BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MÔN TOÁN 8

BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MÔN TOÁN 8 (Tài liệu khoảng 50 đề hơn 100 trang) Tài liệu là tập hợp các đề thi thử học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 8 kèm đáp án và biểu điểm chi tiết để các thầy cô và học sinh tham giảo ôn luyện. ============================= BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MÔN TOÁN 8 Tài liệu là tập hợp các đề thi thử học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 8 kèm đáp án và biểu điểm chi tiết để các thầy cô và học sinh tham giảo ôn luyện. =============================

b Chứng minh ba đường thẳng: DE, BF, CM đồng quy.

c Xác định vị trí của điểm M để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất

Vậya4+4 là số nguyên tố thì a +2a+2=12 hoặc a - 2a+2=12 0,25

Nếu a -2a+2=12 → =a 1 thử lại thấy thoả mãn

0,25

a Chứng minh: AE FM DF= =

⇒∆AED= ∆DFC ⇒ đpcm

0,50,5

b DE, BF, CM là ba đường cao của ∆ EFC ⇒ đpcm 1

c Có Chu vi hình chữ nhật AEMF = 2a không đổi

⇒ là trung điểm của BD.

0,250,250,25

Vì a = 1 => b2000 = b2001 => b = 1; hoặc b = 0 (loại)

Vì b = 1 => a2000 = a2001 => a = 1; hoặc a = 0 (loại)Vậy a = 1; b = 1 => a2011 + b2011 = 2

0,250,25

* Chú ý : Học sinh giải cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa

Câu 4: (3 điểm)

Cho hình thang cân ABCD có góc ACD = 600, O là giao điểm của hai đường chéo Gọi E,

F, G theo thứ tự là trung điểm của OA, OD, BC

Tam giác EFG là tam giác gì? Vì sao?

Câu 5: (1 điểm)

Cho x, y, z > 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P =

y x

z x

z

y z

y

x

+

+ +

+ +

-Hết

-UBND HUYỆN

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HSG MÔN: TOÁN 8

Câu Đáp án Điểm Câu 1

Thì x2 – 2x – 1 = a – 1

Do đó:( x2 – 2x)(x2 – 2x – 1) – 6 = a2 – a – 6 = (a + 2) (a – 3) Vậy: ( x2 – 2x)(x2 – 2x – 1) – 6 = (x + 1)(x – 3)(x2 – 2x + 2)

0.250.250.250.25

Câu 2

(2.5 điểm)

a) ĐKXĐ :

023

0,250,250,250,25

5

=

=

X X

UBND HUYỆN

MÔN THI: TOÁN 8

Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

Bài 1: (1,5 điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử

c) Chứng minh AQ vuông góc với DP

d) Chứng minh S ABCD =6S ABC

-H

ẾT -=

=

X X

= (x + 1)(x2 – x + 3)

0,250,25

KK

Bài 5

(3,0đ)

Hình vẽ

a) +/ Chứng minh cho tứ giác ABMD có 4 cạnh bằng nhau

lại có µA =900 nên ABMD là hình vuông

+/ ∆BMD có BM là đường trung tuyến ứng với cạnh DC và

ABCD

ABC

AD S

0,250,250,250,25

Học sinh có cách giải khác đúng vẫn cho đủ điểm

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI : TOÁN 8

Chứng minh rằng Q là số nguyên; biết rằng xyz = 1

Bài tập 4: Cho hình vuông ABCD.Lấy điểm M tuỳ ý trên BD.Từ M kẻ ME ⊥ AB; MF⊥AD.Chứng minh

a) CF = DE; CF⊥DE

b) CM = FE ; CM⊥ FE

c) CM,BF,DE đồng qui

0,25đBài 2

b)Ta có a3+b3=(a+b)3-3a2b-3ab2

⇒ a3+b3+c3-3abc = (a+b)3-3a2b-3ab2+c3-3abc

= (a+b)3+c3-3ab(a+b+c)

= (a+b+c)(a2+b2+c2+2ab –ac-bc)-3ab(a+b+c)

= (a+b+c)( a2+b2+c2-ab –ac-bc)

I N

a) AEMF là hình chữ nhật ⇒AF=EM

∆EBM cân tại E vì ·EBM = 450 ⇒EB =EM

⇒ AF= EB mà AB = AD ⇒ AE=FD

⇒ ∆ADE =∆DCF (c,g,c) ⇒FC=DE và ·AED=·CFD

mà ·AED+·ADE =900 ⇒ ·CFD+·ADE =900

thứ 3 nên CM,BF,DE đồng qui

0,5đ

0,5đ0,25đ

0,25đ0,25đ0,25đ0,5đ

0,25đ0,25đ0,5đ0,5đ

22

2

++

−+

=

x x

x x A

a- Tìm điều kiện xác định của A, rồi rút gọn A

b- Tìm các giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên

2) Giải phương trình: x −3 =x+1

Câu 2 (2,0 điểm):

a) Cho a + b + c = 0 và a2 + b2 + c2 = 14

Tính giá trị của biểu thức B = a4 + b4 + c4

b) Tìm số nguyên dương n để n5+1 chia hết cho n3+1

Câui3 (1,0 điểm)

Cho a là số nguyên Chứng minh rằng biểu thức:

P= ( a+ 1)( a+2)( a+3)( a+4)+1 là bình phương của 1 số nguyên

a) AE2 =EK.EG

b)

AG AK

AE

11

c) Khi đường thẳng đi qua A thay đổi thì tích BK.DG có giá trị không đổi

HẾT

UBND HUYỆN

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HSG MÔN: TOÁN 8

2

216

5

22

2

+

−

=++

+

−

=++

−+

=

x

x x

x

x x x

x

x x A

0,75 đ

1b

3

413

1

+

−

=+

−

=

x x

Với 0≤x<3 pt (1) có nghiệm x=1 thuộc khoảng đang xét 0,25đ

* Xét khoảng x< 0 pt đã cho trở thành: x+3 =x+1 (2)Với −3≤x<0 pt (2) có dạng: x+3= x+1, vô nghiệm

0,25đVới x<−3 pt (2) có nghiệm x=-2 (không thuộc khoảng

2

2 2 2 2 2

⇒a b a c b c ab c bc a ca b

49)(

22 2 2 2 2

⇒a b a c b c abc a b c

0,5đ

Do đó :⇒a2b2 +a2c2 +b2c2 =49

b

( 1) ( 1) 11

Vậy giá trị duy nhất của n tìm được là 1

P = x( x+ 2)+1= x2+ 2x + 1= (x + 1)2 Thay a

x

a+ =+5 4

2 ta được P = ( a2+5a+5) 2 Vì a là số nguyên nên ( a2+5a+5) 2 là số nguyên, do đó

p =( a2+5a+5) 2 là bình phương của một số nguyên

Suy ra điều phải chứng minh

0,25 đ

0,5 đ0,25 đ

S S

E

B

C D

A

Do BK//AD, nên

ED

BE AE

Từ (1)(2) AE EK EG

EG

AE AE

AE EB

DE EK

=+

BD

BD BD

BE DB

DE AG

AE AK

AE

hay

AG AK AE

11

Đặt AB=a; AD=b thì:

CG

a KC

BK

= và

DG

CG b

KC

Nhân theo từng vế của hai đẳng thức trên, ta được:

ab DG BK DG

a b

Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)

Bài 1: (2.0 Điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

c bc

b

b ab

a

a A

++

+++

+++

=

11

1

Bài 3: (1,5 Điểm) Thực hiện phép tính:

a)

x y

y y x

x y x

y x y x

xy

−

++

−

2.22

22 2

b)

252

155

.3

12

x x x

Bài 4: (2,5 Điểm)

Cho hình vuông ABCD Trên tia đối của BA lấy một điểm E, trên tia đối của CB lấy một điểm F sao cho AE = CF

1) Chứng minh tam giác DEF vuông cân

2) Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD của hình vuông ABCD, gọi I là trung điểm của EF

Chứng minh O, C, I thẳng hàng.

Bài 5: (1,0 Điểm) Một đa giác đều có tổng số đo tất cả các góc ngoài và một góc trong của

đa giác bằng 5040 Hỏi đa giác có mấy cạnh

HẾT

= (x – 1)[1+(x2 +x+1)x n]

= (x – 1)(1 + xn + xn+2 + xn+1)

0,25đ0,25đ0,25đ

2/ ta có A = (516 – 1)(516 + 1) = …

= 24(52 +1)(54 +1)(58 + 1)(516 + 1)

Do 24 > 6 => A > B

0,5đ0,5đ3/ Thay abc = 1 vào biểu thức A ta có

A =

abc bc b

bc bc

b

b ab

a abc

a

++

+++

++

11

1

++

+++

++

bc b

bc

b b

bc

0,5đ0,5đ

2.2

2.22

2/

2 2

2 2

2

2 2

−+

+

=

−

++

−

−+

=

−

++

−

y x

y x y x

y y

x y x

y x x

x y

y y x

x y

x

y x xy

x y

y y x

x y x

y x y x

xy a

0,25đ0,5đ

2

5252

)3(5.)3)(

2(

252

)2

1)(

2(

)3(5.)3)(

2(

)2()3(2

252

)3(5.)3(

12

2/

2 2

2

−

=++

++

−

++

=

++

++

−

−

−+

=

++

x

x x x

x x

x x

x x

x x x

x x

x x

x

x x

x x x

x x

O

C

A B

0,25đ

a/ Chứng minh ∆DEF vuông cân

∆ADF = ∆CDF (c.g.c) => DE = DF (1)

AE//DC => ADE = D1 ( so le trong)

Mà ADE = D2 (do ∆ADE =∆CDF)

=> ADE + AED = D1 + D2

Hay EDF = 900(2)

Từ (1) và (2) suy ra ∆DEF vuông cân

0,5đ0,5đ

0,25đb/ O là giao điểm của AC và BD, I là trung điểm của EF

5

- Gọi đa giác cần tìm có n cạnh

- Tổng số đo các góc của tam giác đó là ( n – 2).1800

=> số đo một góc trong của tam giác đó là:

- Vậy đa giác cần tìm là thập giác đều

HẾT

-UBND HUYỆN THỦY NGUYÊN

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI

MÔN: TOÁN 8

Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)

Câu 1: (2,5 điểm)

a) Phân tích đa thức thành nhân tử: x4 +2011x2 +2010x+2011

b) Tìm các số nguyên x; y sao cho: 3x3 +xy=3

c) Tìm các hằng số a và b sao cho x3 +ax+b chia cho x+ 1 dư 7;

chia cho x−2dư 4

1120112000

2011

112011

3 3

3 3

+

+

=+

+

b) Nếu ;m n là các số tự nhiên thỏa mãn : 4m2 +m=5n2 +n thì :

m-n và 5 m + 5 n + 1 đều là số chính phương

Câu 4: (4 điểm)

Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD của hình thang ABCD (AB//CD) Đường thẳng qua O song song với AB cắt AD và BC lần lượt tại M và N.

a) Chứng minh OM=ON

b) Chứng minh

MN CD AB

211

=

c) Biết S AOB =a2;S COD =b2.Tính S ABCD ?

d) Nếu Dˆ <Cˆ <900 Chứng minh BD > AC

-HẾT -UBND HUYỆN THỦY NGUYÊN

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HSG MÔN: TOÁN 8

=

0

13

3

1

x y

−

=

6

13

3

1

x y

c/ Vì x3 +ax+b chia cho x+1 dư 7 nên ta có: x3 +ax+b=(x+1).Q(x)+7

do đó với x=−1 thì -1-a+b=7, tức là a-b = -8 (1)

0,25

Vì x3 +ax+b chia cho x− 2 dư 4 nên ta có: x3+ax+b=(x−2).P(x)+4

do đó với x= 2 thì 8+2a+b=4, tức là 2a+b=-4 (2)

2011

20112011

22011

2011(

2011

20102011

20112010

2

2

2

2 2

≥

−+

=

−+

x

x x

x

Dấu “=” xảy ra khi x=2011

0,25Vậy GTNN của B là

3 3

3 3 3 3

3 3

20002011

112011

c ac a c a

b ab a b a c a

b a

+

−+

+

−+

=+

+

=+

+

0,25Thay a=b+c vào a2 −ab+b2 =(b+c) (2 − b+c)b+b2 =b2 +bc+c2 0,25

2 2 ( ) (2 ) 2 2 2

c bc b c c c b c b c ac

2011

112011

2 2

2 2

3 3

3 3 3 3

3 3

+

+

=+

+

=+

−+

+

−+

=+

+

=+

+

c a

b a c ac a c a

b ab a b a c a

b a

b/Ta có4m2 +m=5n2 +n ⇔5(m2 −n2)+m−n=m2 ⇔(m−n)(5m+5n+1) =m2(*) 0,5Gọi d là ƯCLN(m-n;5m+5n+1)⇒(5m+5n+1)+5m-5n d⇒10m+1 d

Mặt khác từ (*) ta có: m 2 d2⇒m d Mà 10m+1 d nên 1 d⇒d=1

0,25

N M

O

D

C

Vậy m-n;5m+5n+1 là các số tự nhiên nguyên tố cùng nhau,

thỏa mãn (*) nên chúng đều là các số chính phương

OA = Do MN//DC

⇒

DC

ON DC

0,5

0,5b/ Do MN//AB và CD ⇒

AD

AM CD

OM

= và

AD

DM AB

⇒

MN AB DC

21

c/ Hai tam giác có cùng đường cao thì tỉ số diện tích 2 tam giác bằng tỉ số giữa 2

cạnh đáy tương ứng Do vậy : S S OD OB

AOD

OC

OA S

COD

AOD AOD

AOB

S

S S

S

= ⇒S2AOD =S AOB.S COD =a2.b2 nên S AOD =ab.

Tương tự S BOC =ab.Vậy ( )2

b a

S ABCD = +

0,5

0,25d/ Hạ AH, BK vuông góc với CD tại H và K

Do Dˆ <Cˆ <900 nên H, K nằm trong đoạn CD

UBND HUYỆN

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI

b Chứng minh ba đường thẳng: DE, BF, CM đồng quy

c Xác định vị trí của điểm M để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất

c Có Chu vi hình chữ nhật AEMF = 2a không đổi

Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)

Bài 1( 2,0 điểm): Phân tích đa thức sau thành nhân tử

21

c, Biết SAOB= 20082 (đơn vị diện tích); SCOD= 20092 (đơn vị diện tích) Tính SABCD.Bài 5(1,5 điểm): Cho 2x2+2y2 = 5xy và 0< x < y Tính giá trị của E x y.

x y

+

=

− - Hết -

OM = ,

AC

OC AB

Lập luận để có

AC

OC DB

⇒

AB

ON AB

b/ Xét ∆ABDđể có

AD

DM AB

OM = (1), xét ∆ADCđể có

AD

AM DC

OM

= (2)

Từ (1) và (2) ⇒ OM.(

CD AB

1

AD

AD AD

DM AM

0,5

Chứng minh tương tự ON.( 1 + 1 )=1

CD AB

211

0,25

Chứng minh được S AOD =S BOC 0,25

⇒ S AOB.S DOC =(S AOD)2

Thay số để có 20082.20092 = (SAOD)2 ⇒ SAOD = 2008.2009

0,25

Do đó SABCD= 20082 + 2.2008.2009 + 20092 = (2008 + 2009)2 = 40172 (đơn vị DT)

0,255

232

Thời gian: 90phút (Không kể thời gian giao đề)

Câu 1(1.5 điểm): Thực hiện phép tính

b) 4x2 – 3x – 1

c) ab( a - b) + bc( b- c) + ca( c- a)

Câu 3 ( 1.5 điểm):

a) Chứng minh rằng: Nếu a∈N, a > 1 thì A = (a2 + a +1)(a2 + a + 2) – 12 là hợp số

b) Cho 10a2 = 10b2 – c2 Chứng minh rằng: (7a – 3b – 2c)(7a – 3b + 2c) = ( 3a – 7b)2

Câu 4(1.5 điểm): Cho A = 3 2 4 4

Câu 5(3.25 điểm): Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đường cao AH Trong nửa mặt

phẳng bờ AH có chứa C, vẽ hình vuông AHKE Gọi P là giao điểm của AC và KE

a) Chứng minh ∆ABP vuông cân

b) Gọi Q là đỉnh thứ tư của hình bình hành APQB, gọi I là giao điểm của BP và AQ Chứng minh H, I, E thẳng hàng

c) Tứ giác HEKQ là hình gì? Chứng minh

Câu 6(0.75 điểm): Tính diện tích hình thang ABCD ( AB // CD), biết AB = 42cm, µA=450;

µ 600

B= và chiều cao của hình thang bằng 18m

HẾT

b/ VT = (7a – 3b)2 – 4c2 = 49a2- 42ab + 9b2 – 4c2

mà 10a2 = 10b2 + c2 nên c2 = 10a2 – 10b2

nên VT = 49a2 – 42ab + 9b2 – 4(10a2 – 10b2)

= 49a2 – 42ab + 9b2 – 40a2 + 40b2

= 9ª2 – 42ab + 49b2 = (3a – 7b)2 = VP

0.25

0.25

0.250.250.25

0.25

0.5

⇒APQBlà hình vuông nên PI = IA(**).

Từ (*) và(**) suy ra IK = IA nên I nằm trên đường trung trực

0.50.250.250.25

0.5

6 Qua A và B kẻ AA’ và BB’ vuông góc với CD

Tứ giác ABB’A’là hcn và A’A = BB’ = 18m

B A

C B

A

MÔN: TOÁN 8

Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)

Bài 1 (1,5 điểm): Phân tích đa thức thành nhân tử:

a) Xác định các hằng số a và b sao cho đa thức x4 + ax + b chia hết cho x2 - 4

b) Cho đa thức A(x) = ax2 + bx + c Xác định b biết rằng khi chia đa thức A(x) cho x – 1 và x + 1 đều có cùng số dư

Bài 6 (1,0 điểm): Chứng minh rằng tam giác có một đỉnh là giao điểm hai cạnh đối của một

tứ giác, hai đỉnh kia là trung điểm hai đường chéo của tứ giác đó có diện tích bằng 1

4diện tích tứ giác

= 2x(2x – 3) – (2x – 3) = (2x – 3)(2x – 1) 0,25c/[(x + 2) (x + 5)][ (x + 3)(x + 4)]–24=( x2 + 7x + 10)(x2 + 7x + 12)- 24

Bài 3

(1,5d)

a/ x4 + ax + b chia cho x2 – 4 được thương là x2 + 4 dư ax + (b + 16)

Vậy x4 + ax + b chia hết cho x2 – 4 khi ax + (b + 16) = 0x + 0

Suy ra a = 0 và b = - 16

0,250,250,25

Bài 4

(1,5đ)

a/ Ta có 4x2 + 3y2 – 4x + 30y + 78 = (4x2 – 4x +1)+(3y2 + 30y + 75)+ 2

= (2x – 1)2 + 3(y + 5)2 + 2 > 0 với mọi x, y

Vậy không tìm được x, y thoả mãn đầu bài

0,250,250,25

+ −

=> 1 + c =

2

x y z z

2

x y z x

EK

2 3

21

1 1

1

nên ·MBC = 1200

b/ C/m được ∆MDCđều mà MK vuông góc với AB nên MK vuông góc

với CD =>MK là trung trực của CD và AB => MA = MB => ∆MAB cân

C/m được µB1= 300 => µA1= 300 = B¶2=> AM//DB

Mà ·ABD=·MBD=600 nên tứ giác AMBD là hình thang cân

0,50,5c/ Vì M thuộc tia phân giác của ·NDE nên MN = ME

NME

∆ có ·NME=1200 nên ·MNE= 300 (1)

Lại có MNAK là hình chữ nhật nên ·MNK= µA1= 300 (2)

Từ (1) và (2) suy ra N, K, E thẳng hàng

0,250,250,250,25

Bài 6

(1đ)

Hình vẽ

Gọi M, N lần lượt là trung điểm các đường chéo BD, AC của tứ giác

ABCD, E là giao điểm của DA và CB Ta có:

SEMN = SEDC – SEMD – SENC – SDMC – SMNC

Môn : Toán – Lớp 8 Thời gian: 120 phút ( không kể thời gian giao đề) Bài 1: ( 1,5 điểm)

Thực hiện phép tính:

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

A

B

CD

E

Cho 3a2 + b2 = 4ab Tính giá trị của biểu thức P a b

a b

−

=+

-Hết -UBND HUYỆN THỦY NGUYÊN HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HSG

0,125 đb) ( 2x3 – 26x – 24) : ( 2x – 8)

Đặt phép chia:

Vậy: ( 2x3 – 26x – 24) : ( 2x – 8) = x2 + 4x + 3

0,25 đ0,25 đ

= (3x2 + 9x )+ (2x + 6)

= 3x( x + 3) + 2(x + 3)

= (x+ 3)(3x + 2)

0,25đ0.25đ0,25đ

Bài 3:

(2 đ) a) Đa thức 2x

3 + ax + b chia cho x + 1 dư -6 => - a + b = -4 (1)

Đa thức 2x3 + ax + b chia cho x - 2 dư 21 => 2a + b = 5 (2)

Từ (1) và (2), suy ra a = 3; b= -1

0,25đ0,25đ0,5đ

Vậy : GTNN của A bằng 3 khi y – 1 = 0 ⇔y = 1⇔x = 1

0,25đ0,5đ0,25đ

N OA

B

D

C I

H M

K

O D

C M

⇔a = b/3 hoặc a = b ( tm)

+) Nếu a = b/ 3 thì P = -1/2

+) Nếu a = b thì P = 0

0,25đ0,125đ0,125đ

Bài 5:

a)-Chứng minh tứ giác BHDI là hình bình hành

-có O là trung điểm của HI (gt) => O là trung điểm của BC

=> B và D đối xứng qua O

0.75 đ

b) Qua M, kẻ đường thẳng song song với AB cắt BH tại N

=> MN ⊥BC, và N là trung điểm của BH

=> MN là đường trung bình của tam giác AHB

=> MN // AB và MN = ½ AB

* Chứng minh tứ giác MNCK là hình bình hành => CN//KM (1)

* Tam giác BMC có N là trực tâm => CN ⊥BM (2)

Từ (1) và (2) suy ra BM ⊥MK

0,5đ0,5đ0,5đ

Bài 6:

( 1 đ)

-Chứng minh: SADB = SAMB => SADO = SBOM (1)

-Chứng minh: SADB = SBCD

=>SDAO + SAOB = SDOM + SBOM + SBMC(2)

Từ (1) và (2) Suy ra S ABO = SDOM +SBCM

0,25đ0,25đ0,25đ0,25đ

A ĐỀ BÀI

Bài 1 ( 2 điểm ):

a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử :

x3(x2 - 7 )2 - 36xb) Dựa vào kết quả trên hãy chứng minh:

A= n3(n2 - 7 )2 - 36n chia hết cho 210 với mọi số tự nhiên n

Bài 2 ( 2 điểm ):

2 3

1

1:1

1

x x x

x x

Bài 4 (4 điểm ) : Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 4 cm Gọi M, N lần lượt là trung

điểm của AB , BC Gọi P giao điểm của AN với DM

a) Chứng minh : tam giác APM là tam giác vuông

b) Tính diện tích của tam giác APM

c) Chứng minh tam giác CPD là tam giác cân

Bài 5 ( 1 điểm ): Tìm các giá trị x, y nguyên dương sao cho : x2 = y2 + 2y + 13.

- HẾT

-UBND HUYỆN

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

-HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 8

0,25

b) Theo phần a ta có :

A = n3(n2 - 7 )2 - 36n

= n(n + 1 )( n - 1 ) (n - 3 )(n + 2 ) ( n - 2 )( n + 3 )

Đây là tích của 7 số nguyên liên tiếp Trong 7 số nguyên liên tiếp có :

- Một bội của 2 nên A chia hết cho 2

- Một bội của 3nên A chia hết cho 3

- Một bội của 5 nên A chia hết cho 5

- Một bội của 7 nên A chia hết cho 7

Mà 2; 3; 5; 7 đôi một nguyên tố cùng nhau nên: A ( 2.3.5.7 )

)(

1(

)1)(

1(:

1

1

2

2 3

x x x x x

x x x

x x x

+

−+

−+

1)(

1(

)1)(

1(:1

)1

)(

1(

2

2

x x x

x x x

x x x x

+

−+

+

−

−

−++

−

=

)1(

1:)1

x

x

−+ = (1+x2)(1−x)

5(

3

51)(

9

251

27

21027

2723

8.9

0,25

0,25

c) Với x khác -1 và 1 thì A< 0 khi và chỉ khi (1+x2)(1−x)<0 (1)

Vì 1+x2 >0 với mọi x nên (1) xảy ra khi và chỉ khi 1 −x< 0 ⇔ x> 1

KL

0,25 0,25

3

Thay 2004 = abc vào M ta có :

2 2 2

c) Gọi I là trung điểm của AD Nối C với I; CI cắt DM tại H.

Chứng minh tứ giác AICN là hình bình hành

=> AN // CI mà AN ⊥ DM nên CI ⊥ DM

Hay CH là đường cao trong ∆CPD (1)

Vận dụng định lý về đường trung bình trong ∆ADP chứng minh được H

là trung điểm của DP => CH là trung tuyến trong ∆CPD (2)

Từ (1) và (2) suy ra ∆CPD cân tại C

0,5 0,25 0,25

Thời gian làm bài 120 phút, không kể thời gian giao đề

1

1 1

M

N

1) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 2x2 + 3y2 + 4xy - 8x - 2y +18

2) Cho a; b; c là ba cạnh của tam giác

Bài 4 Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a Gọi E; F; G; H lần lượt là trung điểm của các

cạnh AB, BC, CD, DA M là giao điểm của CE và DF

1) Chứng minh: Tứ giác EFGH là hình vuông

2) Chứng minh DF ⊥CE và ∆MAD cân

3) Tính diện tích ∆MDC theo a

- HẾT

-PHÒNG GD & ĐT THANH CHƯƠNG

ĐÁP ÁN THI KĐCL MŨI NHỌN NĂM HỌC: 2012 - 2013

Môn thi: TOÁN 8

Thời gian: 90 phút (Không kể thời gian giao đề)

m