Chuyên đề tích phân

Hocmai.vn – Website hc trc tuyn s 1 ti Vit Nam Tng đài t vn: 1900 58-58-12 - Trang | 1 - CHUYÊN  TÍCH PHÂN Nh các em đã bit, trong kì thi Trung hc ph thông quc gia, câu hi liên quan đn tích phân là câu hi không th thiu trong đ thi môn Toán. Sau đây, Hocmai.vn xin đc gii thiu cho em các hc sinh trên toàn quc nhng gì c bn nht ca chuyên đ này. I. NH NGHA VĨ TÍNH CHT 1. nh ngha Tích phân: là mt khái nim toán hc,và cùng vi nghch đo ca nó vi phân, nó đóng vai trò là 2 phép tính c bn và ch cht trong lnh vc gii tích. Có th hiu đn gin tích phân nh là din tích hoc din din tích tng quát hóa. Gi s cn tính din tích mt hình phng đc bao bi các đon thng, ta ch vic chia hình đó thành các hình nh đn gin hn và đã bit cách tính din tích nh hình tam giác, hình vuông, hình thang, hình ch nht Tip theo, xét mt hình phc tp hn mà nó đc bao bi c đon thng ln đng cong, ta cng chia nó thành các hình nh hn, nhng bây gi kt qu có thêm các hình thang cong. Tích phân giúp ta tính đc din tích ca hình thang cong đó. 2. Công thc tính Cho   fx là hàm liên tc trên đon [a,b] có nguyên hàm là (x)F Khi đó công thc tính tích phân là:   (x)dx (b) F b a f F a  3. Sau đơy lƠ bng nguyên hƠm c bn, các em chú ý hc thuc:   Cdx0 1 1 1      nC n x dxx n n   Cedxe xx   Cxxdx cossin   Cxdx x tan cos 1 2   Cxdx Cxdx x   ln 1   C a a dxa x x ln   Cxxdx sincos   Cxdx x cot sin 1 2 CHNG TRÌNH KHAI TEST U XUÂN 2015 TÀI LIU MIN PHÍ MÔN TOÁN Hocmai.vn – Website hc trc tuyn s 1 ti Vit Nam Tng đài t vn: 1900 58-58-12 - Trang | 2 -    Cxudx xu xu )(ln )( )(   Caxx a ax x dxax 222 ln 22       C ax ax a dx ax ln 2 11 22 II. CÁC PHNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN 1. Phng pháp bin s ph Cho hàm s )(xf liên tc trên đon   ba; có nguyên hàm là )(xF . Gi s )(xu là hàm s có đo hàm và liên tc trên đon    , và có min giá tr là   ba; thì ta có :     CxuxFdxxuxuf   )()()('.)( BÀI TP Tính các tích phân sau : a)    1 0 2 1 1x xdx I b)    1 0 2 1 x x e dxe I c)    e x dxx I 1 3 ln1 Bài làm : a) t 2 21 2 dt xdxxdxdtxt  i cn :      21 10 tx tx Vy : 2ln 2 1 ln 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1      t t dt x xdx I b) t dxedtet xx  1 i cn :      12 11 2 etx etx Vy : )1ln(ln 1 1 1 1 1 1 0 2 2 2         et t dt e dxe I e e e e x x c) t dx x tdtxt 1 ln1  i cn :      2 11 tex tx )122( 3 2 3 2ln1 2 1 2 1 2 3 1 3     tdtt x dxx I e Hocmai.vn – Website hc trc tuyn s 1 ti Vit Nam Tng đài t vn: 1900 58-58-12 - Trang | 3 - Tính các tích phân sau : Bài 1. < HKB 2005 > 2 0 sin 2 .cos 1 cos xx dx x    Bài 2. 4 2 0 sin 4 2 sin x I dx x     Bài 3. 2 2 0 cos 11 7sin os x I dx x c x     Ta có: I= 2 22 00 sin2 .cos 2cos .sin 1 cos 1 cos x x x x dx dx xx     t: 1 + cosx=t , - sinxdx=dt. I= -2 1 2 2 22 2 1 1 ( 1) 2 1 1 2 2 ( 2 ) t dt t t dt t dt t t t           =2 2 2 2 2 2 ln 1 1 1 2 t tt     <Bài 2> I= 4 4 4 2 0 0 0 sin4 2.sin 2 . os2 4.sin 2 . os2 1 os2 2 sin 3 os2 2 2 x xc x xc x dx dx dx cx x c x           . t 3+cos2x=t; -2 sin2x dx = dt x 0 4  t 4 3 I=-2 34 43 44 ( 3) 3 2 (1 ) 2( 3ln ) 33 t dt t t tt       <Bài 3> I= 22 22 00 cos cos 11 7sin os sin 7sin 10 xx dx dx x c x x x        . t sinx =t; cosx dx=dt x 0 2  t 0 1 I= 1 1 1 2 0 0 0 1 1 1 1 () 7 10 ( 5)( 2) 3 ( 5) ( 2) dt dt dt t t t t t t             = 11 1 ln 5 ln 2 00 3 tt       <4> I= 22 22 44 cos2 (cos sinx)(cos sinx) (sin cos 2) (sin cos 2) x x x dx dx x x x x          . t cosx+sinx+2=t; (cosx - sinx)dx=dt x 4  2  t 22 3 x 0 2  t 2 1 Hocmai.vn – Website hc trc tuyn s 1 ti Vit Nam Tng đài t vn: 1900 58-58-12 - Trang | 4 - I= 3 3 3 3 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 ( 2) 1 2 ( ) 2 t dt dt dt t dt t t t t               = 33 2 ln 2 2 2 2 t t   2. Tích phơn các hƠm lng giác Dng 1 :     nxdxmxI cos.sin Cách làm: bin đi tích sang tng . Dng 2 :     dxxxI nm .cos.sin Cách làm : Nu nm, chn . t xt tan Nu m chn n l . t xt sin (trng hp còn li thì ngc li) Dng 3 :      cxbxa dx I cos.sin. Cách làm : t :              2 2 2 1 1 cos 1 2 sin 2 tan t t x t t x x t Dng 4 :       dx xdxc xbxa I . cos.sin. cos.sin. Cách làm : t : xdxc xdxcB A xdxc xbxa cos.sin. )sin.cos.( cos.sin. cos.sin.      Sau đó dùng đng nht thc . Dng 5:       dx nxdxc mxbxa I . cos.sin. cos.sin. Cách làm : t : nxdxc C nxdxc xdxcB A nxdxc mxbxa        cos.sin.cos.sin. )sin.cos.( cos.sin. cos.sin. Sau đó, ta dùng đng nht thc. BÀI TP Tính tích phân : a)    2 0 4 1 )1(sin cos  x xdx I b)   2 0 5 2 cos  xdxI c)   4 0 6 3 tan  xdxI Bài làm : a) t : xdxdtxt cos1sin  i cn :        2 2 10 tx tx  Hocmai.vn – Website hc trc tuyn s 1 ti Vit Nam Tng đài t vn: 1900 58-58-12 - Trang | 5 - Vy : 24 7 3 1 )1(sin cos 2 1 3 2 1 4 2 0 4 1     tt dt x xdx I  b) t : xdxdtxt cossin  i cn :        1 2 00 tx tx  Vy :     15 8 3 2 5 211cos 1 0 1 0 3 5 1 0 1 0 24 2 2 2 0 5 2               tt t dtttdttxdxI  c) t : dxxdtxt )1(tantan 2  i cn :        1 4 00 tx tx  Vy : 1 11 6 5 3 44 6 4 2 3 22 0 0 0 0 0 1 13 tan 1 1 1 5 3 15 4 t dt t t I xdx t t dt t du tt                          Tính các tích phân sau : a)    2 0 2222 1 cos.sin. cos.sin  dx xbxa xx I b)    3 0 2 2cos2 cos  dx x x I Bài làm : a) t : xdxxabdtxbxat cos.sin)(2cos.sin. 222222  i cn :        2 2 2 0 btx atx  Nu ba  Vy :   2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 22 22 0 sin .cos 1 1 1 2 .sin .cos b b a a ab x x dt I dx t b a b a a b ba t a x b x              Nu ba  Vy : 2 2 2 2 1 2 2 2 2 0 0 0 0 sin .cos sin .cos 1 1 1 sin2 cos2 2 4 2 .sin .cos x x x xdx I dx xdx x a a a a a x b x               b) t : xdxdtxt cossin  i cn :        2 3 3 00 tx tx  Hocmai.vn – Website hc trc tuyn s 1 ti Vit Nam Tng đài t vn: 1900 58-58-12 - Trang | 6 - Vy :        2 3 0 2 2 3 0 2 3 0 2 2 32 1 23 2cos2 cos t dt t dt dx x x I  t : ududtut sin 2 3 cos 2 3  i cn :          42 3 2 0   ut ut Vy :   3 2 2 2 4 2 22 0 44 4 3 sin 1 1 1 1 2 2 3 2 3 2 2 4 2 1 cos 22 udu dt I du u tu               Tính các tích phân sau : a)    2 0 1 5cos3sin4 1  dx xx I b)     2 0 2 5cos3sin4 6cos7sin  dx xx xx I Bài làm : a) t : 1 2 1 2 tan 2 tan 2 2          t dt dxdx x dt x t i cn :        1 2 00 tx tx  Vy :   1 11 2 1 22 0 00 22 2 11 1 21 26 1 4 3 5 11 dt t I dt tt t t tt             b) t : 5cos3sin45cos3sin4 sin3cos4 5cos3sin4 6cos7sin        xx C xx xx BA xx xx Dùng đng nht thc ta đc: 1,1,1  CBA Vy :   6 1 8 9 ln 2 5cos3sin4ln 5cos3sin4 1 5cos3sin4 sin3cos4 1 5cos3sin4 6cos7sin 1 2 0 2 0 2 0 2                    Ixxx dx xxxx xx dx xx xx I Bài tp t luyn : Hocmai.vn – Website hc trc tuyn s 1 ti Vit Nam Tng đài t vn: 1900 58-58-12 - Trang | 7 - a)   2 6 2 3 1 sin cos   dx x x I b)   2 0 3 2 sin.cos  xdxxI c)    2 0 3 2sin  x dx I c)    2 0 3 3 1cos sin4  dx x x I d)    2 0 5 3cos2sin 1  dx xx I d)     2 0 6 3cos2sin 1cossin  dx xx xx I 3. Tính nguyên hàm, tích phân các hàm hu t Dng 1 :     C ax n ax dx I nn         1 1 . 1 1 vi      1,0,  NCna ta có : Nu Ran  ,1 ta có : Cx ax dx I     ln Dng 2 :       dx cbxax x I n 2  trong đó :      04 ,,,, 2 acb Rcba  * Giai đon 1 : 0  ,làm xut hin  t thc đo hàm ca tam thc cbxax  2 , sai khác mt s :                      nnn cbxax dx b a a dx cbxax bax a dx cbxax b a bax a I 222 2 2 2 2 2 2 2      * Giai đon 2 : Tính                     bax t n n n t dt a a dx cbxax dx I 2 22 1 2 . 4 * Giai đon 3 : Tính      dt t I n 1 1 2 có th tính bng hai phng pháp , truy hi hoc đt  tant Dng 3 :       dx xQ xP I n m Ta có :     01 01 bxbxb axaxa xQ xP n n m m n m    + Nu :     QP degdeg  thì ta thc hin phép chia             xQ xR xA xQ xP n r nm n m   trong đó phân s     xQ xR n r có     QR degdeg  + Nu :     QP degdeg  ta có các qui tc sau : *Quy tc 1 :           n n n n n xm ax A ax A ax A ax P          1 11 Ví d 1a :              n i i i i n i i i m ax A ax xP 1 1 Hocmai.vn – Website hc trc tuyn s 1 ti Vit Nam Tng đài t vn: 1900 58-58-12 - Trang | 8 - Ví d 1b :     2 2 ))()(( cx D cx C bx B ax A cxbxax xP m          *Quy tc 2 :           n nn n nn n m cbxax BxA cbxax BxA cbxax BxA cbxax xP             2 1 2 11 2 11 2 vi 0 *Quy tc 3:                     m i n k i i i i n m t cbxax BxA x A cbxaxx xP 1 1 2 1 2   Ví d 1 :       cbxax CBx x A cbxaxx xP t       22 )(  Ví d 2 :             2 2 22 2 11 2 2 cbxax CxB cbxax CxB x A cbxaxx xP t            BÀI TP Tính các tích phân sau : a)    1 0 2 1 23xx dx I b)      1 0 2 2 2 23xx dx I Bài làm : a)                   1 0 1 0 1 0 2 1 2 1 1 1 21 23 dx xxxx dx xx dx I b)          dx xx xx dx xx dx I                1 0 22 1 0 2 2 2 21 2 2 1 1 1 23   1 0 11 2 ln 1 ln 2 12 xx xx             đn đây các em t tính tip. Tính các tích phân sau : a)    1 0 24 1 33xx dx I b)         1 0 2 2 21 24 dx xx x I Bài làm : a) Bn đc d dàng chng minh đc     C a x aax dx I arctan 1 22 0 vi 0a    dx xxxx dx xx dx I                 1 0 1 0 2222 1 0 24 1 3 1 1 1 2 1 3133   329 2 3 arctan 3 1 arctan 2 1 1 0          x x b) t :   3 4 ln2ln1ln 1 0  xx Hocmai.vn – Website hc trc tuyn s 1 ti Vit Nam Tng đài t vn: 1900 58-58-12 - Trang | 9 -             12 22 1 2 12 24 2 2 22           xx ACCBxBAx x CBx x A xx x ng nht thc ta có h :                  0 2 2 02 42 0 C B A AC CB BA Vy :                    1 0 1 0 2 2 2 1 2 2 2 21 24 dx x x x dx xx x I   9 4 ln1ln2ln2ln3ln21ln2ln2 1 0 2  xx Bài tp t luyn : a)       3 2 2 1 1 1 dx xx x I b)    5 2 2 2 32xx dx I c) dx xx x I     2 1 3 3 3 4 1 d)    2 3 24 3 23 dx xx x I Hng dn: a)   1 1 1 22     x C x B x A xx x b) 31 32 1 2      x B x A xx c)                 1212 4 1 4 1 4 1 3 3 xxx x xx x d) 22 11 23 24          x D x C x B x A xx x 4. Chng minh đng thc tích phân : Mun chng minh đng thc trong tích phân ta thng dùng cách đi bin s và nhn xét mt s đc đim sau . * Cn tích phân , chn l , tun hoàn , cn trên + cn di, …. Các em chú ý, chúng ta cn phi nh nhng đng thc ny và xem nó nh 1 b đ áp dng. BÀI TP 1.Chng minh rng :        1 0 1 0 11 dxxxdxxx m n n m Bài làm : Xét     1 0 1 dxxxI n m t : dtdxdxdtxt 1 i cn :      01 10 tx tx Vy :          0 1 1 0 1 0 111 dtttdtttdxxxI n m n mn m (đpcm) Hocmai.vn – Website hc trc tuyn s 1 ti Vit Nam Tng đài t vn: 1900 58-58-12 - Trang | 10 - 2.Chng minh rng nu )(xf là hàm l và liên tc trên đon   aa, thì :      a a dxxfI 0 Bài làm :       1)( 0 0       a a a a dxxfdxxfdxxfI Xét     0 a dxxf . t dtdxdxdtxt  i cn :      00 tx atax V y :           a a a dttfdttfdxxf 0 0 0 Th vào (1) ta đc : 0I (đpcm) Tng t các em có th chng minh : Nu )(xf là hàm chn và liên tc trên đon   aa, thì:         a a a dxxfdxxfI 0 2 Cho 0a và   xf là hàm chn , liên tc và xác đnh trên R . 3.Chng minh rng :             dxxfdx a xf x 0 1 Bài làm : Xét   dx a xf x    0 1  . t dtdxdxdtxt  i cn :      00 tx tx  Vy :                    0 0 0 111 t t tx a tfa dt a tf dx a xf Th vào (1) ta đc :                        0 0 0 111 dxxfdx a xf dx a xfa dx a xf xx x x (đpcm) Cho hàm s   xf liên tc trên   1,0 . 4.Chng minh rng :           0 0 sin 2 sin. dxxfdxxfx Bài làm :                       0 0 1 111 dx a xf dx a xf dx a xf xxx [...]... t Nam III M T S NG D NG C A TÍCH PHÂN D ng bài ng d ng tích phân r ng trong kì thu THPT qu các em chú ý cách tính tích phân cho thành th o, c ng thêm m t chút hi u bi t v cách v Trong ph n ng d ng, ta ch có nh ng d ng bài chính là: tính th tích và tính di u c th t ng v 1 Tính di n tích : Cho hai hàm s f x & f x liên t x a y f x c d ng bài này th hàm s ng n a, b Di n tích hình ph ng gi i h n b ng... x2 1 2 2 g) I 2009 1 sin 2 x dx ln sin x 7 h) I 1 cos 2 xdx 8 0 0 5 Tích phân t ng ph n b Cho hai hàm s u và v o hàm liên t b udv n a, b , thì ta có : a Trong lúc tính tính tích phân t ng ph n ta có nh * u tiên1: N u có hàm ln hay logarit thì ph tu sau : t u ln x hay u uv b vdu a a log a x ?? mà có th h b c BÀI T P Tính các tích phân sau : 1 e 2 x.e x dx a) I1 x2 cos xdx b) I 2 c) I 3 0 0 ln xdx... g x dx a 2 Tính th tích : N u di n tích S x c a m t c t v t th do m t ph ng vuông góc v i tr c t n a, b thì th tích v t th c tính : , là hàm s liên t c b V f x dx a N u hàm s f x liên t c trên a, b và (H) là hình ph ng gi i h n b ng: x a,x b y f x Ox b 2 c tính : V c 1 v t th f x dx a tính th tích v t th quay quanh Oy 3 N y f x b l 1 y 2 dx v i a, b u cung a BÀI T P 1 Tính di n tích hinh ph ng c Bài... cos 2 ln x dx f) I 6 sin x ln tan x dx 1 4 2 4 g) I x2 cos 2 x 7 h) I 1 sin x x e dx 1 cos x 0 7 0 6 Tích phân hàm tr tuy i, min , max : b Mu n tính I f x dx u f x n a, b , kh tr tuy i a b Mu n tính I max f x , g x dx u f x g x n a, b min f x , g x dx u f x g x n a, b a b Mu n tính I a 1.Tính các tích phân sau : 2 4 a) I1 Bài làm : x 1 a) x-2 2 - 4 0 + 4 V y : I1 2 4 x 2 dx 2 x dx 1 1 4 2 2 0 x 2 dx... là hình ph ng trên có di n tích nh nh t Bài làm ng th ng có d ng y kx 1 4 m 2 x kx 1 x2 4 kx k 4 0 m , gi s x1 x2 V y di n tích là : x2 S x3 3 2 k x 1 4 x dx x1 x2 x1 V i : x2 x1 k 2 x 2 x2 4 k x x2 1 2 x2 3 x1 x1 x1 x2 x12 1 k x2 2 x1 4 k k k 4 x2 x1 2 x2 2 x21 2 4 x2 x1 k2 4k 4 c: Th vào * k 2 4k 16 S 1 2 k 4k 4 3 1 2 k 4k 16 k 2 4k 16 6 V y : min S 4 3 khi k 3.Tính di n tích hình ph 1 2 k 2 1 6 4... x 2 0 l Ta l i có : y2 y ay x2 a 0 y ax a ax x2 a 0 V y di n tích c n tính là : a S ax 0 x2 dx a a ax 1 2 3 3 a x2 2 0 4: Tính di n tích hình ph ng gi i h n b x3 3a ng: y x2 dx a 2 a 0 1 2 a dvtt 3 1 và y x x 5 trong m t ph ng t Oxy Gi i mc th y x2 1 và y x2 1 x 5 là: x 5 V i x 1 x2 1 x 5 V i x 1 x2 1 x 5 x 3 i x ng qua truc tung nên di n tích c n tìm là: Do hình ph ng c 3 2 S 3 x2 1 dx 2 5 x 0 2 2... n tích hình ph ng gi i h n b th các hàm s : 2 y x 27 ,y 27 x x2 , y Gi i ch mc th hàm s b m 2 x 27 2 g trình 1: x x 0 x 27 x x3 27 x2 27 27 x x3 2 0 x 3 x 0 27 2 x 0 x 9 V y di n tích hình ph ng c n tìm là: 3 x2 dx 27 x2 S 0 3 2 x 0 3 9 3 9 x dx 27 2 9 3 27 x x2 dx 27 27 x x2 dx 27 27 x x2 dx 27 27 ln x 26 2 x dx 27 0 x3 81 3 3 3 26 x 27 3 0 9 3 26 1 27.ln 9 9 27 ln 3 3 3 27 ln 3 x2 6: Tính di n tích. .. ; 2 2 Vì t 1 3 S 2 2 0 2 9 9sin 2 t 3cos tdt 2 2 2 2 3 1 sin t cos tdt 2 cos 2 t cos tdt 3 2 2 2 2 3 cos 2 tdt 2 3 1 cos 2t dt 2 1 3 t 2 2 V y di n tích hình ph ng gi i h n b i elip sin 2t 4 3 4 4 ng tròn là: 2S 2 3 2 2 3 2 3 ng ki n th n v ph n tích phân, m t câu d thi THPT qu làm t t ph n này các em nên c n th n trong tính toán, v n d ng linh ho t các phép bi i, thu c b ng n, Hocmai.vn xin chúc... x2 ,4 x 3 dx d) I d) I 4 sin x cos x dx max sin x, cos x dx c) I 3 2 2 T 3 4 2 x 2 x 1 4 x 2 x 1 dx 1 n: 1900 58-58-12 - Trang | 15 - Hocmai.vn Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam 7 Nguyên hàm , tích phân c a hàm s vô t Trong ph n n y ta ch nghiên c u nh ng h R x, ax2 D ng 1: a 0 ax 0 R x, ax2 2 bx c D ng 2: ax 0 S t , 1 t 2 dt T 2 bx c D ng 3: ax 0 2 t t sin u 2a x b 2ax b bx c 2 1 4a S t , t... S x, a 2 S x, m 1 sin u tt 2a x b c bi t) : M ts 1 4a R x, ax2 bx c dx D ng 4 (d tan u 2 2ax b S t , 1 t 2 dt T t 0 tt 2a x b R x, ax2 bx c dx a 2 2ax b 1 4a bx c dx 0 ng h u t bx c dx t a n c a tích phân Abel 3 dt 4x 7 3 t x 2 t2 n: 1900 58-58-12 3 3 - Trang | 16 - Hocmai.vn t: t Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam 3 tan u 3 tan 2 u 1 du dt 3 tan 2 u 1 du Ta có I 3 tan u tan 2 u 1 3 3 1 3 3 . tính c bn và ch cht trong lnh vc gii tích. Có th hiu đn gin tích phân nh là din tích hoc din din tích tng quát hóa. Gi s cn tính din tích mt hình phng đc bao bi các đon. 22 11 23 24          x D x C x B x A xx x 4. Chng minh đng thc tích phân : Mun chng minh đng thc trong tích phân ta thng dùng cách đi bin s và nhn xét mt s đc đim sau . * Cn tích phân , chn l , tun hoàn. cong. Tích phân giúp ta tính đc din tích ca hình thang cong đó. 2. Công thc tính Cho   fx là hàm liên tc trên đon [a,b] có nguyên hàm là (x)F Khi đó công thc tính tích phân là: