Các bài toán về phép đếm

Bài 3. Các bài toán về phép ñếm – Khóa LTðH ñảm bảo _ Thầy Phan Huy Khải Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1 BTVN BÀI CÁC BÀI TOÁN VỀ PHÉP ðẾM Bài 1: Từ các số 1,2,3,4,5,6 có thể lập ñược bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số có 6 chữ số và thõa mãn ñiều kiện: Sáu chữ số của mỗi số là khác nhau và tổng của 3 chữ số ñầu kém tổng của 3 chữ số sau là 1 ñơn vị? Giải Giả sử số có 6 chữ số là: 1 2 3 4 5 6 = a a a a a a AB Trong ñó: 6 1 2 3 1 4 5 6 21 10 11 1 =  = + + + = = =    ⇒ ⇒    = + + =    − = −  ∑ k A a a a A B k A B a a a B A B Xét các khả năng làm xuất hiện bộ 3 số có tổng là 10 thì có: 1 3 6 1 4 5 2 3 5 = + + = + + = + + A Với mỗi bộ 3 số ta có: 3! Cách chọn A và 3! Cách chọn B tương ứng Khi ấy có : 3!.3!=36 cách. Vậy có tất cả: 3.36=108 (số) Bài 2: Từ 9 số 0,1,2,…,8 có thể lập ñược bao nhiêu số tự nhiên chẵn mỗi số gồm 7 chữ số khác nhau. Giải Ta có 2 trường hợp sau: • TH1: 1 2 3 4 5 6 0 a a a a a a Như vậy 6 vị trí còn lại ñược chọn (có thứ tự) từ 8 số kia ( khác 0) Có: 6 8 20160 =A • TH2: 1 2 3 4 5 6 7 a a a a a a a với { } 7 2;4;6;8 ∈a Vậy có 4 cách chọn a 7 Và 6 vị trí còn lại ñược chọn (có thứ tự) từ 8 số kia nhưng loại ñi những số ñứng ñầu là số 0. Vậy có: 6 5 8 7 4( ) 70560 − =A A Bài 3. Các bài toán về phép ñếm – Khóa LTðH ñảm bảo _ Thầy Phan Huy Khải Page 2 of 5 Vậy có tất cả: 20160+70560=90720 (số) Bài 3: Từ 5 bông hồng vàng, 3 bông hồng trắng và 4 bông hồng ñỏ ( các bông hồng này xem như ñôi một khác nhau), người ta muốn chọn ra 1 bó hoa gồm 7 bông: a) Có mấy cách chọn bó hoa trong ñó có ñúng 1 bông ñỏ. b) Có mấy cách chọn bó hoa trong ñó có ít nhất 3 bông vàng và ít nhất 3 bông ñỏ? Giải: a) Có 3 khả năng xảy ra là: ( ) ( ) ( ) * 1 ;3 ;3 * 1 ; 2 ; 4 * 1 ;1 ;5      D T V D T V D T V Vậy có tất cả: 1 3 3 1 2 4 1 1 5 4 3 5 4 3 5 4 3 5 . . . . . . 112 + + =C C C C C C C C C b) Cũng có 3 khả năng là: ( ) ( ) ( ) * 3 ;3 ;1 * 3 ; 4 * 4 ;3      V D T V D V D Vậy có tất cả: 3 3 1 3 4 4 3 4 5 3 5 4 5 4 . . . . 150 + + =C C C C C C C Bài 4: Có 12 giống cây 3 loại: Xoài, mít, ổi .Trong ñó có 6 xoài, 4 mít, 2 ổi. Chọn ra 6 giống ñể trồng. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ñể số cậy mít nhiều hơn số cây ổi? Giải: Có 3 trường hợp lien quan ñến việc chịn ra cây ổi: • TH1: ( Không có ổi) Vì: 6=4+2 nên chỉ có 4 mít và 2 xoài. Vậy có: 4 2 4 6 . 15 = C C • TH2: ( Có 1 ổi). Vì: 5=4+1=3+2 nên có 3 mít và 1 xoài, hay 3 mít và 2 xoài. Vậy có: 1 4 1 1 3 2 2 4 6 2 4 6 . . . 132 + =C C C C C C • TH3: (Có 2 ổi). Vì: 4=3+1 nên chỉ có 3 mít và 1 xoài. Vậy có: 2 3 1 2 4 6 . . 24 = C C C Vậy có tất cả: 15+132+24=171 (cách) Bài 3. Các bài toán về phép ñếm – Khóa LTðH ñảm bảo _ Thầy Phan Huy Khải Page 3 of 5 Bài 5: Một ñội văn nghệ có 15 người gồm: 10 nam và 5 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách lập 1 ñội văn nghệ gồm 8 người, sao cho có ít nhất 3 nữ? Giải: Số cách chọn ngẫu nhiên 8 người là: 8 15 C Xét 3 trường hợp: • Không có nữ: Có 8 10 C • Có 1 nữ: Có 1 7 5 10 . C C • Có 2 nữ: Có 2 6 5 10 . C C Vậy có tất cả: ( ) 8 8 1 7 2 6 15 10 5 10 5 10 . . 3690 − + + =C C C C C C Bài 6: Có bao nhiêu số lẻ có 6 chữ số chia hết cho 9. Giải: 6 1 2 3 4 5 6 1 9 9 =   ⇔     ∑ ⋮ ⋮ k k a a a a a a a Chúng là: 100008;100017;100028;…;999999 Như vậy ta thấy các chữ số lẻ có 6 chữ số chia hết cho 9 lập thành 1 cấp số cộng: 1 100017 999999 ( 1) 999999 18( 1) 50000 18 =   = ⇒ = − ⇔ = − ⇔ =   =  n n u u u n d n n d Vậy có 50000 số thõa mãn. Bài 7: Có bao nhiêu số gồm 5 chữ số. Sao cho tổng các chữ số của mỗi số là số lẻ. Giải: Vì : Lẻ= chẵn + lẻ nên: Khi xét số có 5 chữ số: 1 2 3 4 5 a a a a a ta có 2 khả năng: • Nếu 1 2 3 4 + + + a a a a chẵn thì { } 5 1;3;5;7;9 =a • Nếu 1 2 3 4 + + + a a a a lẻ thì { } 5 0;2;4;6;8 =a Mặt khác: Số các chữ số có 4 chữ số 1 2 3 4 a a a a là: 3 9.10.10.10 9.10 = Bài 3. Các bài toán về phép ñếm – Khóa LTðH ñảm bảo _ Thầy Phan Huy Khải Page 4 of 5 Mà mỗi số ñó sinh ra 5 số có 5 chữ số. Vậy có tất cả là: 3 5.9.10 45000 = (Số) Bài 8: Một tổ học sinh có 20 em, trong ñó 8 em chỉ biết tiếng Anh, 7 em chỉ biết tiếng Pháp, 5 em chỉ biết tiếng ðức. Cần lập 1 nhóm ñi thực tế gồm 3 em biết tiếng Anh, 4 em biết tiếng Pháp và 2 em biết tiếng ðức. Hỏi có bao nhiêu cách lập nhóm? Giải: ðể lập nhóm ta tiến hành 3 bước: • Chọn 3 em biết tiếng Anh từ 8 em: Có 3 8 C cách • Chọn 4 em biết tiếng Pháp từ 7 em: Có 4 7 C cách • Chọn 2 em biết tiếng ðức từ 5 em: Có 2 5 C cách Vậy có tất cả: 3 4 2 8 7 5 . . 19600 =C C C ( Cách) Bài 9: Có 5 tem thư khác nhau và 6 bì thư cũng khác nhau, người ta muốn chọn từ ñó ra 3 tem thư, 3 bì thư và dán 3 tem thư ấy vào 3 bì thư ñã chọn ( Mỗi bì thư chỉ dán 1 tem). Có bao nhiêu cách làm như vậy? Giải: Ta có: • Số cách chọn tem thư là: 3 5 C • Số cách chọn bì thư là: 3 6 C • 3! Cách dán tem. Vậy số cách làm là: 3 3 5 6 . .3! 1200 =C C Bài 10: Có nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số trong ñó có 2 chữ số kề nhau phải khác nhau? Giải: ðặt: { } 0;1;2 ;9 =E và số có 5 chữ số là: 1 2 3 4 5 1 ; 1;5 0 α  =   ∈ =   ≠   i a a a a a a E i a Ta có: a 1 ñượ c ch ọ n t ừ t ậ p E\{0} => Có 9 cách. Bài 3. Các bài toán về phép ñếm – Khóa LTðH ñảm bảo _ Thầy Phan Huy Khải Page 5 of 5 a 2 ñượ c ch ọ n t ừ t ậ p E\{ a 1 } => Có 9 cách. a 3 ñượ c ch ọ n t ừ t ậ p E\{ a 2 } => Có 9 cách. a 4 ñượ c ch ọ n t ừ t ậ p E\{ a 3 } => Có 9 cách. A 5 ñượ c ch ọ n t ừ t ậ p E\{ a 4 } => Có 9 cách. V ậ y s ố các s ố thõa mãn là: 9.9.9.9.9=59049 ………………….Hết………………… Nguồn: Hocmai.vn . Bài 3. Các bài toán về phép ñếm – Khóa LTðH ñảm bảo _ Thầy Phan Huy Khải Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1 BTVN BÀI CÁC BÀI TOÁN VỀ PHÉP ðẾM Bài 1: Từ các số 1,2,3,4,5,6. 15+132+24=171 (cách) Bài 3. Các bài toán về phép ñếm – Khóa LTðH ñảm bảo _ Thầy Phan Huy Khải Page 3 of 5 Bài 5: Một ñội văn nghệ có 15 người gồm: 10 nam và 5 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách lập. t ậ p E{0} => Có 9 cách. Bài 3. Các bài toán về phép ñếm – Khóa LTðH ñảm bảo _ Thầy Phan Huy Khải Page 5 of 5 a 2 ñượ c ch ọ n t ừ t ậ p E{ a 1 } => Có 9 cách. a 3 ñượ c ch ọ n