Viết phương trình tiếp tuyến với C, biết rằng tiếp tuyến đó đi qua giao điểm của 2 đường tiệm cận.. Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M∈ C , biết tiếp tuyến cắt 2 trục tọa độ tạo thà
Trang 1HDG CÁC BTVN TIẾP TUYẾN HÀM PHÂN THỨC
Câu I: Cho hàm số 1
2 1
x y x
− +
= + (C)
I.1 Viết phương trình tiếp tuyến đi qua điểm M(2 ; 3) đến (C)
I.2 Viết phương trình tiếp tuyến với (C), biết rằng tiếp tuyến đó đi qua giao điểm của 2 đường tiệm cận I.3 Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M∈( )C , biết tiếp tuyến cắt 2 trục tọa độ tạo thành 1 tam giác
có diện tích bằng 1
I.4 Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M∈( )C , biết tiếp tuyến cắt 2 trục tọa độ tạo thành 1 tam giác cân
Giải:
Tập xác định: \ 1
2
= −
D R Ta có: ( )2
3
2 1
−
= < ∀ ∈ +
x
Bài 1:
Vì đường thẳng x = 2 không là tiếp tuyến của (C), nên phương trình đường thẳng đi qua M (2; 3) có hệ
số góc k có dạng: y k x = ( − + 2 ) 3 tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ:
( ) ( )2
1
2 3
2 1
3
2 1
x
k x x
k x
− +
+
Thế k từ pt thứ hai vào pt đầu ta được:
( )2 ( ) 2
x
: Vô nghiệm Vậy không có tiếp tuyến nào đi qua M đến (C)
Bài 2:
Hàm số có: TCĐ:
1 2
x= −
; TCN:
1 2
y= − 1; 1
2 2
⇒ − − ÷
Trang 2Vì đường thẳng
1 2
x = −
không là tiếp tuyến của (C), nên phương trình đường thẳng đi qua
1 1
;
2 2
I − −
có hệ số góc k có dạng:
y k x= + +
tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ:
3
x
k x
x
k x
Thế k từ pt thứ hai vào pt đầu ta được:
( )2 ( )
x
x
− + = − + − ⇔ = −
:Vô nghiệm
Vậy không có tiếp tuyến nào đi qua I đến (C)
Bài 3:
Gọi
( )
0
0
;
x
Tiếp tuyến tại M có dạng:
( 0)
:
Giả sử A d= ∩Ox;B d= ∩Oy suy ra:
( )
0
;0 ; 0;
3
x
−
OAB
0
OAB
S∆ OA OB x
0 0
3
Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa mãn là:
20
40 12 6
20
40 12 6
+
Bài 4:
Trang 3Tiếp tuyến cắt 2 trục tọa độ tạo thành một tam giác cân nên hệ số góc của tiếp tuyến là k = ± 1 Gọi ( 0; 0) ( )
M x y ∈ C
là tiếp điểm
0
2
x
+
tiếp tuyến là: y= − − −x 1 3
x = − + ⇒ y = − + ⇒
tiếp tuyến là: y = − − + x 1 3
2 0 2
0
3
2 1
x
−
Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa mãn bài toán là: y= − − −x 1 3 và y= − − +x 1 3
Câu II : Cho hàm số ( m 1 ) x m
y
x m
=
− ( ) Cm
II.1 CMR đồ thị hàm số luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định tại 1 điểm cố định.
II.2 Tiếp tuyến tại M∈( )C m cắt 2 tiệm cận tại A, B CMR M là trung điểm của AB
II.3 Cho điểm M x , y( 0 0)∈( )C Tiếp tuyến của 3 ( )C tại M3 cắt các tiệm cận của (C) tại các điểm A và
B Chứng minh diện tích tam giác AIB không đổi, I là giao của 2 tiệm cận
Tìm M để chu vi tam giác AIB nhỏ nhất
Giải:
Bài 1:
Gọi M x y( 0; 0) là điểm cố định của hàm số ( ) 0
0
0
1
;
x m
−
⇔ + + − + = ∀
Trang 4
Với M (0; 1− ), tiếp tuyến tại M là: y= y' 0( ) x− = − −1 x 1
Vậy đồ thị hàm số luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định y = − − x 1 tại M ( 0; 1 − )
Bài 2:
Ta có:
2
1 m
y m
x m
− TCĐ: x m = và TCN: y m = − 1
Gọi M a m m ; 1 m2 ( ) Cm , a 0
a
Gọi A, B là giao điểm của đường thẳng d với TCN, TCĐ tương ứng nên:
A a m m ( 2 ; 1 ; ) B m m ; 1 2 m2
a
2
x x x
y y y
+ =
Bài 3:
Điểm ( )3
3
α
Phương trình tiếp tuyến của M có dạng: 92 18 272
Gọi A, B là giao điểm của đường thẳng d với TCN, TCĐ tương ứng nên:
( 2 3; 2 ; ) 3; 2 18
a
α + + ÷
Vì I là giao điểm của 2 tiệm cận nên I( )3; 2
2 18
IAB
α
+ Chu vi tam giác IAB là:
2 2
p IA IB AB α α
α α
Trang 5
2 2
Dấu = xảy ra 2α 18 α 3
α
⇔ = ⇔ = ± ⇔M( )6;5 hoặc M(0; 1− )
……….Hết………
Nguồn: hocmai.vn