Đề thi thử đại học môn Toán năm 2015 (15)

!"#$%&'('%)*%+",+% /0%&'1%+"23%)45&%+"65"%517% "89:;<=>%?@AB%CBB%C?C%% )D<E%FG%<HIJ%K%HLM%N;<H%<HO<%PQ%RS;%HLM%THU%%% 0H;%9;V9>%7W9H:;<FNXY<! 1! !H8Z%E;[;%R\%+",+%-Q]M%&;W%^%+H_`>%)a<E%+Hb<H%5WJ% 7c<>%+8Z<d%)*%e/%Cfgh?% 5Eb`%9H;%>%C@g?KgC?fh% +Hi;%E;W<%:bJ%jb;>%fk?%THl9m%FHc<E%Fn%9Hi;%E;W<%E;W8%R\% o;p<%Hq%RD<E%FG%FH8Z%HLM%^%"89:;<=>%?@AB%CBB%C?C%^%0H;%9;V9>%rrrXJW9H:;<FNXY<%% 0sQ%f%tCm?%R;nJuX%Cho!hàm!số! y = 3x + 2 x + 2 (1) .! 1. Khảo!sát!sự!biến!thiên!và!vẽ!đồ!thị!hàm!số!(1).! 2. Cho!hai!điểm!A(@1;@1),!B(2;2).!Viết!phương!trình!đường!thẳng!d!song!song!với!AB!và!cắt!(1)! tại!hai!điểm!phân!biệt!C,D!thoả!mãn! CD = 3 2 .!!! 0sQ%C%tfm?%R;nJuX% a) Giải!phương!trình! (sin x + cos x) 2 = 1+ 2 2sin x cosx .!! b) Tìm!số!phức!z!thoả!mãn! z 2 + z + 4 + 28i = 0 .! 0sQ%K%t?mh%R;nJuX!Tìm!số!tự!nhiên!n!thoả!mãn! log 2 n −log 4 (n + 8) = 1 .!!!! 0sQ%v%tfm?%R;nJuX%Giải!hệ!phương!trình! x 4x 2 + 5y 2 + 2y 4y 2 + 5xy = 1 xy 3 = (1+ x +1)(1+ 2x +1 3 ) ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ (x, y ∈ !) .! 0sQ%h%tfm?%R;nJuX!Tính!tích!phân! I = e 2 x e x +1 +1 0 ln 3 ∫ dx .! 0sQ%B%tfm?%R;nJuX!Cho!hình!hộp!ABCD.A’B’C’D’!có!đáy!ABCD!là!hình!vuông!cạnh!a,!hình!chiếu! vuông!góc!của!A’!trên!mặt!phẳng!(ABCD)!trùng!với!tâm!O!của!hình!vuông!ABCD.!Khoảng! cách!giữa!hai!đường!thẳng!AC!và!B’D’!bằng! a 6 2 .!Tính!thể!tích!khối!hộp!ABCD.A’B’C’D’!và! khoảng!cách!giữa!hai!đường!thẳng!AD’,A’C’.! 0sQ%A%tfm?%R;nJuX!Trong!không!gian!với!hệ!toạ!độ!Oxyz!cho!đường!thẳng!dm!là!giao!tuyến!của! hai!mặt!phẳng! (P ) : x + (1− 2m)y + 4mz − 4 = 0;(Q) : 2x + my −(2m +1)z − 8 = 0 .!!Tìm!điểm!M!cố! định!mà!đường!thẳng!dm!luôn!đi!qua.!Tìm!m!côsin!góc!giữa!đường!thẳng!dm!và!OM!bằng! 1 6 .!! 0sQ%k%tfm?%R;nJuX!Trong!mặt!phẳng!với!trục!toạ!độ!Oxy!cho!hình!vuông!ABCD!có!đỉnh!C(@4;@3)! và!M!là!một!điểm!nằm!trên!cạnh!AB! !! (M ≠ A,M ≠ B) .!Gọi!E,F!lần!lượt!là!hình!chiếu!vuông!góc! của!A,C!lên!DM!và!I!là!giao!điểm!của!CE!và!BF.!Tìm!toạ!độ!các!đỉnh!A,B,D!biết!I(2;3)!và!đỉnh!B! nằm!trên!đường!thẳng! !! x − 2y − 10 = 0 .!! 0sQ%@%t?mh%R;nJuX!Một!đoàn!tàu!gồm!3!toa!đỗ!ở!sân!ga.!Có!5!hành!khách!bước!lên!tàu!(!mỗi!hành! khác!độc!lập!với!nhau!chọn!ngẫu!nhiên!một!toa).!Tính!xác!suất!để!mỗi!toa!có!ít!nhất!một!hành! khách!bước!lên!tàu.! 0sQ%f?%tfm?%R;nJuX!Cho!x,y,z!là!các!số!thực!không!âm!thoả!mãn!! (x + y) 2 + (y + z) 2 + (z + x ) 2 ≤ 2 .! Tìm!giá!trị!lớn!nhất!của!biểu!thức! P = (x + y)(3 x−y + 3 y−z + 3 z−x − 3)+(x + z ) x 4 + y 4 + z 4 +15 .!! !! www"x+www% !"#$%&'('%)*%+",+% /0%&'1%+"23%)45&%+"65"%517% "89:;<=>%?@AB%CBB%C?C%% )D<E%FG%<HIJ%K%HLM%N;<H%<HO<%PQ%RS;%HLM%THU%%% 0H;%9;V9>%7W9H:;<FNXY<! 2! ,"y5%+z0"%{|5"%o.}5%)$,%$5% 0sQ%f%tCm?%R;nJuX%Cho!hàm!số! y = 3x + 2 x + 2 (1) .! 1. Khảo!sát!sự!biến!thiên!và!vẽ!đồ!thị!hàm!số!(1).! 2. Cho!hai!điểm!A(@1;@1),!B(2;2).!Viết!phương!trình!đường!thẳng!d!song!song!với!AB!và!cắt!(1)! tại!hai!điểm!phân!biệt!C,D!thoả!mãn! CD = 3 2 .!!! 1. Học!sinh!tự!giải.! 2. Phương!trình!đường!thẳng!AB!là! y = x .! Vậy!d!song!song!với!AB!có!phương!trình!dạng:! y = x + m (m ≠ 0) .! Phương!trình!hoành!độ!giao!điểm:! ! 3x + 2 x + 2 = x + m ⇔ x 2 + (m −1)x + 2m − 2 = 0 (*) .! Để!d!cắt!(1)!tại!hai!điểm!phân!biệt!khi!và!chỉ!khi!(*)!có!hai!nghiệm!phân!biệt! x 1 ,x 2 ≠ −2 .! ! ⇔ Δ = (m −1) 2 − 4(2m − 2) > 0 ⇔ m 2 −10m + 9 > 0 ⇔ m > 9 m <1 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ .! Khi!đó! C (x 1 ;x 1 + m),D(x 2 ;x 2 + m) và! CD 2 = 2(x 2 − x 1 ) 2 = 2 (x 1 + x 2 ) 2 − 4x 1 x 2 ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ = 18 ⇔ (x 1 + x 2 ) 2 − 4x 1 x 2 = 9 .! Theo!Vi@ét!ta!có: x 1 + x 2 = 1−m, x 1 x 2 = 2m − 2 .!Vậy!ta!có!phương!trình:! ! (1− m) 2 − 4(2m − 2) = 9 ⇔ m 2 −10m = 0 ⇔ m =10(t / m) m = 0(l ) ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ .! !V9%:QO<>!Vậy!đường!thẳng!d!cần!tìm!là! y = x +10 .!!! 0sQ%C%tfm?%R;nJuX% a) Giải!phương!trình! (sin x + cos x) 2 = 1+ 2 2sin x cosx .!! b) Tìm!số!phức!z!thoả!mãn! z 2 + z + 4 + 28i = 0 .! a)!Điều!kiện:! sin 2x ≥ 0 .! Phương!trình!tương!đương!với:! ! 1+ 2sin x cosx =1+ 2 2sin x cosx ⇔ sin 2x = sin2x ⇔ sin 2x ( sin 2x −1) = 0 ⇔ sin2x = 0 sin2x = 1 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⇔ x = k π 2 x = π 4 + kπ ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ,k ∈ ! .! !V9%:QO<>!Nghiệm!của!phương!trình!là! x = k π 2 ;x = π 4 + kπ,k ∈ ! .!!!! b)!Ta!có:! Δ = 1 2 − 4(4 + 28i ) = −15−112i = (7−8i ) 2 .! Suy!ra:! z = 3− 4i, z = −4 + 2i .!Vì!vậy! z = 3+ 4i, z = −4− 2i .!!! 0sQ%K%t?mh%R;nJuX!Tìm!số!tự!nhiên!n!thoả!mãn! log 2 n −log 4 (n + 8) = 1 .!!!! Điều!kiện:! n ∈ ! * .! Phương!trình!tương!đương!vơi:! !"#$%&'('%)*%+",+% /0%&'1%+"23%)45&%+"65"%517% "89:;<=>%?@AB%CBB%C?C%% )D<E%FG%<HIJ%K%HLM%N;<H%<HO<%PQ%RS;%HLM%THU%%% 0H;%9;V9>%7W9H:;<FNXY<! 3! ! log 2 n −log 2 n + 8 =1 ⇔ log 2 n n + 8 = 1 ⇔ n n + 8 = 2 ⇔ n 2 = 4(n + 8) ⇔ n 2 − 4n −32 = 0 ⇔ n = 8(t / m) n = −4(l ) ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ .! !! !! 0sQ%v%tfm?%R;nJuX%Giải!hệ!phương!trình! x 4x 2 + 5y 2 + 2y 4y 2 + 5xy = 1 xy 3 = (1+ x +1)(1+ 2x +1 3 ) ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ (x, y ∈ !) .! Điều!kiện:! x ≥−1;4x 2 + 5y 2 > 0;4 y 2 + 5xy > 0 .! Từ!phương!trình!thứ!hai!của!hệ!ta!suy!ra:! xy ≥ 0 .! Nhận!thấy! x = 0 hoặc! y = 0 không!là!nghiệm!của!hệ!nên!ta!chỉ!xét!với! xy > 0 .!!!! +)!Nếu! x, y < 0 ⇒VT (1) < 0 nên!hệ!vô!nghiệm.! +)!Nếu! x, y > 0 khi!đó!đặt! x = t.y (t > 0) ,!phương!trình!đầu!của!hệ!trở!thành:! t 4t 2 + 5 + 2 4 + 5t = 1 ⇔ t 4t 2 + 5 = 1− 2 4 + 5t ⇔ t 2 4t 2 + 5 = 1− 4 4 + 5t + 4 4 + 5t ⇔ 4 4 + 5t = 15t 3 + 28t 2 + 25t + 40 (4 + 5t)(4t 2 + 5) ⇔ (15t 3 + 28t 2 + 25t + 40) 2 −16(4t 2 + 5) 2 (4 + 5t) = 0 ⇔ t 2 (t 2 −1) 2 (45t 2 + 2t + 61) = 0 ⇔ t = 1(do t > 0) .! Vậy!phương!trình!đầu!của!hệ!tương!đương!với! x = y > 0 .! +)!Thay! y = x vào!phương!trình!thứ!hai!của!hệ!ta!được:! x 4 = (1+ x +1)(1+ 2x +1 3 ) ⇔ x 4 ( x +1 −1) = x(1+ 2x +1 3 ) ⇔ x 3 ( x +1 −1) = 1+ 2x +1 3 (do x > 0) ⇔ x 3 ( x +1 − x ) + x 4 − x 3 − x 2 = 1−x 2 + 2x +1 3 ⇔ x 3 (−x 2 + x +1) x + x +1 + x 2 (x 2 − x −1) = (−x 2 + x +1)(x 4 + x 3 − x 2 + 2) (1− x 2 ) 2 + (1− x 2 ) 2x +1 3 + (2x +1) 2 3 ⇔ (x 2 − x −1) x 2 + x 4 + x 3 − x 2 + 2 (1− x 2 ) 2 + (1− x 2 ) 2x +1 3 + (2x +1) 2 3 − x 3 x + x +1 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ = 0 ⇔ (x 2 − x −1) x 4 + x 3 − x 2 + 2 (1− x 2 ) 2 + (1− x 2 ) 2x +1 3 + (2x +1) 2 3 + x 2 x +1 x + x +1 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ = 0 ⇔ x 2 − x −1= 0 ⇔ x = 1+ 5 2 (t / m) x = 1− 5 2 (l ) ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ do x 4 + x 3 − x 2 + 2 (1− x 2 ) 2 + (1− x 2 ) 2x +1 3 + (2x +1) 2 3 + x 2 x +1 x + x +1 > 0 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ !.! !V9%:QO<>!Hệ!phương!trình!có!nghiệm!duy!nhất! (x; y) = 1+ 5 2 ; 1+ 5 2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ .!! !"#$%&'('%)*%+",+% /0%&'1%+"23%)45&%+"65"%517% "89:;<=>%?@AB%CBB%C?C%% )D<E%FG%<HIJ%K%HLM%N;<H%<HO<%PQ%RS;%HLM%THU%%% 0H;%9;V9>%7W9H:;<FNXY<! 4! 0sQ%h%tfm?%R;nJuX!Tính!tích!phân! I = e 2 x e x +1 +1 0 ln 3 ∫ dx .! Đặt! t = e x +1 ⇒ e x = t 2 −1 ⇒ e x dx = 2tdt .! Ta!có:! I = (t 2 −1).2tdt t +1 1 2 ∫ = 2t(t −1)dt 1 2 ∫ = (2t 2 −2t)dt 1 2 ∫ = ( 2t 3 3 −t 2 ) 2 1 = 5 3 .!!!!!!!! 0sQ%B%tfm?%R;nJuX!Cho!hình!hộp!ABCD.A’B’C’D’!có!đáy!ABCD!là!hình!vuông!cạnh!a,!hình!chiếu! vuông!góc!của!A’!trên!mặt!phẳng!(ABCD)!trùng!với!tâm!O!của!hình!vuông!ABCD.!Khoảng! cách!giữa!hai!đường!thẳng!AC!và!B’D’!bằng! a 6 2 .!Tính!thể!tích!khối!hộp!ABCD.A’B’C’D’!và! khoảng!cách!giữa!hai!đường!thẳng!AD’,A’C’.! ! +)!Do!AC,!B’D’!nằm!trên!hai!mặt!phẳng!đáy!song!song!với! nhau!nên! d (AC ;B ' D ') = d((ABCD ),(A' B 'C ' D ') = A'O = a 6 2 .! +)!Vì!vậy! V ABCD.A ' B 'C ' D ' = A'O.S ABCD = a 6 2 .a 2 = a 3 6 2 (đvtt).! !!! +)!Do!A’C’//AC!nên!A’C’//(ACD’)!vì!vậy! d (AD ';A'C ') = d (A';(D ' AC )) .! Ta!có:! AC ⊥ BD AC ⊥ A'O ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⇒ AC ⊥ (A' BD ) ⇒ (D ' AC ) ⊥ (A ' BD) .! Gọi!F!là!giao!điểm!của!AD’!và!A’D,!ta!có:! (A' BD ) ∩ (D ' AC ) = F .! Dựng!H!là!hình!chiếu!vuông!góc!của!A’!lên!OF!thì!A’H!vuông! góc!với!mặt!phẳng!(D’AC)!do!đó! ! A' H = d(A';(D ' AC )) = d(AD ';A'C ') .! +)!!Tam!giác!A’BD!là!tam!giác!đều,!F!là!trung!điểm!A’D!nên! A'OF ! = 30 0 .! Tam!giác!vuông!A’HO!có! A' H = A'O.sin 30 0 = a 6 4 .! Vậy! d (AD ';A'C ') = a 6 4 .!!!!!!! ! ! 0sQ%A%tfm?%R;nJuX!Trong!không!gian!với!hệ!toạ!độ!Oxyz!cho!đường!thẳng!dm!là!giao!tuyến!của! hai!mặt!phẳng! (P ) : x + (1− 2m)y + 4mz − 4 = 0;(Q) : 2x + my −(2m +1)z − 8 = 0 .!!Tìm!điểm!M!cố! định!mà!đường!thẳng!dm!luôn!đi!qua.!Tìm!m!côsin!góc!giữa!đường!thẳng!dm!và!OM!bằng! 1 6 .!! Gọi!M(x;y;z)!là!điểm!mà!dm!luôn!đi!qua!với!mọi!m,!khi!đó:! KHOÁ%GIẢI%ĐỀ%THPT%QUỐC%GIA%THẦY%ĐẶNG%THÀNH%NAM% Hotline:%0976%266%202%% Đăng%ký%nhóm%3%học%sinh%nhận%ưu%đãi%học%phí%%% Chi%tiết:%Mathlinks.vn! 5! x + (1−2m)y + 4mz − 4 = 0 2x + my −(2m +1)z −8 = 0 ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ,∀m ⇔ (x −4) + y + m(−2y + 4z) = 0 2x −8+ m(y− 2z )− z = 0 ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ,∀m ⇔ x −4 = 0 y = 0 −2y + 4z = 0 2x −8 = 0 y −2z = 0 −z = 0 ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⇔ x = 4 y = 0 z = 0 ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⇒ M (4;0;0) .! Vậy!điểm!cố!định!mà!dm!luôn!đi!qua!là!M(4;0;0).! +)!Ta!có:! OM ! "!! = (4;0;0) //(1;0;0) ,!và!véc!tơ!chỉ!phương!của!dm!là:! u dm ! "! = 1−2m 4m m −2m −1 ; 4m 1 −2m −1 2 ; 1 1−2m 2 m ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ = (−1;10m +1;5m −2) .! Suy!ra:! cos(dm;OM ) ! = 1 1 2 + (10m +1) 2 + (5m − 2) 2 = 1 6 .! ! ⇔ (10m +1) 2 + (5m − 2) 2 +1 = 6 ⇔125m 2 = 0 ⇔ m = 0 .!! Vậy!m=0!là!giá!trị!cần!tìm.!! Câu%8%(1,0%điểm).!Trong!mặt!phẳng!với!trục!toạ!độ!Oxy!cho!hình!vuông!ABCD!có!đỉnh!C(@4;@3)! và!M!là!một!điểm!nằm!trên!cạnh!AB! !! (M ≠ A,M ≠ B) .!Gọi!E,F!lần!lượt!là!hình!chiếu!vuông!góc! của!A,C!lên!DM!và!I!là!giao!điểm!của!CE!và!BF.!Tìm!toạ!độ!các!đỉnh!A,B,D!biết!I(2;3)!và!đỉnh!B! nằm!trên!đường!thẳng! !! x − 2y − 10 = 0 .!! ! Phát!hiện!tính!chất!hình!học:!CE!và!BF!vuông!góc!tại!I.! Chứng&minh.& Xét!các!tam!giác!EAD!và!FCD!vuông!có! AD = DC và! EDA ! = FCD ! (góc!có!cạnh!tương!ứng!góc!vuông).! Suy!ra:! ΔEAD = ΔFDC ⇒ ED = FC (1) .!! +)!Ta!có:! DFC ! = FCB ! (cùng!phụ!góc! DCF ! ),!suy!ra: EDC ! = FCB ! .!! Lại!có:! DE = CF ,DC = BC nên! ΔDEC = ΔCFB ⇒ CE = BF (2) .! Và! AC = BD (3) .! Từ!(1),(2)!và!(3)!ta!có:! ! ΔDFB = ΔAEC ⇒ FBD ! = ECA ! ⇒ IBO ! = ICO ! .! Vậy!tứ!giác!IBCO!nội!tiếp!nên! BIC ! = BOC ! = 90 0 .!!! +)!Ta!có:! CI ! "! = (6;6) //(1;1) ,!do!BI!vuông!góc!với!CI!nên!có!phương!trình!là!! ! x + y −5 = 0 .! Toạ!độ!điểm!B!thoả!mãn!hệ!! x −2y +10 = 0 x + y −5 = 0 ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⇔ x = 0 y = 5 ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⇒ B(0;5) .! Phương!trình!đường!thẳng!BC!là! 2x − y + 5 = 0 .! Đường!thẳng!AB!đi!qua!B!và!vuông!góc!BC!là! x + 2y −10 = 0 .! +)!Gọi!A(10@2a;a)!thuộc!đường!thẳng!AB,!ta!có:! KHOÁ%GIẢI%ĐỀ%THPT%QUỐC%GIA%THẦY%ĐẶNG%THÀNH%NAM% Hotline:%0976%266%202%% Đăng%ký%nhóm%3%học%sinh%nhận%ưu%đãi%học%phí%%% Chi%tiết:%Mathlinks.vn! 6! AB 2 = BC 2 = 80 ⇔ (10− 2a) 2 + (a −5) 2 = 80 ⇔ (a −5) 2 = 16 ⇔ a =1 a = 9 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ .! Suy!ra!A(8;1)!hoặc!A(@8;9).! +)!Phương!trình!đường!thẳng!CI!là! x − y +1 = 0 ,!do!A,B!khác!phía!với!CI!nên!A(8;1).! Vì! DC ! "!! = AB ! "!! = (−8;4) ⇒ D (4;−7) .! Kết%luận:!Vậy!A(8;1),!B(0;5),!D(4;@7).!!!! Câu%9%(0,5%điểm).!Một!đoàn!tàu!gồm!3!toa!đỗ!ở!sân!ga.!Có!5!hành!khách!bước!lên!tàu!(!mỗi!hành! khác!độc!lập!với!nhau!chọn!ngẫu!nhiên!một!toa).!Tính!xác!suất!để!mỗi!toa!có!ít!nhất!một!hành! khách!bước!lên!tàu.! Gọi!A!là!biến!cố!5!hành!khách!bước!lên!tàu!mà!mỗi!toa!có!ít!nhất!một!hành!khách.! +)!Mỗi!hành!khác!có!3!lựa!chọn!lên!tàu!nên!không!gian!mẫu!là! Ω = 3 5 .! +)!!Để!tìm!số!phần!tử!của!A!ta!tìm!số!phần!tử!của! A !tức!có!toa!không!có!hành!khách!nào!bước! lên!tàu,!có!2!khả!năng!sau:! TH1:!Có!2!toa!không!có!hành!khách!bước!lên:! @ Chọn!2!trong!3!toa!để!không!có!khách!lên,!có! C 3 2 cách.! @ Sau!đó!cả!5!hành!khác!lên!toa!còn!lại!có!1!cách.! Vậy!trường!hợp!này!có! C 3 2 .1 = 3 cách.! TH2:!Có!1!toa!không!có!hành!khác!bước!lên:! @ Chọn!1!trong!3!toa!để!không!có!khác!lên,!có! C 3 1 cách.! @ Hai!toa!còn!lại!ta!cần!xếp!5!hành!khách!lên!và!mỗi!toa!có!ít!nhất!một!hành!khách.! Số!cách!xếp!là! 2 5 −C 2 1 .1 = 30 ,! Vậy!trường!hợp!này!có!3.30=90!cách.! Suy!ra! A = 3+ 90 = 93 ⇒ A = Ω − A = 234−93 =150 .! Xác!suất!cần!tính:! P = 150 243 = 50 81 .! Bình%luận:!Ta!có!thể!tính!trực!tiếp!như!sau:!!!! Câu%10%(1,0%điểm).!Cho!x,y,z!là!các!số!thực!không!âm!thoả!mãn!! (x + y) 2 + (y + z) 2 + (z + x ) 2 ≤ 2 .! Tìm!giá!trị!lớn!nhất!của!biểu!thức! P = (x + y)(3 x−y + 3 y−z + 3 z−x − 3)+(x + z ) x 4 + y 4 + z 4 +15 .!! Theo!giả!thiết!ta!có:! x 2 + y 2 + z 2 + xy + yz + zx ≤1 .! Suy!ra! x, y,z ∈ 0;1 ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ,x 2 + y 2 + z 2 ≤1; x − y ≤1, y − z ≤1; z − x ≤1 .! Do!đó! x 4 + y 4 + z 4 ≤ x 2 + y 2 + z 2 ≤1 .! Vì!vậy! (x + z ) x 4 + y 4 + z 4 +15 ≤ 4(x + z) .!! +)!Xét!hàm!số! f (t ) = 3 t − 2t −1 trên!đoạn![0;1]!ta!có:! ! f '(t) = 3 t ln3− 2, f '(t ) = 0 ⇔ t = log 3 2 ln3 ∈ 0;1 ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ .! Suy!ra!f(t)!đạt!cực!tiểu!tại! t = log 3 2 ln3 ,!do!đó! f (t ) ≤ max f (0); f (1) { } = 0 .! KHOÁ%GIẢI%ĐỀ%THPT%QUỐC%GIA%THẦY%ĐẶNG%THÀNH%NAM% Hotline:%0976%266%202%% Đăng%ký%nhóm%3%học%sinh%nhận%ưu%đãi%học%phí%%% Chi%tiết:%Mathlinks.vn! 7! Vậy!ta!có:! 3 t ≤ 2t +1,∀t ∈ 0;1 ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ .! +)!Áp!dụng!ta!có:!!!!! ! 3 x−y ≤ 2 x − y +1;3 y−z ≤ 2 y − z +1;3 z−x ≤ 2 z − x +1 .! Cộng!theo!vế!ba!bất!đẳng!thức!trên!ta!được:! 3 x−y + 3 y−z + 3 z−x ≤ 2 x − y + y − z + z − x ( ) + 2 .! Ta!chứng!minh:! x − y + y − z + z − x ≤ 2 ,!thật!vậy!không!mất!tính!tổng!quát!giả!sử! ! x ≥ y ≥ z ⇒ x − y + y− z + z − x = 2(x − z) ≤ 2x ≤ 2 .! Do!đó! P ≤ 4(x + y)+ 4(x + z) = 4(2x + y + z) .! Sử!dụng!bất!đẳng!thức!Cauchy!–!Schwartz!ta!có:! ! (x + y) 2 + (y + z) 2 + (z + x ) 2 ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ .(1+ 0+1) ≥ 2x + y + z ( ) 2 ⇒ 2x + y + z ≤ 2 .! Vì!vậy! P ≤ 8 .!Dấu!bằng!xảy!ra!khi!và!chỉ!khi! (x; y;z) = (1;0;0) .!!! Bình%luận:!Ta!cần!chú!ý!các!đánh!giá!được!sử!dụng!trong!bài!như!sau:! +)!Với! x ∈ 0;1 ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⇒ x n+1 ≤ x n ≤ ≤ x .! +)!Với!mọi! x ∈ 0;1 ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⇒ k x ≤ (k −1).x +1,∀k ≥1 .!Đây!thực!chất!là!bất!đẳng!thức!Bernouli.! +)! x − y + y − z + z − x ≤ 4(x 2 + y 2 + z 2 ),∀x, y,z ∈ 0;1 ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ .!!!! Bất!đẳng!thức!cuối!được!chứng!minh!như!sau:! Bình!phương!hai!vế!và!đưa!về!chứng!minh:! ! x 2 + y 2 + z 2 + xy + yz + zx ≥ x − y . x − z ∑ ,∀x ∈ 0;1 ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ .!! ! Bài%tập%tương%tự%w%% Bài%số%01.!Cho!x,y,z!là!các!số!thực!không!âm!thoả!mãn! !! (x + y) 3 + (y + z) 3 + (z + x) 3 ≤ 2 .!Tìm!giá!trị!lớn! nhất!của!biểu!thức! !! P = (x + y + z) 2 y + z + 2 + x 2 + y 2 + z 2 2 .! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! . 1 6 .!! Gọi!M(x;y;z)!là!điểm!mà!dm!luôn!đi!qua!với!mọi!m,!khi!đó:! KHOÁ%GIẢI%ĐỀ%THPT%QUỐC%GIA%THẦY%ĐẶNG%THÀNH%NAM% Hotline:%0976%266%202%% Đăng%ký%nhóm%3 %học% sinh%nhận%ưu%đãi %học% phí%%% Chi%tiết:%Mathlinks.vn! 5! x + (1−2m)y. 0 .! +)!Gọi!A(10@2a;a)!thuộc!đường!thẳng!AB,!ta!có:! KHOÁ%GIẢI%ĐỀ%THPT%QUỐC%GIA%THẦY%ĐẶNG%THÀNH%NAM% Hotline:%0976%266%202%% Đăng%ký%nhóm%3 %học% sinh%nhận%ưu%đãi %học% phí%%% Chi%tiết:%Mathlinks.vn! 6! AB 2 =. f (t ) ≤ max f (0); f (1) { } = 0 .! KHOÁ%GIẢI%ĐỀ%THPT%QUỐC%GIA%THẦY%ĐẶNG%THÀNH%NAM% Hotline:%0976%266%202%% Đăng%ký%nhóm%3 %học% sinh%nhận%ưu%đãi %học% phí%%% Chi%tiết:%Mathlinks.vn! 7! Vậy!ta!có:!