Chuyên đề 8: LƯỢNG GIÁC TÓM TẮTGIÁO KHOA A.. Định nghĩa các hàm số lượng giác: a.. Định nghĩa: Trên đường tròn lượng giác cho AM=α... Biến đổi thành tổng biểu thức: A=cos5x.cos3x 2.
Trang 1Chuyên đề 8: LƯỢNG GIÁC
TÓM TẮTGIÁO KHOA
A KIẾN THỨC CƠ BẢN:
I Đơn vị đo góc và cung:
1 Độ:
Góc 1 0 góc bẹt
180
1
=
2 Radian: (rad)
180 0 = π rad
3 Bảng đổi độ sang rad và ngược lại của một số góc (cung ) thông dụng:
Radian 0
6
π
4
π
3
π
2
π
3
2π
4
3π
6
II Góc lượng giác & cung lượng giác:
1 Định nghĩa:
2 Đường tròn lượng giác:
Số đo của một số cung lượng giác đặc biệt:
π
π
π
π
k
C
A
k C
k A
+
→
→
+
→
+
→
+
→
→
2
D
B,
k
,
2 2
D
2k
2 2
B
2k
x
y
(tia gốc)
Z) (k 2 )
, (Ox Oy =α +k π ∈
+
t
(tia ngọn)
O
α
o
180
O
+
−
x
y
O
B
D
x
y
B
α
(điểm gốc)
+
t
(điểm ngọn)
π
α k 2
Trang 2III Định nghĩa hàm số lượng giác:
1 Đường tròn lượng giác:
• A: điểm gốc
• x'Ox : trục côsin ( trục hoành )
• y'Oy : trục sin ( trục tung )
• t'At : trục tang
• u'Bu : trục cotang
2 Định nghĩa các hàm số lượng giác:
a Định nghĩa: Trên đường tròn lượng giác cho AM=α
Gọi P, Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên x'Ox vàø y'Oy
T, U lần lượt là giao điểm của tia OM với t'At và u'Bu
Ta định nghĩa:
cos sin
tg cot
OP OQ AT
α α α α
=
=
=
=
b Các tính chất :
• Với mọi α ta có : − ≤1 sinα ≤1 hay sinα ≤1
− ≤1 cosα ≤1 hay cosα ≤1
• tg xác định
π
• cotg xác định α ∀ ≠α kπ
c Tính tuần hoàn
sin( 2 ) sin
k k
(k∈Z)
+
−
x
y
O
B
D
1
1 1
=
R
1
−
1
−
'
x
'
t
'
t
'
y
'
u
'
t
t
x u
'
y
'
t
1
−
Q
B
T
α
M
α
A P U
Trục cosin
Trục tang
+
−
Trang 3IV Giá trị các hàm số lượng giác của các cung (góc ) đặc biệt:
Ta nên sử dụng đường tròn lượng giác để ghi nhớ các giá trị đặc biệt
- 3
-1
- 3 /3
(Điểm gốc)
t
t'
y
y'
x x'
u u'
- 3 -1 - 3 /3
1
1 -1
-1
-π/2
π
5π/6 3π/4 2π/3
-π/6 -π/4 -π/3
-1/2
- 2 /2
- 3 /2
-1/2
- 2 /2
3 /2
2 /2 1/2
A
π/3 π/4 π/6
3 /3
3
B π/2 3 /3 1 3
O
00 300 450 600 900 1200 1350 1500 1800 3600
Góc
π
4
π
3
π
2
π
3
2π
4
3π
6
sinα 0
2
1 2
2 2
23
22
2
cosα 1
23 2
2 2
2
1
−
2
2
−
2
3
tgα 0
3
3
cotgα kxđ 3 1
3
3
3
+
−
Trang 4V Hàm số lượng giác của các cung (góc) có liên quan đặc biệt:
Đó là các cung :
1 Cung đối nhau : α và -α (tổng bằng 0) (Vd:
6
&
6
π π
− ,…)
2 Cung bù nhau : α và -π α ( tổng bằng π ) (Vd:
6
5
&
6
π
3 Cung phụ nhau : và
2
π
α −α ( tổng bằng
2
π ) (Vd:
3
&
6
π
4 Cung hơn kém
2
π : và
2
π
α +α (Vd:
3
2
&
6
π
5 Cung hơn kém π : α và π α+ (Vd:
6
7
&
6
π
1 Cung đối nhau: 2 Cung bù nhau :
cos( ) cos
sin( ) sin
( )
− = −
sin( ) sin ( )
3 Cung phụ nhau : 4 Cung hơn kém
2
π
cos( ) sin
2
sin( ) cos
2
( )
2
cot ( ) t
2
− =
cos( ) sin 2
sin( ) cos 2
( ) 2
cot ( ) t 2
+ = −
+ = −
5 Cung hơn kém π :
( )
cot ( ) cot
Phụ chéo Hơn kém 2
π
sin bằng cos cos bằng trừ sin
Hơn kém π
tang , cotang
Trang 5Ví dụ 1: Tính )
4
11 cos(− π ,
4
21π
tg
Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức: ) cos(2 ) cos(3 )
2
VI Công thức lượng giác:
1 Các hệ thức cơ bản:
2 2
sin
tg =
cos cos cotg =
sin
α α
α α α
α
2
2 2
2
1
1 tg =
cos 1
1 cotg =
sin
tg cotg = 1
α
α α
α
+ +
Ví dụ: Chứng minh rằng:
1 cos4x+sin4 x= −1 2sin cos2 x 2x
2 cos6x+sin6x=1−3sin2 xcos2 x
2 Công thức cộng :
cos( ) cos cos sin sin cos( ) cos cos sin sin sin( ) sin cos sin cos sin( ) sin cos sin cos
tg +tg tg( + ) =
tg tg tg( ) =
tg tg
tg tg
α β
α β
α β
α β
−
−
−
+
Ví dụ: Chứng minh rằng:
π
π
4
4
3 Công thức nhân đôi:
α α
α α
α
= −
=
=
−
2 2 2
2
4 4
2
cos2 cos sin
2 cos 1
1 2sin cos sin sin 2 2sin cos
2
2 1
tg tg
tg
2
2 cos 1
=
2
2 cos 1 sin2α = − α
α α
2
1 cos
Trang 64 Công thức nhân ba:
3
3
sin 3 3sin 4 sin
5 Công thức hạ bậc:
α
α α
α α
α α
2 cos 1
2 cos 1
; 2
2 cos 1 sin
; 2
2 cos 1
+
−
=
−
=
+
6.Công thức tính sin ,cos ,tg α α α theo
2
t = tg α
sin 2 2; cos 1 22; 2 2
7 Công thức biến đổi tích thành tổng :
1 cos cos cos( ) cos( )
2 1 sin sin cos( ) cos( )
2 1 sin cos sin( ) sin( )
2
Ví dụ:
1 Biến đổi thành tổng biểu thức: A=cos5x.cos3x
2 Tính giá trị của biểu thức:
12
7 sin 12
5
=
B
8 Công thức biến đổi tổng thành tích :
cos cos
cos cos
α β
α β
+
−
4
cos 3 3 cos
=
4
3 sin sin
3
Trang 7Ví dụ: Biến đổi thành tích biểu thức: A=sinx+sin2x+sin 3x
9 Các công thức thường dùng khác:
cos sin 2 cos( 4) 2 sin( 4)
8
4 cos 3 5 sin
cos
4
4 cos 3 sin
cos
6 6
4 4
α α
α
α α
α
+
= +
+
=
+
B PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Các bước giải một phương trình lượng giác Bước 1: Tìm điều kiện (nếu có) của ẩn số để hai vế của pt có nghĩa
Bước 2: Sử dụng các phép biến đổi tương đương để biến đổi pt đến một pt đã biết cách giải
Bước 3: Giải pt và chọn nghiệm phù hợp ( nếu có)
Bước 4: Kết luận
I Định lý cơ bản: ( Quan trọng )
u = v+k2 sinu=sinv
u = -v+k2
u = v+k2 cosu=cosv
u = -v+k2 tgu=tgv u = v+k (u;v )
2 cotgu=cotgv u = v+k (u;v k )
k
π
π π
π
⎡
⇔ ⎢
⎣
⎡
⇔ ⎢
⎣
( u; v là các biểu thức chứa ẩn và k∈Z )
Ví dụ : Giải phương trình:
1 sin3 sin( 2 )
4
x= π − x 2
4
3 cos ) 4
x
3 cos3x=sin2x 4 sin4 cos4 1(3 cos6 )
4
II Các phương trình lượng giác cơ bản:
1 Dạng 1: sinx = m ; cosx = m ; tgx = m ; cotgx = m ( ∀m∈R)
* Gpt : sinx = m (1)
• Nếu m >1 thì pt(1) vô nghiệm
• Nếu m ≤1 thì ta đặt m = sinα và ta có (1) sinx=sin x = +k2
x = ( - )+k2
α
⎡
⎣
* Gpt : cosx = m (2)
Trang 8• Nếu m >1 thì pt(2) vô nghiệm
• Nếu m ≤1 thì ta đặt m = cosβ và ta có (2) cosx=cos x = +k2
β
⎡
⎣
* Gpt: tgx = m (3) ( pt luôn có nghiệm ∀m∈R)
• Đặt m = tgγ thì
(3) ⇔ tgx = tg γ ⇔ x = +kγ π
* Gpt: cotgx = m (4) ( pt luôn có nghiệm ∀m∈R)
• Đặt m = cotgδ thì
(4) ⇔ cotgx = cotg δ ⇔ x = +kδ π
Các trường hợp đặc biệt:
sin 1 x = 2
2 sinx = 0 x = k sin 1 x = 2
2 cos 1 x = 2 cosx = 0 x = + k
2 cos 1 x = 2
π
π
⇔
⇔
Ví dụ:
1) Giải các phương trình :
a) sin 2 =1
2
x b) cos( ) 2
x−π = −
c) ) 3 0
6 2 sin(
3 cos(
x
e) sin2x+cos2x=1 f) cos4 x+sin4 x=cos2x
2) Giải các phương trình:
a) 1 cos+ 4x−sin4 x=2 cos2x c) 4(sin4 x+cos4 x)+sin4x−2=0 b) sin6 x+cos6x=cos4x d) sin cos3 cos sin3 1
4
2 1 ( sin cotgx+ x +tgx tg x =
Trang 92 Dạng 2:
2 2 2 2
0
atg x btgx c
( a ≠0)
Cách giải:
Đặt ẩn phụ : t = sinx ( t = cosx; t = tgx; t = cotgx)
Ta được phương trình : at2+ + =bt c 0 (1) Giải phương trình (1) tìm t, rồi suy ra x
Chú ý : Phải đặt điều kiện thích hợp cho ẩn phụ (nếu có)
Ví dụ :
a) 2 cos2 x+5sinx− =4 0 b) cos2 4 cos 5 0
2
x− x+ = c) 2sin2x= +4 5cosx d) 2 cos cos2x x= +1 cos2x+cos3x
e) sin4 cos4 sin 2 1
2
2 cos(
) cos (sin
g) sin4 cos4 1 2sin
x+ x = − x h)
0 cos sin cos
sin4 x+ 4 x+ x x=
sin 2 2
cos sin ) sin (cos
=
−
− +
x
x x x
2 sin 2 1
3 sin 3 cos (sin
+
+
x
x x
x
3 Dạng 3:
cosa x b+ sinx c= (1) ( a;b 0)≠
Cách giải:
• Chia hai vế của phương trình cho a2+b2 thì pt
2 2 2 2 2 2
• Đặt
b
a
a
a +b = α +b = α với α∈[0;2π)thì :
2 2
c (2) cosx.cos + sinx.sin =
a c
cos(x- ) = (3)
a
b b
α
⇔
+
⇔
+
Pt (3) có dạng 1 Giải pt (3) tìm x
Trang 10
Chú ý :
Pt acosx + bsinx = c có nghiệm ⇔ a2+b2 ≥c2
Ví dụ : Giải các phương trình :
a) +cosx 3 sinx= −1 b) cosx+ 3sinx= 2
c) 4(sin4 x+cos )4x + 3 sin 4x=2 d)
x
tgx
cos
1
3 =
−
1 sin cos
2
2 sin cos
−
−
−
x x
x x
d Dạng 4:
asin2 x b+ sin cosx x c+ cos2x=0 (a;c 0)≠ (1)
Cách giải 1:
Aùp dụng công thức hạ bậc : sin2 1 cos2 và cos2 1 cos2
và công thức nhân đôi : sin cos 1sin 2
2
x x= x thay vào (1) ta sẽ biến đổi pt (1) về dạng 3
Cách giải 2: ( Quy về pt theo tang hoặc cotang )
Chia hai vế của pt (1) cho cos x2 ta được pt:
atg x btgx c2 + + =0
Đây là pt dạng 2 đã biết cách giải
Chú ý: Trước khi chia phải kiểm tra xem x k
2
π
= + π có phải là nghiệm của (1) không?
Ví dụ : Giải phương trình:
3sin2 x+(1− 3)sinx.cosx−cos2 x+1− 3 =0
d Dạng 5:
(cosa x+sin )x +bsin cosx x c+ =0 (1)
Cách giải :
4
Do (cos sin )2 1 2sin cos sinx.cosx=t2 1
2
• Thay vào (1) ta được phương trình :
2 1 0
2
t
at b+ − + =c (2)
Trang 11• Giải (2) tìm t Chọn t thỏa điều kiện rồi giải pt: 2 cos( )
4
x−π =t tìm x
Ví dụ : Giải phương trình :
sin 2x−2 2(sinx+cos ) 5 0x − =
Chú ý : Ta giải tương tự cho pt có dạng : (cosa x−sin )x b+ sin cosx x c+ =0
Ví dụ : Giải phương trình :
sin2x+4(cosx−sin ) 4x =
4 Các phương pháp giải phương trình lượng giác thường sử dụng :
a Phương pháp 1: Biến đổi pt đã cho về một trong các dạng pt lượng giác cơ bản đã biết
Ví dụ: Giải phương trình:
0
2
3 2 sin cos
sin4 x+ 4x+ x− =
b Phương pháp 2: Biến đổi pt đã cho về dạng tích số
Cơ sở của phương pháp là dựa vào các định lý sau đây:
0 A=0
B=0
⎣ hoặc
A=0 0 B=0
C=0
A B C
⎡
⎢
⎢⎣
Ví dụ : Giải các phương trình :
a sin2 x+sin 22 x+sin 32 x=2 b sin 32 x−cos 42 x=sin 52 x−cos 62 x
c 2sin3 x+cos2x−cosx=0 d ) 3 0
4 sin(
2 cos 2 2 2
x x
x
c Phương pháp 3: Biến đổi pt về dạng có thể đặt ẩn số phụ
Một số dấu hiệu nhận biết :
* Phương trình chứa cùng một một hàm số lượng giác ( cùng cung khác lũy thừa)
Ví dụ : Giải các phương trình :
a cos3x+cos2x−cosx−1=0
b 4cos3 x−cos2x−4cosx+1=0
cos
x
d sin4 x+cos22x=2
* Phương trình có chứa (cosx±sin ) và sinx.cosxx
Ví dụ : Giải phương trình : a +1 sin3 +cos3 =3sin 2x
2
x x
b sin3 x+cos3 x=2(sinx+cosx)−1
Trang 12BÀI TẬP RÈN LUYỆN DẠNG 1: Giải phương trình lượng giác
Sử dụng 1 trong 3 phương pháp sau
• Biến đổi phương trình về dạng phương trình lượng giác cơ bản
• Biến đổi phương trình về dạng phương trình tích số
• Biến đổi phương trình về dạng có thể đặt ẩn số phụ chuyển về phương trình đại số
Bài 1: Giải các phương trình lượng giác sau
4 sin(
2 cos 2 2 2
x x
2
5 cos 2
sin 2
3 cos 2
7
3)
6 cos 3 ) 2 3 ( cos ) 2 2 ( cos ) 2 (
x x
x
4)
) 4 ( sin 2
2 sin 1 2
sin
2
sin 2 cos
2
4 4
π
+
+
=
−
x
x x
x x
5) cos7x+sin8x=cos3x−sin2x
6) 2sinx+cosx=sin2x+1
Bài 2 : Giải các phương trình lượng giác sau
1.2sin3x+cos2x+cosx=0 8 sin (2 ) 2 cos2 0
x
x x− x= π − − 9 cos (cos2 1) 2(1 sin )
+
3 9sinx+6 cosx−3sin 2x+cos2x=8 10 2 1cos sin3
3
+
cos
x
− + =
4
(2 sin 2 )sin3 1
cos
tg x
x
− + = 12 cot 1 cos2 sin2 1sin 2
x
tgx
+
6 3−tgx tgx( +2sin ) 6 cosx + x=0 13 cot 4sin 2 2
sin 2
x
7 cos2x+cos (2x tg x2 − =1) 2 14 cos cos2 sin (1 )
2
x
DẠNG 2: Phương trình lượng giác có chứa tham số
Sử dụng phương pháp sau
• Chọn ẩn phụ thích hợp và tìm điều kiện đúng cho ẩn phụ vừa chọn (tùy thuộc vào x)
• Chuyển phương trình về phương trình đại số
• Lập luận để chuyển bài toán đã cho theo ẩn phụ vừa chọn
• Sử dụng phương pháp giải tích hoặc đại số để tìm tham số theo yêu cầu của đề bài
Bài 1: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
sin 2 0
4
1 2 cos cos
x x
gx tgx
x
cos
1 sin
1 cot
( 2
1 1 cos sin
Trang 13có nghiệm ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∈ 2
;
0 π
x
cos
2 ( ) cos cos
4 (
x m x x
Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc )
2
; 0 ( π
Bài 4: Cho phương trình : 3 ( cot ) 1 0
sin
2 + tg x+m tgx+ gx − =
x
Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có nghiệm
Bài 5: Xác định m để phương trình :
2(sin x cos x) cos4x 2sin2x m 04 + 4 + + − =
có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn [0; ]
2
π
Bài 6: Cho phương trình : sin2x−4(cosx−sinx)=m (1)
Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình (1) có nghiệm
Bài 7: Tìm m để phương trình :4(sin x cos x) 4(sin x cos x) sin 4x m4 + 4 − 6 + 6 − 2 = có nghiệm
Bài 8: Cho phương trình cos4x+6sin cosx x m− =0
Định m để phương trình có nghiệm 0;
4
x∈ ⎢⎡⎣ π⎤⎥⎦
Bài 9: Tìm m để phương trình : 2cos2x+(sinx.cosx−m)(sinx+cosx)=0
có nghiệm trên đoạn ⎢⎣⎡0;2⎥⎦⎤
π
Bài 10: Cho phương trình: mtgx
x x
x
−
+
2 2
6 6
sin cos
sin cos
Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm
Bài 11: Cho phương trình: 4 x+ x− 4 =m
) 1 (sin sin
Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm
Bài 12: Tìm m để phương trình : 2 2sin 2x m(1 cosx)+ = + 2 có nghiệm x [ ; ]
2 2
π π
∈ −
-Hết -
