50 đề thi thử đại học môn toán năm 2015 sưu tầm

∞ng Thành Nam ma thl ink s.v n Khoá gi£i ∑ THPT Qc Gia - Th¶y: Mơn: Tốn; ó S» 01/50 ThÌi gian làm bài: 180 phút, khơng k∫ thÌi gian giao ∑ Liên hª ´ng k˛ khố hÂc: Hotline: 0976 266 202 2x Câu 1(4,0 i∫m) Cho hàm sË y = ( ) x 1 Kh£o sát s¸ bi∏n thiên v≥ Á th‡ hàm sË (1) Cho hai i∫m A(1; 2) B(5; 2) Vi∏t ph˜Ïng trình ti∏p tuy∏n cıa (1) cách ∑u A, B Tìm i∫m M thc (1) có tÍng khoÊng cỏch n trc toĐ ẻ Đt giỏ tr nh‰ nhßt Câu 2(4,0 i∫m) Gi£i ph˜Ïng trình p 1 tan x(1 cos x) = cos x p + ln( x + 1) + x3 2x2 + x = Câu 3(1,5 i∫m) GÂi S hình phØng giĨi h§n bi ˜Ìng y = x2 3x + 1; y = 4x + Tính th∫ tích khËi trịn xoay quay S quanh trˆc hoành Câu 4(1,5 i∫m) GÂi z1 , z2 hai nghiªm cıa ph˜Ïng trình (1 + i ) z2 cıa bi∫u th˘c A = z2 2iz 21 + i = Tính giá tr‡ z2 Câu 5(1,0 i∫m) MỴt trị chÏi quay sË trúng th˜ng vĨi mâm quay mỴt ỉa trịn ˜Ịc chia ∑u thành 10 ˜Ịc ánh sË t˜Ïng ˘ng t¯ n 10 Ngèi chẽi tham gia băng cỏch quay liên ti∏p mâm quay l¶n, mâm quay d¯ng kim quay chø t˜Ïng ˘ng vĨi ã ˜Ịc ánh sË Ng˜Ìi chÏi trúng th˜ng n∏u tÍng cıa hai sË kim quay chø mâm quay d¯ng mỴt sË chia h∏t cho Tính xác st ∫ ng˜Ìi chÏi trúng th˜ng Câu 6(1,5 i∫m) Cho hình l´ng trˆ ABC.A0 B0 C có áy ABC tam giác vng cân t§i A, BC = 2a Hình chi∏u vng góc cıa A0 lên m∞t phØng ( ABC ) trung i∫m c§nh AB, góc gi˙a ˜Ìng thØng A0 C mt ỏy băng 600 Tớnh th tớch khậi lng trˆ ABC.A0 B0 C kho£ng cách t¯ i∫m B ∏n m∞t phØng ( ACC A0 ) Câu 7(3,5 im) Trong khụng gian vểi toĐ ẻ Oxyz cho i∫m A(1; 0; 1) m∞t phØng ( P) : 2x + 2y z 12 = Vi∏t ph˜Ïng trình ˜Ìng thØng d i qua A vng góc vểi ( P) Tỡm toĐ ẻ hỡnh chiu vuụng gúc cıa A ( P) Trong m∞t phØng vÓi trc toĐ ẻ Oxy cho hỡnh ch nht ABCD cú ønh A( 4; 8) GÂi M i∫m thc tia BC tho£ mãn CM = 2BC, N hình chi∏u vuụng gúc ca B trờn DM Tỡm toĐ ẻ im B, bi∏t N (83/13; 1/13)và ønh C thc ˜Ìng thØng 2x + y + = < 4x xy2 x3 = ( x2 + y2 4)(p x + p y Câu 8(1,5 i∫m) Gi£i hª ph˜Ïng trình : ( x y)( x 1)( y 1)( xy + x + y) = Câu 9(1,5 i∫m) Cho a, b, c sË th¸c khơng âm tho£ mãn a Tìm giá tr‡ nh‰ nhßt cıa bi∫u th˘c P = a(b c)5 + b(c —HòT— a)5 + c( a 1) (x, y R) max {b, c} ; a + b + c = b)5 ma thl ink s.v n Khoá gi£i ∑ THPT QuËc Gia - Th¶y: ∞ng Thành Nam Mơn: Tốn; ó S» 02/50 Ngày thi: 25/01/2015 ThÌi gian làm bài: 180 phút (khơng k∫ thÌi gian phát ∑) Liên hª ´ng k˛ khố hÂc: Hotline: 0976 266 202 Câu (2,0 i∫m) Cho hàm sË y = 2x3 3x2 + 1(1) Kh£o sát s¸ bi∏n thiên v≥ Á th‡ hàm sË (1) GÂi A, B i∫m c¸c tr‡ cıa (1) Chng minh tam giỏc AOB vuụng cõn (vểi O l gậc toĐ ẻ) Vit phẽng trỡnh èng thỉng d tip xỳc vểi (1) tĐi im cú honh ẻ x1 > c≠t (1) t§i i∫m có hồnh Î x2 tho£ mãn 2x1 x2 = Câu (1,0 i∫m) log2 ( x + 1)2 = log2 ( x p Gi£i ph˜Ïng trình 2(1 + sin x) + cot x = ⇡ R sin 3x Câu (1,0 i∫m) Tính tích phân I = dx + cos x Câu (1,0 i∫m) Gi£i ph˜Ïng trình log2 ( x2 1) 2)2 3i = Vi∏t z3 d˜Ĩi d§ng l˜Ịng giác 2 Tìm giá tr‡ lĨn nhßt nh‰ nhßt cıa hàm sË y = x + ln( x + 1) [0; 2] p Câu (1,0 i∫m) Cho hình chóp S.ABC có AB = a, AC = a 3, BC = 2a, SA = SB = SC tam giác Cho sË ph˘c z tho£ mãn (1 + i ).z + i.z SBC vng Tính th∫ tích khËi chóp S.ABC kho£ng cách gi˙a hai ˜Ìng thØng SA BC Câu (1,0 im) Trong khụng gian vểi trc toĐ ẻ Oxyz cho m∞t phØng ( P) : x + y z + = x y z èng thỉng d : = = Tỡm toĐ ẻ giao i∫m I cıa d ( P) Vi∏t ph˜Ïng trình ˜Ìng 1 p thØng d0 vng góc vĨi ( P) c≠t d t§i H cho I H = d( H; ( P)) Cõu (1,0 im) Trong mt phỉng toĐ ẻ Oxy cho tam giác ABC có ph˜Ïng trình ˜Ìng phân giác góc A y = GÂi M(1; 4), N (3; 1) lản lềt l cỏc im thuẻc ˜Ìng thØng AB, AC Tìm ✓ ◆ 11 toĐ ẻ cỏc im B, C bit trng tõm tam giác ABC i∫m G ; 3 p < x(3 y) + y 2x = Câu (1,0 i∫m) Gi£i hª ph˜Ïng trình (x, y R) : x2 (p x 2y) x = p5 2y + Câu (1,0 i∫m) Cho a, b, c sË th¸c tho£ mãn a, b, c [0; 2] ; a + b + c = Tìm giá tr‡ nh‰ nhßt a3 + b3 + c3 cıa bi∫u th˘c P = 11 a2 b2 c2 ab + bc + ca + —HòT— ´ng k˛ nhóm hÂc sinh nh™n ˜u ãi hÂc phí - Chi ti∏t t§i: www.mathlinks.vn ma thl ink s.v n Khố gi£i ∑ THPT Qc Gia - Th¶y: ∞ng Thành Nam Mơn: Tốn; ó S» 03/50 Ngày thi: 29/01/2015 ThÌi gian làm bài: 180 phút (khơng k∫ thÌi gian phát ∑) Liên hª ´ng k˛ khố hÂc: Hotline: 0976 266 202 Câu (2,0 i∫m) Cho hàm sË y = x4 2x2 + 1(1) Kh£o sát s¸ bi∏n thiên v≥ Á th‡ hàm sË (1) Tìm m ∫ ph˜Ïng trình x4 2x2 = m có bËn nghiªm phân biªt Vi∏t ph˜Ïng trình ti∏p tuy∏n d cıa (1) tip xỳc vểi (1) tĐi hai im phõn biêt Cõu (1,0 i∫m) p a) Gi£i ph˜Ïng trình log2 ( x2 + 6x + 1) log2 x2 + = + log2 ( x + 1) ⇣ ⇣ 2⇡ ⌘ p ⇡⌘ b) Gi£i ph˜Ïng trình sin 2x cos 2x = 2 cos x + Câu (1,0 i∫m) Tính tích phân I = Câu (1,0 i∫m) R x2 7x + dx i.z| = z2 sË thu¶n £o ✓ ◆n nx2 n b) Cho sË t¸ nhiên n lÓn hÏn khai tri∫n x = a0 + a1 x + + an2 xn Tìm sË h§ng ch˘a x20 khai tri∫n, bi∏t 4an2 2n+2 + an2 3n+6 = a) Tìm sË ph˘c z tho£ mãn | z Câu (1,0 i∫m) Cho hình chóp S.ABCD có áy ABCD hình ch˙ nh™t, AB = 2a, AD = a GÂi M trung i∫m c§nh AB, m∞t phØng ( SAC ) ( SDM) vng góc vĨi m∞t áy ( ABCD ) C§nh bên SC t§o vĨi m∞t áy góc 600 Tính th∫ tích khËi chóp S.ABCD kho£ng cách gi˙a hai ˜Ìng thØng CM, SA Câu (1,0 im) Trong khụng gian vểi trc toĐ ẻ Oxyz cho hai i∫m A(3; 3; 1), B(0; 2; 1) m∞t phØng ( P) : x + y + z = Vit phẽng trỡnh èng thỉng d năm ( P) cách ∑u hai i∫m A, B Tìm toĐ ẻ im M trờn d tam giỏc MAB cú diên tớch nh nhòt Cõu (1,0 im) Trong mt phỉng toĐ ẻ Oxy cho hỡnh vuụng ABCD Gi F i∫m c§nh AB tho£ mãn 7BF = 5FA, ˜Ìng thØng i qua trung i∫m E cıa c§nh AD trÂng tâm G cıa tam giác ABC có ✓ ◆ 13 ph˜Ïng trình 11x 7y + = Bi∏t F ; ønh B cú tung ẻ õm Tỡm toĐ ẻ cỏc ứnh hỡnh vuông ABCD < ( x y + p2xy)( y x) x2 = q Câu (1,0 i∫m) Gi£i hª ph˜Ïng trình : 2xy + ( y 2x)( x + p2xy 4) + p y x = 2x + p x Câu (1,0 i∫m) Cho a, b, c sË th¸c d˜Ïng Tìm giá tr‡ nh‰ nhßt cıa bi∫u th˘c P= p ( a + b)3 (b + c)3 (c + a)3 +p +p 3 2( a + b)( a2 + b2 ) 2(b + c)(b2 + c2 ) 2(c + a)(c2 + a2 ) —HòT— 16 ab + bc + ca ab + bc + ca + ma thl ink s.v n Khoá gi£i ∑ THPT QuËc Gia - Th¶y: ∞ng Thành Nam Mơn: Tốn; ó S» 04/50 Ngày thi: 01/02/2015 ThÌi gian làm bài: 180 phút (khơng k∫ thÌi gian phát ∑) Liên hª ´ng k˛ khố hÂc: Hotline: 0976 266 202 (m 1) x m2 Câu (2,0 i∫m) Cho hàm sË y = (1),(m 6= 1; m 6= 0) x m Kh£o sát s¸ bi∏n thiên v≥ Á th‡ hàm sË (1) vÓi m = 2 Tìm m ∫ ˜Ìng thØng y = 2x ct (1) tĐi hai im phõn biêt A, B cho tam giác OAB có diªn p tích băng (vểi O l gậc toĐ ẻ) Cõu (1,0 i∫m) a) Gi£i bßt ph˜Ïng trình log2 x log x 64 < b) Gi£i ph˜Ïng trình cos 4x + cos x Câu (1,0 i∫m) Tính tích phân I = Câu (1,0 i∫m) = sin 2x(cos x x+1 ln xdx x R x2 a) Tìm nghiªm ph˘c cıa ph˜Ïng trình z2 sin x ) i.z = b) MỴt hỴp ¸ng 10 chi∏c th¥ ˜Ịc ánh sË t¯ ∏n Lòy ngđu nhiờn chic thƠ, tớnh xỏc ch sậ trờn thƠ ềc lòy có th∫ ghép thành mỴt sË chia h∏t cho Câu (1,0 i∫m) Cho hình chóp S.ABCD có áy ABCD l hỡnh vuụng cĐnh 2a Gi M, N lản l˜Ịt trung i∫m c§nh AB, AD, H giao i∫m cıa CN DM Bi∏t SH = 3a vng góc vĨi m∞t áy ( ABCD ) Tính theo a th∫ tích khËi chóp S.CMAD kho£ng cách gi˙a hai ˜Ìng thØng MD SC Câu (1,0 i∫m) Trong khụng gian vểi trc toĐ ẻ Oxyz cho hai i∫m A(0; 2; 1), B(2; 2; 0) m∞t c¶u ( S) : x2 + y2 + z2 2y + 2z = Vi∏t ph˜Ïng trình m∞t phØng ( P) i qua A, B ti∏p xúc vÓi ( S) Câu (1,0 i∫m) Trong m∞t phØng vÓi trˆc toĐ ẻ Oxy cho tam giỏc ABC cú phẽng trỡnh ˜Ìng phân giác góc k¥ t¯ A ˜Ìng cao kƠ t B lản lềt l 3x + y = 0; x i∫m Ëi x˘ng cıa B qua C Tỡm toĐ ẻ cỏc ứnh tam giỏc ABC p p Câu (1,0 i∫m) Gi£i bßt ph˜Ïng trình (3 + 7x 6)(4 + 3x)  y = Gi£ s˚ i∫m E(6; 4) x2 + 4x + 21 Câu (1,0 i∫m) Cho x, y, z sË th¸c d˜Ïng tho£ mãn x2 y2 + y2 z2 + z2 x2 = Tìm giá tr‡ nh‰ nhßt ✓ ◆3 x+y 96z2 27 cıa bi∫u th˘c P = 64 + + x+y+z+1 x+y+z ( xyz + 3) —HòT— Chi ti∏t: Mathlinks.vn - ´ng k˛ nhóm hÂc sinh nh™n ˜u ãi hÂc phí ma thl ink s.v n Khoá gi£i ∑ THPT QuËc Gia - Th¶y: ∞ng Thành Nam Mơn: Tốn; ó S» 05/50 Ngày thi: 04/02/2015 ThÌi gian làm bài: 180 phút (khơng k∫ thÌi gian phát ∑) Liên hª ´ng k˛ khố hÂc: Hotline: 0976 266 202 Câu (2,0 i∫m) Cho hàm sË y = x3 mx2 + mx(1) Kh£o sát s¸ bi∏n thiên v≥ Á th‡ hàm sË (1) vĨi m = Tìm m ∫ hàm sậ (1) Đt Đi, tiu tĐi x1 , x2 tho£ mãn ( x1 Câu (1,0 i∫m) Gi£i ph˜Ïng trình p a) cos 2x sin x = 3(1 + sin x) cos x; b) 8log9 (2x + 5) x2 )2 = 6)2 + = logp3 (3x Câu (1,0 i∫m) Tính diªn tích hình phØng giĨi h§n bi ˜Ìng y = x2 + 4x 3; y = 3x Câu (1,0 i∫m) a) Cho sË t¸ nhiên n sË ph˘c z tho£ mãn (2 + 3i )( z + 2z) = + 7z Ch˘ng minh w = zn + zn sË th¸c b) ∫ có th∫ d¸ thi vo c nhõn s phĐm Toỏn ca mẻt trèng Đi hc s phĐm trèng yờu cảu bt buẻc thí sinh làm thi riêng Ëi vĨi mơn Tốn gÁm câu h‰i ó có câu h‰i dπ ( gÁm câu 2,0 i∫m câu 1,0 i∫m); câu h‰i trung bình (mÈi câu 1,0 i∫m) câu h‰i khó (mÈi câu 1,0 im) Thớ sinh Đt yờu cảu nu ềc ớt nhòt 8,0 i∫m ó b≠t bc ph£i hồn thành mỴt câu h‰i khó H‰i có cách ∫ mỴt thí sinh v˜Ịt qua thi riêng [ Câu (1,0 i∫m) Cho hình chóp S.ABCD có áy ABCD hình thoi c§nh 2a, BAD = 600 , SA = a Tam giỏc SAB vuụng tĐi S v năm m∞t phØng vng góc vĨi m∞t áy ( ABCD ) Gi M, N lản lềt l trung im cĐnh AB, BC Tính th∫ tích khËi chóp S.CDN cơsin góc gi˙a hai ˜Ìng thØng SM DN Câu (1,0 im) Trong khụng gian vểi ta ẻ Oxyz cho m∞t phØng ( P) : x + z = 0; ˜Ìng thØng x y z+8 d : = = GÂi A giao i∫m cıa d v ( P), C năm trờn ( P) v B năm trờn d cho 1p [ [ AB = 2, ACB = 900 , BAC = 300 Tỡm toĐ ẻ im A, C bit B có hồnh Ỵ d˜Ïng Câu (1,0 i∫m) Trong m∞t phỉng vểi trc toĐ ẻ Oxy cho hỡnh ch nht ABCD cú diên tớch băng 16 v ønh A( 3; 1) GÂi M ; i∫m thuẻc oĐn BD thoÊ DM = 3BM èng thỉng CD i qua 2 i∫m N (1; 1) Tìm toĐ ẻ cỏc ứnh B, D bit x D > < ( x y)2 = 2y2 + 8x + Câu (1,0 i∫m) Gi£i hª ph˜Ïng trình (x, y R) : ( x 2y)( x y)2 = ( y + 1)2 2x Câu (1,0 i∫m) Cho x, y, z sË th¸c thay Íi tho£ mãn ( x x3 + y3 + z3 = Tìm giá tr‡ nh‰ nhßt cıa bi∫u th˘c P = x4 + y4 + z4 —HòT— y)2 + ( y z)2 + ( z x)2 = ma thl ink s.v n Khoá gi£i ∑ THPT QuËc Gia - Th¶y: ∞ng Thành Nam Mơn: Tốn; ó S» 06/50 Ngày thi: 08/02/2015 ThÌi gian làm bài: 180 phút (khơng k∫ thÌi gian phát ∑) Liên hª ´ng k˛ khoá hÂc: Hotline: 0976 266 202 Câu (2,0 i∫m) Cho hàm sË y = x4 2mx2 + 2m ( ) Kh£o sát s¸ bi∏n thiên v≥ Á th‡ hàm sË (1) vÓi m = ✓ ◆ Cho i∫m I 0; Tìm m ∫ (1) có i∫m c¸c tr‡ A, B, C I A = IB = IC Câu (1,0 i∫m) Gi£i ph˜Ïng trình ⇣ ⇡⌘ 2 a) tan x cot x + = tan x; b) 62x x + = 22x x + 2.32x x p R x+ x Câu (1,0 i∫m) Tính tích phân I = dx x Câu (1,0 i∫m) a) Tìm c∞p sË th¸c ( x; y) tho£ mãn ( x yi 1)2 = b) X∏p ng®u nhiên hÂc sinh Nam hÂc sinh N˙ thành mỴt hàng dÂc Tính xác st ∫ hÂc sinh Nam N˙ ˘ng xen k≥ [ [ Câu (1,0 i∫m) Cho hình chóp S.ABCD có AD = CD = a, AB = 2a, BAD = ADC = 900 C§nh bên SA = 3a vng góc vĨi m∞t phØng ( ABCD ) GÂi I giao i∫m cıa AC BD Tính th∫ tích khËi chóp S.ABC kho£ng cách t¯ I ∏n m∞t phØng ( SCD ) Câu (1,0 im) Trong khụng gian vểi trc toĐ ẻ Oxyz cho hai i∫m A(1; 1; 2) B(1; 1; 1), ˜Ìng x y z+1 thØng d : = = Vi∏t ph˜Ïng trình m∞t phØng ( P) ch˘a AB song song vĨi d Tính 1 kho£ng cách t¯ d ∏n m∞t phØng ( P) Câu (1,0 i∫m) Trong m∞t phØng vĨi trˆc to§ Î Oxy cho ˜Ìng thØng d : 6x + 8y + 11 = Vi∏t p ph˜Ïng trình ˜Ìng trịn ( T ) cú tõm I bỏn kớnh băng v ct Ox, Oy, d lản lềt theo cỏc oĐn thØng AB, CD, MN tho£ mãn S I MN = 1; AB = CD ( x I > 0) > x( x + p( x y)( x > < Câu (1,0 i∫m) Gi£i hª ph˜Ïng trình > 12x + y + 7(p y( x > : 2y)) = q y( y + 3)2 s ( y + 3)2 y + y2 + z2 = Tìm giá tr‡ nh‰ nhßt cıa bi∫u th˘c Câu (1,0 i∫m) Cho x, y, z sË th¸c tho£ mãn x 1 1 P= + + +p | x y| + | y z| + | z x| + xy + yz + zx + y) + p y( x 2y)) = —HịT— Hotline: 0976 266 202 - ´ng k˛ nhóm hÂc sinh nh™n ˜u ãi hÂc phí ma thl ink s.v n Khoá gi£i ∑ THPT QuËc Gia - Th¶y: ∞ng Thành Nam Mơn: Tốn; ó S» 07/50 Ngày thi: 11/02/2015 ThÌi gian làm bài: 180 phút (khơng k∫ thÌi gian phát ∑) Liên hª ´ng k˛ khố hÂc: Hotline: 0976 266 202 - Chi ti∏t: www.mathlinks.vn Câu (2,0 i∫m) Cho hàm sË y = x3 (m + 2) x2 + (2m + 1) x ( ) Kh£o sát s¸ bi∏n thiên v≥ Á th‡ hàm sË (1) vÓi m = GÂi A giao i∫m cıa (1) vÓi Oy Vi∏t ph˜Ïng trình ti∏p tuy∏n cıa (1) t§i A cách i∫m B(1; 2) mẻt p khoÊng băng Cõu (1,0 i∫m) < log y = log p xy x y a) Gi£i hª ph˜Ïng trình : x y = 3( xy 1)2 2x + m b) Tìm m > ∫ giá tr‡ lĨn nhßt cıa hàm sË y = p trờn oĐn [0; 2] băng x2 + 1 Câu (1,0 i∫m) GÂi S hình phØng giĨi h§n bi ˜Ìng y = p ; y = 0; x = 0; x = ln Tính x e +2 th∫ tích khËi trịn xoay sinh quay S quanh trˆc hồnh Câu (1,0 i∫m) a) Trong sË ph˘c z tho£ mãn | z| = Tìm sË ph˘c z ∫ |1 + z| + |1 z| §t giá tr lển nhòt b) Cho A gm n phản t phõn biêt ú cú phản t x Gi S t™p hỊp t™p cıa A Tính sậ phản t ca S, lòy ngđu nhiờn mẻt phản t t S tớnh xỏc suòt phản t ó có ch˘a x [ Câu (1,0 i∫m) Cho hình chóp S.ABC có AB = AC = a, BAC = 1200 GÂi I trung i∫m c§nh AB, hình chi∏u vng góc cıa S m∞t phØng ( ABC ) trung i∫m cıa o§n CI; góc gi˙a SA v mt ỏy băng 600 Tớnh th tớch khËi chóp S.ABC kho£ng cách t¯ i∫m A ∏n m∞t phØng ( SBC ) Câu (1,0 i∫m) Trong khụng gian vểi trc toĐ ẻ Oxyz cho hai i∫m A(3; 2; 3), B( 5; 10; 1) m∞t phØng ( P) : 2x + y + 2z = Chng minh A, B năm khỏc phớa vểi mt phỉng ( P) Tỡm toĐ ẻ p im M thc ( P) cho MA + MB = 14 ✓ ◆ 21 Câu (1,0 i∫m) Trong mt phỉng vểi trc toĐ ẻ Oxy cho tam giỏc ABC có B ; Ph˜Ïng trình 5 ti∏p tuy∏n t§i A cıa ˜Ìng trịn ngo§i ti∏p tam giác ABC x + 2y = ˜Ìng phân giác ngồi cıa góc A c≠t BC kéo dài t§i im E(9; 3) Tỡm toĐ ẻ cỏc ứnh A, C bi∏t A có tung Ỵ d˜Ïng p p p Câu (1,0 i∫m) Gi£i bßt ph˜Ïng trình ( x + x)3 + x + 2x + 3x Câu (1,0 i∫m) Cho x, y, z sË th¸c tho£ mãn x + y + z = Tìm giá tr‡ nh‰ nhßt cıa bi∫u th˘c P = 3|cos x| + 3|cos y| + 3|cos z| max {|cos x| , |cos y| , |cos z|} —HịT— ma thl ink s.v n Khố gi£i ∑ THPT Qc Gia - Th¶y: ∞ng Thành Nam Mơn: Tốn; ó S» 08/50 Ngày thi: 15/02/2015 ThÌi gian làm bài: 180 phút (khơng k∫ thÌi gian phát ∑) Liên hª ´ng k˛ khố hÂc: Hotline: 0976 266 202 - Chi ti∏t: www.mathlinks.vn x+1 Câu (2,0 i∫m) Cho hàm sË y = ( ) 2x 1 Kh£o sát s¸ bi∏n thiên v≥ Á th‡ hàm sË (1) ✓ ◆ 1 Cho i∫m I ; Vi∏t ph˜Ïng trình ˜Ìng thØng d i qua I v ct (1) theo mẻt oĐn thỉng cú ẻ 2 dài nh‰ nhßt Câu (1,0 i∫m) a) Gi£i bßt ph˜Ïng trình log6 (22x+1 9x ) x b) Tìm giá tr‡ lĨn nhßt nh‰ nhßt cıa hàm sË y = ln(1 + x) Câu (1,0 i∫m) Tính tích phân I = Câu (1,0 i∫m) R x2 4x + x x x2 o§n [0; 1] dx z + 2i z 2i + = z 2i z + 2i b) Có hai hẻp bỳt, hẻp th nhòt bỳt en v bỳt xanh; hẻp th hai bút en bút a) Tìm t™p hỊp i∫m bi∫u diπn sË ph˘c z tho£ mãn xanh T¯ mÈi hẻp lòy ngđu nhiờn hai chic bỳt, tớnh xỏc st ∫ lßy ˜Ịc hai c∞p bút khác màu Câu (1,0 i∫m) Cho hình hỴp ABCD.A0 B0 C D có áy ABCD hình ch˙ nh™t, AB = a, AD = AA0 = 2a Hình chi∏u vng góc cıa A0 m∞t phØng ( ABCD ) trung im oĐn thỉng BC Tớnh th tớch khậi hẻp ABCD.A0 B0 C D kho£ng cách gi˙a hai ˜Ìng thØng AB0 BD Câu (1,0 im) Trong khụng gian vểi trc toĐ ẻ Oxyz cho hai i∫m A(1; 1; 2), B(1; 1; 11) ˜Ìng x+3 y+1 z thØng d : = = Ch˘ng minh d AB chéo Tìm to§ Î i∫m M d cho 2 MA = MB Câu (1,0 i∫m) Trong m∞t phØng vểi trc toĐ ẻ Oxy cho tam giỏc ABC cõn tĐi A, nẻi tip èng trũn (C ) : x2 + ( y 5)2 = 50 Gi£ s˚ A( 5; 10) ˜Ìng cao k¥ t¯ C cıa tam giác ABC c≠t ˜Ìng trịn (C ) ◆ ✓ 17 tĐi im th hai N ; Tỡm toĐ ẻ ønh B, C 5 s p p x( x + 1)2 Câu (1,0 i∫m) Gi£i ph˜Ïng trình x + 8x 2x 2=3 6x x2 Câu (1,0 i∫m) Cho x, y, z sậ thác dẽng Tỡm giỏ tr nh nhòt ca biu th˘c P= p x y2 + yz + z2 +p y z2 + zx + x2 +p z x2 + xy + —HòT— y2 x+y+z p x + y + z + xy + yz + zx ma thl ink s.v n Khoá gi£i ∑ THPT QuËc Gia - Th¶y: ∞ng Thành Nam Mơn: Tốn; ó S» 09/50 Ngày thi: 16/02/2015 ThÌi gian làm bài: 180 phút (khơng k∫ thÌi gian phát ∑) Liên hª ´ng k˛ khố hÂc: Hotline: 0976 266 202 - Chi ti∏t: www.mathlinks.vn x4 Câu (2,0 i∫m) Cho hàm sË y = ( m + ) x + ( ) Kh£o sát s¸ bi∏n thiên v≥ Á th‡ hàm sË (1) vĨi m = 2 Tìm m (1) cú ba im tr u năm trờn cỏc trc toĐ ẻ Cõu (1,0 im) a) Gi£i ph˜Ïng trình (1 cos 5x)(2 cos 2x + 1) = cos x b) Gi£i ph˜Ïng trình xln2 x 1) ln x + 2x = ⇡ R sin x p Câu (1,0 i∫m) Tính tích phân I = dx cos x cos x + Câu (1,0 i∫m) p a) GÂi z1 , z2 hai nghiªm cıa ph˜Ïng trình z2 3z + = Tính A = z4 + z4 b) Cho sË t¸ nhiên (n cỏc sậ a2 (3x 2) v khai trin ( x + 1)n ( x + 2) = a0 + a1 x + a2 x2 + + an+1 xn+1 Tìm n bi∏t 7n; nan ; an theo th tá lp thnh mẻt còp sậ cẻng [ [ Câu (1,0 i∫m) Cho hình chóp S.ABCD có AB = BC = a, AD = 2a, ABC = DAB = 900 Tam giác SAC cân t§i S v năm mt phỉng vuụng gúc vểi mt ỏy ( ABCD ) C§nh bên SB t§o vĨi m∞t áy gúc 300 Gi M l im thuẻc oĐn SA tho£ mãn AM = 2SM Tính th∫ tích khËi chóp S.ABCD kho£ng cách t¯ M ∏n m∞t phØng ( SCD ) Câu (1,0 i∫m) Trong khơng gian vĨi trc toĐ ẻ Oxyz cho im A(2; 2; 1) v hai ˜Ìng thØng x y+1 z x y z+1 = = ; d2 : = = Vi∏t ph˜Ïng trình m∞t phØng ( P) song song vĨi d1 : 1 2 d1 , d2 v cỏch im A mẻt khoÊng băng Cõu (1,0 im) Trong mt phỉng vểi trc toĐ ẻ Oxy cho ˜Ìng trịn (C ) : x2 + y2 = ˜Ìng trịn ( T ) có tâm I, bỏn kớnh băng v (C ) ct ( T ) tĐi hai im phõn biêt A, B cho t giỏc OAIB cú diên tớch băng 12 ( vểi O l gậc toĐ ẻ) Vit phẽng trỡnh èng trũn ( T ), bit I năm trờn èng thỉng d:x 2y + = < x3 Câu (1,0 i∫m) Gi£i hª ph˜Ïng trình : y3 2y2 = 16 ( x, y R) (3x + 2) y2 + 3x2 y = 2( x2 + 4) Câu (1,0 i∫m) Cho a, b hai sË th¸c d˜Ïng phân biªt tho£ mãn ab > Tìm giá tr‡ nh‰ nhßt cıa bi∫u p ( a + b)2 16 th˘c P = + a + b ( ab 1)( a b)2 ( a + b)2 ( ab 1) —HịT— Khố giải đề THPT Quốc Gia Mơn Tốn – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn Vì%vậy% d(B;(ACC ' A')) = BA a 30 %%%%% d(H ;(ACC ' A')) = 2HK = HA Câu)7(3,5)điểm))) Trong%khơng%gian%với%hệ%toạ%độ%Oxyz%cho%điểm%A(1;0;Ç1)%và%mặt%phẳng% (P ) : 2x + 2y − z −12 = %Viết%phương%trình%đường%thẳng%d%đi%qua%A%vng%góc%với%(P).% Tìm%toạ%độ%hình%chiếu%vng%góc%của%A%trên%(P).%% Trong%mặt%phẳng%với%hệ%trục%toạ%độ%Oxy%cho%hình%chữ%nhật%ABCD%có%đỉnh%A(Ç4;8).%Gọi%M% là%điểm%thuộc%tia%BC%thoả%mãn% CM = 2BC ,%N%là%hình%chiếu%vng%góc%của%B%trên%DM.%Tìm% toạ%độ%điểm%B,%biết% N (83/13;−1/13) và%đỉnh%C%thuộc%đường%thẳng% 2x + y + = %%%%%% ! Đường%thẳng%d%vng%góc%với%(P)%nên%d%nhân%vtpt% n = (2;2;−1) %của%(P)%làm%véc%tơ%chỉ% ⎧ x =1+ 2t ⎪ ⎪ ⎪ (t ∈ !) % phương.%%Vì%vậy% d : ⎪ y = 2t ⎨ ⎪ ⎪ z = −1−t ⎪ ⎪ ⎩ Thay%x,y,z%từ%phương%trình%của%d%vào%pt%của%(P)%ta%được:% % 2(1+ 2t ) + 2.2t −(−1−t ) −12 = ⇔ 9t −9 = ⇔ t =1 % Suy%ra%toạ%độ%hình%chiếu%vng%góc%của%A%trên%(P)%là%điểm%H(3;2;Ç2).% 2.%Gọi% C (t;−2t −5) %Gọi%I%là%tâm%hình%chữ%nhật%ABCD,%suy%ra%I%là% trung%điểm%của%AC%và%BD.% ⎛ t − −2t + ⎞ ⎟ %Tam%giác%BDN%vng%tại%N%có%I%là%trung% ⎟ Do%đó% I ⎜ ; ⎜ ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎝ ⎠ BD = IB = IA % 2 2 ⎛ 83 t − ⎞ ⎛ −2t + ⎞ ⎛ ⎟ + ⎜− − ⎟ = ⎜−4 − t − ⎞ + ⎛8− −2t + ⎞ ⇔ t =1 % ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ − ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ Ta%có%pt:% ⎜ ⎜ 13 ⎟ ⎝ ⎟ ⎝ ⎟ ⎝ ⎟ ⎟ ⎜ 13 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎠ ⎠ ⎠ % điểm%BD%nên% IN = ⎛ 1⎞ ⎟ Suy%ra% I ⎜− ; ⎟;C (1;−7) % ⎜ ⎜ 2⎟ ⎟ ⎝ ⎠ !!!" !!! " Gọi%B(a;b)%ta%có% CM = 2BC = 2(1−a;−7−b) ⇒ M (3− 2a;−21− 2b) % !!! ⎛ 83−13a 1+13b ⎞ !!!! ⎛ 44 + 26a 272 + 26b ⎞ " " ⎟,MN = ⎜ ⎟ % ⎟ ⎟ Ta%có% BN = ⎜ ;− ; ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ 13 ⎜ 13 13 ⎟ 13 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Do%BN%vng%góc%với%MN%nên:% !!! !!!! " " BN MN = ⇔ (83−13a)(44 + 26a) −(1+13b)(272 + 26b) = (1) % 2 125 ⎛ 3⎞ ⎛ ⎞ 125 ⎟ ⎜ ⎟ Mặt%khác:% IB = IC = ⇔ ⎜a + ⎟ + ⎜b − ⎟ = (2) %%%%%%%% ⎜ ⎜ ⎟ ⎝ ⎟ 2⎟ ⎜ 2⎟ ⎝ ⎠ ⎠ 2 Từ%(1)%và%(2)%ta%có:% ⎡a = −4,b = −7 ⎧a + b + 3a −b = 60 ⎧2a −3b =13 ⎢ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ % % ⇔⎨ ⇔⎢ ⎨ 2 ⎪13(a + b ) −61a +137b −130 = ⎪a + b + 3a −b = 60 ⎢a = 83 ,b = − ⎪ ⎪ ⎩ ⎩ ⎢⎣ 13 13 Đối%chiếu%B%khác%N%suy%ra%B(Ç4;Ç7).%%%% Hotline:)0976)266)202))))))))))))))))))Đăng)ký)theo)nhóm)3)học)sinh)nhận)ưu)đãi)học)phí))Page%5/9% Khố giải đề THPT Quốc Gia Mơn Tốn – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn ⎧4x − xy − x = (x + y − 4)( x + y −1) ⎪ Câu)8(1,5)điểm)%Giải%hệ%phương%trình ⎪ % ⎨ ⎪(x − y)(x −1)( y −1)(xy + x + y) = ⎪ ⎩ Điều%kiện:% x ≥ 0; y ≥1 % Phương%trình%thứ%nhất%của%hệ%tương%đương%với:% ⎡ x + x + y −1 = % % ( x + y −1 + x )(x + y − 4) = ⇔ ⎢⎢ ⎢⎣ x + y = ⎧x = ⎪ +%Với% x + x + y −1 = ⇔ ⎪ (thử%lại%thấy%không%thoả%mãn).% ⎨ ⎪ y =1 ⎪ ⎩ ⎧x + y = ⎪ +%Với% x + y = %ta%có%hệ%phương%trình% ⎪ (1) % ⎨ ⎪(x − y)(x −1)( y −1)(xy + x + y) = ⎪ ⎩ % Viết%lại%pt%thứ%hai%của%hệ%dưới%dạng:% ( y −1)x −( y −1)x + y − y − = ⇔ ( y −1)x −( y −1)(4 − y ) + y − y − = ⇔ ( y −1)x + y ( y − 2)( y +1) = ⇔ ( y −1)(4 − y )x + y ( y − 2)( y +1) = % ⇔ ( y +1)( y − 2) ⎡⎢ y ( y +1) −( y −1)( y + 2)x ⎤⎥ = ⎣ ⎦ ⎡ y = −1(l ) ⎢ ⇔ ⎢⎢ y = 2(t / m) ⇒ x = ⎢ y ( y +1) = ( y −1)( y + 2)x ⎣⎢ % Ta%xét%phương%trình:% y ( y +1) = ( y −1)( y + 2)x ⇔ y ( y +1) = ( y −1)( y + 2) − y % Mặt%khác: 1≤ y ≤ %suy%ra%:%% y = y + y − + (2− y) ≥ y + y − 2; % y +1 = y + 2y +1 = (4 − y ) + (2y + 2y −3) > − y % Suy%ra%VT >VP Tức%phương%trình%trên%vơ%nghiệm.%%% Vậy%hệ%phương%trình%có%nghiệm%duy%nhất% (x; y) = (0;2) %% Chú)ý.)Ta)có)thể)giải)(1))bằng)2)cách)khác)sau:) Cách)2:%Khi%đó%để%hệ%(1)%có%nghiệm%ta%phải%có:% (x − y)(x −1) ≥ % Khi%đó%sử%dụng%bất%đẳng%thức%AM%–GM%ta%có:% VT = ( y −1) ⎡⎢(xy + x + y)(x − xy − x + y)⎤⎥ ⎣ ⎦ % ≤ 4( y −1) (5−( y −1) ) ( y −1)(x + 2y) ( y −1)(4 − y + 2y) % = = 4 ≤ ⎛ 4( y −1) + 4(5−( y −1) ) ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ ⎠ =4 Hotline:)0976)266)202))))))))))))))))))Đăng)ký)theo)nhóm)3)học)sinh)nhận)ưu)đãi)học)phí))Page%6/9% Khố giải đề THPT Quốc Gia Mơn Tốn – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn ⎧4( y −1) = 5−( y −1) ⎪ ⎪ ⎪ Đẳng%thức%xảy%ra%khi%và%chỉ%khi% ⎪ x − xy − x + y = xy + x + y ⇔ x = 0; y = %% ⎨ ⎪ ⎪x + y = ⎪ ⎪ ⎩ ( y −1)(4 − y + 2y) ≤ bằng%biến%đổi%tương%đương%hoặc% Chú)ý.%Bước%cuối%có%thể%chứng%minh% hàm%số.%%% ⎡ x ≥ y ≥1 Cách)3:%Khi%đó%để%hệ%(1)%có%nghiệm%ta%phải%có:% (x − y)(x −1) ≥ ⇔ ⎢ % ⎢ x ≤1≤ y ⎣ TH1:%Nếu% x ≥ y ≥1 %khi%đó%sử%dụng%AM%–GM%ta%có:% 2 ⎛ x − y + y −1⎞ ⎟ = (x −1) % ⎟ (x − y)( y −1) ≤ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎝ ⎠ (x −1)3 (xy + x + y) % Chú%ý%sử%dụng%bất%đẳng%thức%Cauchy%–Schwarz%ta%có:% (x − y) + ( y −1) ≥ (x −1) 2 ⇒ (x −1) ≤ (x −1) + (x − y) + ( y −1) =10− 2(x + y + xy) % ⇒ (x −1) ≤ (5− xy − x − y) 2 Đặt% t = x + y + xy ≤ x + y +1 = ⇒ t ∈ ⎡⎢⎣3;5⎤⎥⎦ % Suy%ra% P = (x − y)( y −1)(x −1)(xy + x + y) ≤ Khi%đó% P ≤ (x −1)6 43 (5−t )3 4t (5−t )3 (xy + x + y) ≤ t = % 16 16 27 4t (5−t )3 %trên%đoạn%[3;5]%ta%có:% 27 20t(t − 2)(t −5) 32 f '(t ) = − < ⇒ f (t ) ≤ f (3) = %Vì%vậy%f(b)%đồng%biến%trên%đoạn%[0;1/8]%.%% ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 1024 ⎝ ⎟ ⎠ P ≤ Hotline:)0976)266)202))))))))))))))))))Đăng)ký)theo)nhóm)3)học)sinh)nhận)ưu)đãi)học)phí))Page%8/9% Khố giải đề THPT Quốc Gia Mơn Tốn – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn ⎛ ⎞ 525 525 525 Suy%ra% P ≤ f ⎜ ⎟ = %Dấu%bằng%đạt%tại% b = ;c = 0;a = % ⇔− ≤P≤ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 8192 ⎟ 8 8192 8192 ⎝ ⎠ Vậy%giá%trị%nhỏ%nhất%của%P%bằng%Ç525/8192.%% Chú)ý.%Câu%hỏi%đặt%ra%là%tại%sao%phân%tích%được%P%như%trên.%Nhận%thấy%khi% a = b = c ⇒ P = % Do%đó%P%có%các%nhân%tử% (a −b)(b − c)(c −a) %Nói%thêm%có%thể%khơng%cần%điều%kiện% a ≥ 7.max {b,c } %Việc%chặn%thêm%điều%kiện%này%chỉ%nhằm%mục%đính%bài%tốn%có%kết%quả%đẹp.% Dạng%tốn%này%bạn%đọc%tham%khảo%cuốn%“Kỹ$thuật$giải$Bất$đẳng$thức$bài$tốn$Min8Max”% cùng%tác%giả.%Để%rèn%luyện%bạn%đọc%thử%sức%với%bài%tốn%mức%độ%vừa%phải%%sau% Bài)tốn.)Cho%a,b,c%là%các%số%thực%khơng%âm%thoả%mãn% a + b + c =1 %Tìm%giá%trị%lớn%nhất%và%nhỏ% nhất%của%biểu%thức% P = a(b − c)3 + b(c −a)3 + c(a −b)3 %% Đánh)giá)chung)về)đề)thi)và)bài)làm)của)học)sinh)cho)đề)số)01/50:%% Lưu$ý:%Phần%đánh%giá%này%dựa%vào%phản%hồi%của%học%sinh%khi%làm%bài.% Đề%thi%ở%mức%tương)đối)khó%với%đa%số%thí%sinh%và%nếu%khơng%có%cách%trình%bày%tốt%sẽ% khơng%có%đủ%thời%gian%để%làm%các%câu%khó.%Các%câu%từ%câu)1)đến)7.1%đề%cho%mức%độ%vừa%phải% riêng%có%câu)1.3);)câu)2.2)và)câu)5)địi)hỏi)tư)duy.%Với%câu%2.2%cần%so%sánh%nghiệm%với%0%(có%thể% xét%hàm%số%tuy%nhiên%dài).%Câu)5%địi%hỏi%các%em%phải%tư%duy%phân%chia%tập%hợp%10%số%thành%3% loại%%với%số)dư)khi)chia)cho)3.%Chú%ý%nếu%u%cầu%thay%đổi%chia%cho%m%thì%ta%phân%chia%tập%hợp% thành%các%loại%với%số%dư%khi%chia%cho%m%(có%thể%giải%bằng%pp%liệt%kê%số%kết%quả%Ç%tuy%nhiên%khi% tăng%số%lần%quay%lên%3,4,…%lần%thì%sẽ%dài%thì%theo%lời%giải%trên%ta%có%cách%giải%tối%ưu)%.%Đây%là% một%bài%tốn%cũng%tương%tự%như%khi%tung%đồng%thời%các%con%xúc%sắc%vậy.%Tuy%nhiên%thầy%thấy% một%số%bạn%trình%bày%cách%dài%do%vậy%chiếm%phần%lớn%thời%gian%để%giải%quyết%các%câu%này%mà% chưa%có%thời%gian%tập%trung%suy%nghĩ%các)bài)khó)từ)(7.2)đến)9).)Câu)7.2)nút)thắt%quan%trọng% của%bài%tốn%là%phát%hiện)IN=IA.%Câu)số)8%về%hệ%phương%trình%sẽ%khá%lạ%với%nhiều%bạn.%Hầu% hết%tìm%được%x^2+y^2=4%từ%phương%trình%đầu%tuy%nhiên%khơng%xử%lý%được%vế%cịn%lại(chiếm% 80%%số%điểm%của%câu%hỏi)%–%Bằng%kỹ%năng%biến%đổi%kết%hợp%đánh%giá%cơ%bản%ta%có%kết%quả%bài% tốn.%Chú)ý)thêm)câu)8)là)điều)kiện)x>=0)và)y>=1)là)cần)thiết%để%hồn%thiện%lời%giải%cho%hệ) (1).%Riêng%câu%số)3%một%số%bạn%mắc%sai%lầm%ở%cơng%thức%tính%thể%tích%khối%trịn%xoay%về%điểm% này%các%em%cần)lưu)ý.%Câu)9%thầy%xuất%phát%từ%một%ý%tưởng%cũ%+%bài%tốn%mới%tuy%nhiên%địi% hỏi%khéo%léo%trong%q%trình%tiếp%cận%và%hiểu%đề%đến%trình%bày%lời%giải.%% Cấu)trúc)đề)cho)đề)số)01/50) Nhận%biết,%thơng%hiểu:%Câu%1.1;1.2;2.1;3;4(chiếm%8%điểm/20%điểm%=40%)% Vận%dụng:%1.3;%2.2;%5;%6;%7.1%(7,5%điểm/20%điểm%=37,5%)% Vận%dụng%cao:%7.2;8;9%(4,5%điểm/20%điểm%=22,5%)% Thầy%dự%đốn%mức%độ%nhận%biết,%thơng%hiểu%năm%nay%chiếm%50S60%.%Tuy%nhiên%vì%là%đề%luyện%nên% thầy%sẽ%giữ%ở%mức%độ%cao%hơn%một%chút%khoảng%40S50%.% Mức)điểm)trong)khoảng)14i16)điểm)sẽ)đạt)u)cầu.) ) Qua)đây)có)một)kinh)nghiệm)là)các)loại)tốn)quen)thuộc)các)em)cố)gắng)hồn)thiện) lời)giải)theo)hướng)tối)ưu)để)tiết)kiệm)thời)gian)làm)bài.)Để)làm)được)điều)này)địi)hỏi)các) em)cần)rèn)luyện)ngay)từ)bây)giờ)bằng)cách)giải)chi)tiết)+)suy)nghĩ)mở)rộng)các)hướng)có) thể)tiếp)cận)bài)tốn)+)theo)dõi)khố)học)sát)sao)để)giải)đề)ngay)khi)đề)được)phát)hành)với) việc)căn)thời)gian)làm)bài)đúng)180)phút.)Sau)đó)so)sánh)đáp)án)chi)tiết)kèm)Video)thầy) phát)hành)sau)đó!)))) Chúc$các$em$có$kết$quả$tốt$trong$các$đề$tiếp$theo!$ Hotline:)0976)266)202))))))))))))))))))Đăng)ký)theo)nhóm)3)học)sinh)nhận)ưu)đãi)học)phí))Page%9/9% Khố giải đề THPT Quốc Gia Mơn Tốn – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn Thân$ái!$ Đơng$Hà$Nội$ngày$22.01.2015$ Đặng$Thành$Nam$ Hotline:)0976)266)202))))))))))))))))))Đăng)ký)theo)nhóm)3)học)sinh)nhận)ưu)đãi)học)phí)) Page%10/9% Khố giải đề THPT Quốc Gia Mơn Tốn – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn Khố)giải)đề)THPT)Quốc)Gia)–)Thầy:)Đặng)Thành)Nam) Mơn:)Tốn;)ĐỀ)SỐ)02/50) Ngày)thi):)25/01/2015) Thời)gian)làm)bài:)180)phút,)khơng)kể)thời)gian)giao)đề) Liên)hệ)đăng)ký)khố)học)–)Hotline:)0976)266)202)) Câu)1)(2,0)điểm).)Cho!hàm!số! y = 2x −3x +1 (1) ! Khảo! sát! sự! biến! thiên! và! vẽ! đồ! thị! hàm! số! (1).! Gọi! A,B! là! 2! điểm! cực! trị! của! (1).! Chứng! minh!rằng!tam!giác!AOB!vuông!cân!(với!O!là!gốc!toạ!độ).! Viết!phương!trình!đường!thẳng!d!tiếp!xúc!với!(1)!tại!điểm!có!hồnh!độ! x1 > !và!cắt!(1)!tại! điểm!có!hồnh!độ! x thoả!mãn! 2x1 x = −1 ! Câu)2)(1,0)điểm).)Giải!các!phương!trình!! 1 log (x −1) − log (x +1) = log (x − 2) ) 2 2(1+ sin x ) + cot x = ) π Câu)3)(1,0)điểm).!Tính!tích!phân! I = ∫ sin 3x dx ! 1+ cos x Câu)4)(1,0)điểm).!! Cho!số!phức!z!thoả!mãn! (1+ i).z + i.z −1−3i = !Viết! z !dưới!dạng!lượng!giác.! Tìm!giá!trị!lớn!nhất!và!nhỏ!nhất!của!hàm!số! y = − x + ln(x +1) trên![0;2].! Câu)5)(1,0)điểm).!Cho!hình!chóp!S.ABC!có AB = a, AC = a 3, BC = 2a,SA = SB = SC !và!tam!giác! SBC!vng.!Tính!thể!tích!khối!chóp!S.ABC!và!khoảng!cách!giữa!hai!đường!thẳng!SA!và!BC.!!!!! Câu)6(1,0)điểm).)Trong!khơng!gian!với!trục!toạ!độ!Oxyz!cho!mặt!phẳng! (P ) : x + y − z +1 = và! đường! thẳng! d : x − y −1 z −1 = = ! Tìm! toạ! độ! giao! điểm! I! của! d! và! (P).! Viết! phương! trình! −1 −3 d(H ;(P )) !!!!) Câu)7)(1,0)điểm).!Trong!mặt!phẳng!toạ!độ!Oxy!cho!tam!giác!ABC!có!phương!trình!đường!phân! giác! trong! góc! A! là! y −3 = ! Gọi! M (1;4), N (3;1) lần! lượt! là! các! điểm! thuộc! các! đường! thẳng! ⎛11 ⎞ ⎟ AB,AC.!Tìm!toạ!độ!các!điểm!B,C!biết!trọng!tâm!tam!giác!ABC!là!điểm! G ⎜ ; ⎟ !!!!! ⎜ ⎟ ⎜ 3⎟ ⎝ ⎠ đường!thẳng!d’!vng!góc!với!(P)!và!cắt!d!tại!H!sao!cho! IH = ⎧ x (3− y) + y − 2x =1 ⎪ ⎪ Câu)8)(1,0)điểm).!Giải!hệ!phương!trình! ⎨ ! ⎪ x −( x − 2y)x = 5− 2y + ⎪ ⎪ ⎩ Câu) 9) (1,0) điểm).! Cho! a,b,c! là! các! số! thực! thoả! mãn! a,b,c ∈ ⎡⎣⎢0;2⎤⎦⎥ ;a + b + c = ! Tìm! giá! trị! nhỏ! nhất!của!biểu!thức! P = a3 + b + c − ! 11−a −b − c ab + bc + ca + lllHẾTlll) ) Hotline:)0976)266)202)) Chi)tiết:)Mathlinks.vn)! Page!1! Đăng)ký)nhóm)3)học)sinh)nhận)ưu)đãi)học)phí)) Khố giải đề THPT Quốc Gia Mơn Tốn – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP ÁN – BÌNH LUẬN Thang)điểm)tương)ứng:)) Câu)1:)1.1(1,5)điểm);)1.2)(0,5)điểm)) Câu)2:)2.1)và)2.2)mỗi)ý)0,5)điểm) Câu)4:)4.1;)4.2)mỗi)ý)(0,5)điểm)) Câu)1)(2,0)điểm).)Cho!hàm!số! y = 2x −3x +1 (1) ! Khảo! sát! sự! biến! thiên! và! vẽ! đồ! thị! hàm! số! (1).! Gọi! A,B! là! 2! điểm! cực! trị! của! (1).! Chứng! minh!rằng!tam!giác!AOB!vng!cân!(với!O!là!gốc!toạ!độ).! Viết!phương!trình!đường!thẳng!d!tiếp!xúc!với!(1)!tại!điểm!có!hồnh!độ! x1 > !và!cắt!(1)!tại! điểm!có!hồnh!độ! x thoả!mãn! x1 x = −1/ ! Bước!khảo!sát!vẽ!đồ!thị!học!sinh!tự!làm.! +!Hai!điểm!cực!trị!của!hàm!số!là! A(0;1), B(1;0) ⇒ A ∈ Oy, B ∈ Ox ⇒ OA ⊥ OB,OA = OB =1 ! Vậy!tam!giác!AOB!vng!cân!tại!O!(đpcm).! Phương!trình!đường!thẳng!d!là!tiếp!tuyến!của!(1)!tại!điểm! x1 ! Suy!ra! d : y = 6(x12 − x1 )(x − x1 ) + 2x13 −3x12 +1 ! Phương!trình!hồnh!độ!giao!điểm!của!d!và!(1):! 6(x12 − x1 )(x − x1 ) + 2x13 −3x12 +1 = 2x −3x +1 ⇔ 2(x − x13 ) −3(x − x12 ) −6(x12 − x1 )(x − x1 )= ⇔ (x − x1 )(2x + (2x1 −3)x − 4x12 + 3x1 ) = ! ⎡x = x ⎢ ⇔ (x − x1 ) (2x + 4x1 −3) = ⇔ ⎢ 3− 4x1 ⎢x = ⎢ ⎣ 3− 4x1 ; x1 ≠ x ⇔ x1 ≠ ! Ta!phải!có! x = 2 Theo!giả!thiết!ta!có:! ⎡ x =1(t / m) ⎢ 3− 4x1 x1 = − ⇔ 4x1 −3x1 −1 = ⇔ ⎢ ! ! ⎢ x = − (l ) 2 ⎢ ⎣ Suy!ra!tiếp!điểm!M(1;0)!và!có!đường!thẳng!d!cần!tìm!là!tiếp!tuyến!của!(1)!tại!M!suy!ra!d: y = !!!! ! Câu)2)(1,0)điểm).)Giải!các!phương!trình!! 1 log (x −1) − log (x +1) = log (x − 2) ) 2 2(1+ sin x ) + cot x = ) ⎧ x −1> ⎪ ⎪ ⎡1< x ≠ ⎪ Điều!kiện:! ⎪ x +1 ≠ ⇔ ⎢ ! ⎨ ⎢ x ⎪ ⎢⎪ ⎢⎪ x −1 ⎡x = − ⎢⎨ ⎪ ⎢ = x −2 ⎢⎪ x +1 ⎢ ⎪ x −1 ⎪ ⎩ ⇔ = x − ⇔ ⎢⎢ ⇔ ⎢x = ⎢ x +1 ⎪ ⎢⎧ x < ⎪ ⎢ x =1+ ⎪ ⎢⎨ ⎢⎣ x −1 ⎢⎪ = −x + ⎢⎪ ⎢⎣⎪ x +1 ⎪ ⎩ Vậy!phương!trình!có!nghiệm!là! x = − 3; x = 3; x =1+ !! Điều!kiện:! sin x ≠ ⇔ x ≠ kπ,k ∈ ! ! Phương!trình!tương!đương!với:! cos x 2(1+ sin x ) + = ⇔ 2sin x(1+ sin x ) = − cos x sin x ⇒ 4sin x(1+ sin x ) = 3cos2 x = 3(1−sin x ) ! ⇔ (sin x +1)(2sin x −1)(2sin x + 3sin x + 3) = ⎡ ⎢ x = − π + k2π ⎢ ⎡sin x = −1 ⎢ ⎢ ⎢ π ⇔⎢ ⇔ ⎢ x = + k2π ⎢sin x = ⎢ ⎢⎣ ⎢ 5π ⎢ + k2π ⎢x = ⎣⎢ ! π 5π + k2π !! Thử!lại!chỉ!nhận!nghiệm! x = − + k2π; x = π 5π + k2π,k ∈ ! !! Vậy!phương!trình!có!nghiệm!là! x = − + k2π; x = Chú)ý.!Có!thể!đưa!về!pt!với!tan(x/2)!như!sau:! ⎛ x x⎛ x x⎞ x x⎞ ⎟ ⎟ 4sin cos ⎜sin + cos ⎟ + ⎜cos2 −sin ⎟ = ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ 2⎜ 2⎟ 2⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ! ⎞ ⎛ x⎛ x x x x ⎞ ⎟ ⎟ ⇔ tan ⎜tan +1⎟ + ⎜1+ tan − tan (1+ tan )⎟ = ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ 2⎜ 2 2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ !! x x π 5π = −1;tan = + ⇔ x = − + k2π; x = + k2π,k ∈ ! 2 Nhận)xét.!Phương!trình!lượng!giác!hình!thức!khá!đơn!giản!nhưng!địi!hỏi!kỹ!năng!xử!lý!nhất! định.!Trong!trường!hợp!phương!trình!chỉ!có!sinx,!cosx!mà!khơng!phân!tích!được!thành!nhân! tử!có!thể!bình!phương!hai!vế!để!đưa!về!phương!trình!đa!thức!một!ẩn!(của!sinx!hoặc!của!cosx).! ⇔ tan Bài)tập)tương)tự!Giải!phương!trình!!2 3(sin 2x + cos x) = 2sin x + ! Hotline:)0976)266)202)) Chi)tiết:)Mathlinks.vn)! Page!3! Đăng)ký)nhóm)3)học)sinh)nhận)ưu)đãi)học)phí)) Khố giải đề THPT Quốc Gia Mơn Tốn – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn π Câu)3)(1,0)điểm).!Tính!tích!phân! I = ∫ π Ta!có!:! I = ∫ sin 3x dx ! 1+ cos x π π 3sin x − 4sin x sin x(3− 4sin x ) sin x(4 cos2 x −1) dx = ∫ dx = ∫ dx ! 1+ cos x 1+ cos x 1+ cos x 0 Đặt!!t = cos x ⇒ dt = − sin xdx !và!khi!đó! ! I=∫ ( 4t − t+1 dt = ∫ 4(t − 1) + t+1 = 2t − 4t + 3ln t + ! Câu)4)(1,0)điểm).!! ⎛ ⎞ dt = ∫ ⎜ 4(t − 1) + ⎟ dt t + 1⎠ 0⎝ ) = −2 + 3ln !!! Cho!số!phức!z!thoả!mãn! (1+ i).z + i.z −1−3i = !Viết! z !dưới!dạng!lượng!giác.! Tìm!giá!trị!lớn!nhất!và!nhỏ!nhất!của!hàm!số! y = − x + ln(x +1) trên![0;2].! 1.!Giả!sử! z = x + y.i(x, y ∈ !) theo!giả!thiết!ta!có:! (1+ i)(x + yi) + i.(x − yi) −1−3i = ⎧ x −1 = ⎧ x =1 ⎪ ⎪ ! ! ⇔ x −1+ (2x + y −3)i = ⇔ ⎪ ⇔⎪ ⇒ z =1+ i ⎨ ⎨ ⎪2x + y −3 = ⎪ y =1 ⎪ ⎪ ⎩ ⎩ ⎛ ⎞ ⎛ ⎟ 3π 3π ⎞ ⎟ Vì!vậy! z = (1+ i)3 = −2 + 2i = 2 ⎜− + i ⎟ = 2 ⎜cos + i sin ⎟ !! ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ 4⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2 ⎟ ⎡ x =1∈ ⎡0;2⎤ x ⎢ ⎣⎢ ⎦⎥ ! ; y ' = ⇔ 2− x(x +1) = ⇔ ⎢ 2.!Ta!có:! y ' = − + x +1 ⎢ x = −2 ∉ ⎡⎢0;2⎤⎥ ⎣ ⎦ ⎣ Tính!được:! y(0) = 0; y(1) = ln 2− ; y(2) = ln 3−1 ! Vì!vậy! ymax = y(1) = ln 2− ; ymin = y(0) = ! Câu)5)(1,0)điểm).!Cho!hình!chóp!S.ABC!có AB = a, AC = a 3, BC = 2a,SA = SB = SC !và!tam!giác! SBC!vng.!Tính!thể!tích!khối!chóp!S.ABC!và!khoảng!cách!giữa!hai!đường!thẳng!SA!và!BC.!!!!! Ta!có! AB + AC = BC = 4a nên!tam!giác!ABC!vuông!tại! A.! Mặt!khác!do! SA = SB = SC nên!S!nằm!trên!đường!thẳng! đi!qua!tâm!đường!trịn!ngoại!tiếp!tam!giác!ABC!và!vng! góc!với!mặt!đáy!(ABC).! Gọi!H!là!trung!điểm!cạnh!BC,!thì!H!là!tâm!đường!trịn! ngoại!tiếp!tam!giác!ABC.!Suy!ra! SH ⊥ (ABC ) ! Tam!giác!SBC!vuông!nên! SH = BC = a ! ! Hotline:)0976)266)202)) Chi)tiết:)Mathlinks.vn)! Page!4! Đăng)ký)nhóm)3)học)sinh)nhận)ưu)đãi)học)phí)) Khố giải đề THPT Quốc Gia Mơn Tốn – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn 1 a3 Vì!vậy!VS ABC = SH S ABC = a a.a = (đvtt).!!!! 3 Kẻ!Ax!song!song!với!BC!và!kẻ!HK!vng!góc!với!Ax!tại!K;!kẻ!HT!vng!góc!với!SK!tại!T!dễ!có! AB.AC a.a a = = ! BC 2a Chú!ý.! BC / /Ax ⇒ d(BC;SA) = d(BC;(SAK )) = d(H ;(SAK )) = HT ! HT ⊥ (SAK ) !.!Kẻ!AI!vng!góc!với!BC!tại!I.!Ta!có! HK = AI = Tam!giác!vng!SHK!có! 1 a 21 = + = + ⇒ HT = ! 2 HT HK SH 3a a a 21 !!!! Câu) 6) (1,0) điểm).) Trong! không! gian! với! trục! toạ! độ! Oxyz! cho! mặt! phẳng! x − y −1 z −1 = = ! Tìm! toạ! độ! giao! điểm! I! của! d! và! (P ) : x + y − z +1 = và! đường! thẳng! d : −1 −3 (P).! Viết! phương! trình! đường! thẳng! d’! vng! góc! với! (P)! và! cắt! d! tại! H! sao! cho! Vì!vậy! d(BC;SA) = d(H ;(P )) !!!!) Toạ!độ!điểm!I!là!nghiệm!của!hệ:! ⎧ x + y − z +1 = ⎧ x =1 ⎪ ⎪ ⎧ ⎪ x + y − z +1 = ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−(x − 2) −( y −1) = ⇔ ⎪ y = ! ⎪ ⎨ x − y −1 z −1 ⇔ ⎨ ⎨ ⎪ ⎪ = = ⎪ ⎪−3(x − 2) −(z −1) = ⎪ z = ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ −1 −3 ⎩ ⎪ ⎪ ⎩ ⎩ IH = Vậy!I(1;2;4).! ⎧x = + t ⎪ ⎪ ⎪ Chuyển!d!về!dạng!tham!số! d : ⎪ y =1−t ⇒ H (2 + t;1−t;1−3t ) ! ⎨ ⎪ ⎪ z =1−3t ⎪ ⎪ ⎩ Ta!có!! d(H ;(P )) = (2 + t ) + (1−t ) −(1−3t ) +1 12 +12 + (−1) = 3t + 3 ; ! IH = (t +1) + (t +1) + (3t + 3) = 11t + 22t +11 Theo!giả!thiết!ta!có:! 3t + = 11t + 22t +11 ⇔ 49(t +1) = 9(11t + 22t +11) ⇔ t = −1 ⇒ H (1;2;4) !! ! Đường!thẳng!cần!tìm!đi!qua!H!và!nhận!véc!tơ!pháp!tuyến! n = (1;1;−1) !của!(P)!làm!vtcp.! ! x −1 y − y − = = !! 1 −1 Câu)7)(1,0)điểm).!Trong!mặt!phẳng!toạ!độ!Oxy!cho!tam!giác!ABC!có!phương!trình!đường!phân! giác! trong! góc! A! là! y −3 = ! Gọi! M (1;4), N (3;1) lần! lượt! là! các! điểm! thuộc! các! đường! thẳng! ⎛11 ⎞ ⎟ AB,AC.!Tìm!toạ!độ!các!điểm!B,C!biết!trọng!tâm!tam!giác!ABC!là!điểm! G ⎜ ; ⎟ !!!!! ⎜ ⎟ ⎜ 3⎟ ⎝ ⎠ Vậy!đường!thẳng!cần!tìm! d ' : Hotline:)0976)266)202)) Chi)tiết:)Mathlinks.vn)! Page!5! Đăng)ký)nhóm)3)học)sinh)nhận)ưu)đãi)học)phí)) Khố giải đề THPT Quốc Gia Mơn Tốn – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn Gọi!M’,N’!lần!lượt!là!các!điểm!đối!xứng!của!M,N!qua!phân!giác!trong!góc!A.!Ta!có!M’!thuộc! AC,!N’!thuộc!AB.! Dễ!tìm!được! M '(1;2), N '(3;5) !! Đường!thẳng!AB!đi!qua!M,N’!có!phương!trình!là! x − 2y + = ! Đường!thẳng!AC!đi!qua!điểm!N,M’!có!phương!trình!là! x + 2y −5 = ! ⎧ ⎧ ⎪ x − 2y + = ⎪ x = −1 Toạ!độ!điểm!A!là!nghiệm!của!hệ!phương!trình! ⎪ ⇔⎪ ⇒ A(−1;3) ! ⎨ ⎨ ⎪ x + 2y −5 = ⎪ y = ⎪ ⎪ ⎩ ⎩ Gọi! B(2b −7;b) ∈ AB,C (−2c + 5;c) ∈ AC ! Do!G!là!trọng!tâm!tam!giác!ABC!nên:! ⎧−1+ (2b −7) + (−2c + 5) =11 ⎧b + c = ⎧b = ⎧ B(5;6) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ! ⇔⎪ ⇔⎪ ⇒⎪ ⎨ ⎨ ⎨ ⎨ ⎪3+ b + c = ⎪b − c = ⎪c = −1 ⎪C (7;−1) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎩ ⎩ ⎩ Vậy!toạ!độ!điểm!cần!tìm!là! B(5;6),C (7;−1) !! Nhận) xét:! Đề! bài! thầy! chỉ! yêu! cầu! các! em! cần! vận! dụng! tính! chất! đối! xứng! của! điểm! qua! đường!phân!giác!trong!của!tam!giác.!! ⎧ x (3− y) + y − 2x =1 ⎪ ⎪ Câu)8)(1,0)điểm).!Giải!hệ!phương!trình! ⎨ ! ⎪ x −( x − 2y)x = 5− 2y + ⎪ ⎪ ⎩ Điều!kiện:! x ≥ 0; y ≤ !! Nhân!thêm!2!vào!phương!trình!đầu!của!hệ!rồi!cộng!theo!vế!với!phương!trình!thứ!hai!của!hệ!ta! được:!! x −( x − 2y)x − 4x + x −5− x y + 2y − 5− 2y = ⇔ (x + 2y −5)(x − x +1) + x − 5− 2y = ⎛ ⎞ ⎟ ⎜ ⎟= ⇔ (x + 2y −5)⎜ x − x +1+ ! ! ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ x + 5− 2y ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎟ ⎜ ⎜do x − x +1+ ⇔ x = 5− 2y ⎜ >0 ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ x + 5− 2y ⎝ ⎠ Thay!vào!phương!trình!thứ!hai!của!hệ!ta!được:!! 5− x 1− x − 4x + x = 2 ⎧ ! ! ⎪ ⎡ x =1 ⎪x ≥ ⎪ ⎢ ⇔ (x +1) x = 5x −3 ⇔ ⎨ ⇔⎢ ⎪ ⎪ x(x +1) = (5x −3) ⎣⎢ x =11+ ⎪ ⎪ ⎩ ( ) ( ) Vậy!hệ!phương!trình!có!2!nghiệm!là! (x; y) = (1;2); 11+ 7;−3− !! ⎡ x =1 Cách)2:!Phương!trình!đầu!của!hệ!ta!có: ( x −1)(2 x + y −1) = ⇔ ⎢⎢ !! ⎢⎣ y =1− x +)!Với! x = ⇒ y = !! ! +)!Với!!y = − x !thay!vào!phương!trình!thứ!hai!của!hệ!và!đặt!t=căn(x)!ta!được:! Hotline:)0976)266)202)) Chi)tiết:)Mathlinks.vn)! Page!6! Đăng)ký)nhóm)3)học)sinh)nhận)ưu)đãi)học)phí)) Khố giải đề THPT Quốc Gia Mơn Tốn – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn t −5t + 2t −3 = 4t + ⇔ (t −5t + 2t −t −3) + (t − 4t + 3) = ⇔ (t − 4t −3)(t −t +1) + t − 4t −3 =0 t + 4t + ⎛ ⎞ ⎟ ⎟ = ⇔ t = + 7(t > 0) ⎜ ⇔ (t − 4t −3)⎜t −t +1+ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ ⎠ t + 4t + ⎟ Bài)tập)tương)tự) ⎧2y(x − x +1) − 4x + x = ⎪ Giải!hệ!phương!trình! ⎪ !Đ/s:!(x;y)=(1;2).! ⎨ ⎪ x − x x = 5− 2y −1 ⎪ ⎪ ⎩ Câu) 9) (1,0) điểm).! Cho! a,b,c! là! các! số! thực! thoả! mãn! a,b,c ∈ ⎡⎢⎣0;2⎤⎥⎦ ;a + b + c = ! Tìm! giá! trị! nhỏ! nhất!của!biểu!thức! P = a3 + b + c − ! 11−a −b − c ab + bc + ca + Vì!ba!biến!đối!xứng!nên!khơng!mất!tính!tổng!qt!giả!sử! a = max {a,b,c } ⇒ a ∈ ⎡⎣⎢1;2⎤⎦⎥ ! Khi!đó!!! a + b + c ≤ a + (b + c)3 = a + (3−a)3 = 9(a − 2)(a −1) + ≤ ;! và! 11−a −b − c =11−(a + b + c) + 2(ab + bc + ca) = 2(ab + bc + ca +1) ! − ! ab + bc + ca +1 ab + bc + ca + − Đặt! t = ab + bc + ca !Ta!có! P ≥ f (t ) = ! t +1 t + Suy!ra! P ≥ Ta!có! f '(t ) = 8t + 8t −16 − = > ! (t + 5) (t +1) (t +1) (t + 5) 9−a −b − c 9−a −(b + c) ≥ = 3a −a = (a − 2)(1−a) + ≥ ! 2 20 Vì!vậy!f(t)!đồng!biến!trên![2;3]!suy!ra! f (t ) ≥ f (2) = − ! 21 Đẳng!thức!xảy!ra!khi! a = 2;b =1;c = hoặc!các!hốn!vị.! Vậy!giá!trị!nhỏ!nhất!của!P!bằng!ì20/21.! Chú)ý.!Nút!thắt!của!bài!tốn!là!đánh!giá! a + b + c ≤ 9;ab + bc + ca ≥ !Nhiều!học!sinh!mắc!sai! lầm!khi!chỉ!ra!f(t)!đạt!min!tại!t=1.!Bởi!vì!khi!đó!dấu!bằng!khơng!xảy!ra.! Bởi!vì! t = ab + bc + ca = + abc ≥ !!! Ta!có!thể!chỉ!ra! (2 − a)(2 − b)(2 − c) ≥ ⇒ ab + bc + ca = ! Ngoài!ra!bằng!cách!tương!tự!chứng!minh!được!các!bất!đẳng!thức!khác:! ab + bc + ca ≥ 2;a + b + c ≤ ;! a + b + c ≤17 ! Bài)tập)tương)tự) Cho!a,b,c!là!các!số!thực!thoả!mãn! a,b,c ∈ ⎡⎢⎣0;2⎤⎥⎦ ,a + b + c = !! 1) Tìm!giá!trị!nhỏ!nhất!của!biểu!thức! P = Hotline:)0976)266)202)) Chi)tiết:)Mathlinks.vn)! ab + bc + ca + !!! 2 11−a −b − c a + b3 + c Page!7! Đăng)ký)nhóm)3)học)sinh)nhận)ưu)đãi)học)phí)) ... −a)3 + c(a −b)3 %% Đánh)giá)chung)về )đề) thi) và)bài)làm)của )học) sinh)cho )đề) số)01 /50: %% Lưu$ý:%Phần%đánh%giá%này%dựa%vào%phản%hồi%của %học% sinh%khi%làm%bài.% Đề %thi% ở%mức%tương)đối)khó%với%đa%số%thí%sinh%và%nếu%khơng%có%cách%trình%bày%tốt%sẽ%... Mathlinks.vn Khố)giải )đề) THPT)Quốc)Gia)–)Thầy:)Đặng)Thành)Nam) Mơn:)Tốn;)ĐỀ)SỐ)02 /50) Ngày )thi) :)25/01 /2015) Thời)gian)làm)bài:)180)phút,)khơng)kể)thời)gian)giao )đề) Liên)hệ)đăng)ký)khố )học) –)Hotline:)0976)266)202))... giải đề THPT Quốc Gia Mơn Tốn – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn Khố)giải )đề) THPT)Quốc)Gia)–)Thầy:)Đặng)Thành)Nam) Mơn:)Tốn;)ĐỀ)SỐ)01 /50) Thời)gian)làm)bài:)180)phút,)khơng)kể)thời)gian)giao )đề)