Chuyên đề lượng giác tổng hợp

TRUNG TÂM LUYỆN THI OLYMPIA TÀI LIỆU LUYỆN THI ðẠI HỌC 1137 - 1179 - Ngô Quyền - Q. Sơn Trà - ðà Nẵng - ðT: 0511 3987 7272 - Biên soạn: Ths. Nguyễn Văn Bảy Trang 1 MỤC LỤC Trang Các công thức lượng giác 2 Phương trình lượng giác cơ bản 10 Phương trình bậc hai theo một hàm số lượng giác 17 Phương trình bậc nhất theo sin và cos 20 Phương trình ñẳng cấp ñối với sin và cos 23 Phương trình ñối xứng 25 Hướng dẫn giải … 30 TRUNG TM LUYN THI OLYMPIA TI LIU LUYN THI I HC 1137 - 1179 - Ngụ Quyn - Q. Sn Tr - Nng - T: 0511 3987 7272 - Biờn son: Ths. Nguyn Vn By Trang 2 CC CễNG THC LNG GIC A. TểM TT Lí THUYT: I. Caùc cung lión quan: 1. Cung õọỳi nhau: 2. Cung phuỷ nhau 3. Cung buỡ nhau sin() = sin sin 2 = cos sin( ) = sin cos() = cos cos 2 = sin cos( ) = cos tan() = tan tan 2 = cot tan( ) = tan cot() = cot cot 2 = tan cot( ) = cot II. Caùc hũng õúng thổùc lổồỹng giaùc: 1. Caùc hũng õúớng thổùc 2. Caùc tờnh chỏỳt sin 2 + cos 2 = 1 xkx sin)2sin( = + tan .cot = 1 xkx cos)2cos( = + 2 2 tan1 cos 1 += xkx tan)tan( = + 2 2 cot1 sin 1 += xkx cot)cot( = + (k Z) III. Caùc cọng thổùc lổồỹng giaùc: 1. Cọng thổùc cọỹng: bababa sinsincoscos)cos( = + bababa sinsincoscos)cos( + = abbaba cossincossin)sin( + = + abbaba cossincossin)sin( = ba ba ba tan.tan1 tantan )tan( = 2. Cọng thổùc nhỏn õọi: aaa 22 sincos2cos = 1cos2 2 = a a 2 sin21= aaa cossin22sin = TRUNG TÂM LUYỆN THI OLYMPIA TÀI LIỆU LUYỆN THI ðẠI HỌC 1137 - 1179 - Ngô Quyền - Q. Sơn Trà - ðà Nẵng - ðT: 0511 3987 7272 - Biên soạn: Ths. Nguyễn Văn Bảy Trang 3 a a a 2 tan 1 tan2 2tan − = 3. Cäng thæïc nhán ba aaa cos3cos43cos 3 −= aaa 3 sin4sin33sin −= 4. Cäng thæïc haû báûc: 2 2cos1 cos 2 a a + = 2 2cos1 sin 2 a a − = 5. Cäng thæïc biãún âäøi täøng thaình têch 2 cos 2 cos2coscos baba ba − + =+ 2 sin 2 sin2coscos baba ba − + −=− 2 cos 2 sin2sinsin baba ba − + =+ 2 sin 2 cos2sinsin baba ba − + =− HQ: sinx + cosx = 2 cos       − 4 π x = 2 sin       + 4 π x sinx – cosx = 2 sin 2 4 4 x cos x π π     − = − +         6. Cäng thæïc biãún âäøi têch thaình täøng: [ ] )cos()cos( 2 1 coscos bababa ++−= [ ] )cos()cos( 2 1 sinsin bababa +−−= [ ] )sin()sin( 2 1 cossin bababa ++−= 7. Một số công thức giúp hạ bậc các biểu thức lượng giác: • )2sin 2 1 1)(cos(sin)cossin1)(cos(sincossin 33 xxxxxxxxx −+=−+=+ TRUNG TÂM LUYỆN THI OLYMPIA TÀI LIỆU LUYỆN THI ðẠI HỌC 1137 - 1179 - Ngô Quyền - Q. Sơn Trà - ðà Nẵng - ðT: 0511 3987 7272 - Biên soạn: Ths. Nguyễn Văn Bảy Trang 4 • 3 3 1 sin x cos x (sin x cosx)(1 sin xcosx) (sin x cosx)( 1 sin2x) 2 − = − + = − + • 4 4 2 2 2 2 2 2 1 sin x cos x (sin x c x) 2sin xcos x 1 sin 2x 2 os+ = + − = − • 6 6 2 2 4 4 2 2 sin x cos x (sin x c x)(sin x cos x sin xcos x) os + = + + − 2 3 1 sin 2x 4 = − 8. Bảng giá trị lượng giác các cung có số ño từ 0 ñến π : 0 0 0(rad) 30 0 6 π 45 0 4 π 60 0 3 π 90 0 2 π 120 0 3 2 π 135 0 4 3 π 150 0 6 5 π 180 0 π sin 0 2 1 2 2 2 3 1 2 3 2 2 2 1 0 cos 1 2 3 2 2 2 1 0 2 1 2 2 2 3 1 tan 0 3 1 1 3 || 3 1 3 1 0 cot || 3 1 3 1 0 3 1 1 3 || B. MỘT SỐ VÍ DỤ ÁP DỤNG: 1. Chứng minh ñẳng thức: Ví dụ 1. Chứng minh rằng a a a cot 2 cot sin 1 −= Giải 2 cot 2 cos 2 sin2 2 cos2 sin cos1 sin cos sin 1 cot sin 1 2 a aa a a a a a a a a == + =+=+ 2. Rút gọn biểu thức: Ví dụ 2. Rút gọn biểu thức 4 8 A cosa cos(a ) cos(a ) 3 3 π π = + + + + Giải TRUNG TÂM LUYỆN THI OLYMPIA TÀI LIỆU LUYỆN THI ðẠI HỌC 1137 - 1179 - Ngô Quyền - Q. Sơn Trà - ðà Nẵng - ðT: 0511 3987 7272 - Biên soạn: Ths. Nguyễn Văn Bảy Trang 5 0cos) 2 1 .(2cos 3 4 cos)2cos(2cos 2 ) 3 8 ( 3 4 cos 2 3 8 3 4 cos2cos ) 3 8 cos() 3 4 cos(cos =−+= ++= +−++++ += ++++= aa aa aaaa a aaaA π π ππππ π π 3. Biến ñổi thành tích: Ví dụ 3. Biến ñổi thành tích: A = sin2x + sin4x + sin6x + sin8x Giải Ta có A = (sin8x + sin2x) + (sin6x + sin4x) = 2sin5xcos3x + 2sin5xcosx = 2sin5x(cos3x + cosx) = 4sin5xcos2xcosx Ví dụ 4. Biến ñổi thành tích: B = 1 + cos2x + sin3x+ sinx Giải B = (1 + cos2x) + (sin3x+ sinx) = 2cos 2 x + 2sin2xcosx = 2cosx(sin2x + cosx) =       −+ ) 2 sin(2sincos2 xxx π ) 2 3 4 cos() 2 4 sin(cos2 xx x +−+= π π 4. Nhận dạng tam giác: Ví dụ 1: Cho tam giác ABC nhọn và thỏa mãn hệ thức: tanA + tanB tanC = 33 Chứng minh rằng tam giác ABC ñều. Giải TRUNG TÂM LUYỆN THI OLYMPIA TÀI LIỆU LUYỆN THI ðẠI HỌC 1137 - 1179 - Ngô Quyền - Q. Sơn Trà - ðà Nẵng - ðT: 0511 3987 7272 - Biên soạn: Ths. Nguyễn Văn Bảy Trang 6 Ta có: A B C tan(A B) tan( C) tanA tanB tanC 1 tanAtanB tanA tanB tanC(1 tanAtanB) tanA tanB tanC tanAtanBtanC + = π− ⇒ + = π − + ⇔ = − − ⇔ + = − − ⇔ + + = Áp dụng bất ñẳng thức Côsi, ta có: 33tantantan 27)tantan(tan tantantan3tantantan tantantan3tantantan 2 3 3 ≥++⇒ ≥++⇒ ++≥++⇒ ≥++ CBA CBA CBACBA CBACBA ðẳng thức xảy ra ⇔ tanA = tanB = tanC ⇔ A = B = C Vậy tam giác ABC ñều. Ví dụ 2. Cho tam giác ABC có ba góc A, B và C thỏa mãn hệ thức: sin(A + B) + sin(B + C) + cosA = 2 3 (1) Chứng minh rằng tam giác ABC cân. Tìm số ño các góc A, B và C. Giải Do A + B + C = π nên áp dụng công thức về hai góc bù nhau ta có: 2 3 1 2 cos2 2 cos 2 sin2 2 3 cossinsin)1( 2 =       −− −+ ⇔ =−+⇔ ACBCB ABC 0 2 sin 2 cos 2 cos2 01 2 cos 2 cos 2 cos 2 sin4 2 cos4 01 2 cos 2 sin4 2 cos4 01 2 cos 2 sin4 2 cos4 2 2 222 2 2 = − +       − −⇔ =+ − − − + − −⇔ =+ − −⇔ =+ −+ −⇔ CBCBA CBCBCBAA CBAA CBCBA TRUNG TÂM LUYỆN THI OLYMPIA TÀI LIỆU LUYỆN THI ðẠI HỌC 1137 - 1179 - Ngô Quyền - Q. Sơn Trà - ðà Nẵng - ðT: 0511 3987 7272 - Biên soạn: Ths. Nguyễn Văn Bảy Trang 7 A B C A B C 2cos cos 0 2cos cos 0 2 2 2 2 B C B C 0 sin 0 2 −  − − =   − =   ⇔ ⇔   −   − = =         =− = ⇔ 0 2 1 2 cos CB A      == = ⇔ 0 0 30 120 CB A ⇒ Tam giác ABC cân tại A và A = 120 0 , B = C = 30 0 . Ví dụ 3. Chon tam giác ABC có ba góc A, B và C theo thứ tự ñó lập thành một cấp số cộng và thỏa mãn hệ thức: 2 33 sinsinsin + =++ CBA (1) Chứng minh rằng tam giác ABC vuông. Giải Ba góc A, B và C theo thứ tự ñó tạo thành một cấp số cộng thì A + C = 2B mà A + B + C = 180 0 ⇒ 3B = 180 0 ⇒ B = 60 0 Do ñó: 0 0 0 0 3 3 3 3 1 2 2 2 3 2 2 2 2 3 2 2 2 2 3 3 2 2 2 2 3 2 2 30 60 2 2 60 3 30 2 ( ) sin A sinC sin A sinC A C A C sin .cos B A C cos .cos A C . cos A C cos A C A C ( ) A C A C ( ) + ⇔ + + = ⇔ + = + − ⇔ = − ⇔ = − ⇔ = − ⇔ = −  =   − = ⇔ ⇔   − − = −   = −   (2) không thỏa mãn vì A < C. TRUNG TÂM LUYỆN THI OLYMPIA TÀI LIỆU LUYỆN THI ðẠI HỌC 1137 - 1179 - Ngô Quyền - Q. Sơn Trà - ðà Nẵng - ðT: 0511 3987 7272 - Biên soạn: Ths. Nguyễn Văn Bảy Trang 8 Do ñó ta có:      = = ⇔      −=− ==+ 0 0 0 0 90 30 60 1202 C A CA BCA Vậy, tam giác ABC vuông tại C. C. BÀI TẬP VẬN DỤNG: Bài 1. Rút gọn biểu thức: 2 2 2 2 2 1 1 4 2 ( tan x ) A tan x sin xcos x − = − )cossin21(2cos cossin 22 88 xxx xx B − − = C = 2(sin 6 x + cos 6 x) – 3(sin 4 x + cos 4 x) 8 8 2 2 2 1 2 sin x cos x D cos x( sin xcos x ) − = − 2 2 3 3 E cos x cos x cos x π π     = + − + +         2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 sin x cos x F ( sin x ) ( cos x ) + + = + − − Bài 2. Chứng minh rằng: a) x x x x 2 sin 1 sin21 2 cos 1 tan 2 − − =+ b) tanx = cotx – 2cot2x c) 3 3 2 2 5 5 10 sin x cos x sin x sin x cos x sin x − = − Bài 3. Biến ñổi thành tích: A = sinx + sin2x + sin3x B = sin3x + cos4x – sin5x C = 1 + cosx + cos2x + cos3x D = 1 + cos2x + sin3x + sin5x E = cos2x + cos4x + cos6x + cos8x F = cosx - cos4x + cos6x - cos8x G = cos 2 x + cos 2 2x + cos 2 3x + cos 2 4x – 2 Bài 4. Biến ñổi thành tích: A = cos 3 x – sin 3 x – cosxsin 2 x + sinx TRUNG TÂM LUYỆN THI OLYMPIA TÀI LIỆU LUYỆN THI ðẠI HỌC 1137 - 1179 - Ngô Quyền - Q. Sơn Trà - ðà Nẵng - ðT: 0511 3987 7272 - Biên soạn: Ths. Nguyễn Văn Bảy Trang 9 B = 3cos 4 x + 4sin 2 xcos 2 x + sin 4 x 4 4 C sin x cos x sin4x 1 = + + − Bài 5: Biến ñổi thành tích: a) sin4x + 2sin2x + 2cos 2 x b) cos2x + sin2x + 1 c) cos4x + sin5x + sinx + 1 d) cos3x – cosx + sin4x e) cos3x + sin2x + 3cosx f) sin3x + cos2x + 4sin 3 x – 1 Bài 6. Biến ñổi thành tích a) 2 4 4 sin x cos x cos x π π     − + + +         b) 3 4 2 2 sin x .cos x sin x π π     − + +         c) 5 2 3 4 2 cos x sin xcos x sin x π   − + +     TRUNG TÂM LUYỆN THI OLYMPIA TÀI LIỆU LUYỆN THI ðẠI HỌC 1137 - 1179 - Ngô Quyền - Q. Sơn Trà - ðà Nẵng - ðT: 0511 3987 7272 - Biên soạn: Ths. Nguyễn Văn Bảy Trang 10 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Trong các ñề thi tuyển sinh ðại học, cao ñẳng, câu hỏi phương trình lượng giác luôn có mặt và chiếm tỷ trọng1/10 tổng số ñiểm của bài thi. Những bài phương trình lượng giác thường gây không ít khó khăn ñối với nhiều em học học sinh. Có lẽ lí do mà các em thường cảm thấy khó khăn khi giải các phương trình lượng giác là có quá nhiều công thức biến ñổi lượng giác nên không biết sử dụng công thức nào ñể biến ñổi và ñưa phương trình ñã cho về dạng thường gặp. Sau ñây là một vài kinh nghiệm nhỏ giúp các em học sinh tự tin hơn khi giải một phương trình LG, hướng tới kì thi tuyển sinh ðại học sắp ñến. ðể giải ñược một phương trình lượng giác các em cần: 1) Nắm vững các công thức nghiệm của các phương trình lượng giác cơ bản. 2) Nhận dạng và giải ñược các phương trình lượng giác thường gặp: +Phương trình bậc nhất theo sin và cos. + Phương trình bậc hai theo một hàm số LG. + Phương trình ñẳng cấp ñối với sin và cos + Phương trình ñối xứng. 3) Thuộc các công thức lượng giác. 4) Khi tiến hành giải một phương trình lượng giác các em nên: + Tìm cách ñưa về các phương trình LG thường gặp. + Nếu các cung khác nhau thì tìm cách ñưa về cùng một cung. + Nếu cung có dạng       ± 2 π kx hoặc       ± 4 π kx thì tìm cách làm mất phần       ± 2 π k và       ± 4 π k này. + Dùng các công thức hạ bậc và hằng ñẳng thức sin 2 a + cos 2 a = 1 khi trong ñề có lũy thừa chẵn hoặc có biểu thức ñối xứng của sin 2n x và cos 2n x . + Dùng các công thức biến ñổi ñưa phương trình về dạng tích. Sau ñây là các ví dụ minh họa: [...]... + k 2π 2 cos x = 1 ⇔ x = k 2π cos x = 0 ⇔ x = sin x = 0 ⇔ x = kπ π π 2 + kπ + k 2π cos x = −1 ⇔ x = π + k 2π 2 Chú ý: N u m khơng ph i là giá tr lư ng giác c a cung đ c bi t thì ta có th s d ng cơng th c sau đ bi u bi n nghi m c a phương trình lư ng giác  x = arcsin m + k2π sin x = m ⇔  (−1 < m < 1) x = π − arcsin m + k2π   x = arccos m + k2π cos x = m ⇔  (−1 < m < 1) x = arccos m + k2π  tgx...TRUNG TÂM LUY N THI OLYMPIA TÀI LI U LUY N THI ð I H C PHƯƠNG TRÌNH LƯ NG GIÁC CĂN B N A TỌM TÀÕT LÝ THUY T: 1 Cạc phỉång trçnh LG cå bn:  x = a + k 2π sin x = sin a ⇔   x = π − a + k 2π  x = a + k 2π cos x = cos a ⇔   x = − a + k 2π tan x = tan a ⇔ x = a = kπ cot x =... - 1179 - Ngơ Quy n - Q Sơn Trà - ðà N ng - ðT: 0511 3987 7272 - Biên so n: Ths Nguy n Văn B y Trang 16 TÀI LI U LUY N THI ð I H C TRUNG TÂM LUY N THI OLYMPIA PHƯƠNG TRÌNH B C HAI THEO M T HÀM S LƯ NG GIÁC A TỌM TÀÕT LÝ THUY T: asin 2 x + bsinx + c = 0 Dảng: acos 2 x + bcosx + c = 0 Âàût t = sinx (– 1≤ t ≤ 1) Âàût t = cosx (– 1≤ t ≤ 1) atan 2 x + btanx + c = 0 Âàût t = tanx acot 2 x + bcotx + c = 0... + V i t = 2 , ta có sin2x = 2 ⇔ sin2x = sin 3 ⇔  (k ∈Z ) π  x = + kπ Ví d 2: Gi i phương trình: 4cosx + cos2x – 5=0 Nh n xét: Phương trình này chưa có d ng phương trình b c hai theo m t hàm s lư ng giác Tuy nhiên, n u thay cos2x b i 2cos2x – 1 thì phương trình đã cho tr thành phương trình b c hai theo hàm s cosx Gi i: Ta có: 1137 - 1179 - Ngơ Quy n - Q Sơn Trà - ðà N ng - ðT: 0511 3987 7272 - Biên... 2 1137 - 1179 - Ngơ Quy n - Q Sơn Trà - ðà N ng - ðT: 0511 3987 7272 - Biên so n: Ths Nguy n Văn B y Trang 29 TRUNG TÂM LUY N THI OLYMPIA TÀI LI U LUY N THI ð I H C HỈÅÏNG DÁÙN GII PHƯƠNG TRÌNH LƯ NG GIÁC CƠ B N Bi 1 HS t gi i Bi 2 Gii cạc phỉång trçnh: 1) sin 3 x sin 5 x − cos 4 x cos 6 x = 0 1 1 ⇔ (cos 2 x − cos 8 x ) − (cos 2 x − cos 10 x ) = 0 2 2 ⇔ cos 8 x = cos 10 x  x = kπ 10 x = 8 x + k 2π... - 1179 - Ngơ Quy n - Q Sơn Trà - ðà N ng - ðT: 0511 3987 7272 - Biên so n: Ths Nguy n Văn B y Trang 35 TRUNG TÂM LUY N THI OLYMPIA TÀI LI U LUY N THI ð I H C PHƯƠNG TRÌNH B C HAI THEO M T HÀM S LƯ NG GIÁC Bi 1 Gii cạc phỉång trçnh: 1) và 2) HS t gi i 2 3) 3 sin x + sin x + cos 2 x − 3 = 0 DH: cos2x = 1 – 2sin2x 4) cos 3 x + cos 3 x + cos 6 x − 3 = 0 HD: cos6x = 2cos23x – 1 5) sin3x + 2sin3xcos2x = . TRÌNH LƯỢNG GIÁC Trong các ñề thi tuyển sinh ðại học, cao ñẳng, câu hỏi phương trình lượng giác luôn có mặt và chiếm tỷ trọng1/10 tổng số ñiểm của bài thi. Những bài phương trình lượng giác. Bảy Trang 1 MỤC LỤC Trang Các công thức lượng giác 2 Phương trình lượng giác cơ bản 10 Phương trình bậc hai theo một hàm số lượng giác 17 Phương trình bậc nhất theo sin và cos 20. ñược một phương trình lượng giác các em cần: 1) Nắm vững các công thức nghiệm của các phương trình lượng giác cơ bản. 2) Nhận dạng và giải ñược các phương trình lượng giác thường gặp: +Phương