Tiểu luận môn TOÁN CHO KHOA HỌC MÁY TÍNH ĐẠI SỐ BOOL VÀ ỨNG DỤNG TRONG THIẾT KẾ MẠCH SỐ

TẦM QUAN TRỌNG CỦA ĐẠI SỐ BOOL TRONG THIẾT KẾ MẠCH SỐ Như chúng ta đã biết, logic mệnh đề là một cơ sở toán học giải quyết với cácbiến mệnh đề chấp nhận giá trị 0 hoặc 1.. CÁC ĐỊNH NGHĨA

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN

KHOA KHOA HỌC MÁY TÍNH

TIỂU LUẬN MÔN HỌC TOÁN HỌC CHO KHMT

ĐẠI SỐ BOOL VÀ ỨNG DỤNG TRONG THIẾT KẾ MẠCH SỐ

Giảng viên hướng dẫn: PGS TS NGUYỄN PHI KHỨ

Mã số học viên: CH1301026

TP Hồ Chí Minh, tháng 12 năm 2013

LỜI MỞ ĐẦU

Hiện nay, máy tính là một công cụ hữu hiệu phục vụ cho các hoạt động laođộng sáng tạo cũng như giải trí Máy tính với bộ phận chính là bộ vi xử lý được cấuthành từ hành triệu mạch số khác nhau Để có thể chế tạo được các mạch số hoạtđộng hiệu quả thì cần một cơ sở nền tảng có hệ thống để chứng minh tính hiệu quảcủa mạch số từ đó có thể sản xuất ra các bộ vi xử lý hiệu quả hơn và tăng năng lựctính toán cho máy tính

Sau một quá dài nghiên cứu dựa trên logic mệnh đề, các nhà nhiên cứu đã pháttriển nên đại số Bool Đại số Bool với cơ sở lý luận toán học vững vàng đã làm nềntảng để thiết kế cũng như tối ưu các mạch số

LỜI CẢM ƠN

Toán học là nền tảng của ngành Khoa Học Máy Tính Trong đó phần logicchính là kim chỉ nam cho việc suy diễn, định hướng suy nghĩ cho mọi nghiên cứusau này Với các chuyên đề được giảng dạy trong môn Toán học cho Khoa HọcMáy Tính như cơ sở toán học, phương pháp phân tích và thiết kế thuật toán, logicmệnh đề - logic vị từ, PGS.TS Nguyễn Phi Khứ đã cung cấp hành trang vững chắccũng như kiến thức nền tảng để cho tôi và các bạn trong lớp CH08 có khả năng họctốt những chuyên đề tiếp theo; và đó cũng là hành trang trong quá trình nghiên cứusau này

Với những định hướng và gợi mở về những hướng đi mới, hỗ trợ tài liệu và ýtưởng, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy Nguyễn Phi Khứ

Ngoài ra cũng xin gởi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè - những người đã luôn

hỗ trợ, động viên tôi trong suốt thời gian thực hiện đề tài

TP Hồ Chí Minh, tháng 12 năm 2013 Người thực hiện

Nguyễn Ngọc Hoàng

MỤC LỤC

Trang phụ bìa

Lời mở đầu

Lời cảm ơn

Mục lục

Chương 1: TỔNG QUAN 1

1.1 KHÁI NIỆM MẠCH SỐ 1

1.2 TẦM QUAN TRỌNG CỦA ĐẠI SỐ BOOL TRONG THIẾT KẾ MẠCH SỐ 2

Chương 2: BIỂU DIỄN PHƯƠNG TRÌNH LOGIC - ĐẠI SỐ BOOL 3

2.1 GIỚI THIỆU 3

2.2 CÁC ĐỊNH NGHĨA CƠ BẢN 3

2.2.1 Tính đóng 3

2.2.2 Luật kết hợp 4

2.2.3 Luật giao hoán 4

2.2.4 Phần tử xác định 4

2.2.5 Phần tử bù 4

2.2.6 Luật phân phối 4

2.3 ĐỊNH NGHĨA ĐẠI SỐ BOOL 4

2.4 ĐẠI SỐ BOOL HAI GIÁ TRỊ 6

2.5 CÁC TÍNH CHẤT CỦA ĐẠI SỐ BOOL 7

2.6 HÀM BOOL 8

2.7 CÁC DẠNG CHUẨN VÀ DẠNG CHÍNH TẮC CỦA PHƯƠNG TRÌNH LOGIC 8

2.7.1 Minterm 9

2.7.2 Maxterm 11

2.7.3 Kỹ thuật trích xuất hàm Bool dạng tổng các tích từ bảng chân trị.12 2.7.4 Kỹ thuật trích xuất hàm Bool dạng tích các tổng từ bảng chân trị.13 2.7.5 Chuyển đổi giữa các dạng chính tắc 14

2.8 TỐI GIẢN HÀM BOOL - BÌA KARNAUGH 14

2.8.1 Xây dựng bìa Karnaugh 16

2.8.2 Tối giản hàm Bool bằng bìa Karnaugh 17

Chương 3: ỨNG DỤNG TRONG THIẾT KẾ MẠCH SỐ 20

3.1 CÁC CỔNG LOGIC SỐ 20

3.2 ỨNG DỤNG ĐẠI SỐ BOOL TRONG THIẾT KẾ MỘT SỐ MẠCH TỔ HỢP CƠ BẢN 22

3.2.1 Thiết kế mạch cộng nữa (half-adder) 22

3.2.2 Thiết kế mạch cộng đầy đủ (full-adder) 23

Chương 4: KẾT LUẬN 26

TÀI LIỆU THAM KHẢO 27

Hình 1.1: Minh họa mức điện áp tương ứng với giá trị xử lý mạch số.

• Ưu điểm của mạch số

• Một ưu điểm của của mạch số so với mạch tương tự là tín hiệu truyền quamạch số không bị suy hao do nhiễu giống như mạch tương tự

• Khi cần biểu diễn chính xác hơn hoặc tăng kích thước đầu vào ta chỉ cầntăng số lượng các mạch số mà không quan tâm đến độ tuyến tính, thuộc tính nhiễunhư trong mạch tương tự Do đó, có thể thiết kế mạch số xử lý tín hiệu đầu vào lơnmột cách dễ dàng

• Các công cụ thiết kế mạch số dựa vào máy tính (ComputerAided Design CAD) ngày càng phát triển giúp cho việc thiết kế mạch số ngày càng đơn giản vàgiảm thời gian đưa sản phẩm ra thị trường.

-• Nhược điểm của mạch số

• Trong một số trường hợp mạch số có thể tiêu tốn nhiều năng lượng hơn khithực hiện cùng một công việc so với mạch tương tự

• Mạch số thường phù hợp với việc sản suất với số lượng lớn nên sản phẩm

sẽ trở nên đắt đỏ nếu sản xuất với số lượng nhỏ

• Hầu hết các mạch số khi sử dụng đều dùng các tín hiệu được chuyển từ tínhiệu tương tự (do các số liệu thực tế đều có giá trị tương tự) nên khi sử dụng mạch

số sẽ có sai số lượng từ hóa

1.2 TẦM QUAN TRỌNG CỦA ĐẠI SỐ BOOL TRONG THIẾT KẾ MẠCH SỐ

Như chúng ta đã biết, logic mệnh đề là một cơ sở toán học giải quyết với cácbiến mệnh đề chấp nhận giá trị 0 hoặc 1 Bên cạnh đó còn có các toán tử logic nhưand, or và not Cơ sở toán học này là một nền tảng để phát triển các mạch số domạch số cũng xử lý với các tín hiệu với giá trị 0 hoặc 1 đồng thời đảm bảo tínhđúng đắn của mạch số

Đại số Bool là đại số trên các đại lượng 0 hoặc 1; dùng để mô tả các cácphương trình logic, tối giản các thiết kế nên được dùng nhiều trong thiết kế mạch

Chương 2: BIỂU DIỄN PHƯƠNG TRÌNH LOGIC - ĐẠI SỐ

BOOL

2.1 GIỚI THIỆU

Logic mệnh đề thao tác trên các hằng mệnh đề, biến mệnh đề và các phép toánmệnh đề trong miền giá trị {0, 1} Trong chương này, chúng ta sẽ hình thức hóa lạicác khái niệm logic đồng thời nêu lên các định nghĩa, kỹ thuật mới để có thể biểudiễn được phương trình logic và ứng dụng trong thiết kế mạch số

Một mạch chuyển đơn giản chứa các phần tử chủ động như các diod hay cáctransistor có thể minh họa cho logic nhị phân với thuộc tính ON (công tắc đóng) hayOFF (công tắc mở) Các hàm chuyển có thể được biểu diễn bằng các phương trìnhBool Các phương trình Bool phức tạp có thể được tối giản nhờ vào một dạng sốhọc mới thường được gọi là đại số Bool Đại số Bool được phát minh bởi nhà toánhọc George Bool vào năm 1854

Đại số Bool thao tác với các quy tắc tương tự như các quy tắc logic mệnh đề

2.2 CÁC ĐỊNH NGHĨA CƠ BẢN

Đại số Bool cũng giống như bất cứ một hệ toán học suy diễn nào; có thể đượcđịnh nghĩa với một tập các phần tử, một tập các phép toán, một số các giả thuyết vàđịnh lý

Giả sử S là một tập các phần tử, X và Y là các phần tử cụ thể Nếu X ∈ S cónghĩa là một thành phần của S Nếu Y ∉ S có nghĩa là Y không phải là một thànhphần của S

Một toán tử hai ngôi định nghĩa trên một tập S là một quy tắc gán cho mỗi cặpcác phần tử trong S một giá trị mới cũng thuộc S

Các định lý của một hệ thống toán học dựa trên một số các giả thuyết cho phépviệc suy diễn các quy tắc, các hệ quả và các thuộc tính của hệ thống Hầu hết cáccấu trúc đại số khác nhau đều hình thành dựa trên các định lý chung được trình bàydưới đây:

2.2.3 Luật giao hoán

Một toán tử hai ngôi * trên một tập S được gọi là kết hợp khi thỏa điều kiện:

2.2.5 Phần tử bù

Nếu tập S có phần tử xác định là E với phép toán hai ngôi * thì ta định nghĩaphần tử bù B của phép toán hai ngôi * ứng với mỗi phần tử A ∈ S nếu A * B = E

2.2.6 Luật phân phối

Nếu * và (.) là hai phép toán hai ngôi trên tập S thì * được gọi là phân phối vớiphép (.) nếu thỏa:

A * (B C) = (A * B) (A * C)

2.3 ĐỊNH NGHĨA ĐẠI SỐ BOOL

Năm 1854, George Boole giới thiệu một cách tiếp cận logic có hệ thống vàphát triển một hệ thống đại số để giải quyết các hàm logic đó chính là đại số Bool.Năm 1938, C.E Shannon phát triển đại số Bool hai giá trị thường được gọi là đại sốchuyển (Switching Algebra) và chứng minh rằng các mạch điện hai trạng thái hay

hai giá trị có thể được biểu diễn bằng đại số này Các định lý được đưa ra bởi E.V.Huntington vào năm 1904 được dùng như là định nghĩa chính thức cho đại số Bool.Tuy nhiên, các định lý này không phải là duy nhất để định nghĩa đại số Bool Cácđịnh lý Huntington dưới đây thỏa điều kiện định nghĩa đại số Bool trên tập S với haiphép toán nhị phân (+) và (.).

1 Phép (+) thỏa mãn tính đóng

Phép (.) thỏa mãn tính đóng

2 Phần tử định danh ứng với phép + là 0 Cụ thể:

A + 0 = 0 + A = A Phần tử định danh ứng với phép là 1 Cụ thể:

A 1 = 1 A = A

3 Tính giao hoán của phép + : A + B = B + A

Tính giao hoán của phép : A B = B A

4 Tính phân phối của phép (.) đối với phép (+):

A (B + C) = (A B) + (A C) Tính phân phối của phép (+) đối với phép (.):

A + (B C) = (A + B) (A + C)

5 Với mỗi phần tử A ∈ S, tồn tại một phần tử A’ ∈ S (gọi là phần tử bù củaA) thỏa A + A’ = 1 và A.A’ = 0

6 Tồn tại ít nhất hai phần tử A,B ∈ S thỏa A khác B

So sánh đại số Bool với số học và đại số chính thống áp dụng cho tập sốnguyên ta thấy có một số khác biệt như sau:

• Các định lý của Huntington không có các luật kết hợp Tuy nhiên, đại sốBool tuân theo các luật như trên thì có thể suy luận ra được luật kết hợp cho cả haiphép toán.

• Luật phân phối của phép (+) cho phép (.) thì đúng cho đại số Bool nhưngkhông đúng cho đại số thường

• Đại số Bool không có phép cộng và phép nhân đảo ngược do đó không cóphép trừ và phép chia

• Luật số 5 định nghĩa phần tử bù của đại số Bool khác với đại số thường

• Đại số thường thao tác với số thực là một tập vô hạn các phần tử Tuynhiên, đại số Bool thao tác với một tập hữu hạn các phần tử chưa xác định Với đại

số Bool hai giá trị thì tập S chỉ chứa hai phần tử là 0 và 1

Các định lý trên chỉ xác định những cơ sở của đại số Bool Do đó để có thể cómột mô hình đại số Bool hoàn chỉnh cần thỏa các điều kiện sau:

• Các phần tử của tập S

• Các quy tắc hoạt động của các phép toán nhị phân

• Phần tử tập S kết hợp với hai phép toán phải thỏa 6 định lý Huntington

Do vậy, tùy vào cách chọn các phần tử của tập S và các quy tắc tắc hoạt độngcủa các phép toán mà ta có thể tạo ra các đại số Bool khác nhau Trong giới hạn tiểuluận này, tôi chỉ xét đến đại số Bool hai giá trị do nó được ứng dụng nhiều trong lýthuyết tập hợp và logic mệnh đề Ngoài ra đại số Bool hai giá trị cũng là nền tảngquan trọng trong thiết kế mạch số

2.4 ĐẠI SỐ BOOL HAI GIÁ TRỊ

Đại số Bool hai giá trị được định nghĩa trên một tập chỉ có hai phần tử S = {0,1} với các quy tắc cho phép toán (+), phép toán (.) và phép bù được trình bày nhưbên dưới

Hình 2.1: Quy tắc phép (+) trong đại số Bool hai giá trị.

Hình 2.2: Quy tắc phép (.) trong đại số Bool hai giá trị

Hình 2.3: Quy tắc phép bù trong đại số Bool hai giá trị

Các quy tắc này giống với phép OR, AND và NOT trong logic mệnh đề Và tacũng có thể kiểm tra dễ dàng các quy tắc này thỏa mãn sáu định lý Hutington đã nêu

ở trên

Để cho đơn giản từ đây trở đi ta quy ước rằng đại số Bool chính là đại số Boolhai giá trị được áp dụng với tập S = {0, 1} và các quy tắc cho phép (+) và phép (.)như trên

2.5 CÁC TÍNH CHẤT CỦA ĐẠI SỐ BOOL

Dưới đây là các quan hệ cơ bản của đại số Bool

Ứng với mỗi tính chất đều áp dụng cho 2 phép toán AND và OR Cột bên tráinhấn mạnh cho phép toán AND và cột bên phải nhấn mạnh cho phép toán OR vàđược gọi là nguyên lý đối tính Đây là một thuộc tính của đại số Bool và có ứngdụng quan trọng trong việc nghiên cứu logic và hiện thực các hàm logic với cácthiết bị vật lý.

Trong các tính chất trên thì tính chất cuối cùng được gọi là luật De Morgan.Luật này quan trọng do nó cho phép chuyển đổi các toán tử Bool từ AND sang OR

và ngược lại

2.6 HÀM BOOL

Các biến nhị phân có hai giá trị, 0 hoặc 1 Hàm Bool được tạo thành từ cácbiến nhị phân, các phép toán hai ngôi AND và OR, phép toán một ngôi NOT, cácdấu ngoặc đơn và dấu bằng Giá trị của hàm Bool có thể là 0 hoặc 1 phụ thuộc vàogiá trị của các biến có mặt trong hàm Bool Ví dụ ta có hàm Bool:

F = AB’Cthì F có giá trị bằng 1 khi A = 1, B = 0 và C = 1; các giá trị khác của A, B , C

ta được kết quả F bằng 0

Hàm Bool cũng có thể được biểu diễn bằng bảng chân trị Một bảng chân trị làbảng chứa tất cả các giá trị của hàm Bool tương ứng với tất cả các giá trị có thể củacác biến có trong hàm Bool Với một hàm Bool có n biến thì sẽ có 2n bộ các giá trị

có thể kết hợp với nha Ví dụ ta có một hàm Bool F = AB + C có bảng chân trị nhưhình dưới

có được bởi các hàm logic và các biến logic ở dạng nhị phân Một hàm logic bất kỳ

có thể được biểu diễn ở các dạng sau:

• Dạng tổng các tích (Sum of the Products - SOP).

• Dạng tích các tổng (Procduc of the Sums - POS)

• Dạng tích: Trong đại số Bool, một hàm phụ thuộc vào tích logic của các biếnkhác nhau được gọi là dạng tích Nói cách khác, hàm AND được gọi là dạng tíchhay tích chuẩn Các biến trong một dạng tích có thể ở dạng thường hay dạng bù Ví

dụ AB’C là một dạng tích

• Dạng tổng: Một hàm OR được gọi là dạng tổng – hàm phụ thuộc vào tổng logiccủa các biến khác nhau Các biến trong dạng tổng cũng có thể ở dạng thường haydạng bù Ví dụ A + B + C’ là một dạng tổng

• Dạng tổng các tích – SOP: Tổng logic của hai hay nhiều dạng tích logic đượcgọi là biểu thức dạng tổng các tích Ví dụ Y = AB + BC + A’C được gọi là biểuthức dạng tổng các tích

• Dạng tích các tổng – POS: Tương tự như SOP, một tích logic của hai hay nhiềudạng tổng logic Ví dụ Y = (A + B + C)(A + B’ + C)(A + B + C’) là một dạng tíchcác tổng

• Dạng chuẩn: Dạng chuẩn của một hàm Bool là khi nó được biểu diễn ở dạngtổng các tích hay tích các tổng

2.7.1 Minterm

Một dạng tích chứa tất cả n biến của hàm bool bất kể ở dạng nào thì được gọi

là một minterm Mỗi minterm được tạo ra bằng phép toán AND các biến ở dạngthường hay dạng bù Với một hàm hai biến, có tất cả là 4 sự kết hợp tạo ra minterm:A’B’, A’B, AB’, AB Các dạng tích này được gọi là tích cơ bản, tích chuẩn hayminterm Trong minterm, một biến sẽ có giá trị 1 nếu ở dạng thường và có giá trị 0nếu ở dạng bù Hình 2.4 là các minterm của một hàm 3 biến

Như ta có thể thấy, một hàm có n biến thì sẽ có 2n minterm Thuộc tính chínhcủa một minterm là nó chỉ có giá trị 1 với duy nhất một tổ hợp của n biến, và có giátrị 0 với 2n – 1 các tổ hợp còn lại Ví dụ với một hàm ba biến như trên nếu A = 0, B

= 1, C = 1 hay tổ hợp đầu vào là 011 thì chỉ có minterm A’BC có giá trị là 1, tất cảcác minterm còn lại có giá trị là 0

Hình 2.4: Các minterm của một hàm 3 biến.

• Dạng chính tắc tổng các tích: Khi một hàm Bool được biểu diễn từ tổng logiccủa tất cả các minterm có trong bảng chân trị có giá trị là 1 thì được gọi là dạngchính tắc tổng các tích Tương tự ta cũng có thể biểu diễn ở dạng rút gọn bằng cáchliệt kê tất cả các mã dạng thập phân các minterm trong hàm có giá trị là 1 Ví dụmột hàm ba biến F có các minterm A’BC, AB’C, ABC’ có giá trị là 1 có thể đượcbiểu diễn như sau:

F(A,B,C) = Σ(3,5,6)

= m3 + m5 + m6

= A’BC + AB’C + ABC’

Trong đó Σ(3,5,6) biểu diễn dạng tổng các các minterm tương ứng với mã thậpphân là 3, 5 và 6

Dạng chính tắc tổng các tích của một hàm logic có thể nhận được bằng thủ tụcsau:

1 Kiểm tra các dạng chuẩn của hàm logic đã cho và chỉ giữ lại các minterm

2 Kiểm tra các biến còn thiếu trong mỗi dạng tích không phải là minterm.Nếu còn thiếu biến X thì nhân tích đó với (X + X’)

3 Nhân tất cả các tích và loại bỏ các minterm bị trùng lặp chỉ giữ lại duy nhấtmột minterm

2.7.2 Maxterm

Tương tự như minterm, một dạng tổng chứa tất cả n biến của hàm bool bất kể

ở dạng nào thì được gọi là một maxterm Mỗi maxterm được tạo ra bằng phép toán

OR các biến ở dạng thường hay dạng bù Với một hàm hai biến, có tất cả là 4 sự kếthợp tạo ra maxterm: A’ + B’, A’ + B, A + B’ và A + B Các dạng tổng này được gọi

là tổng cơ bản, tổng chuẩn hay maxterm Trong maxterm, một biến sẽ có giá trị 0nếu ở dạng thường và có giá trị 1 nếu ở dạng bù Hình 2.5 là các maxterm của mộthàm 3 biến

Hình 2.4: Các maxterm của một hàm 3 biến

Như ta có thể thấy, một hàm có n biến thì sẽ có 2n maxterm Thuộc tính chínhcủa một maxterm là nó chỉ có giá trị 0 với duy nhất một tổ hợp của n biến, và có giátrị 1 với 2n – 1 các tổ hợp còn lại Ví dụ với một hàm ba biến như trên nếu A = 1, B

= 1, C = 0 hay tổ hợp đầu vào là 110 thì chỉ có maxterm A’ + B’ + C có giá trị là 0,tất cả các maxterm còn lại có giá trị là 1