ONTHIONLINE.NET đề thi THử ĐH ( Số 2) Môn: Toán Thời gian làm bài: 180 phỳt Cõu 1 (2.0 điểm): Cho hàm số 3 2 3 3 4y x mx m= − + (m là tham số) có đồ thị là (C m ) 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1. 2. Xác định m để (C m ) có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng y = x. Cõu 2 (2.0 điểm ) : 1. Giải phương trỡnh: 2 3 4 2sin 2 2 3 2(cotg 1) sin 2 cos x x x x + + − = + . 2. Tỡm m để hệ phương trỡnh: 3 3 2 2 2 2 3 3 2 0 1 3 2 0 x y y x x x y y m − + − − = + − − − + = cú nghiệm thực. Cõu 3 (2.0 điểm): 2. Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng (d) lần lượt cú phương trỡnh: (P): 2x − y − 2z − 2 = 0; (d): 1 2 1 2 1 x y z+ − = = − 1. Viết phương trỡnh mặt cầu cú tõm thuộc đường thẳng (d), cỏch mặt phẳng (P) một khoảng bằng 2 và vắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường trũn cú bỏn kớnh bằng 3. 2. Viết phương trỡnh mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng (d) và tạo với mặt phẳng (P) một gúc nhỏ nhất. Cõu 4 (2.0 điểm): 1. Cho parabol (P): y = x 2 . Gọi (d) là tiếp tuyến của (P) tại điểm có hoành độ x = 2. Gọi (H) là hỡnh giới hạn bởi (P), (d) và trục hoành. Tớnh thể tớch vật thể trũn xoay sinh ra bởi hỡnh (H) khi quay quanh trục Ox. 2. Cho x, y, z là cỏc số thực dương thỏa món: x 2 + y 2 + z 2 ≤ 3. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: 1 1 1 1 1 1 P xy yz zx = + + + + + Cõu 5 (2.0 điểm): 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, hóy lập phương trỡnh tiếp tuyến chung của elip (E): 2 2 1 8 6 x y + = và parabol (P): y 2 = 12x. 2. Tỡm hệ số của số hạng chứa x 8 trong khai triển Newton: 12 4 1 1 x x − − ÷ −−−−−−−−−−−−−o0o−−−−−−−−−−−−− Cõ u Nội dung Điểm I 1. Khi m = 1, hàm số cú dạng: y = x 3 − 3x 2 + 4 + TXĐ: R + Sự biến thiờn: y’ = 3x 2 − 6x = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2 Hàm số đồng biến trên: (−∞; 0) và (2; +∞) Hàm số nghich biến trờn: (0; 2) Hàm số đạt CĐ tại x CĐ = 0, y CĐ = 4; đạt CT tại x CT = 2, y CT = 0 y” = 6x − 6 = 0 ⇔ x = 1 Đồ thị hàm số lồi trên (−∞; 1), lừm trờn (1; +∞). Điểm uốn (1; 2) 0.25 Giới hạn và tiệm cận: 3 3 3 4 lim lim 1 x x y x x x →±∞ →±∞ = − + = ±∞ ÷ 0.25 Lập BBT: 0.25 Đồ thị: 0.25 2/. Ta cú: y’ = 3x 2 − 6mx = 0 ⇔ 0 2 x x m = = Để hàm số cú cực đại và cực tiểu thỡ m ≠ 0. 0.25 Giả sử hàm số cú hai điểm cực trị là: A(0; 4m 3 ), B(2m; 0) ⇒ 3 (2 ; 4 )AB m m= − uuur 0.25 0 x 4 +∞ −∞ − + + 0 0 y’ −∞ 2 +∞ y 0 x y O Trung điểm của đoạn AB là I(m; 2m 3 ) Điều kiện để AB đối xứng nhau qua đường thẳng y = x là AB vuụng gúc với đường thẳng y = x và I thuộc đường thẳng y = x 3 3 2 4 0 2 m m m m − = ⇔ = 0.25 Giải ra ta cú: 2 2 m = ± ; m = 0 0.25 Kết hợp với điều kiện ta cú: 2 2 m = ± II 2/. Đk: 2 x k π ≠ 0.25 Phương trỡnh đó cho tương đương với: ( ) 2 2 2 2 2 4 3 1 2 3 2 sin 2 2(sin cos ) 3 3 2 sin cos 3 2 3 0 tg cotg tg cotg tg tg x x x x x x x x x x x + + − = + ⇔ + − = ⇔ + − = 0.25 ⇔ 3 3 1 3 6 tg tg x k x x x k π = − + π = − ⇔ π = = + π 0.25 KL: So sỏnh với điều kiện phương trỡnh cú nghiệm : 6 2 x k π π = + ; k∈Z 0.25 2/. 3 3 2 2 2 2 3 3 2 0 (1) 1 3 2 0 (2) x y y x x x y y m − + − − = + − − − + = Điều kiện: 2 2 1 0 1 1 0 2 2 0 x x y y y − ≥ − ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤ − ≥ 0.25 Đặt t = x + 1 ⇒ t∈[0; 2]; ta cú (1) ⇔ t 3 − 3t 2 = y 3 − 3y 2 . 0.25 Hàm số f(u) = u 3 − 3u 2 nghịch biến trờn đoạn [0; 2] nờn: (1) ⇔ y = y ⇔ y = x + 1 ⇒ (2) ⇔ 2 2 2 1 0x x m− − + = 0.25 Đặt 2 1v x= − ⇒ v∈[0; 1] ⇒ (2) ⇔ v 2 + 2v − 1 = m. Hàm số g(v) = v 2 + 2v − 1 đạt 0;1 0;1 min ( ) 1; m ( ) 2 [ ] [ ] axg v g v= − = Vậy hệ phương trỡnh cú nghiệm khi và chỉ khi −1 ≤ m≤ 2 0.25 III 1/. Đường thẳng (∆) cú phương trỡnh tham số là: 1 2 ; 2 x t y t t R z t = − = − + ∈ = + Gọi tõm mặt cầu là I. Giả sử I(−t; −1 + 2t; 2+ t)∈(∆). 0.25 Vỡ tõm mặt cầu cỏch mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 nờn: | 2 1 2 4 2 2 | |6 5| ( ; ) 3 3 3 t t t t d I − + − − − − + ∆ = = = ⇔ 2 3 7 3 t t = = − 0.25 ⇒ Cú hai tõm mặt cầu: 2 1 8 7 17 1 ; ; ; ; 3 3 3 3 3 7 vµ I I − − − ÷ ÷ Vỡ mặt phẳng (P) cắt mặt cầu theo đường trũn cú bỏn kớnh bằng 4 nờn mặt cầu cú bỏn kớnh là R = 5. 0.25 Vậy phương trỡnh mặt cầu cần tỡm là: 2 2 2 2 2 2 2 1 8 7 17 1 25 25 3 3 3 3 3 3 vµ x y z x y z + + − + − = − + + + + = ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ 0.25 2/. Đường thẳng (∆) cú VTCP ( 1;2;1)u = − r ; PTTQ: 2 1 0 2 0 x y x z + + = + − = Mặt phẳng (P) cú VTPT (2; 1; 2)n = − − r 0.25 Gúc giữa đường thẳng (∆) và mặt phẳng (P) là: | 2 2 2 | 6 sin 3 3. 6 − − − α = = ⇒ Gúc giữa mặt phẳng (Q) và mặt phẳng (Q) cần tỡm là 6 3 cos 1 9 3 α = − = 0.25 Giả sử (Q) đi qua (∆) cú dạng: m(2x + y + 1) + n(x + z − 2) = 0 (m 2 + n 2 > 0) ⇔ (2m + n)x + my + nz + m − 2n = 0 Vậy gúc giữa (P) và (Q) là: 2 2 | 3 | 3 cos 3 3. 5 2 4 m m n mn α = = + + 0.25 ⇔ m 2 + 2mn + n 2 = 0 ⇔ (m + n) 2 = 0 ⇔ m = −n. Chọn m = 1, n = −1, ta cú: mặt phẳng (Q) là: x + y − z + 3 = 0 0.25 IV 1/. Phương trỡnh tiếp tuyến tại điểm cú hoành độ x = 2 là: y = 4x − 4 0.25 Thể tớch vật thể trũn xoay cần tỡm là: 2 2 4 2 0 1 (4 4)V x dx x dx = π − − ÷ ÷ ∫ ∫ 0.25 = 5 3 2 2 16 16 ( 1) 0 1 5 3 15 x x π π − − = ÷ 0.5 2/. Ta cú: [ ] 1 1 1 (1 ) (1 ) (1 ) 9 1 1 1 xy yz zx xy yz zx + + + + + + + ≥ ÷ + + + 0.25 2 2 2 9 9 3 3 P xy yz zx x y z ⇔ ≥ ≥ + + + + + + 0.25 ⇒ 9 3 6 2 P ≥ = 0.25 Vậy GTNN là P min = 3 2 khi x = y = z 0.25 V 1/. Giả sử đường thẳng (∆) cú dạng: Ax + By + C = 0 (A 2 + B 2 > 0) (∆) là tiếp tuyến của (E) ⇔ 8A 2 + 6B 2 = C 2 (1) (∆) là tiếp tuyến của (P) ⇔ 12B 2 = 4AC ⇔ 3B 2 = AC (2) 0.25 Thế (2) vào (1) ta cú: C = 4A hoặc C = −2A. Với C = −2A ⇒ A = B = 0 (loại) 0.25 Với C = 4A ⇒ 2 3 A B = ± ⇒ Đường thẳng đó cho cú phương trỡnh: 2 2 3 4 0 4 0 3 3 A Ax y A x y± + = ⇔ ± + = 0.25 Vậy cú hai tiếp tuyến cần tỡm: 2 3 4 0 3 x y± + = 0.25 V Ta cú: 12 12 12 4 4 12 4 12 0 1 1 1 1 1 ( 1) k k k k x x C x x x x − = + − = − + = − + ÷ ÷ ÷ ∑ 0.25 ( ) 12 12 12 4 12 4 4 12 12 0 0 0 0 12 12 4 5 12 0 0 1 ( 1) ( 1) ( 1) i k k k i k k i k k i k i i k k k i k i k k k i k i k k i C C x C C x x x C C x − − − − − = = = = − − = = = − = − ÷ = − ∑ ∑ ∑∑ ∑∑ 0.25 Ta chọn: i, k ∈N, 0 ≤ i ≤ k ≤ 12; 4k − 5i = 8 ⇒ i = 0, k = 2; i = 4 , k = 7; i = 8, k 12 0.25 Vậy hệ số cần tỡm là: 2 0 7 4 12 8 12 2 12 7 12 12 . . . 27159C C C C C C− + = − 0.25 . ONTHIONLINE.NET đề thi THử ĐH ( Số 2) Môn: Toán Thời gian làm bài: 180 phỳt Cõu 1 (2.0 điểm): Cho hàm số 3 2 3 3 4y x mx m= − + (m là tham số) có đồ thị là (C m ) 1. Khảo. có đồ thị là (C m ) 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1. 2. Xác định m để (C m ) có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng y = x. Cõu 2 (2.0 điểm ) : 1. Giải phương. nhỏ nhất. Cõu 4 (2.0 điểm): 1. Cho parabol (P): y = x 2 . Gọi (d) là tiếp tuyến của (P) tại điểm có hoành độ x = 2. Gọi (H) là hỡnh giới hạn bởi (P), (d) và trục hoành. Tớnh thể tớch vật thể trũn