Các bài toán về phép đếm (Bài tập và hướng dẫn giải)

TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 Hà Nội, ngày 11 tháng 04 năm 2010 BTVN NGÀY 11-04 Các bài toán về phép đếm Bài 1: Từ các số 1,2,3,4,5,6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số có 6 chữ số và thõa mãn điều kiện: Sáu chữ số của mỗi số là khác nhau và tổng của 3 chữ số đầu kém tổng của 3 chữ số sau là 1 đơn vị? Bài 2: Từ 9 số 0,1,2,…,8 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn mỗi số gồm 7 chữ số khác nhau. Bài 3: Từ 5 bông hồng vàng, 3 bông hồng trắng và 4 bông hồng đỏ ( các bông hồng này xem như đôi một khác nhau), người ta muốn chọn ra 1 bó hoa gồm 7 bông: a) Có mấy cách chọn bó hoa trong đó có đúng 1 bông đỏ. b) Có mấy cách chọn bó hoa trong đó có ít nhất 3 bông vàng và ít nhất 3 bông đỏ? Bài 4: Có 12 giống cây 3 loại: Xoài, mít, ổi .Trong đó có 6 xoài, 4 mít, 2 ổi. Chọn ra 6 giống để trồng. Hỏi có bao nhiêu cách chọn để số cậy mít nhiều hơn số cây ổi? Bài 5: Một đội văn nghệ có 15 người gồm: 10 nam và 5 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách lập 1 đội văn nghệ gồm 8 người, sao cho có ít nhất 3 nữ? Bài 6: Có bao nhiêu số lẻ có 6 chữ số chia hết cho 9. Bài 7: Có bao nhiêu số gồm 5 chữ số. Sao cho tổng các chữ số của mỗi số là số lẻ. Bài 8: Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1 TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 Hà Nội, ngày 11tháng 04 năm 2010 Một tổ học sinh có 20 em, trong đó 8 em chỉ biết tiếng Anh, 7 em chỉ biết tiếng Pháp, 5 em chỉ biết tiếng Đức. Cần lập 1 nhóm đi thực tế gồm 3 em biết tiếng Anh, 4 em biết tiếng Pháp và 2 em biết tiếng Đức. Hỏi có bao nhiêu cách lập nhóm? Bài 9: Có 5 tem thư khác nhau và 6 bì thư cũng khác nhau, người ta muốn chọn từ đó ra 3 tem thư, 3 bì thư và dán 3 tem thư ấy vào 3 bì thư đã chọn ( Mỗi bì thư chỉ dán 1 tem). Có bao nhiêu cách làm như vậy? Bài 10: Có nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số trong đó có 2 chữ số kề nhau phải khác nhau? ………………….Hết……………… BT Viên môn Toán hocmai.vn Trịnh Hào Quang Page 2 of 12 TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 Hà Nội, ngày 11tháng 04 năm 2010 HDG CÁC BTVN • BTVN NGÀY 08-04 Bài 1 : Chứng minh rằng với , ;2k n k n ∈ ≤ ≤ ¥ luôn có: 1 2 3 4 4 4 6 4 k k k k k k n n n n n n C C C C C C − − − − + + + + + = Giải: ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 3 3 4 1 2 3 1 1 2 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 ó : 3 3 3 3 2 2 k k k k k k k k n n n n n n n n k k k k k k k k k k n n n n n n n n n n k k k k k k k k k n n n n n n n n n Ta c VT C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C − − − − − − − − − − − − − − − + + + + + + + + + + − − − − − − + + + + + + + + + = + + + + + + + = + + + = + + + + + = + + = + + + = + 1 4 k n C VP DPCM + = = ⇒ Bài 2 : Chứng minh rằng: 1 2 3 2 3 2 3 2 5 4 k k k k k k n n n n n n C C C C C C + + + + + + + + + + = + Giải: ( ) 1 2 1 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 3 1 1 2 2 3 1 2 3 1 2 2 3 2 3 1 1 1 1 1 1 1 2 2 ó : 2 3 3 2 2 k k k k k k k k k k n n n n n n n n n n k k k k k k k k k k n n n n n n n n n n k k k k k k k k k n n n n n n n n n Ta c C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + = + + + = + = + + + = + + + + + = + + = + + + = + = 3 3 1 2 3 2 3 2 3 2 5 4 k n k k k k k k n n n n n n C C C C C C + + + + + + + + + ⇒ + + + = + Bài 3 : Tính giá trị của biểu thức sau: 0 2009 1 2008 2010 2009 0 2010 2010 2010 2009 2010 2010 2010 1 . . k k k S C C C C C C C C − − = + + + + + Page 3 of 12 TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 Hà Nội, ngày 11tháng 04 năm 2010 Giải: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2009 2010 2010 2009 0 1 2009 2009 2010 2009 2009 2009 2009 2010 ! 2010! 2010! 2010.2009! ó : . ! 2010 ! (2009 )! ! 2009 ! ! 2009 ! 2010 2010 . . 2010(1 1) 1005.2 k k k k k k Ta c C C k k k k k k k C S C C C C − − − = = = − − − − = ⇒ = + + + + + = + = Bài 4 : Với n, k là số nguyên dương và 1 k n ≤ ≤ . Chứng minh rằng: 0 1 1 2 2 1 2 0 . ( 1) 0 k k k k n k n n n n n n n C C C C C C C C − − − − − − + − + − = Giải: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ! ! ! ! . . ! ! ! ! ! ! ! ! 1 0 1 2 2 1 . ó: . . 0 1 1 2 2 2 1 . 1 2 0 0 1 1 2 2 . ( 1) 1 2 0 n m k n n m k m k n k m n m k m n k Thay x k k k x C C x C x C x k k k k m k Ta c C C n k m k m C C n n m k k k k k k n k k C x C C C C x C C x C C x n n n n n n n n k k k k n C C C C C C C C n n n n n n n − = − − − − − = ⇒ = − ⇒ + = + + + + = − − − − − + = + + + + − − − − − + − + − − − 0 k DPCM − = ⇒ • BTVN NGÀY 09-04 Bài 1: Tìm2 số tự nhiên x, y sao cho: 1 1 1 : : 6 :5: 2 y y y x x x C C C + − + = Giải: Page 4 of 12 TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 Hà Nội, ngày 11tháng 04 năm 2010 Điều kiện: 1 1 1 1 0 1 (1) 1 6 5 0 1 1 0 1 (2) 5 2 1 ( 1)! 1 ! (1) . . 5( 1)( 1) 6( )( 1) 6 !( 1)! 5 ( 1)!( 1)! 1 ! 1 ! (2) . . 2( )( 5 ( 1)!( 1)! 2 ( 1)!( 1)! y y x x y y x x C C y x y y x x y C C y x x x x y x y x y y x y y x y x x x y x y x y y x y + + + −  ≤ ≤ +  =  ≥    ≤ + ≤ ⇔ ⇔    ≥ +    ≤ − ≤ =    + ⇔ = ⇔ + + = − − + − + + − − ⇔ = ⇔ − − + − − − − + 1) 5 ( 1) 5( 1)( 1) 6( )( 1) 5( 1)( 1) 15 ( 1) 1 3 2( )( 1) 5 ( 1) 3 1 ào(4) 2(2 1)(2 ) 5 ( 1) 4(2 1) 5 5 3 8 {(8;3)} y y y x y x y x y x y y y x y x y x y y y x y thay v y y y y y y y x S + = + + + = − − +  ⇔ ⇔ + + = + ⇔ + =  − − + = +  ⇒ = − ⇒ − = + ⇔ − = + ⇔ = ⇒ = ⇒ = Bài 2: Giải hệ phương trình sau: ( ) 2 50 , 5 2 80 y y x x y y x x A C x y A C  + =  ∈  − =   ¥ Giải Đặt: 2 5 2 80 20 2 50 10 ! 20 ! 2 ( 1) 20 ( )! 20 0 ! 20 ! 2 2 10 ( )! !( )! 5 2 y x y x a A a b a a b b b C x y x x x y x x x x y y x y y x y x y  = − = =    ⇒ ⇒    + = = =      = =   − = −  − − =    ⇒ ⇒ ⇒ ⇔     = = =     = −   −  =  ⇔  =  Bài 3: Giải bất phương trình: Page 5 of 12 TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 Hà Nội, ngày 11tháng 04 năm 2010 4 3 2 1 1 2 5 0 ( ) 4 n n n C C A n − − − − − < ∈ ¥ Giải Điều kiện: { } 2 1 4 1 3 5 2 2 ( 1)! ( 1)! 5( 2)! 1 1 5 0 0 ( 1)!4! ( 4)!3! 4( 4)! 24 6( 4) 4( 4) ( 1)( 4) 4( 1) 30 0 9 22 0 5 11 5;6;7;8;9;10 n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n S − ≥   − ≥ ⇒ ≥   − ≥  − − − − − ⇒ − − < ⇔ − − < − − − − − ⇔ − − − − − < ⇔ − − < ⇔ ≤ < ⇒ = Bài 4: Giải hệ phương trình sau: ( ) 2 3 3 2 22 , 66 x y y x A C x y A C  + =  ∈  + =   ¥ Giải 2 2 2 2 3 3 3 3 2 3 1 1 22 6 132 2! 2 6 ì : . : 1 1 2 132 66 3! 6 2 ! 12 12 6 132 12 ( 2)! 5 60 ! 60 60 ( 3)! x x x x y y x y x y b C A A a a A a b V Coi a b a b A C A A b x A a b a x b a b y A x   = = + =    = + =     ⇒ ⇔     + = =      = = + =      =   = + = = −     ⇔ ⇔⇔ ⇔ ⇔     = = =      =  −  Page 6 of 12 TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 Hà Nội, ngày 11tháng 04 năm 2010 ( ) { } 2 4 ( 1) 12 4 ( 1)( 2) 60 5 ( 5)( 2 12) 0 4;5 x x x x y y y y y y y S = − = =    ⇔ ⇔ ⇔    − − = = − + + =    ⇒ = Bài 5: Giải PT: 1 2 20 2 1 2 1 2 1 . 2 1 ( ) n n n n C C C n + + + + + + = − ∈ ¥ Giải ( ) 1 2 20 2 1 2 1 2 1 2 1 0 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 0 1 0 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 20 1 2 1 . 2 1 ì :(1 1) . . : ( 0;2 1) 2 2 . . 2 2 1 . n n n n n n n n n n n n n k n k n n n n n n n n n n n n n C C C V C C C C C Do C C k n C C C C C C C + + + + + + + + + + + + − + + + + + + + + + + + + + = − + = + + + + + + = ∀ = + ⇒ = + + + ⇒ + + + = ⇒ − = + 2 2 20 2 1 2 1 2 2 10 n n n n C n + + = − ⇒ = ⇒ = • BTVN NGÀY 11-04 Bài 1: Từ các số 1,2,3,4,5,6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số có 6 chữ số và thõa mãn điều kiện: Sáu chữ số của mỗi số là khác nhau và tổng của 3 chữ số đầu kém tổng của 3 chữ số sau là 1 đơn vị? Giải Giả sử số có 6 chữ số là: 1 2 3 4 5 6 a a a a a a AB= Trong đó: 6 1 2 3 1 4 5 6 21 10 11 1 k A a a a A B k A B a a a B A B =  = + + + = = =    ⇒ ⇒    = + + =    − = −  ∑ Xét các khả năng làm xuất hiện bộ 3 số có tổng là 10 thì có: 1 3 6 1 4 5 2 3 5A = + + = + + = + + Với mỗi bộ 3 số ta có: 3! Cách chọn A và 3! Cách chọn B tương ứng Page 7 of 12 TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 Hà Nội, ngày 11tháng 04 năm 2010 Khi ấy có : 3!.3!=36 cách. Vậy có tất cả: 3.36=108 (số) Bài 2: Từ 9 số 0,1,2,…,8 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn mỗi số gồm 7 chữ số khác nhau. Giải Ta có 2 trường hợp sau: • TH1: 1 2 3 4 5 6 0a a a a a a Như vậy 6 vị trí còn lại được chọn (có thứ tự) từ 8 số kia ( khác 0) Có: 6 8 20160A = • TH2: 1 2 3 4 5 6 7 a a a a a a a với { } 7 2;4;6;8a ∈ Vậy có 4 cách chọn a 7 Và 6 vị trí còn lại được chọn (có thứ tự) từ 8 số kia nhưng loại đi những số đứng đầu là số 0. Vậy có: 6 5 8 7 4( ) 70560A A − = Vậy có tất cả: 20160+70560=90720 (số) Bài 3: Từ 5 bông hồng vàng, 3 bông hồng trắng và 4 bông hồng đỏ ( các bông hồng này xem như đôi một khác nhau), người ta muốn chọn ra 1 bó hoa gồm 7 bông: c) Có mấy cách chọn bó hoa trong đó có đúng 1 bông đỏ. d) Có mấy cách chọn bó hoa trong đó có ít nhất 3 bông vàng và ít nhất 3 bông đỏ? Giải: a) Có 3 khả năng xảy ra là: Page 8 of 12 TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 Hà Nội, ngày 11tháng 04 năm 2010 ( ) ( ) ( ) * 1 ;3 ;3 * 1 ;2 ;4 * 1 ;1 ;5 D T V D T V D T V      Vậy có tất cả: 1 3 3 1 2 4 1 1 5 4 3 5 4 3 5 4 3 5 . . . . . . 112C C C C C C C C C + + = b) Cũng có 3 khả năng là: ( ) ( ) ( ) * 3 ;3 ;1 * 3 ;4 * 4 ;3 V D T V D V D      Vậy có tất cả: 3 3 1 3 4 4 3 4 5 3 5 4 5 4 . . . . 150C C C C C C C + + = Bài 4: Có 12 giống cây 3 loại: Xoài, mít, ổi .Trong đó có 6 xoài, 4 mít, 2 ổi. Chọn ra 6 giống để trồng. Hỏi có bao nhiêu cách chọn để số cậy mít nhiều hơn số cây ổi? Giải: Có 3 trường hợp lien quan đến việc chịn ra cây ổi: • TH1: ( Không có ổi) Vì: 6=4+2 nên chỉ có 4 mít và 2 xoài. Vậy có: 4 2 4 6 . 15C C = • TH2: ( Có 1 ổi). Vì: 5=4+1=3+2 nên có 3 mít và 1 xoài, hay 3 mít và 2 xoài. Vậy có: 1 4 1 1 3 2 2 4 6 2 4 6 . . . 132C C C C C C + = • TH3: (Có 2 ổi). Vì: 4=3+1 nên chỉ có 3 mít và 1 xoài. Vậy có: 2 3 1 2 4 6 . . 24C C C = Vậy có tất cả: 15+132+24=171 (cách) Bài 5: Page 9 of 12 TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 Hà Nội, ngày 11tháng 04 năm 2010 Một đội văn nghệ có 15 người gồm: 10 nam và 5 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách lập 1 đội văn nghệ gồm 8 người, sao cho có ít nhất 3 nữ? Giải: Số cách chọn ngẫu nhiên 8 người là: 8 15 C Xét 3 trường hợp: • Không có nữ: Có 8 10 C • Có 1 nữ: Có 1 7 5 10 .C C • Có 2 nữ: Có 2 6 5 10 .C C Vậy có tất cả: ( ) 8 8 1 7 2 6 15 10 5 10 5 10 . . 3690C C C C C C − + + = Bài 6: Có bao nhiêu số lẻ có 6 chữ số chia hết cho 9. Giải: 6 1 2 3 4 5 6 1 9 9 k k a a a a a a a =   ⇔  ÷   ∑ M M Chúng là: 100008;100017;100028;…;999999 Như vậy ta thấy các chữ số lẻ có 6 chữ số chia hết cho 9 lập thành 1 cấp số cộng: 1 100017 999999 ( 1) 999999 18( 1) 50000 18 n n u u u n d n n d =   = ⇒ = − ⇔ = − ⇔ =   =  Vậy có 50000 số thõa mãn. Bài 7: Có bao nhiêu số gồm 5 chữ số. Sao cho tổng các chữ số của mỗi số là số lẻ. Page 10 of 12 [...]... (094)-2222-408 • Số cách chọn tem thư là: • Số cách chọn bì thư là: C53 3 C6 • 3! Cách dán tem Vậy số cách làm là: C5 C6 3! = 1200 3 3 Bài 10: Có nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số trong đó có 2 chữ số kề nhau phải khác nhau? Giải: α = a1a2 a3a4 a5   Đặt: E = { 0;1; 2 ;9} và số có 5 chữ số là: ai ∈ E ; i = 1;5 a ≠ 0  1  Ta có: a1 được chọn từ tập E\{0} => Có 9 cách a2 được chọn từ tập E\{ a1} => Có 9 cách a3... 3 bước: C83 cách • Chọn 3 em biết tiếng Anh từ 8 em: Có • Chọn 4 em biết tiếng Pháp từ 7 em: Có C7 cách • Chọn 2 em biết tiếng Đức từ 5 em: Có 4 C52 cách 3 4 2 Vậy có tất cả: C8 C7 C5 = 19600 ( Cách) Bài 9: Có 5 tem thư khác nhau và 6 bì thư cũng khác nhau, người ta muốn chọn từ đó ra 3 tem thư, 3 bì thư và dán 3 tem thư ấy vào 3 bì thư đã chọn ( Mỗi bì thư chỉ dán 1 tem) Có bao nhiêu cách làm như... 0  1  Ta có: a1 được chọn từ tập E\{0} => Có 9 cách a2 được chọn từ tập E\{ a1} => Có 9 cách a3 được chọn từ tập E\{ a2} => Có 9 cách a4 được chọn từ tập E\{ a3} => Có 9 cách A5 được chọn từ tập E\{ a4} => Có 9 cách Vậy số các số thõa mãn là: 9.9.9.9.9=59049 ………………….Hết………………… BT Viên môn Toán hocmai.vn Trịnh Hào Quang Page 12 of 12 ... 4;6;8} Mặt khác: Số các chữ số có 4 chữ số a1a2 a3 a4 là: 9.10.10.10 = 9.103 Mà mỗi số đó sinh ra 5 số có 5 chữ số Vậy có tất cả là: 5.9.103 = 45000 (Số) Bài 8: Một tổ học sinh có 20 em, trong đó 8 em chỉ biết tiếng Anh, 7 em chỉ biết tiếng Pháp, 5 em chỉ biết tiếng Đức Cần lập 1 nhóm đi thực tế gồm 3 em biết tiếng Anh, 4 em biết tiếng Pháp và 2 em biết tiếng Đức Hỏi có bao nhiêu cách lập nhóm? Giải: . 2010 BTVN NGÀY 11-04 Các bài toán về phép đếm Bài 1: Từ các số 1,2,3,4,5,6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số có 6 chữ số và thõa mãn điều kiện:. từ tập E{ a 1 } => Có 9 cách. a 3 được chọn từ tập E{ a 2 } => Có 9 cách. a 4 được chọn từ tập E{ a 3 } => Có 9 cách. A 5 được chọn từ tập