Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn! !"#$%&'()*+,-) ).*.)) /0&1)23)&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A))) B4%)#%C#()DE#4$%&2:FG&! H4"I)1%J%)>K)L!ML)N=O9)P%E)Q)L4RS()/T&1)L4U&4)VE6) DW&()L"I&X)/Y)Z[)*+\]*) V1US)#4%)()^-\*.\.*^]) L4_%)1%E&)$U6)`U%()^a*)@4b#c)24W&1)2d)#4_%)1%E&)1%E")>K) e%f&)4g)>0&1)23)24"I)489)Q)!"#$%&'()*+,-) ).*.)Q)B4%)#%C#()hhhF6E#4$%&2:FG&)) Bi=)^)j.c*)>%d6kF!Cho!hàm!số! y = x 4 4 − (m + 2)x 2 +1 (1) .! 1. Khảo!sát!sự!biến!thiên!và!vẽ!đồ!thị!hàm!số!(1)!với! m = 2 .!! 2. Tìm!m!để!(1)!có!ba!điểm!cực!trị!đều!nằm!trên!các!trục!toạ!độ.! Bi=).)j^c*)>%d6kF) a) Giải!phương!trình! (1− 2cos5x )(2cos2x +1) = 2cos x .! b) Giải!phương!trình! x ln 2 x −(3x −1)ln x + 2x − 2 = 0 .! Bi=)7)j^c*)>%d6kF!Tính!tích!phân! I = sin x cos x + 4 −3cos x dx 0 π 2 ∫ .! Bi=)l)j^c*)>%d6kF) a) Gọi! z 1 ,z 2 !là!hai!nghiệm!của!phương!trình z 2 − 2 3z + 4 = 0 .!Tính! A = z 1 4 + z 2 4 .!!!! b) Cho!số!tự!nhiên! (n ≥ 2) và!khai!triển! (x +1) n (x + 2) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + + a n+1 x n+1 .!Tìm!n!biết! rằng!các!số! a 2 −7n;na n ;a n−2 theo!thứ!tự!lập!thành!một!cấp!số!cộng.!! Bi=)])j^c*)>%d6kF!Cho!hình!chóp!S.ABCD!có! AB = BC = a,AD = 2a,ABC ! = DAB ! = 90 0 .!Tam! giác!SAC!cân!tại!S!và!nằm!trong!mặt!phẳng!vuông!góc!với!mặt!đáy!(ABCD).!Cạnh!bên!SB!tạo! với!mặt!đáy!góc! 30 0 .!Gọi!M!là!điểm!thuộc!đoạn!SA!thoả!mãn! AM = 2SM .!Tính!thể!tích!khối! chóp!S.ABCD!và!khoảng!cách!từ!M!đến!mặt!phẳng!(SCD).!!!!! Bi=)-)j^c*)>%d6kF)Trong!không!gian!với!trục!toạ!độ!Oxyz!cho!điểm!A(2;2;j1)!và!hai!đường! thẳng! d 1 : x −1 −1 = y +1 4 = z −1 1 ;d 2 : x −3 1 = y 2 = z +1 2 .!Viết!phương!trình!mặt!phẳng!(P)!song!song! với! d 1 ,d 2 !và!cách!điểm!A!một!khoảng!bằng!3.! Bi=),)j^c*)>%d6kF!Trong!mặt!phẳng!với!trục!toạ!độ!Oxy!cho!đường!tròn! (C ) : x 2 + y 2 = 9 .! Đường!tròn!(T)!có!tâm!I,!bán!kính!bằng!4!và!(C)!cắt!(T)!tại!hai!điểm!phân!biệt!A,B!sao!cho!tứ! giác!OAIB!có!diện!tích!bằng!12!(!với!O!là!gốc!toạ!độ).!Viết!phương!trình!đường!tròn!(T),!biết!I! nằm!trên!đường!thẳng! d : x − 2 y + 2 = 0 .!!! Bi=)a)j^c*)>%d6kF!Giải!hệ!phương!trình! x 3 − 2y 2 = 16 y 3 −(3x + 2) y 2 + 3x 2 y = 2(x 2 + 4) ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ (x, y ∈ !) .! Bi=)+)j^c*)>%d6kF!Cho!a,b!là!hai!số!thực!dương!phân!biệt!thoả!mãn! ab >1 .!Tìm!giá!trị!nhỏ!nhất! của!biểu!thức! P = (a + b) 2 (ab −1)(a −b) 2 − 16 (a + b) 2 (ab −1) + 2 a + b .!!! mmm!nLmmm) ) ) ) Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn! !"#$%&'()*+,-) ).*.)) /0&1)23)&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A))) B4%)#%C#()DE#4$%&2:FG&! PHÂN TÍCH BÌNH LUẬN VÀ ĐÁP ÁN Bi=)^)j.c*)>%d6kF!Cho!hàm!số! y = x 4 4 − (m + 2)x 2 +1 (1) .! 1. Khảo!sát!sự!biến!thiên!và!vẽ!đồ!thị!hàm!số!(1)!với! m = 2 .! 2. Tìm!m!để!(1)!có!ba!điểm!cực!trị!đều!nằm!trên!các!trục!toạ!độ.! 1. Học!sinh!tự!làm.! 2. Ta!có:! y ' = x 3 − 2(m + 2)x; y ' = 0 ⇔ x = 0 x 2 = 2(m + 2) ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ .! Để!(1)!có!ba!điểm!cực!trị!khi!y’!có!ba!nghiệm!phân!biệt! ⇔ m + 2 > 0 ⇔ m >−2 .! Khi!đó!toạ!độ!ba!điểm!cực!trị!là! ! A(0;1),B(− 2(m + 2);1− (m + 2) 2 ),C ( 2(m + 2);1− (m + 2) 2 ) .! Ta!có!A!thuộc!Oy.!Vậy!để!ba!điểm!cực!trị!của!(1)!thuộc!các!trục!toạ!độ!khi! B,C ∈ Ox ⇔1− (m + 2) 2 = 0 ⇔ m = −1(t / m) m = −3(l ) ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ .! Vậy! m = −1 là!giá!trị!cần!tìm.!!!!! Bi=).)j^c*)>%d6kF) a) Giải!phương!trình! (1− 2cos5x )(2cos2x +1) = 2cos x .! b) Giải!phương!trình! x ln 2 x −(3x −1)ln x + 2x − 2 .! a) Phương!trình!tương!đương!với:! (1− 2cos5x )(2cos2x +1) = 2cos x 2cos2x − 4 cos5x cos2x +1−2cos5x = 2cos x ⇔ 2cos2x − 2cos5x −2(cos7x + cos3x )+1= 2cos x ⇔ 2 cos5x + cos7x ( ) + 2 cos3x + cosx ( ) = 2cos2x +1 ⇔ 4cos6x cosx +4cos2x cos x = 2cos2x +1 ⇔ 4cosx(cos6x + cos2x ) = 2cos2x +1 ⇔ 8cos x cos4x cos2x = 2cos2x +1 .! Nhận!thấy! !! sin x = 0 !không!là!nghiệm!của!phương!trình.! Với! sin x ≠ 0 !nhân!thêm!hai!vế!của!phương!trình!với!sinx!ta!được:! 8sin x cos x cos4x cos2x = sin x(2cos2x +1) ⇔ sin8x = 2sin x cos2x + sin x ⇔ sin8x = sin3x ⇔ 8x = 3x + k2π 8x = π −3x + k2π ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⇔ x = k 2π 5 x = π 11 + k 2π 11 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ,k ∈ ! .! Vậy!phương!trình!có!nghiệm!là! x = k 2π 5 ;x = π 11 + k 2π 11 ,k ∈ ! .!! oU%)#;@)#<p&1)#q) Giải!các!phương!trình!! 1j! (2sin5x −1)(2cos2x −1) = 2sin x .! 2j! 4sin x.cos2x = (2cos2x +1)tan x .!!! Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn! !"#$%&'()*+,-) ).*.)) /0&1)23)&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A))) B4%)#%C#()DE#4$%&2:FG&! b) Điều!kiện:! x > 0 .! Coi!phương!trình!là!phương!trình!bậc!hai!với!lnx!ta!được:! Δ ln x = (3x −1) 2 − 4x (2x − 2) = x 2 + 2x +1= (x +1) 2 .! Suy!ra! ln x = 3x −1−(x +1) 2x = 1− 1 x ;ln x = 3x −1+ (x +1) 2x = 2 .! +)!Nếu! ln x = 2 ⇔ x = e 2 .! +)!Nếu! ln x =1− 1 x ⇔ ln x + 1 x −1 = 0 ⇔ x =1 .! Vậy!phương!trình!có!hai!nghiệm! x =1;x = e 2 .!!!!! Bi=)7)j^c*)>%d6kF!Tính!tích!phân! I = sin x cos x + 4 −3cos x dx 0 π 2 ∫ .! Đặt! t = 4 − 3cos x ⇒ cos x = 4 − t 2 3 ⇒ sin xdx = 2tdt 3 .! Vì!vậy!!! I = 2tdt 3 4−t 2 3 + t 1 2 ∫ = 2 tdt −t 2 + 3t + 4 1 2 ∫ = 2 tdt (t +1)(4−t ) 1 2 ∫ = 2 5 4 4−t − 1 t +1 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ dt 1 2 ∫ = 2 5 −4ln t −4 −ln t +1 ( ) 2 1 = 6 5 ln 3 2 .! Bi=)l)j^c*)>%d6kF) a) Gọi! z 1 ,z 2 !là!hai!nghiệm!của!phương!trình z 2 − 2 3z + 4 = 0 .!Tính! A = z 1 4 + z 2 4 .!!!! b) Cho!số!tự!nhiên! (n ≥ 2) và!khai!triển! (x +1) n (x + 2) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + + a n+1 x n+1 .!Tìm!n!biết! rằng!các!số! a 2 −7n;na n ;a n−2 theo!thứ!tự!lập!thành!một!cấp!số!cộng.!! a)!Ta!có! (z − 3) 2 +1 = 0 ⇔ (z − 3) 2 = i 2 ⇔ z = 3 + i z = 3 −i ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ .! Khi!đó!! A = ( 3 + i) 4 + ( 3 −i ) 4 = ( 3 + i ) 2 ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ 2 + ( 3 − i) 2 ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ 2 = (2+ 2 3i ) 2 + (2− 2 3i) 2 = 4(−2+ 2 3i) + 4(−2− 2 3i ) = −16 .! B4b)3F!Ta!có!thể!tính! A = z 1 n + z 2 n !bằng!cách!viết! z 1 ,z 2 !dưới!dạng!lượng!giác.!! b)!Ta!có! (x +1) n (x + 2) = (x +1) n+1 + (x +1) n .! Suy!ra!! a 2 = C n+1 2 +C n 2 = (n +1)n 2 + n(n −1) 2 = n 2 ; a n = C n+1 n +C n n = (n +1)+1= n + 2; a n−2 = C n+1 n−2 +C n n−2 = (n +1)n(n −1) 6 + n(n −1) 2 = n(n −1)(n + 4) 6 .! Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn! !"#$%&'()*+,-) ).*.)) /0&1)23)&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A))) B4%)#%C#()DE#4$%&2:FG&! Theo!giả!thiết!bài!toán!ta!có! ! n(n + 2)− (n 2 −7n) = n(n −1)(n + 4) 6 −n(n + 2) ⇔ n(n −1)(n + 4) 6 = n 2 +11n ⇔ n = 0(l ) n = −7(l ) n =10(t / m) ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ .! Vậy! n =10 !là!giá!trị!cần!tìm.! Bi=)])j^c*)>%d6kF!Cho!hình!chóp!S.ABCD!có! AB = BC = a, AD = 2a,ABC ! = DAB ! = 90 0 .!Tam! giác!SAC!cân!tại!S!và!nằm!trong!mặt!phẳng!vuông!góc!với!mặt!đáy!(ABCD).!Cạnh!bên!SB!tạo! với!mặt!đáy!góc! 30 0 .!Gọi!M!là!điểm!thuộc!đoạn!SA!thoả!mãn! AM = 2SM .!Tính!thể!tích!khối! chóp!S.ABCD!và!khoảng!cách!từ!M!đến!mặt!phẳng!(SCD).!!!!! ! +)!Gọi!E!là!trung!điểm!AD!ta!có!tứ!giác!AECB!là!hình!vuông! cạnh!a.! +)!Gọi!H!là!giao!điểm!của!AC!và!BE!thì!H!là!trung!điểm!của!AC! theo!giả!thiết!tam!giác!SAC!cân!nên! SH ⊥ AC .! Mặt!khác!(SAC)!vuông!góc!với!mặt!đáy!(ABCD)!nên! SH ⊥ (ABCD ) .! +)!Ta!có:! SH = HB tan 30 0 = BE 2 . 1 3 = a 6 6 .!!!! Vì!vậy! V S .ABCD = 1 3 SH .S ABCD = 1 3 .SH . BC + AD 2 .AB = 1 6 . a 6 6 .(a + 2a).a = a 3 6 12 (đvtt).! +)!Ta!có:! d (M ;(SCD)) = MS AS .d(A;(SCD )) = MS AS . AC HC .d(H ;(SCD)) = 2 3 d (H ;(SCD )) .!! Tam!giác!ACD!có! AC = a 2,CD = CE 2 + ED 2 = a 2 ⇒CD 2 + AC 2 = AD 2 = 4a 2 .! Vì!vậy!ACD!vuông!cân!tại!C!suy!ra! CD ⊥ (SAC ) .! +)!Kẻ!HK!vuông!góc!với!SC!tại!K!thì! SK ⊥ (SCD ) .! Tam!giác!vuông!SHC!có! 1 HK 2 = 1 SH 2 + 1 HC 2 = 6 a 2 + 2 a 2 ⇒ HK = a 2 4 .! Kết!luận:! d (M ;(SCD)) = a 2 6 .!!!! Bi=)-)j^c*)>%d6kF)Trong!không!gian!với!trục!toạ!độ!Oxyz!cho!điểm!A(2;2;j1)!và!hai!đường! thẳng! d 1 : x −1 −1 = y +1 4 = z −1 1 ;d 2 : x −3 1 = y 2 = z +1 2 .!Viết!phương!trình!mặt!phẳng!(P)!song!song! với! d 1 ,d 2 !và!cách!điểm!A!một!khoảng!bằng!3.) Đường!thẳng!d1,d2!có!các!vtcp!lần!lượt!là! a ! = (−1;4;1),b ! = (1;2;2) .! Mặt!phẳng!(P)!song!song!với!d1,d2!nên!có!vtpt!là! n ! = a ! ,b ! ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ = (6;3;−6) //(2;1;−2) .! Suy!ra! (P ) : 2x + y − 2z + c = 0 .! Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn! !"#$%&'()*+,-) ).*.)) /0&1)23)&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A))) B4%)#%C#()DE#4$%&2:FG&! Ta!có! d (A;(P )) = 3 ⇔ 2.2+1.2− 2.(−1)+ c 2 2 +1 2 + (−2) 2 = 3 ⇔ c + 8 = 9 ⇔ c = 1 c = −17 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ .! Vậy!có!hai!mặt!phẳng!cần!tìm!là! 2x + y − 2z +1 = 0;2x + y − 2z −17 = 0 .!!! Bi=),)j^c*)>%d6kF!Trong!mặt!phẳng!với!trục!toạ!độ!Oxy!cho!đường!tròn! (C ) : x 2 + y 2 = 9 .! Đường!tròn!(T)!có!tâm!I,!bán!kính!bằng!4!và!(C)!cắt!(T)!tại!hai!điểm!phân!biệt!A,B!sao!cho!tứ! giác!OAIB!có!diện!tích!bằng!12!(!với!O!là!gốc!toạ!độ).!Viết!phương!trình!đường!tròn!(T),!biết!I! nằm!trên!đường!thẳng! d : x − 2 y + 2 = 0 .!!! ! Đường!tròn!(C)!có!tâm!O(0;0)!bán!kính!bằng!3.! Ta!có!OI!vuông!góc!với!AB.!Vì!vậy! S OAIB = 1 2 OI .AB = 2S OIA = 12 ⇒ S OIA = 6 .! Mặt!khác:! ! S OIA = 1 2 OA.IA.sinOAI ! = 1 2 .3.4.sinOAI ! = 6sinOAI ! ≤ 6 .! Vì!vậy! S OIA = 6 ⇔ OAI ! = 90 0 ⇒ OI 2 = OA 2 + AI 2 = 9 +16 = 25 .! Gọi! I (2a − 2;a) ∈ d ⇒ OI 2 = a 2 + 4(a −1) 2 = 25 .! ! ⇔ 5a 2 −8a −21= 0 ⇔ a = 3 a = − 7 5 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⇒ I (4;3) I (− 24 5 ;− 7 5 ) ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ .!!!!!! Vậy!có!hai!đường!tròn!thoả!mãn!yêu!cầu!bài!toán!là! (T ) : (x −4) 2 + ( y −3) 2 = 16;(T ) : x + 24 5 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ 2 + y + 7 5 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ 2 = 16 .! oU%)#;@)#<p&1)#q)m!Trong!mặt!phẳng!với!trục!toạ!độ!Oxy!cho!đường!tròn! (C ) : (x + 2) 2 + ( y −1) 2 = 4 3 !có!tâm!I.!Đường!tròn!(T)!có!bán!kính!bằng!2,!tâm!J!nằm!trên!đường! thẳng! d : x + y − 2 = 0 !và!(C)!cắt!(T)!tại!hai!điểm!phân!biệt!A,B!sao!cho! S IAJB = 4 3 3 .!Viết! phương!trình!đường!tròn!(T).! /\:(! (T ) : x + 1 2 − 15 6 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ 2 + y − 5 2 + 15 6 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ 2 = 4;(T ) : x + 1 2 + 15 6 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ 2 + y − 5 2 − 15 6 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ 2 = 4 .!!!!! Bi=)a)j^c*)>%d6kF!Giải!hệ!phương!trình! x 3 − 2y 2 = 16 y 3 −(3x + 2) y 2 + 3x 2 y = 2(x 2 + 4) ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ (x, y ∈ !) .! Hệ!phương!trình!tương!đương!với:! x 3 = 2y 2 +16 y 3 −3xy 2 + 3x 2 y = 2x 2 + 2 y 2 + 8 ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ .! Trừ!theo!vế!2!phương!trình!của!hệ!ta!được:! x 3 = 2y 2 +16 (x − y) 3 = 8− 2x 2 ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⇔ x 3 = 2y 2 +16 x − y = 8−2x 2 3 ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⇔ x 3 = 2y 2 +16 y = x − 8−2x 2 3 ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ .! Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn! !"#$%&'()*+,-) ).*.)) /0&1)23)&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A))) B4%)#%C#()DE#4$%&2:FG&! Chú!ý! x 3 ≥16; y = x − 8− 2x 2 3 = x 3 + 2x 2 −8 x 2 + x 8− 2x 2 3 + (8− 2x 2 ) 2 3 > 0 .!! Vì!vậy!ta!có! y = x 3 −16 2 y = x − 8−2x 2 3 ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⇒ x 3 −16 2 = x − 8−2x 2 3 .! Tìm!được!nghiệm! x = 6 !và!ngoài!căn!thức!có!chứa!x!nên!tiến!hành!nhân!liên!hợp!như!sau:! (2x −2)− x 3 −16 2 = 8−2x 2 3 + (x −2) ⇔ (2x −2) 2 − x 3 −16 2 2x −2+ x 3 −16 2 = (x −2) 3 + 8−2x 2 (x −2) 2 −(x −2) 8−2x 2 3 + (8−2x 2 ) 2 3 ⇔ −x 3 + 8x 2 −16x + 24 2(2x −2)+ 2 x 3 −16 2 = x 3 −8x 2 +12x (x −2) 2 −(x −2) 8−2x 2 3 + (8−2x 2 ) 2 3 ⇔ (x −6) x(x −2) (x −2) 2 −(x −2) 8−2x 2 3 + (8−2x 2 ) 2 3 + x 2 −2x + 4 2(2x −2)+ 2 x 3 −16 2 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ = 0 ⇔ x = 6 do x(x −2) (x −2) 2 −(x −2) 8−2x 2 3 + (8−2x 2 ) 2 3 + x 2 −2x + 4 2(2x −2)+ 2 x 3 −16 2 > 0 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ .! Vậy!hệ!phương!trình!có!nghiệm!duy!nhất! (x; y) = (6;10) .!! BH94).(!Sử!dụng!phép!thế!như!sau:! y 2 = x 3 −16 2 x 3 −16 2 .y − 3x. x 3 −16 2 + 3x 2 y = 2x 2 + 8 ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⇔ y(x 3 + 6x 2 −16) = 3x 4 + 4x 2 − 48x +16 y 2 = x 3 −16 2 ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⇒ x 3 −16 2 .(x 3 + 6x 2 −16) 2 = (3x 4 + 4x 2 − 48x +16) 2 .! B4I)3F!Có!thể!đưa!giải!bằng!phương!pháp!khử!dần!bậc!cao!xem!thêm!tại!đây:! https://www.youtube.com/watch?v=dWKZy7Xcljg&list=PLrVTTu73854EE_Y8aEqPfrNaoQRA fueZs&index=2! Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn! !"#$%&'()*+,-) ).*.)) /0&1)23)&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A))) B4%)#%C#()DE#4$%&2:FG&! BJ=)+)KLM*)>%N6OF!Cho!a,b!là!hai!số!thực!dương!phân!biệt!thoả!mãn! ab >1 .!Tìm!giá!trị!nhỏ!nhất! của!biểu!thức! P = (a + b) 2 (ab −1)(a −b) 2 − 16 (a + b) 2 (ab −1) + 2 a + b .!!! Đặt! m = a + b,n = ab(m 2 > 4n > 4) !khi!đó!! ! P = m 2 (n −1)(m 2 −4n) − 16 (n −1)m 2 + 2 m = m 2 (n −1)(m 2 −4n) − 16(n −(n −1)) (n −1)m 2 + 2 m = m 2 (n −1)(m 2 −4n) − 16n (n −1)m 2 + 16 m 2 + 2 m = 1 n −1 m 2 m 2 −4n − 16n m 2 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ + 16 m 2 + 2 m = 1 n −1 m 4 −16m 2 n + 64n 2 m 2 (m 2 −4n) ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ + 16 m 2 + 2 m = (m 2 −8n) 2 m 2 (n −1)(m 2 −4n) + 16 m 2 + 2 m ≥ 16 m 2 + 2 m .! Xét!hàm!số! f (m) = 16 m 2 + 2 m trên!khoảng! (2;+∞) !ta!có! ! f '(m) = − 32 m 3 + 1 m ; f '(m) = 0 ⇔ 32 m = m 3 ⇔ m 5 = 2 10 ⇔ m = 4 .! Ta!có!f’(m)!đổi!dấu!từ!âm!sang!dương!khi!đi!qua! m = 4 suy!ra! f (m) ≥ f (4) = 5 .! Dấu!bằng!đạt!tại! m = 4;m 2 = 8n ⇔ m = 4 n = 2 ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⇔ a + b = 4 ab = 2 ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ .! Vậy!giá!trị!nhỏ!nhất!của!P!bằng!5.!!!!! B4I)3F!! +)!Với!biểu!thức!cực!trị!đối!xứng!hai!biến!a,b!ta!có!thể!xử!lý!bằng!cách!đặt! m = a + b n = ab ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ (m 2 ≥ 4n > 0) .! +)!Với!lời!giải!trên!ta!biến!đổi!để!có!bất!đẳng!thức!luôn!đúng!và!điểm!rơi!tại! m 2 = 8n .! Nếu!thấy!khó!để!dự!đoán!được!biến!đổi!trên!ta!có!thể!tìm!được!điểm!rơi!bằng!cách!xử!lý! thông!qua!đạo!hàm!như!sau:! Coi!P!là!hàm!của!n,!ta!có:! f (n) = m 2 (n −1)(m 2 − 4n) − 16 (n −1)m 2 + 2 m .! ! f '(n) = 256n 2 + 8m 2 (m 2 −16)n − m 6 +12m 4 m 2 (n −1) 2 (m 2 − 4n) 2 ; f '(n) = 0 ⇔ n = m 2 8 n = −m 4 +12m 2 32 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ .!! Ta!có!điểm!rơi!bài!toán!cần!tìm!và!có!hướng!biến!đổi!hoặc!xử!lý!tiếp!tục!bằng!hàm!số.! BH94).(!Sử!dụng!bất!đẳng!thức!AM!–GM!ta!có:! Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn! !"#$%&'()*+,-) ).*.)) /0&1)23)&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A))) B4%)#%C#()DE#4$%&2:FG&! 2 ab. (a −b) 2 ≤ 4ab + (a −b) 2 2 = (a + b) 2 2 ⇒ (a −b) 2 ≤ (a + b) 4 16ab .! Vì!vậy! P = 16ab (ab −1)(a + b) 2 − 16 (a + b) 2 (ab −1) + 2 a + b = 16 (a + b) 2 + 2 a + b .!Ta!có!kết!quả!tương! tự.! PQ%)#;@)#<R&1)#S) PQ%):T)*LF!Cho!a,b!là!hai!số!thực!dương!chứng!minh!rằng! ab + a + b ab + 2(a + b)+ 4 + 1−ab (a + b +1) 2 ≥ 1 3 .! PQ%):T)*.F!Cho!a,b!là!hai!số!thực!dương!phân!biệt!tìm!giá!trị!nhỏ!nhất!của!biểu!thức! P = 4 (ab + 2)(a −b) 2 + 512 (ab + 2)(a + b) 4 + 2(a + b) .! PQ%):T)*7F)Cho!x,y,z!là!các!số!thực!dương!phân!biệt!thoả!mãn! xy + z 2 = z 3 .!Tìm!giá!trị!nhỏ!nhất! của!biểu!thức! P = z (x − y) 2 + 16z 3 (x + y) 4 + 2(x + y) z .! PQ%):T)*UF!Cho!a,b!là!hai!số!thực!dương!phân!biệt!thoả!mãn! ab >1 .!Tìm!giá!trị!nhỏ!nhất!của! biểu!thức! P = (a + b) 2 (ab −1)(a −b) 2 − 16 (a + b) 2 (ab −1) − 128 3(a + b) 3 .!!! ! ! !!!! !! !!! !! ! . = −m 4 +12m 2 32 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ .!! Ta!có!điểm!rơi!bài !toán! cần!tìm!và!có!hướng!biến!đổi!hoặc!xử!lý!tiếp!tục!bằng!hàm!số.! BH94).(!Sử!dụng!bất!đẳng!thức!AM!–GM!ta!có:! Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam. b) 2 (ab −1)(a −b) 2 − 16 (a + b) 2 (ab −1) + 2 a + b .!!! mmm!nLmmm) ) ) ) Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn! !"#$%&'()*+,-) ).*.)) /0&1)23)&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A))) B4%)#%C#()DE#4$%&2:FG&! PHÂN. + 2)x 2 +1 (1) .! 1. Khảo!sát!sự!biến !thi n!và!vẽ!đồ!thị!hàm!số!(1)!với! m = 2 .! 2. Tìm!m!để!(1)!có!ba!điểm!cực!trị!đều!nằm!trên!các!trục!toạ!độ.! 1. Học! sinh!tự!làm.! 2. Ta!có:! y '