Đang tải... (xem toàn văn)
Tài liệu này là các bài tập Hệ phương trình ôn thi ĐẠI HỌC gồm : Toàn bộ các bài toán là do sưu tầm trên các mạng xã hội và lời giải là do tác giả của bài viết trình bày. Hi vọng và mong muốn các bạn có được nhiều phương pháp giải hệ cũng như những phương án đối mặt khi gặp nó để biến bài toán hệ phương trình trở nên đơn giản hóa và giải quyết nó một cách dễ dàng.
Chuyên đề 1: GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Cẩm nang ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN - gv: NGUYỄN HỮU BIỂN Trang 1 BÀI HỌC 1: GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾ Bài 1: (KB-2010) (1) (2) 2 x x 2 log (3y 1) x 4 2 3y − = + = * ĐK: 1 y 3 > + Từ (1) x 2 3y 1⇒ = − thay vào (2) ta có: ( ) 2 2 y 1 3y 1 3y 1 3y 1 y x 1 2 = − + − = ⇔ = ⇒ = − Bài 2: (KD-2010) (1) 2log (2) 2 2 2 x 4y y 2 0 (x 2) log y 0 − + + = − − = * ĐK: x > 2 và y > 0 + Từ (2) ta có : 2 2 2 2 2log (x 2) 2log y 0 log (x 2) log y y x 2− − = ⇔ − = ⇔ = − thay vào (1) ta có: 2 x 0 x 4x x 2 2 0 x 3 y 1 = − + − + = ⇔ = ⇒ = Bài 3: (KA-2009) (1) 3 (2) 2 2 2 2 2 2 x xy y log (x y ) 1 log (xy) 81 − + + = + = * ĐK: xy > 0 + Từ (1) ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 log (x y ) log 2 log (xy) log (x y ) log (2xy) x y 2xy (x y) 0 x y + = + ⇔ + = ⇔ + = ⇔ − = ⇔ = Thay vào (2) ta có: 2 x 4 x 2 y 3 3 x 2 y = = = ⇔ = − = Bài 4: (1) 2 (2) y x x y log xy log y 2 3 = + = * ĐK: 0 x;y 1< ≠ + Từ (1) ta có: y x y y x y 2 y 2 y y 1 1 log (xy) log y log x log y log y 2 2 x y log x 1 1 log x 1 2. 1 x y log x log x 2 y − = ⇔ + = = = ⇔ + = ⇔ ⇔ = = = − - Với x = y thay vào (2) ta có: x x 2 3 3 2.2 3 2 x log y 2 2 = ⇔ = ⇔ = = ÷ - Với 2 1 x y = thay vào (2) ta có: 2 1 y y 2 2 3+ = (+) Khi y > 1 ta có : 2 2 1 1 0 y y y y 1 2 2 1 2 2 3 2 2 2 > = ⇒ + > > = ⇒ phương trình vô nghiệm Chuyên đề 1: GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Cẩm nang ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN - gv: NGUYỄN HỮU BIỂN Trang 2 (+) Khi 0 < y < 1 ta có : 2 2 1 1 1 y y y y 0 2 2 2 2 2 3 2 2 1 > = ⇒ + > > = ⇒ phương trình vô nghiệm Bài 5: ( ) (1) (2) 3 log x 3 2 x 3 log y 3 2y y 12 3 81y + = − + = * ĐK: x; y > 0 + Từ (1) ta có: 3 x x 3 3 x 27 27 x log y 3 log y 3 x y 3 3 3 y − + = ⇔ = − ⇔ = = ⇔ = thay vào (2) ta có: ( ) 2 x y 4 27 2y y 12 . 81y y y 3 3 9 x 2 = − − + = ⇔ = ⇒ = ⇔ = Bài 6: (KB-2005) (1) 3log (2) 2 3 9 3 x 1 2 y 1 (9x ) log y 3 − + − = − = * ĐK: x 1 0 y 2 ≥ < ≤ + Từ (2) ta có: 3 3 3 3 3 3x 3x 3log (3x) 3log y 3 log (3x) log y 1 log 1 3 y x y y − = ⇔ − = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ÷ Thay vào (1) ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) x 1 y x 1 2 x 1 x 1 2 x 1 2 x 2 x 1 2 x 1 2 x 0 x 2 y = = − + − = ⇔ − + − − + − = ⇔ − − = ⇔ = = BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: 3x 2 x x 1 x 2 5y 4y 4 2 y 2 2 + = − + = + Đáp số : (x ; y) = (0 ; 1) , (2 ; 4) Bài 2: 1 4 4 2 2 1 log (y x) log 1 y x y 25 − − = ÷ + = Đáp số : (x ; y) = (3 ; 4) Bài 3: 2 2 x y x 1 x y y x 2 2 x y + − + = + − = − Đáp số : (x ; y) = (- 1 ; - 1), (1 ; 0) Bài 4: 4 2 x 4 y 3 0 log x log y 0 − + = − = Đáp số : (x ; y) = (1 ; 1), (9 ; 3) Bài 5: 3 3 log y log x 3 3 x 2y 27 log y log x 1 + = − = Đáp số : (x ; y) = (3 ; 9), 1 1 ; 9 3 ÷ Bài 6: x y 5 3 .2 1152 log (x y) 2 − = + = Đáp số : (x ; y) = (- 2 ; 7) Bài 7: x y 3 3 .2 972 log (x 2) 2 = − = Đáp số : (x ; y) = (5 ; 2) Chuyên đề 1: GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Cẩm nang ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN - gv: NGUYỄN HỮU BIỂN Trang 3 Bài 8: 2 3 3 3 2 1 log x log y 0 2 x y 2y 0 − = + − = Đáp số : (x ; y) = (1 ; 1), (- 1 ; 1) Bài 9: 2 3 4 6 y 3 2x y y 2x x log (y 2x).log y 1 + = + − = Đáp số : (x ; y) = (3 ; 9) Bài 10: 2 2 2 2 3 49 7 x 8y 15 y 2 x 15 4x 18y 18 3.log (49x ) log y 3 − + + + − = − + − = Đáp số : (x ; y) = (3 ; 3), (- 3 ; 3), 17 17 17 17 ; , ; 3 3 3 3 − ÷ ÷ Bài 11: 2 2 x y 4 y 2 1 y lg x 2lg 2 lg 1 2 2 + = + + − = + ÷ Đáp số : (x ; y) = 1 1 5; ; 5; 2 2 − ÷ ÷ Bài 12: (x 2) 2 (x 4)(x 1) y(y 5) x 2 lg (y 2) y − − + = + − + = Đáp số : (x ; y) = (6 ; 2) BÀI HỌC 1: GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾ (tiếp theo) Bài 7: (KD-2008) (1) x (2) 2 2 xy x y x 2y 2y y x 1 2x 2y + + = − − − = − * ĐK: x 0 y 0 ≥ ≥ + Từ (1) 2 2 2 xy y x y x y y(x y) (x y) (x y)(x y) (x y)(2y 1 x) 0⇔ + + + = − ⇔ + + + = − + ⇔ + + − = (do x + y > 0) x = 2y + 12y 1 x 0⇔ + − = ⇔ thay vào (2) có: (Do y + 1 > 0) y = 2 x = 5(2y 1). 2y y 2y 2y 2 2y(y 1) 2(y 1) 2y 2+ − = + ⇔ + = + ⇔ = ⇔ ⇒ Bài 8: (KB-2009) (1) x (2) 2 2 2 xy x 1 7y y xy 1 13y + + = + + = + Từ (1) 7y 1 x y 1 − ⇒ = + thay vào (2) có: 2 2 2 4 3 2 2 (7y 1) 7y 1 .y .y 1 13y 36y 33y 5y y 1 0 (y 1) y 1 − − + + = ⇔ − − + + = + + 2 1 (y 1)(y )(36y 15y 3) 0 3 ⇔ − − + + = y 1 x 3 1 y x 1 3 = ⇒ = ⇔ = ⇒ = Bài 9: (KD-2009) (1) (x+y) (2) 2 2 x(x y 1) 3 0 5 1 0 x + + − = − + = * ĐK: x 0≠ Chuyên đề 1: GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Cẩm nang ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN - gv: NGUYỄN HỮU BIỂN Trang 4 + Từ (1) 3 y x 1 x ⇒ = − − thay vào (2) ta có : 2 2 2 x 1 y 1 3 5 1 1 0 2x 6x 4 0 3 x x x 2 y 2 = ⇒ = − − + = ⇔ − + = ⇔ ÷ = ⇒ = − Bài 10: (KA-2011) (1) xy(x (2) 2 2 3 2 2 2 5x y 4xy 3y 2(x y) 0 y ) 2 (x y) − + − + = + + = + + Từ (2) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 xy(x y ) 2 x y 2xy (x y )(xy 1) 2(xy 1) xy 1 (xy 1)(x y 2) 0 x y 2 ⇔ + + = + + ⇔ + − = − = ⇔ − + − = ⇔ + = (+) Với 1 y x = thay vào (1) ta có: 4 2 x 1 y 3x 6x 3 0 x 1 y = = − + = ⇔ = − = (+) Với x 2 2 y 2+ = thay vào (1) ta có: 2 2 3 2 2 2 2 3 3 5x y 4xy 3y (x y )(x y) 0 4x y 5xy 2y x 0− + − + + = ⇔ − + − = 2 2 2 3 3 3 2 2 2 4x y 4xy xy y y x 0 4xy(x y) y (x y) (y x)(y xy y ) 0⇔ − − + + − = ⇔ − − − + − + + = 2 2 2 2 (x y)(3xy 2y x ) 0 (x y)(2xy 2y x xy) 0⇔ − − − = ⇔ − − − + = [ ] 2 y x (x y) 2y(x y) x(x y) 0 (x y) (2y x) 0 x 2y = ⇔ − − − − = ⇔ − − = ⇔ = + Với y = x thay vào x 2 2 y 2+ = x 1 y x 1 y = = ⇒ = − = + Với x = 2y thay vào x 2 2 y 2+ = 2 2 y x 2 5 5 2 2 y x 2 5 5 = ⇒ = ⇒ = − ⇒ = − Bài 11: (KB-2008) x 4 3 2 2 2 x 2x y x y 2x y 2xy 6x 6 + + = + + = + + Hệ (1) x (2) 2 2 2 (x 2xy) 2x y 2xy 6x 6 + = + ⇔ + = + + Từ (2) 2 x xy 3x 3 2 ⇔ = + − thay vào (1) có : 2 2 4 3 2 3 x 0 x 3x 3 2x 9 x 12x 48x 64x 0 x(x 4) 0 17 2 x 4 y 4 = + + = + ⇔ + + + = ⇔ + = ⇔ ÷ = − ⇒ = Bài 12: (KD-2012) (1) 2x (2) 3 2 2 2 xy x 2 0 x y x y 2xy y 0 + − = − + + − − = + Từ (2) Chuyên đề 1: GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Cẩm nang ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN - gv: NGUYỄN HỮU BIỂN Trang 5 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2x 2xy x y y x y 0 2x(x y) y(x y) x y 0 y x (x y)(2x y 1) 0 y 2x 1 ⇔ − − + + − = ⇔ − − − + − = = ⇔ − − + = ⇔ = + (+) Với 2 y x= thay vào (1) ta có: 3 2 x x 2 0 (x 1)(x x 2) 0 x 1 y 1+ − = ⇔ − + + = ⇔ = ⇒ = (+) Với y = 2x + 1 thay vào (1) có: x(2x + 1) + x - 2 = 0 1 5 x y 5 2 1 5 x y 5 2 − − = ⇒ = − ⇔ − + = ⇒ = BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: 3 1 1 x y x y 2y x 1 − = − = + Đáp số: hệ có 3 nghiệm là : x 1 y 1 1 5 1 5 x y 2 2 = ⇒ = − ± − ± = ⇒ = Bài 2: 3 x y x y x y x y 2 − = − + = + + Đáp số: (x ; y) = ( ) 3 1 1;1 , ; 2 2 ÷ Bài 3: 2 x y 2y 1 x y x 2y 3y − = + + + − = Đáp số: (x ; y) = (22 ; 3) Bài 4: 2 2 x 2x y y 3 xy xy x 2y 1 + + + = − + + = Đáp số: (x ; y) = (1 ; 0), (- 1 ; 2) Bài 5: 2 3 4 6 2 2x y y 2x x (x 2) y 1 (x 1) + = + + + = + Đáp số: ( ) ( ) (x;y) 3;3 ; 3;3= − Bài 6: 3 3 2 2 x 4y y 16x 1 y 5(1 x ) + = + + = + Đáp số (x;y) (0;2),(0; 2),(1; 3),( 1;3)= − − − BÀI HỌC 2: GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ Bài 1: 2 2 x y x y 8 xy(x 1)(y 1) 12 + + + = + + = + Hệ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 x x y y 8 x x . y y 12 + + + = ⇔ + + = Đặt 2 2 2 2 1 1 1 u x x x 2 4 4 1 1 1 v y y y 2 4 4 = + = + − ≥ − ÷ = + = + − ≥ − ÷ khi đó ta có hệ : u v 8 u 6 v 2 uv 12 u 2 v 6 + = = ⇒ = ⇔ = = ⇒ = Đáp số : (x ; y) = (2 ; 1); (2 ; - 2); (- 3 ; 1); (- 3 ; 2); (1 ; 2); (- 2 ; 2); (1 ; - 3); (2 ; - 3) Chuyên đề 1: GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Cẩm nang ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN - gv: NGUYỄN HỮU BIỂN Trang 6 Bài 2: ( ) ( ) 2 2 2 2 1 x y 1 5 xy 1 x y 1 49 x y + + = ÷ + + = ÷ * ĐK: xy 0≠ + Hệ 2 2 2 2 2 1 1 1 1 x y 5 x y 5 x y x y 1 1 1 1 x y 49 x 2 y 2 49 x y x y + + + = + + + = ÷ ÷ ⇔ ⇔ + + + = + − + + − = ÷ ÷ + Đặt 1 u x ,u 2 u 2 x 1 v y ,v 2 v 2 y = + ≤ − ∪ ≥ = + ≤ − ∪ ≥ khi đó ta có hệ 2 2 u v 5 u 7 v 2 u 2 v 7 u v 53 + = = ⇒ = − ⇔ = − ⇒ = + = Đáp số: 7 3 5 x ;y 1 2 7 3 5 x 1;y 2 ± = = − ± = − = Bài 3: (KA-2008) 2 3 2 4 2 5 x y x y xy xy 4 5 x y xy(1 2x) 4 + + + + = − + + + = − + Hệ 2 2 2 2 5 x y xy(x y) xy 4 5 (x y) xy 4 + + + + = − ⇔ + + = − Đặt 2 u x y v xy = + = thay vào hệ ta có : (1) (2) 2 5 u uv v 4 5 u v 4 + + = − + = − Từ (2) 2 5 v u 4 ⇒ = − − thay vào (1) 3 2 5 u 0 v 4 4u 4u u 0 1 3 u v 2 2 = ⇒ = − ⇒ + + = ⇔ = − ⇒ = − Đáp số: (x ; y) = 3 3 5 25 3 ; ; 1; 4 16 2 − − ÷ ÷ ÷ Bài 4: 11x y y x 1 7 y x 6y 26x 3 − − − = − + − = Chuyên đề 1: GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Cẩm nang ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN - gv: NGUYỄN HỮU BIỂN Trang 7 * ĐK: 11x y 0 y x 0 − ≥ − ≥ + Hệ 11x y y x 1 7 y x 4(y x) 2(11x y) 3 − − − = ⇔ − + − − − = Đặt u 11x y 0 v y x 0 = − ≥ = − ≥ thay vào hệ ta có : 2 2 v 1 u 2 u v 1 5 v 0 7v 4v 2u 3 2 = ⇒ = − = ⇔ = − < + − = Đáp số: (x ; y) = 1 3 ; 2 2 ÷ Bài 5: 3 3 3 2 2 1 x y 19x y xy 6x + = + = − + Hệ 3 3 3 2 2 1 y 1 1 y 3 y 19 y 19 x x x x y y y 1 6 y 6 x x x x + − + = + = ÷ ÷ ⇔ ⇔ + = − + = − ÷ + Đặt 1 u y x y v x = + = thay vào hệ có : 3 u 1 u 3uv 19 v 6 uv 6 = − = ⇔ = − = − Đáp số: (x ; y) = 1 1 ; 2 ; ;3 3 2 − − ÷ ÷ Bài 6: 2 2 2 x(x y) y 4x 1 x(x y) 2y 7x 2 + + = − + − = + + Hệ 2 2 2 2 2 2 y 1 y 1 x y 4 x y 4 x x x y 1 2y 2 (x y) 2 7 (x y) 7 x x x + + + = + + + = ⇔ ⇔ + + − = + − − = ÷ + Đặt 2 u x y y 1 v x = + + = thay vào hệ có : 2 u v 4 (x;y) (2;1);(5; 2) u 2v 7 + = ⇒ = − − = Bài 7: (KA-2012) 3 2 3 2 2 2 x 3x 9x 22 y 3y 9y 1 x y x y 2 − − + = + − + − + = + Hệ Chuyên đề 1: GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Cẩm nang ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN - gv: NGUYỄN HỮU BIỂN Trang 8 3 3 2 2 2 2 3 2 2 x y 3x 3y 9x 9y 22 0 1 x y x y 2 (x y) 3xy(x y) 3(x y) 6xy 9(x y) 22 0 1 (x y) 2xy (x y) 2 − − − − + + = ⇔ + − + = − + − − − − − − + = ⇔ − + − − = + Đặt u x y v xy = − = thay vào hệ có : (1) u (2) 3 2 2 u 3uv 3u 6v 9u 22 0 1 2v u 2 + − − − + = + − = Từ (2) 2 2u 2u 1 v 4 − + + ⇒ = thay vào (1) và rút gọn ta có : 3 2 2 3 2u 6u 45u 82 0 (u 2)(2u 2u 41) 0 u 2 x 4 − + − = ⇔ − − + = ⇔ = ⇒ = − Đáp số: (x ; y) = 1 3 3 1 ; ; ; 2 2 2 2 − − ÷ ÷ Bài 8: Tìm m để hệ sau có nghiệm 2 2 x y x y 8 xy(x 1)(y 1) m + + + = + + = + Hệ 2 2 2 2 x x y y 8 (x x)(y y) m + + + = ⇔ + + = + Đặt 2 2 1 u x x 4 1 v y y 4 = + ≥ − = + ≥ − khi đó ta có hệ : (1) u.v = m (2) u; v - u v 8 1 4 + = ≥ Từ (1) (Do v 1 1 33 v 8 u 8 u u ) 4 4 4 ⇒ = − ≥ − ⇒ − ≥ − ⇒ ≤ thay vào (2) ta có : (*);- 2 1 33 u 8u m u 4 4 − + = ≤ ≤ . Để hệ đã cho có nghiệm thì phương trình (*) phải có nghiệm thỏa mãn - 1 33 u 4 4 ≤ ≤ ⇔ 2 đồ thị 2 1 33 f(u) u 8u; u 4 4 y m = − + − ≤ ≤ = phải cắt nhau - Có f '(u) 2u 8;f '(u) 0 u 4= − + = ⇔ = Ta có BBT: Chuyên đề 1: GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Cẩm nang ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN - gv: NGUYỄN HỮU BIỂN Trang 9 Từ BBT suy ra giá trị m cần tìm là : 33 m 16 16 − ≤ ≤ Bài 9: (KD-2007) Tìm m để hệ sau có nghiệm 3 3 3 3 1 1 x y 5 x y 1 1 x y 15m 10 x y + + + = + + + = − * ĐK: x, y 0≠ + Hệ 3 3 1 1 x y 5 x y 1 1 1 1 x 3 x y 3 y 15m 10 x x y y + + + = ⇔ + − + + + − + = − ÷ ÷ ÷ ÷ Đặt 1 u x ,u 2 u 2 x 1 v y ,v 2 v 2 y = + ≤ − ∪ ≥ = + ≤ − ∪ ≥ thay vào hệ ta có : (1) (2) 3 3 u v 5 u 3u v 3v 15m 15 + = − + − = − + Từ (1) v 2 5 u 2 u 7 v 5 u Do v 2 5 u 2 u 3 ≤ − − ≤ − ≥ ⇒ = − ⇒ ⇔ ÷ ≥ − ≥ ≤ , kết hợp với u 2 u 2 u 2 2 u 3 u 7 ≤ − ∪ ≥ ⇒ ≤ − ∪ ≤ ≤ ∪ ≥ , thay v = 5 - u vào (2) ta được: 2 u 5u 8 m,u 2 2 u 3 u 7− + = ≤ − ∪ ≤ ≤ ∪ ≥ (*). + Để hệ phương trình đã cho có nghiệm thì PT (*) phải có nghiệm thỏa mãn u 2 2 u 3 u 7≤ − ∪ ≤ ≤ ∪ ≥ ⇔ 2 đồ thị 2 f(u) u 5u 8,u 2 2 u 3 u 7 y m = − + ≤ − ∪ ≤ ≤ ∪ ≥ = phải cắt nhau - Ta có f’(u) = 2u - 5, f’(u) = 0 5 u 2 ⇔ = Từ BBT suy ra giá trị m cần tìm là 7 m 2 4 m 22 ≤ ≤ ≥ Chuyên đề 1: GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Cẩm nang ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN - gv: NGUYỄN HỮU BIỂN Trang 10 Bài 10: (KD-2011) Tìm m để hệ sau có nghiệm (*) 3 2 2 2x (y 2)x xy m x x y 1 2m − + + = + − = − + Từ (*) yx 3 2 2 2 2 2x 2x xy m x (2x y) x(2x y) m (2x y)(x x) m⇔ − − + = ⇔ − − − = ⇔ − − = Hệ 2 2 (2x y)(x x) m x x 2x y 1 2m − − = ⇔ − + − = − + Đặt 2 1 u x x 4 v 2x y = − ≥ − = − khi đó hệ (1) (2) 2 u.v m u v 1 2m 1 u 4 = ⇔ + = − ≥ − Từ (2) 2 v 1 2m u⇒ = − − thay vào (1) có : (**), u - 2 2 1 u u 1 m(2u 1) u u,u m 4 2u 1 4 − + + = − + ≥ − ⇔ = ≥ + + Để hệ đã cho có nghiệm thì phương trình (**) phải có nghiệm thỏa mãn 1 u 4 ≥ − ⇔ 2 đồ thị , u - 2 u u 1 f(u) m 2u 1 4 y m − + = = ≥ + = phải cắt nhau. - Có (lo¹i) 2 2 1 3 u 2u 2u 1 2 f '(u) ,f '(u) 0 (2u 1) 1 3 u 2 − + = − − + = = ⇔ + − − = Từ BBT suy ra giá trị m cần tìm là 2 3 m 2 − ≤ BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: 2 2 2 2 2 x xy y 19(x y) x xy y 7(x y) + + = − − + = − Đáp số : (x;y) (0;0),( 2; 3),(3;2)= − − Bài 2: 3 2 2x xy y 14 x 3x 3x y 1 0 + + = + + − − = Đáp số : (x;y) (1;6);( 3; 10)= − − Bài 3: 3 2 2 3 2 2 x y(1 y) x y (2 y) xy 30 0 x y x(1 y y ) y 11 0 + + + + − = + + + + − = [...]... P = −2 x = 1;y = −2 II HỆ ĐỐI XỨNG LOẠI 2 Là hệ gồm 2 phương trình mà khi ta thay x bởi y và y bởi x thì phương trình trên trở thành phương trình dưới và phương trình dưới trở thành phương trình trên Cách giải: Lấy vế trừ vế nhóm thừa số chung đưa về phương trình tích y2 + 2 3y = x2 Bài 1: (KB-2003) 2 3x = x + 2 y2 * ĐK: x, y ≠ 0 2 2 3yx = y + 2 (1) + Hệ ⇔ 2 2 3xy = x + 2 (2)... + 1 = 3x BÀI HỌC 3: GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH DẠNG CƠ BẢN I HỆ ĐỐI XỨNG LOẠI 1 Là hệ gồm 2 phương trình mà khi ta thay x bởi y và y bởi x thì các phương trình trong hệ không có gì thay đổi x + y = S Cách giải: đặt điều kiện S 2 ≥ 4P xy = P x3 + y 3 = 8 Bài 1: x + y + 2xy = 2 (x + y)3 − 3xy(x + y) = 8 ⇔ Hệ x + y + 2xy = 2 x + y = S S 3 − 3PS = 8 (1) xy = P khi đó ta có hệ : + Đặt ... ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN - gv: NGUYỄN HỮU BIỂN Trang 16 Chuyên đề 1: GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Bài 4: 1 x + 2− 1 =2 y 1 1 + 2− = 2 x y Đáp số : (x ; y) = (1 ; 1) x 3 = y 2 + 7x 2 − mx Bài 5: Tìm m để hệ sau có nghiệm duy nhất 3 Đáp số : m > 16 2 y = x + 7y − my x+1 + y−2 = m Bài 6: Tìm m để hệ sau có nghiệm Đáp số : m ≥ 3 y +1 + x− 2 = m HẾT Cẩm nang ÔN THI ĐẠI... + 5 , do 0 ≤ t ≤ 3 ⇒ VP > 0 , bình phương 2 vế có: t 2 − 6t + 12 = 25 − 10 t 2 + 5 + t 2 + 5 ⇔ 5 t 2 + 5 = 3t + 9 Cẩm nang ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN - gv: NGUYỄN HỮU BIỂN Trang 12 Chuyên đề 1: GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH x = 4 t = 2 ⇒ y = 1 121 ⇔ 25(t 2 + 5) = (3t + 9)2 ⇔ x = 64 t = 11 ⇒ 8 y = 169 64 Chú ý: Nếu hàm số f(t) luôn ĐB hoặc luôn NB trên miền D thì khi đó ∀t1 ;t... ĐK: x + x − 2y ≥ 0 y ≠ 0 + Từ (1) ⇔ 2y + 6y 2 = x − y x − 2y ⇔ x − 2y − y x − 2y − 6y 2 = 0 Cẩm nang ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN - gv: NGUYỄN HỮU BIỂN Trang 11 Chuyên đề 1: GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH x − 2y x − 2y − − 6 = 0 Đặt t = 2 y y t = 3 t2 − t − 6 = 0 ⇔ t = −2 ⇔ x − 2y , khi đó ta có phương trình y 3y ≥ 0 y ≥ 0 ⇔ + Với t = 3 ⇒ x − 2y = 3y ⇔ , thay vào (2) có: 2 2 x − 2y = 9y x = 9y +... P = 0 x = 0;y = 2 Đáp số: x = 2;y = 0 Cẩm nang ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN - gv: NGUYỄN HỮU BIỂN Trang 14 Chuyên đề 1: GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH x2 + y 2 = 5 Bài 2: 4 2 2 4 x − x y + y = 13 (x + y)2 − 2xy = 5 + Hệ ⇔ 2 2 2 (x + y) − 2xy − 3(xy) = 13 x + y = S S 2 -2P=5 (1) S = ±3, P = 2 ⇔ + Đặt xy = P khi đó ta có hệ : 2 2 2 S = ±1;P = −2 2 S − 2P -3P =13... = 2 * ĐK: 0 < x, y ≠ 1 x = 0 y = x ⇒ 3x + 2y = x (1) x = 5 = y + Hệ ⇔ Lấy (1) - (2) ta có : (x − y)(1 − x − y) = 0 ⇔ 2 x = −2 3y + 2x = y (2) y = 1 − x ⇒ x = 2 ⇒ y = −1 Đáp số : (x ; y) = (5 ; 5) 2 Cẩm nang ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN - gv: NGUYỄN HỮU BIỂN Trang 15 Chuyên đề 1: GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH x + 1 + 7 − y = 4 (1) Bài 3: y + 1 + 7 − x = 4 (2) * ĐK: −1 ≤... : 16x4 − 24x 2 + 8 3 − 4x − 3 = 0(**) 5 y = − 2x 2 2 + Ta thấy x = 1 3 là nghiệm của (**), xét hàm g(x) = 16x 4 − 24x 2 + 8 3 − 4x − 3;0 ≤ x ≤ 2 4 Cẩm nang ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN - gv: NGUYỄN HỮU BIỂN Trang 13 Chuyên đề 1: GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH 16 16 3 = 16(4x 2 − 3) − < 0 ; ∀x 0 ≤ x ≤ 4 3 − 4x 3 − 4x 1 Vậy g(x) là hàm nghịch biến nên x = là nghiệm duy nhất của (**) ⇒ y = 2 2 ⇔ g '(x) = 64x 3 −... m m +1 xy(x + 2)(y + 2) = 2 (2 − 1) x+ y =1 1 Bài 7: Tìm m để hệ sau có nghiệm Đáp số : 0 ≤ m ≤ 4 x x + y y = 1 − 3m 1 ( x + y ) 1 + ÷= 4 xy Bài 8: Tìm m để hệ sau có nghiệm x 2 + y 2 1 + 1 = 10m + 6 ÷ x2y 2 1 m = − 5 Đáp số : m ≥ 3 ( ) ( ) BÀI HỌC 2: GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ (tiếp theo) 2 2x + y = 3 − 2x − y (1) Bài 11:... x = 16 ⇔ (x + 1)(7 − x) = 4 ⇔ x = 3 = y x 2 y + m = y 2 (1) 2 2 Bài 4: Tìm m để hệ sau có nghiệm duy nhất y x + m = x (2) m < 0 + Lấy (1) - (2) ta có : (x − y)(xy + y + x) = 0 ⇔ x = y (do m < 0 nên xy + y + x > 0) Thay y = x vào (1) có : − x 3 + x 2 = m, x > 0 (*) - Để hệ đã cho có nghiệm duy nhất thì phương trình (*) phải có nghiệm duy nhất f (x) = − x 3 + x 2 , x > 0 ⇔ 2 đồ thị phải cắt