(Luyện thi cấp tốc Toán) Chuyên đề hình học giải tích_Bài tập và hướng dẫn giải

TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 Hà Nội, ngày 12 tháng 06 năm 2010 B ÀI TẬP VỀ NHÀ (Hình học giải tích không gian) Bài 1: Trong không gian tọa độ Oxyz cho điểm G(1;1;1) a) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua G và vuông góc với OG b) Mặt phẳng (P) ở câu (1) cắt các trục Ox,Oy,Oz lần lượt tại A,B,C. CMR: ABC là tam giác đều. Bài 2: Trong không gian tọa độ Oxyz cho 2 điểm I( 0;0;1) và K( 3;0;0) Viết phương trình mặt phẳng qua I, K và tạo với mặt phẳng (xOy) một góc bằng 0 30 . Bài 3: Trong không gian tọa độ Oxyz cho 2 đường thẳng có phương trình: 1 2 2 3 5 0 2 2 3 17 0 ( ) : à (d ) : 2 0 2 2 3 0 x y z x y z d v x y z x y z − + − = − − − =     + − = − − − =   Lập phương trình mặt phẳng đi qua 1 ( )d và song song với 2 ( )d . Bài 4: Trong không gian tọa độ Oxyz cho 2 đường thẳng có phương trình: 1 2 5 2 7 0 ( ) : 1 à (d ) : 2 3 16 0 5 x t x y z d y t v x y z z t = +  + + − =   = −   + + − =   = −  Viết phương trình mặt phẳng chứa 1 2 ( ) à ( )d v d Bài 5: Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P) và đường thẳng (d): ( ) : 7 0P x y z + + − = ; 2 5 0 ( ) : 2 3 0 x y z d x z + + + =   − + =  Viết phương trình hình chiếu vuông góc của (d) lên (P). Bài 6: Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt phẳng(P) : 4x-3y+11z-26=0 và 2 đường thẳng: Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1 TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 Hà Nội, ngày 12 tháng 06 năm 2010 1 2 3 1 4 3 ( ) : à ( ) : 1 2 3 1 1 2 x y z x y z d v d − + − − = = = = − a) CM: 1 2 ( ) à ( )d v d chéo nhau. b) Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong (P) cắt cả 1 2 ( ) à ( )d v d . Bài 7: Trong không gian tọa độ Oxyz cho 2 đường thẳng có phương trình 1 2 3 1 0 1 ( ) : à ( ) : 2 1 0 1 2 1 x z x y z d v d x y − + =  + = =  + − =  a) CM: 1 2 ( ) à ( )d v d chéo nhau. b) Viết phương trình đường thẳng d cắt cả 1 2 ( ),( )d d và song song với 4 7 3 ( ) : 1 4 2 x y z − − − ∆ = = − Bài 8: Trong không gian tọa độ Oxyz cho 2 đường thẳng 1 2 ( ),( )d d và mặt phẳng (P) có phương trình: 1 2 1 1 2 2 2 ( ) : à ( ) : 2 3 1 1 5 2 x y z x y z d v d + − − − + = = = = − ( ) : 2 5 1 0P x y z − − + = a) CM:. 1 2 ( ) à ( )d v d chéo nhau và tính khoảng cách giữa chúng. b) Viết phương trình đường thẳng ∆ vuông góc với (P), cắt cả 1 2 ( ),( )d d . Bài 9: Trong hệ trục tọa độ Oxyz cho mp ( ) :2 2 15 0x y z α + − + = và điểm J(-1;-2;1). Gọi I là điểm đối xứng của J qua ( ) α . Viết phương trình mặt cầu tâm I, biết nó cắt ( ) α theo một đường tròn có chu vi là 8π. Bài 10 : Tìm tập hợp tâm các mặt cầu đi qua gốc tọa độ và tiếp xúc với 2 mặt phẳng có phương trình lần lượt là: (P): x+2y-4=0 và (Q): x+2y+6=0 Bài 11 : Trong KG cho mặt cầu (S) đi qua 4 điểm: A(0;0;1), B(1;0;0), C(1;1;1), D(0;1;0) Page 2 of 11 TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 Hà Nội, ngày 12 tháng 06 năm 2010 Và mặt cầu (S’) đi qua 4 điểm: 1 1 1 '( ;0;0), '(0; ; ), '(1;1;0), '(0;1;1) 2 2 2 A B C D . Tìm độ dài bán kính đường tròn giao tuyến của 2 mặt cầu đó. Bài 12 : Trong hệ trục TĐ Oxyz cho 2 đường thẳng có PT: 1 2 5 2 ( ) : à ( ) : 2 0 x t x s d y t v d y z z s = = −     = − = −     = =   Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc d 1 và I cách d 2 một khoảng bằng 3. Biết rằng mặt cầu (S) có bán kính bằng 5. Bài 13 : Trong hệ trục TĐ Oxyz cho 2 điểm: A(0;-1;1) và B( 1;2;1) . Viết PT mặt cầu (S) có đường kính là đoạn vuông góc chung của đường thẳng AD và đường thẳng chứ trục Ox. ………………….Hết………………… BT Viên môn Toán hocmai.vn Trịnh Hào Quang Page 3 of 11 TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 Hà Nội, ngày 12 tháng 06 năm 2010 HƯỚNG DẪN GIẢI CÁC BTVN Bài 1: Trong không gian tọa độ Oxyz cho điểm G(1;1;1) c) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua G và vuông góc với OG d) Mặt phẳng (P) ở câu (1) cắt các trục Ox,Oy,Oz lần lượt tại A,B,C. CMR: ABC là tam giác đều. Giải: ( ) ) ( ) ê (1;1;1;) P a Do OG P n n n OG ⊥ = = uuur uuur ( ) :1( 1) 1( 1) 1( 1) 0 ( ) : 3 0P x y z hay P x y z ⇒ − + − + − = + + − = 0 ) ì Ox : (3;0;0) 0 y b V A z =  ⇒  =  Tương tự : (0;3;0) à (0;3;0)B v C Ta có: AB=BC=CA=3 2 ABC ⇒ ∆ là tam giác đều Bài 2: Trong không gian tọa độ Oxyz cho 2 điểm I( 0;0;1) và K( 3;0;0) Viết phương trình mặt phẳng qua I, K và tạo với mặt phẳng (xOy) một góc bằng 0 30 . Giải: Giả sử mặt phẳng cần có dạng : ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) : 1( , , 0) ( ) 1 à ( ) 3 ( ) : 1 3 1 1 1 . 3 2 ( ) ( ; ;1) à (0;0;1) os30 3 2 . ( ) : 1 3 1 3 2 2 xOy xOy xOy x y z a b c a b c x y z Do I c v do K a b n n n v n c b b n n x y z α α α α α α α α + + = ≠ ∈ ⇒ = ∈ ⇒ = ⇒ + + = ⇒ = = ⇒ = ⇒ = ± ⇒ ± + = r r r r r r Page 4 of 11 TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 Hà Nội, ngày 12 tháng 06 năm 2010 Bài 3: Trong không gian tọa độ Oxyz cho 2 đường thẳng có phương trình: 1 2 2 3 5 0 2 2 3 17 0 ( ) : à (d ) : 2 0 2 2 3 0 x y z x y z d v x y z x y z − + − = − − − =     + − = − − − =   Lập phương trình mặt phẳng đi qua 1 ( )d và song song với 2 ( )d . Giải: 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (1; 1; 1); (1; 2;2) . ( 4; 3; 1) (4;3;1) d d Q d d Q Do u u n u u Hay n   = − − = − ⇒ = = − − −   = r r r r r r Mặt khác: 1 2 (2; 1;0) ; (0; 25;11) ( ) : 4( 2) 3( 1) 0 ( ) : 4 3 5 0 I d J d Q x y z hay Q x y z − ∈ − ∈ ⇒ − + + + = + + − = Bài 4: Trong không gian tọa độ Oxyz cho 2 đường thẳng có phương trình: 1 2 5 2 7 0 ( ) : 1 à (d ) : 2 3 16 0 5 x t x y z d y t v x y z z t = +  + + − =   = −   + + − =   = −  Viết phương trình mặt phẳng chứa 1 2 ( ) à ( )d v d Giải: Giả sử mặt phẳng cần lập là (Q) ta có: 1 1 2 ( ) ( ) (5;1;5) ; (5;2;0) (0;1; 5) à . (0;1; 5) ( ) :3( 5) 5( 1) 5 0 ( ) :3 5 25 0 Q d M d N d MN v n u MN Q x y z hay Q x y z ∈ ∈ ⇒ = −   = = − ⇒ − + − + − =   + + − = uuuur r r uuuur Bài 5: Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P) và đường thẳng (d): ( ) : 7 0P x y z + + − = ; 2 5 0 ( ) : 2 3 0 x y z d x z + + + =   − + =  Page 5 of 11 TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 Hà Nội, ngày 12 tháng 06 năm 2010 Giải: Đường thẳng ( )d ′ cần tìm là giao tuyến của mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Q) chứa (d) và có VTCP là ( )P n r ( ) ( ) ( ). ( ) ó : (1; 4;2) à M(-2;0;-1) (d) (6; 1; 5) ( ) :6( 2) 5( 1) 0 6 5 7 0 6 5 7 0 ình hình chiê u ( ) : 7 0 d Q d P Ta c u v n u n Q x y z hay x y z x y z H d x y z   = − ∈ ⇒ = = − −   ⇒ + − − + = − − + = − − + =  ′ ′ ⇒  + + − =  r r r r Bài 6: Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt phẳng(P) : 4x-3y+11z-26=0 và 2 đường thẳng: 1 2 3 1 4 3 ( ) : à ( ) : 1 2 3 1 1 2 x y z x y z d v d − + − − = = = = − c) CM: 1 2 ( ) à ( )d v d chéo nhau. d) Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong (P) cắt cả 1 2 ( ) à ( )d v d . Giải: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 ( ) ( ) 1 1 2 2 ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 ) ó : ( 1;2;3) (1;1;2) à (0;3; 1) ; (4;0;3) (4; 3;4) . . 23 0 à éo d d d d a Ta c u u v M d M d M M u u M M d v d ch nhau = − = − ∈ ∈   ⇒ = − ⇒ = − ≠ ⇒   r r uuuuuur r r uuuuuur 1 2 ) ( ) ( 2;7;5) à ( ) (3; 1;1) 2 7 5 : ( ) : 5 8 4 b GS d P A A v d P B B x y z KQ AB ∩ = ⇒ − ∩ = ⇒ − + − − ⇒ = = − − Bài 7: Trong không gian tọa độ Oxyz cho 2 đường thẳng có phương trình 1 2 3 1 0 1 ( ) : à ( ) : 2 1 0 1 2 1 x z x y z d v d x y − + =  + = =  + − =  c) CM: 1 2 ( ) à ( )d v d chéo nhau. d) Viết phương trình đường thẳng d cắt cả 1 2 ( ),( )d d và song song với Page 6 of 11 TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 Hà Nội, ngày 12 tháng 06 năm 2010 4 7 3 ( ) : 1 4 2 x y z − − − ∆ = = − Giải: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 ( ) ( ) 1 1 2 2 ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 ) ó : (1;2;1) ; (1; 2;3) à (0; 1;0) ; (0;1;1) (0;2;1) . . 8 0 à éo d d d d a Ta c u u v M d M d M M u u M M d v d ch nhau = = − − ∈ ∈   ⇒ = ⇒ = − ≠ ⇒   r r uuuuuur r r uuuuuur ( ) ( ) 1 1 1 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 1 2 ( ) 1 2 ) ( ; 1 2 ; ) à ( ;1 2 ;1 3 ) ( ;2 2 2 ;1 3 ) 1 3 1 1 2 2 2; 1 2;3;2 : 1; 1;4 4 7 3 : ( ) : 1 4 2 b GS d d A A t t t v d d B B t t t AB t t t t t t t t t t t t Do d song song u AB t t A B x y z KQ d ∆ ∩ = ⇒ − + ∩ = ⇒ − + ⇒ = − − − + − − − − − − ∆ ⇒ ↑↑ ⇒ = = ⇒ = = ⇒ − − − − ⇒ = = − uuur r uuur Bài 8: Trong không gian tọa độ Oxyz cho 2 đường thẳng 1 2 ( ),( )d d và mặt phẳng (P) có phương trình: 1 2 1 1 2 2 2 ( ) : à ( ) : 2 3 1 1 5 2 x y z x y z d v d + − − − + = = = = − ( ) : 2 5 1 0P x y z − − + = a) CM:. 1 2 ( ) à ( )d v d chéo nhau và tính khoảng cách giữa chúng. b) Viết phương trình đường thẳng ∆ vuông góc với (P), cắt cả 1 2 ( ),( )d d . Giải: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 ( ) ( ) 1 1 2 2 ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 ) ó : (2;3;1) ; (1;5; 2) à ( 1;1;2) ; (2; 2;0) (3; 3; 2) . . 62 0 à éo d d d d a Ta c u u v M d M d M M u u M M d v d ch nhau = = − − ∈ − ∈   ⇒ = − − ⇒ = − ≠ ⇒   r r uuuuuur r r uuuuuur 1 2 1 2 1 2 . .MN 62 ó : ( ) 195 . u u Ta c d d d u u     → = =     r r uuuur r r Page 7 of 11 TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 Hà Nội, ngày 12 tháng 06 năm 2010 1 1 1 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 ( ) ) (2 1;3 1; 2) à ( 2;5 2; 2 ) ( 2 3;5 3 3; 2 2) 2 3 5 3 3 2 2 ( ) (2; 1; 5) 2 1 5 1 4 3 : ( ) : 2 1 5 P b GS d A A t t t v d B B t t t AB t t t t t t t t t t t t Do P n AB x y z KQ ∩ ∆ = ⇒ − + + ∩ ∆ = ⇒ + − − ⇒ = − − − − − − − − − − − − − − ∆ ⊥ ⇒ − − = ↑↑ ⇒ = = − − − − − ⇒ ∆ = = − − uuur r uuur Bài 9:Trong hệ trục tọa độ Oxyz cho mp ( ) :2 2 15 0x y z α + − + = và điểm J(-1;-2;1). Gọi I là điểm đối xứng của J qua ( ) α . Viết phương trình mặt cầu tâm I, biết nó cắt ( ) α theo một đường tròn có chu vi là 8π. Giải: Gọi I(a;b;c) ta có: ( ) 2 3 1 2 1 IJ ( 1; 2; 1). IJ n 2 3 2 1 2 a b a b c a b c Do c b α = +  + + − = + + − ↑↑ ⇒ = = ⇒  = − − −  ur ur r Nhưng trung điểm M của IJ lại nằm trên ( ) α nên ta có : b= -4 và I (-5;-4;5) Ta tính được khoảng cách từ I đến ( ) α là IO’=3. Vì C=2πR 0 =8π nên R 0 =4 . => 2 2 2 2 ' ' 4 3 5R IA IO AO= + = + = Vậy: 2 2 2 ( ):( 5) ( 4) ( 5) 25C x y z+ + + + − = Bài 10 : Tìm tập hợp tâm các mặt cầu đi qua gốc tọa độ và tiếp xúc với 2 mặt phẳng có phương trình lần lượt là: (P): x+2y-4=0 và (Q): x+2y+6=0 Giải: Ta nhận thấy (P) song song với (Q) nên 2R= d( (P), (Q)). Lấy M(0;2;0) thuộc (P) ta có: d( (P), (Q))= d( M, (Q)) = 2 5 5R⇒ = . Lúc này PT mặt cầu có dạng: (x-a) 2 +(y-b) 2 +(z-c) 2 =5 Vì C đi qua O(0;0;0) nên: 2 2 2 2 2 2 5 ( ) : 5a b c I S x y z+ + = ⇒ ∈ + + = Mặt khác: Mặt phẳng song song và cách đều (P) và (Q) có PT: (α): ( 2 4) ( 2 6) 2 1 0 2 x y x y x y + − + + + = + + = Page 8 of 11 TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 Hà Nội, ngày 12 tháng 06 năm 2010 Do 2 2 2 2 1 0 ( ) ( ) ( ) : ( ) 5 x y I I S I S x y z α α + + = ∈   ⇒ ∈ ∩   ∈ + + =   ( Cố định ) Bài 11 : Trong KG cho mặt cầu (S) đi qua 4 điểm: A(0;0;1), B(1;0;0), C(1;1;1), D(0;1;0) Và mặt cầu (S’) đi qua 4 điểm: 1 1 1 '( ;0;0), '(0; ; ), '(1;1;0), '(0;1;1) 2 2 2 A B C D . Tìm độ dài bán kính đường tròn giao tuyến của 2 mặt cầu đó. Giải: Lần lượt ta lập các PT mặt cầu với dạng tổng quát chung là: 2 2 2 2 2 2 0x y z ax by cz d + + + + + + = • Với (S) ta có: 2 2 2 1 2 0 1 2 0 1 ; 0 0(1) 1 2 0 2 3 2 2 2 0 c d a d a b c d x y z x y z b d a b c d + + =   + + =  ⇒ = = = − = ⇒ + + − − − =  + + =   + + + + =  • Với (S’) 2 2 2 1 0 4 1 7 1 7 1 7 0 ; ; 2 2 0(2) 2 4 4 2 2 2 2 2 2 0 2 2 2 0 a d b c d a c b d x y z x y z a b d b c d  + + =    + + + = ⇒ = = = = − ⇒ + + + − + − =   + + + =   + + + =  Từ (1) và (2) ta thấy mặt phẳng chứa đường tròn giao tuyến có PT: ( ) : 9 9 4 0x y z α + + − = Vậy PT đường tròn giao tuyến cần tìm là: 2 2 2 9 9 4 0 ( ) : 1 1 1 3 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 4 x y z C x y z + + − =    − + − + − =   Bài 12 : Trong hệ trục TĐ Oxyz cho 2 đường thẳng có PT: Page 9 of 11 TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 Hà Nội, ngày 12 tháng 06 năm 2010 1 2 5 2 ( ) : à ( ) : 2 0 x t x s d y t v d y z z s = = −     = − = −     = =   Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc d 1 và I cách d 2 một khoảng bằng 3. Biết rằng mặt cầu (S) có bán kính bằng 5. Giải: Vì I thuộc d 1 nên I( t;-t;0) 2 2 2 2 2 . ( 2;0;1) ( ) ó (5 ; 2;0) ( ) (5; 2;0) 6 30 45 . ( 2;5 ; 2 4) ( ) 3 5 0 (0;0;0) 5 (5; 5;0) d u IM u d c IM t t d I d Qua M u t t u IM t t t d I d t I t I    = −    ⇒ = − − ⇒ → =  −   − +   = − + − − + ⇒ → = =   = ⇒  ⇒  = ⇒ −  r uuur r uuur r r uuur Vậy có 2 PT mặt cầu thõa mãn đk bài toán là: 2 2 2 1 2 2 2 2 ( ) : 25 ( ) : ( 5) ( 5) 25 S x y z S x y z + + = − + + + = Bài 13 : Trong hệ trục TĐ Oxyz cho 2 điểm: A(0;-1;1) và B( 1;2;1) . Viết PT mặt cầu (S) có đường kính là đoạn vuông góc chung của đường thẳng AD và đường thẳng chứ trục Ox. Giải: Lập PT đường thẳng đi qua AB ta có: ( ) : 1 3 1 x t AB y t z =   = − +   =  Gọi ( ;3 1;1) ( )M t t AB − ∈ Và N(s;0s0) thuộc Ox ( ;3 1;1)MN t s t ⇒ = − − uuuur . Sử dụng : Ox MN AB MN ⊥   ⊥  Ta tìm được 1 3 t s= = . Ta tìm được : 1 1 1 1 ( ;0;1), ( ;0;0) ( ;0; ) 3 3 3 2 M N O ⇒ là trung điểm của MN. Page 10 of 11 [...]...TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 12 tháng 06 năm 2010 P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 Và R = Vậy: MN 1 = 2 2 1 1 ( x − 3)2 + y 2 + ( z − ) 2 = 2 4 ………………….Hết………………… BT Viên môn Toán hocmai.vn Trịnh Hào Quang Page 11 of 11 . 2010 B ÀI TẬP VỀ NHÀ (Hình học giải tích không gian) Bài 1: Trong không gian tọa độ Oxyz cho điểm G(1;1;1) a) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua G và vuông. tháng 06 năm 2010 HƯỚNG DẪN GIẢI CÁC BTVN Bài 1: Trong không gian tọa độ Oxyz cho điểm G(1;1;1) c) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua G và vuông góc với