Dãy số có giới hạn bằng 0

Ch¬ng IV: Giíi h¹n a. giíi h¹n cña d·y sè Bµi 1 D·y sè cã giíi h¹n 0 Kiểm tra bài cũ: Em hãy nhắc lại định nghĩa về dãy số Một hàm số u xác định trên tập các số nguyên d'ơng N* đ'ợc gọi là một dãy số vô hạn (hay còn gọi tắt là dãy số) 1). §Þnh nghÜa d y sè cã giíi h¹n 0· : ( ) n n n 1 u − = H·y x¸c ®Þnh c¸c sè h¹ng u 1 ; u 2 , u 3 , u 10 , u 11 , u 23 , u 24 cña d·y sè trªn? ) VÝ dô: Cho d·y sè (u n ) víi ( n 1 u n n − = H·y biÓu diÔn d·y sè trªn d'íi d¹ng khai triÓn? | 1 | 0 | 1 2 | 1 4 | 1 10 | 1 24 | 1 3 | 1 5 | 1 11 | 1 23 Biểu diễn các số hạng của dãy số (u n ) trên trục số ta thấy : 1 1 1 1 1 1 1 1 1; ; ; ; ; ; ; ; ; 2 3 4 5 10 11 23 24 Khi n tăng dần thì khoảng cách từ điểm u n đến điểm 0 thay đổi nh' thế nào ? Khi n tăng thì các điểm biểu diễn chụm lại quanh điểm 0, nghĩa là khoảng cách |u n | từ điểm u n đến điểm 0 trở nên nhỏ bao nhiêu cũng đ'ợc miễn là n đủ lớn. 52515023 24 25 10 11 12 |u n | 21n 1 2 1 10 1 1 11 1 12 1 23 1 24 1 25 1 50 1 51 1 52 Mọi số hạng của dãy số đã cho có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn kể từ số hạng thứ mấy trở đi ? 1 23 Nhìn vào bảng trên hãy nhận xét xem: Mọi số hạng của dãy số đã cho có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn kể từ số hạng thứ mấy trở đi ? 1 10 Mọi số hạng của dãy số có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn , kể từ số hạng thứ 11 trở đi. 1 10 Mọi số hạng của dãy số có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn , kể từ số hạng thứ 24 trở đi. 1 23 Ta có bảng các giá trị t'ơng ứng Nếu mọi số hạng của dãy số đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn một số d'ơng nhỏ tuỳ ý cho tr'ớc, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Ta nói: dãy số có giới hạn là 0 52515023 24 25 10 11 12 1 |u n | 21n 1 2 1 10 1 11 1 12 1 23 1 25 1 50 1 51 1 52 1 24 Với dãy số trên ta thấy, mọi số hạng của dãy số có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn , kể từ số hạng thứ n+1 trở đi. 1 n Nh' vậy: 1 ( , *) n u n m n m N m < > với mọi 1). Định nghĩa d y số có giới hạn 0:ã = = lim( ) 0 hoặc limb) Kí h 0iệu ho : c 0 ặ n n n u u u n Kí hiệu: " " còn đ'ợc viết " ", đọc là: Dãy số có giới hạn là 0 khi n lim 0 l dần đến vô cự im u =0 c n n u = = = ( 1) Ví dụ: Dãy số có giới hạn là T 0 ( 1) la vi t: imế 0 n n n u n n Dãy số (u n ) có giới hạn 0 (hay có giới hạn là 0) nếu với mỗi số d'ơng nhỏ tuỳ ý cho tr'ớc, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn số d'ơng đó. a) Định nghĩa c) NhËn xÐt: * D·y sè kh«ng ®æi (u n ), víi u n = 0 cã giíi h¹n 0. * lim 0 lim 0 n n u u = ⇔ = VÝ dô: 0 n 1 lim = V× : ( ) n 1 n 1 n − = mµ 0 = ( ) 1 lim n n − 2). Một số dãy số có giới hạn 0 = = 3 1 ) lim 0 1 ) lim 0 a n b n a) Bài toán 1: Cho hai dãy số (u n ) và (v n ) nếu với mọi n và lim v n = 0. Chứng minh rằng lim u n = 0 n n u v b) Định lí 1: , lim 0 lim 0 n n n n u v n u v = = Cho hai dãy số (u n ) và (v n ) nếu sin VD1: Chứng minh rằng: lim 0 n n = Giải: 1 Mà: lim n = 0 d y số có giới hạn 0ã = ữ ữ ữ lim 0 Mọi | | đều nhỏ hơn một số d'ơng nhỏ tuỳ ý cho tr'ớc kể từ một số hạng nào đó trở đi n n u u 1 lim 0 n = = = 3 1 lim 0 1 lim 0 n n , lim 0 lim 0 n n n n u v n u v = = sin n n 1 n Ta có < Nên theo định lí 1 ta có: sin lim n n = 0 [...]... lim =0 n 1 lim n = 0 Sai Bài học cần nắm được 1) Định nghĩa dãy số có giới hạn 0 1 1 1 2) lim = 0, lim = 0, lim 3 = 0 n n n 3) Định lí 1: Nếu un vn với mọi n và lim vn = 0 lim un = 0 4) Định lí 2: q < 1 lim q = 0 n Bài 2: Chứng minh rằng hai dãy số (un ) và (vn ) với: 1 un = n ( n + 1) vn ( 1) = n cos n n2 + 1 Có giới hạn 0 Bài 3: Chứng minh rằng các dãy số sau đều có giới hạn 0 a ) un = ( 0, 99... = 0 n = 2 lim ữ 3 2 ( < 1) 3 = 0 dãy số có giới hạn 0 lim un = 0 Mọi |un | đều nhỏ hơn một số ữ dương nhỏ tuỳ ý cho trước ữ kể từ một số hạng nào đó trở đi ữ lim lim 1 n 1 3 n =0 =0 un vn , n lim un = 0 lim vn = 0 1 lim = 0 n Nếu q < 1 thì lim qn = 0 VD: Chứng minh rằng: n cos 5 =0 lim 4n Giải: Vì n cos 3 n 4 n 1 1 n = ữ 4 4 n 1 1 Mà < 1 nê n lim ữ = 0 4 4 Theo định lí 1 ta có: ... có: n lim cos 3 = 0 n 4 dãy số có giới hạn 0 lim un = 0 Mọi |un | đều nhỏ hơn một số ữ dương nhỏ tuỳ ý cho trước ữ kể từ một số hạng nào đó trở đi ữ lim lim 1 n 1 3 n =0 =0 un vn , n lim un = 0 lim vn = 0 1 lim = 0 n Nếu q < 1 thì lim qn = 0 Các mệnh đề sau đúng hay sai? n 2 A) lim ữ =0 3 Đúng n 3 B ) lim ữ =0 2 Sai sin n 1 sin n n n C ) lim =0 n 1 lim n = 0 Đúng sin n 1.. .dãy số có giới hạn 0 lim un = 0 1 VD2: Chứng minh rằng: lim k = 0, k Z+ n Mọi |un | đều nhỏ hơn một số ữ dương nhỏ tuỳ ý cho trước ữ kể từ một số hạng nào đó trở đi ữ 1 lim = 0 n 1 lim =0 n 1 lim 3 = 0 n un vn , n lim un = 0 lim vn = 0 1 lim k = 0 n Giải: Ta có 1 1 1 Với mọi n = nk n nk Mà lim 1 = 0 n Nên theo định lí 1 ta có: lim 1k = 0 n d) Định lý 2: (Thừa... thì lim qn = 0 áp dụng: Tìm giới hạn của các dãy số sau: 1) ( 1) lim n n+5 sin n 2) lim n+5 cos 2n 3) lim n +1 dãy số có giới hạn 0 lim un = 0 Mọi |un | đều nhỏ hơn một số ữ dương nhỏ tuỳ ý cho trước ữ kể từ một số hạng nào đó trở đi ữ VD: Hãy điền vào chỗ trống để đư ợc mệnh đề đúng? n 1 1 a) lim n = lim ữ 2 2 1 lim = 0 n lim 1 n 1 lim 3 n =0 =0 un vn , n lim un = 0 lim vn = 0 b) ( 2)... rằng các dãy số sau đều có giới hạn 0 a ) un = ( 0, 99 ) b) vn ( 1) = n n 2n + 1 n sin 5 c) xn = n ( 1, 01 ) n Bài 4: Cho dãy số (un ) với un = n 3 un +1 2 a) Chứng minh rằng un 3 với mọi n b) Bằng phương pháp quy nạp, chứng minh rằng n 2 0 < un ữ với mọi n 3 c) Chứng minh rằng dãy số (un ) có giới hạn 0 . Dãy số có giới hạn là T 0 ( 1) la vi t: imế 0 n n n u n n Dãy số (u n ) có giới hạn 0 (hay có giới hạn là 0) nếu với mỗi số d'ơng nhỏ tuỳ ý cho tr'ớc, mọi số hạng của dãy số, kể. Mọi số hạng của dãy số đã cho có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn kể từ số hạng thứ mấy trở đi ? 1 10 Mọi số hạng của dãy số có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn , kể từ số hạng thứ 11 trở đi. 1 10 Mọi số hạng. một số hạng nào đó trở đi. Ta nói: dãy số có giới hạn là 0 5251 502 3 24 25 10 11 12 1 |u n | 21n 1 2 1 10 1 11 1 12 1 23 1 25 1 50 1 51 1 52 1 24 Với dãy số trên ta thấy, mọi số hạng của dãy