợp

Một công thức được gọi là không thoả mãn (inconsistent) được nếu T của nó là sai trong mọi trường hợp

CHƯƠNG II: LOGIC VỊ TỪ (PREDICATE LOGIC)

1.Giới thiệu logic vị từ:

Logic vị từ được xây dựng dưa trên cơ sở của logic mệnh đề nhằm đưa ra một hệ thống hoàn chỉnh, đầy đủ về mặt biểu thức và lập luận.Hơn nửa logic vị từ ra đời nhằm khắc phục các thiếu xót và hạn chế của logic mệnh đề như thiếu việc sử dụng các lượng từ tòan thể và bộ phận; nói cách khác là các phát biểu có chứa các biến số; chưa phân tích kết cấu của các mệnh đề

Ví dụ: Khi ta xét câu “Số tự nhiên n chia hết cho 3”, ta thấy về ngôn ngữ đây là 1 câu Tuy nhiên nó không phản ánh một thực tế khách quan nào( không xác định được chân trị) Tuy nhiên khi ta lần lượt thay n bằng các số 3,4 ta sẽ thu được mệnh đề đúng và mệnh đề sai Trong thực tế thì các phát biểu dạng như trên là rất nhiều

Từ các ví dụ trên ta đi đến định nghĩa sau:

Những câu có chứa các biến mà bản thân nó chưa phải là mệnh đề nhưng khi ta thay các biến đó bởi các phần tử thuộc tập xác định X thì nó trở thành mệnh đề (đúng hoặc sai) ta sẽ gọi

là hàm mệnh đề (hoặc vị từ, hàm phán đoán, mệnh đề không xác định, mệnh đề chứa biến) Tập

X gọi là miền xác định của hàm mệnh đề đó Ta dùng kí hiệu: T(n), F(x), để chỉ các vị từ Nói cách khác logic vị từ bao gồm 2 phần:

i.Biến x

ii.Tính chất của biến, được gọi là vị từ(predicate)

Theo ví dụ trên thì vị từ T(n) : "Số tự nhiên n chia hết cho 3" có miền xác định là tập các số

tự nhiên N Tập các số tự nhiên có tổng cái chữ số chia hết cho 3 là miền đúng của T(n)

Ta có phát biểu "Số tự nhiên n chia hết cho 3" không phải là mệnh đề Để chuyển thành mệnh đề ta phải thực hiện một trong 2 cách sau:

i.Gán cho n một giá trị

ii.Thay đổi phát biểu và thêm vào đó các lượng từ

2.Lượng từ:

Khi nói đến lượng từ cho biến x ta cần đề cập đến miền giá trị (universe of discourse) cho

x Miền giá trị là tập các đối tượng quan tâm của một biến

2.1_Lượng từ tồn tại : Tồn tại x ∈ X sao cho T(x) là một mệnh đề tồn tại

Kí hiệu là:

x ∈ X : T(x)

Ví dụ:

“Tồn tại số thực x sao cho x+4>7” là mệnh đề đúng Kí hiệu: x∈ R : x+4>7

2.2_Lượng từ với mọi : Với mọi x ∈ X ta có T(x) là một mệnh đề với mọi

Kí hiệu là:

x ∈ X , T(x)

2.3_Phủ định của và :

Phủ định của và được thiết lập theo quy tắc sau:

x ∈ X : T(x) ≡ x ∈ X , T(x)

x ∈ X , T(x) ≡ x ∈ X : T(x)

Như vậy ta có các mệnh đề:

x ∈ X : T(x) và x ∈ X , T(x) là phủ định nhau

x ∈ X , T(x) và x ∈ X : T(x) ) là phủ định nhau

Các ví dụ:

x y(x+y=y+x), x,y ∈ R

Với tất cả các số thực thì x+y =y+x

x y(x+y=0) x,y∈R Với mọi số thực x, tồn tại số thực y thỏa x+y=0

Chuyển các câu phát biểu sau:

i.Có SV nào đó trong khoa đã có một chứng chỉ tiếng Anh

ii.Mọi SV trong khoa đã có chứng chỉ tiếng Hoa hoặc tiếng Pháp

Nếu ta đặt các từ trong 2 ví dụ trên như sau:

A(x): x có chứng chỉ Anh H(x): x có chứng chỉ Hoa P(x): x có chứng chỉ Pháp Thì i và ii sẽ được phát biểu như sau:

i x A(x)

ii x (H(x) ∨ P(x))

3.Phạm vi lượng từ:

Được kí hiệu bởi các dấu [] hay () Nếu không có các dấu này thì tầm ảnh hưởng là công thức nhỏ nhất ngay sau lượng từ

Một biến x được gọi là bound nếu nó được gán giá trị hay được lượng từ hóa Ngược lại x

sẽ là free khi nó không bound

Ví dụ:

x ( yP(x,y) ∨ Q(x,y)) khi đó x,y trong P(x,y) là bound và y trong Q(x,y) là free.

4.Thứ tự các lượng từ:

Thứ tự của các lượng từ là rất quan trọng trong mệnh đề logic Trừ các trường hợp mà tất

cả các lượng từ là hoặc

Khi áp dụng thì thứ tự của lượng từ được tính từ trái sang phải và từ trong ra ngoài

Dưới đây là bảng tóm tắt ý nghĩa của các lượng từ

5.Các luật suy diễn trong logic vị từ

Các luật suy diễn trong logic vị từ được mô tả qua bảng sau

6.Ứng dụng logic vị từ vào lập trình logic (Prolog):

Prolog là một ngôn ngữ lập trình Mục tiêu của prolog là giúp người lập trình mô tả lại bài toán theo ngôn ngữ của logic Dựa trên đó, máy tính sẽ tiến hành suy diễn dựa vào cơ chế suy diễn tiến và cơ chế suy diễn lùi (Modus Ponens, Modus Tollens) để đưa ra câu trả lời

Ví dụ : Trong prolog ta có thể tạo một khai báo vị từ như sau:

Grandmother (X,Y) :-mother(X,Z), parent (Z,Y)

Ta có: “-“ đọc là nếu; ”,” đọc là và

Vị từ parent có thể được khai báo theo cách như sau:

parent(X,Y) :-mother(X,Y) parent(X,Y) :-father(X,Y)

Cú pháp prolog:

Chương trình bao gồm tập luật được biểu diễn dưới dạng mệnh đề

head:-body

Trong đó head là một vị từ, body có thể rỗng hoặc một tập các vị từ

Ở ví dụ parent(X,Y) :-mother(X,Y) head là parent, body là mother.

• Dữ kiện trong prolog:

Dữ kiện là mệnh đề có body là rỗng Thường dùng để mô tả các dữ kiện của bài toán

Ví dụ khi ta khai báo parent(X,Y) thì ta đang khai báo X là parent Y.

• Luật trong prolog:

Là các phần còn lại của mệnh đề trong chương trình, thể hiện những phát biểu logic trong bài toán

Grandmother (X,Y) :-mother(X,Z), parent (Z,Y)

Nghĩa là X là ông bà của Y khi Y là con của Z và Z là con của X